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Full text of "Bulletin des sciences mathématiques"

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|'riICt>tIE:  III!  LËODLE  1»ES  IIAI 

us!  uiÊi>tri-s  or  niM?TKak  nr  i.*i>sri'\ 


Bl:LLETI^ 

BNCES  MATHÉMATIQUES,  II! 


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TOHE    XXVI     -   iAtfVtBH    I«a3. 


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BULLETIN 


DES 


SCIENCES  MATHÉMATIQUES. 


COMMISSION  DES  HAUTES  ÉTUDES. 


MM.  G.  DARBOUX,  prtfsident. 
H.  POLVCARÉ. 

I 

J.  TANNERY. 
E.  PICARD. 
P.  APPELL. 
FOUSSEREAU,  secrétaire. 


AVIS. 

Toutes  les  communications  doivent  èlre  adressées  à  M.  Darboux,  Membre 
de  rinslitul,  rue  Gay-Lussac,  36,  Paris. 


91981  Paris.  —  Imprimerie  GAUTHIEK-VILLARS,  qaai  des  Grands-AuiiUstinF,  &:». 


BIBLIOTHÈQUE  DE  LÉCOLE   DES    HAUTES  ÉTUDES, 

Pl'BLItiE  SOLS  LES  AUSPICi:»  DU  UIIVISTLItli  DB  I.'lNSTnUCTION   PUOLIQUK. 

BULLETIN 

SCIENCES   MATHÉMATIQUES, 

RÉDIGE  PAR   MM.  G.  DARBOUX,  É.   PICARD   ET  J.  TANNERV, 


Sons  la  direction  do  la  Commiasion  des  Hantes  £tndes. 

rtlU.ICATID!l  fttMtit  a  1870  Hi  iH.  C.  DtMDtIX  KT  ).  IISVËI. 

COMTISCKE   DE  1870  A  1886  l'*n  IIU.  O.   DitHDOUX.  J.   IIOUEr.  KT  J.  TANNEIir 

ET  DE    1886  A   igol    PAR  MM.   O.   DARBOUX  ET  J.  TAN>Enr. 


DEUXIÈME  SÉRIE. 
TOME  XXVI.  -  &KHÉE  1902. 


PREMIÈDE  PAUTIE. 


GAUTIIIER-VILLARS,   IMPRLMEOR-LIDRAIIIE 
DU   SUREAU   DES  Lo^GlTl^Es,    DE  L'Kcor.E   roLrTKciiMQtiE, 

<>„ai  de.  Gr.nJs.Auc"»!....  y,. 


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BULLETIN 


DRS 


SCIENCES  MATHÉMATIQUES. 


L-, 


PREMIERE    PARTIE. 


COMPTES  RENDUS  ET  ANALYSES. 


LORENTZ  (H.-A.)*  —  Leiirbucu  der  Differrntial-  und  Intégral  Rechnung 

VND    DER    AnPANGSGRUNDE    DER     ANALYTISCHEN    GEOMETRIE,    OberSOlZ    VOÎÏ 

D*"  ScHMiDT.  Leipzig,  J.-A.  Barth;  iqcm). 

Le  Livre,  qui  est  divisé  en  vingt-quatre  Chapitres,  peut  être 
regardé  comme  formé  de  cinq  Parties  :  i®  une  Introduction 
(p.  I-I23)  pour  un  lecteur  ne  connaissant  que  les  Mathématiques 
élémentaires;  2**  le  Calcul  différentiel  (p.  1 24-253);  3°  le  Calcul 
intégral  (p.  253-34 1);  4"  une  Partie  (p.  34 1-402)  comprenant  la 
série  de  Taylor  et  les  séries  trigonon>étriques  ;  5®  les  équations 
différentielles  (p.  4o2-473).  Je  vais,  pour  chacune  de  ces  Parties, 
indiquer  sommairement  les  questions  traitées  eu  insistant  sur  ce 
qui  peut  donner  une  idée  de  la  méthode  de  Vauteur,  ainsi  que  de 
la  très  grande  variété  et  de  l'intérêt  des  exentples. 

1.  L'Introduction  comprend  les  définitions  et  les  propriétés 
les  plus  simples  des  fonctions  algébriques,  de  rexponentfelle,  du 
logarithme,  des  fonctions  circulaires  avec  les  formules  usuelles  de 
Trigonométrie   plane  ou  sphérique,    puis  des  notions  de  Géo- 

70/  ^7 


6  PIIEMIÈKE  PARTIE. 

mélrle  analytique  se  rapportant  surtout  à  la  représentation  géo- 
métrique d'une  fonction  de  une  ou  de  deux  variables. 

En  examinant  en  détail  la  façon  dont  M.  Lorentz  introduit  la 
fonction  exponentielle  (p.  i5),  on  verra  déjà  avec'quel  soin  et 
quelle  habileté  les  notions  analytiques  sont  préparées  par  l'étude 
de  cas  particuliers,  puis  comment  l'idée  générale  se  dégage. 

Deux  exemples  empruntés,  l'un  à  la  théorie  des  intérêts  com- 
posés, l'autre  à  la  théorie  de  l'absorption,  font  comprendre  qu'on 
est  conduit  à  une  exponentielle  quand  on  peut  faire  l'hypothèse 
suivante  :  pour  un  accroissement  très  petit  donné  à  la  variable  x, 
l'accroissement  de  la  fonction  est  proportionnel  à  Taccroissement 
de  In  variable  et  à  la  valeur  que  possédait  la  fonction  avant  cet 
accroissement.  (On  écrira  plus  tard  cette  hypothèse 

dy  =  a  Y  dx, 
a  désignant  une  constante.) 

2.  Le  premier  Chapitre  se  rapportant  au  Calcul  différentiel  a 
pour  titre  :  «  Concepts  fondamentaux  {Grundbegriffe)  du  Calcul 
différentiel  ».  Il  commence  par  des  exemples.  En  laissant  de  côté 
ceux  qui  sont  empruntés  à  la  Géométrie  et  qui  sont  classiques, 
ces  exemples  sont  :  vitesse  dans  le  mouvement  varié,  vitesse  de 
refroidissement  d'un  corps  plongé  dans  un  milieu  plus  froid,  chute 
de  pression  dans  un  tube  traversé  par  un  fluide....  Comme 
application  de  la  théorie  des  maxima  et  des  minima,  on  cherche 
le  minimum  de  la  déviation  dans  un  prisme.  La  définition  des 
dérivées  du  second  ordre  est  suivie  immédiatement  de  la  déler- 
mination  du  rayon  de  courbure  d'une  courbe  plane,  des  compo- 
santes de  Taccélération  d'un  point  matériel  qui  décrit  une  courbe. 

A  propos  des  dérivées  partielles  d'une  fonction  de  deux  va- 
riables X  et  j^,  l'auteur  insiste  sur  l'expression  de  Taccroissement 
que  prend  la  fonction  pour  un  déplacement  infiniment  petit  du 
point  {3C,y)  dans  une  direction  donnée;  le  résultat  est  obtenu  au 
moyen  d\ine  représentation  géométrique,  puis  il  est  étendu  au  cas 
d'une  fonction  d'un  nombre  quelconque  de  variables.  Comme 
exemples,  on  considère  le  volume  d'une  masse  de  gaz  cx|)rimé  en 
fonction  de  la  température  et  de  la  pression,  les  composantes  de 


COMPTES  IIENDUS  ET  ANALYSES.  7 

la  vitesse  d'une  molécule  d'un  fluide  en  mouvement,  raclion  d'un 
aimant  infiniment  petit  sur  une  masse  magnétique,  les  surfaces 
équipotentielles.  •  • .  Comme  application  des  dérivées  partielles 
d'ordre  supérieur,  on  trouve  l'expression  du  rayon  de  courbure 
d\ine  section  normale  d'une  surface,  la  détermination  desmaxima 
et  des  minima  des  fonctions  de  plusieurs  variables*,  avec  une  indi- 
cation sur  la  méthode  des  moindres  carrés,  enfin  le  calcul  des 
dérivées  des  fonctions  implicites. 

3.  Le  premier  Chapitre  se  rapportant  au  Calcul  intégral  a  pour 
titre  :  «  Concepts  fondamentaux  et  formules  fondamentales  du 
Calcul  intégral  ».  Le  concept  d'intégrale  définie  est  introduit  au 
moyen  de  deux  exemples  :  on  admet  dans  l'un  la  notion  de  l'aire, 
dans  l'autre  l'existence  d'un  mouvement  correspondant  à  une  loi 
donnée  de  la  vitesse. 

Les  exemples  nombreux  qui  suivent  donnent  une  idée  de  la 
variété  des  questions  dont  la  solution  est  obtenue  au  moyen  d'une 
intégrale  définie;  je  citerai  seulement  l'intégrale 


/ 


C    dty 
l. 


qui  mesure  la  quantité  de  chaleur  fournie  à  l'unité  de  masse  d'un 
corps  pour  élever  sa  température  de  t^  à  ^2  quand  la  chaleur  spé- 
cifique c  varie  avec  la  température,  puis  l'intégrale 


a  j     t*  dt, 


qui  donne  la  quantité  de  chaleur  fournie  dans  l'intervalle  de 
temps  /a — t^  par  un  fil  que  traverse  un  courant  d'intensité  va- 
riable I. 

Les  procédés  d'intégration  sont  indiqués,  puis  appliqués  à  un 
grand  nombre  de  fonctions  simples. 

La  notion  d'intégrale  curviligne  est  éclaircie  tout  de  suite  en 
considérant  le  travail  accompli  par  une  force  agissant  sur  un  point 
matériel  qui  décrit  une  courbe.  La  définition  du  cas  où  l'intégrale 
curviligne  dépend  seulement  de  l'état  initial  et  de  l'étal  final  se 
comprend  mieux  quand  on  a  évalué  d'une  part  la  quantité  de  cha- 


8  PREMIÈRE  PARTIE. 

leur  fournie  à  un  corps  pour  le  faire  passer  de  Télal  (i^,  /)  à  Tétat 
(i^H-rfr,  t  +  dt)^  quantité  dont  l'expression  n'est  pas  une  diffé- 
rentielle exacte,  et  d'autre  part  le  quotient  de  cette  quantité  par  la 
température  absolue,  quotient  qui,  lui,  est  une  différentielle 
exacte. 

Pour  les  intégrales  doubles  ou  triples,  les  exemples  sont  em- 
pruntés à. la  Géométrie  et  à  la  Mécanique,  en  particulier  à  la 
théorie  du  potentiel  newtonien.  L'importance  des  transformations 
d'intégrales  de  volume  en  intégrales  de  surface  est  indiquée  à 
propos  de  l'extension  aux  intégrales  de  volume  du  procédé  d'inté- 
gration par  parties. 

4.  Pour  arriver  à  la  série  de  Taylor,  M.  Lorenlz  s'appuie  sur 
les  propriétés  des  intégrales  doubles.  La  méthode  suivie,  très 
simple  si  l'on  se  contente  pour  le  reste  de  la  forme  de  Lagrange, 
perd  beaucoup  de  cette  simplicité  si  Ton  veut  ensuite  passer  à  la 
forme  de  Cauchy. 

Après  la  série  de  ïaylor,  des  procédés  auxiliaires  d'intégration 
sont  expliqués  sur  de  nombreux  cas  particuliers,  puis  viennent 
l'intégration  des  séries  et  le  calcul  approché  des  intégrales  dé- 
finies. 

Un  Chapitre  est  consacré  aux  séries  de  Fourier.  Pour  le  déve- 
loppement d'une  fonction  en  série  trigonométrique,  l'auteur  ne 
se  contente  pas  de  donner  l'expression  des  coefficients  sous  forme 
d'intégrales  définies  et  d'énoncer  les  conditions  de  convergence. 
Il  ajoute  une  suite  d'explications  dont  chacune  se  comprend  bien 
et  éclaire  une  partie  de  la  question,  mais  l'ensemble  de  ces  expli- 
cations ne  donne  pas  une  démonstration  rigoureuse;  c'est,  du 
reste,  ce  que  l'auteur  a  pris  soin  de  faire  remarquer.  Le  Chapitre 
se  termine  par  la  formule  de  Fourier 

F(ar)=i    f    dl    f       F(0  cosX(J  —  ar)  rfj. 

O.  Pour  commencer  l'étude  des  équations  différentielles,  on 
explique  comment,  une  équation  différentielle  du  premier  ordre 
étant  donnée  ainsi  que  la  valeur  de  la  fonction  pour  la  valeur  ini- 
tiale de  la  variable,  on  peut,  pour  une  suite  d'accroissements  très 


COMPTES  RENDUS  ET  ANALYSES.  9 

petits  donnés  à  la  variable,  calculer  des  valeurs  très  approchées 
des  accroissements  de  la  fonction,  et  l'on  reprend  celte  explica- 
tion dans  le  cas  où,  Téquation  difTérentielle  étant  d'ordre  /i,  on 
donne  les  valeurs  initiales  de  la  fonction  et  de  ses  n  —  i  premières 
dérivées.  [On  sait  que  ces  remarques  presque  évidentes  peuvent 
conduire  à  une  démonstration  rigoureuse  (^)].  L'équation  linéaire 
du  premier  ordre  et  les  équations  linéaires  à  coefficients  constants 
sont  traitées  avec  détails.  On  remarquera  que  les  quantités  com- 
plexes sont  introduites  seulement  au  moment  où  elles  vont  servir 
pour  Tintégration  des  équations  linéaires  à  coefficients  constants. 

A  propos  des  systèmes  d'équations  différentielles,  on  donne 
l'exemple  de  deux  vases  contenant  des  gaz  à  des  pressions  diffé- 
rentes et  réunis  par  un  tube  capillaire,  puis  les  équations  géné- 
rales de  la  Dynamique  et  les  intégrales  premières  que  peuvent 
donner  le  principe  des  aires  et  le  principe  des  forces  vives. 

Les  équations  aux  dérivées  partielles  sont  introduites  à  l'aide 
de  deux  exemples  i^  Mouvement  de  l'air  dans  un  tuyau  cylin- 
drique, puis  variation  avec  le  temps  de  la  concentration  d'une 
dissolution  saline  placée  dans  un  vase  cylindrique  et  telle  que  la 
concentration  est  plus  grande  au  fond  du  vase  qu'à  la  surface 
libre.  En  terminant,  on  indique  que  la  difficulté  dans  l'intégra- 
tion des  équations  aux  dérivées  partielles  est  de  trouver  les  inté- 
grales qui  satisfont  à  des  conditions  initiales  données,  et  que, 
dans  ces  questions,  les  séries  trigonométriques,  ainsi  que  la  for- 
mule de  Fourier,  sont  d'une  grande  utilité. 


Cet  exposé  sommaire  ne  donnerait  qu'une  idée  bien  imparfaite 
de  la  façon  dont  l'auteur  conçoit  la  préparation  à  l'élude  des 
Sciences  physiques;  mais  j'ai  pu  obtenir,  sur  le  Livre  de  M.  Lo- 
renlz  qui  vient  d'être  analysé,  l'appréciation  d'un  physicien  émi- 
nent. 

M.  Blondiot  a  bien  voulu  me  communiquer  ce  qui  suit  : 

«  Dans  les  Eléments  de  Calcul  infinitésimal  que  M.  Lorenlz  a 
(')  Voir  par  exemple  Picard,  Traité  d'Analyse,  r*  édition,  l.  II.  p.  291. 


lo  PUËMIËIIE   PAIITIË. 

écrits  pour  Tusage  des  jeunes  gens  qui  se  destinent  aux  Sciences 
physiques,  on  reconnaît  la  main  d'un  maître.  Les  matières  traitées 
ont  été  choisies  avec  une  expérience  consommée  pour  répondre 
aux  besoins  de  cette  catégorie  de  lecteurs;  la  lucidité  de  Texpo- 
sition  est  complète  et  la  lecture  de  TOuvrage  constamment 
aisée  et  attrayante.  Cet  attrait  est  dû  principalement  à  une 
profusion  d'exemples  habilement  choisis,  j'allais  dire  d'épisodes, 
montrant  l'utilité  de  chaque  théorie;  prises  le  plus  souvent  dans 
les  Sciences  physiques,  ces  applications,  plus  tangibles  encore 
que  celles  que  l'on  rencontre  dans  la  Géométrie  pure,  non  seule- 
ment soutiennent  l'intérêt  et  stimulent  la  curiosité,  mais  de  plus 
offrent  toutes  faites  à  Télève  les  représentations  mentales  néces- 
saires pour  comprendre  les  propositions  mathématiques  qu'il  a 
quelquefois  peine  à  trouver  de  lui-même.  Tout  cela  constitue  un 
véritable  entraînement  physico-mathématique.  Quelle  satisfaction 
encore  pour  l'étudiant  quand,  plus  tard,  abordant  la  Mécanique 
et  la  Physique,  il  y  retrouvera  mainte  théorie  déjà  entrevue,  celle 
du  potentiel,  par  exemple! 

»  Si  Ton  se  plaçait  au  point  de  vue  exclusif  de  la  rigueur,  on 
dirait  sans  doule  que  dans  ce  Livre  on  a  fait  trop  large  part  à 
l'intuition^  que  parfois,  au  lieu  d'une  démonstration,  on  s'est 
contenté  d'un  aperçu,  que  l'on  a  par  trop  mis  en  pratique  le 
conseil  de  d'Alembert  à  ce  jeune  homme  qui  se  méfiait  des  infini- 
ment petits  :  «  Allez  et  la  foi  vous  viendra...»;  mais  ces  cri- 
tiques, qui  seraient  fondées  s'il  s'agissait  de  former  d'emblée  des 
mathématiciens  accomplis,  se  tournent  en  éloges  lorsqu'il  s'agit 
d'un  Ouvrage  d'initiation.  L'intuition  a  joué  un  rôle  capital  dans 
l'invention  et  dans  le  progrès  du  Calcul  infinitésimal,  et  ce  n'est 
que  bien  récemment  que  la  rigueur  définitive  a  été  atteinte,  on 
sait  au  prix  de  quels  efforts....  La  gradation  que  l'humanitc  a 
suivie  pour  édifier  la  Science,  l'homme  qui  veut  étudier  la  Science 
doit  la  suivre  aussi.  Les  premiers  degrés  sont  souvent  les  plus  dif- 
ficiles à  franchir;  aussi  est-ce  un  grand  service  que  M.  H. -A.  Lo- 
renlz  a  rendu  à  la  jeunesse  que  d'écrire  un  Livre  qui,  en  dirigeant 
ses  efforts,  lui  épargnera  bien  du  travail;  on  doit  reconnaissance 
à  Téminent  savant  qui  n'a  pas  dédaigné  d'écrire  un  Livre  élé- 
mentaire.  »  E.  Lacouu. 


COMPTES  RENDUS  ET  ANALYSES.  n 


BASSET  (A.-D.)-  —  An  elementary  treatise  on  clbic  and  quartic  curves. 
I  vol.  in-8'*;  xvii-255  pages.  Cambridge,  Deighlon  Bell;  1901. 

L'auleur  a  réuni  dans  ce  Volume  un  assez  grand  nombre  de 
propriétés  intéressantes  de  courbes  particulières  du  troisième  et 
du  quatrième  degré;  cette  réunion  n'est  pas  sans  intérêt  ni  pour 
les  étudiants  ni  pour  les  maîtres  :  il  y  a  là  beaucoup  de  propo- 
sitions susceptibles  de  démonstrations  simples  soit  géométriques, 
soit  analytiques,  dont  Tétude  est  propre  à  aiguiser  l'esprit  et  à 
satisfaire  le  goût  de  ceux  qui  aiment  Télégance.  M.  Basset  a  en 
outre  exposé  rapidement  les  théories  générales  nécessaires  pour 
Tétude  des  singularités  des  courbes  du  troisième  et  du  quatrième 
degré;  il  établit  en  particulier  les  formules  de  Pliicker.  Son  Livre 
se  termine  par  un  Chapitre  destiné  à  montrer  le  parti  qu'on  peut 
tirer  de  la  perspective  pour  l'étude  des  cubiques  ou  des  quar- 
liques.  Ce  que  Ton  vient  de  dire  suffira,  je  l'espère,  pour  indi- 
quer la  nature  des  services  qu'il  ne  manquera  pas  de  rendre. 


MULLER  (F.).  —  Vocabulaire  matiiésjatiqie  français-allemand  et  alle- 
11 1ND-FRANÇVI8,  contenant  les  termes  techniques  employés  dans  les  mathé- 
matiques pures  et  appliquées.  Zwcite  Ilalfto.  1  vol.  gr.  in-8;  p.  ix-xiv; 
1 33-3 14.  Leipzig,  Teubner;  1901. 

Le  Bullelin  a  déjà  parlé  du  vocabulaire  de  M.  F.  Mullcr  et  des 
services  qu'il  ne  manquera  pas  de  rendre.  La  seconde  Partie,  qui 
vient  de  paraître,  sera  particulièrement  bien  venue  dans  notre 
pays;  n'eût-elle  été  qu'un  simple  dictionnaire  de  mots  techniques, 
elle  aurait  sûrement  été  bien  accueillie;  mais  la  valeur  du  livre  est 
augmentée  singulièrement  par  les  renseignements  bibliographiques 
qu'il  contient;  M.  Muller  a  eu  en  effet  Texcellente  idée  d'indiquer 
les  auteurs  qui  ont  employé  les  mots  dans  les  acceptions  particu- 
lières qu'il  signale;  souvent  même,  quand  il  s'agit  d'une  acception 
importante,  la  daie  est  donnée.  Ces  précieuses  indications  sont 


12  PREMIÈRE  PARTIE. 

très  brèves,  saos  doute,  mais  on  ne  peut  s'arrêter  à  regrelter  cette 
brièveté  sans  penser  que,  autrement,  le  travail  de  M.  Millier  n'au- 
rait pas  eu  de  fin.  La  même  raison  empêche  de  regretter  l'absence 
de  toute  explication  ;  l'auleur  s'est  borné  à  mettre  le  mot  français 
à  la  suite  du  mot  allemand  ;  mais  pouvait-on  lui  demander,  quand 
il  écrivait  un  dictionnaire,  d'écrire  une  encyclopédie?  Lui  repro- 
chera-t-on  l'universalité  de  la  langue  mathématique,  et  viendra- 
t-on  dire,  pour  citer  quelques  lignes  prises  au  hasard,  qu*il  ne 
valait  pas  la  peine  d'expliquer  que  Axoid  veut  dire  axoïde  ;  axoi- 
disch,  axoïdal;  Axonometrie,  axonométrie;  Azimut,  azimut; 
azimutat,  azimutal  et  azygelisch,  azygétique?  Mais  s'il  avait 
supprimé  les  mots  communs  (ou  presque  communs)  aux  deux 
langues,  cette  fois  encore,  où  se  serait  arrêté  l'auteur?  En  outre 
cette  seconde  Partie  doit  servir  aux  mathématiciens  allemands 
comme  aux  mathématiciens  français,  et  les  premiers,  s'ils  veulent 
écrire  en  français,  ont  besoin  d'être  fixés  sur  la  forme  française 
exacte,  d'autant  que,  si  bien  qu'on  ait  appris  une  langue,  ce  n'est 
pas  d'ordinaire  avec  le  vocabulaire  mathématique  que  l'on  s'est 
familiarisé  en  étudiant  cette  langue.  Et  puis,  ce  qui  importe 
quand  on  feuillette  un  dictionnaire,  ce  n'est  pas  de  n'y  point 
trouver  les  mots  que  l'on  connaît,  mais  bien  d*y  trouver  ceux  dont 
on  ne  connaît  pas  le  sens.  Il  y  a  au  moins  une  catégorie  de  mois 
que  le  lecteur  français,  si  j'en  crois  ma  propre  expérience,  sera 
bien  aise  d'être  assuré  de  trouver  dans  un  dictionnaire  :  ce  sont 
les  mots  qui  se  rapportent  aux  Mathématiques  appliquées. 


WEBER  (H.)-  —  Die  partiellen  Differential-Gleichungen  der  matiiema- 

TISCHEN  PlIYSlK.  NaCU   RiEMANX'S   VoRLESUNGEN   IN  VIERTER   AlFLAGE,    nCU 

bearbeitet   von   Heinrich    Weber.    Zweiter  Band.  in-8";  xi-5?7  pages. 
Braunschweig,  Vieweg  u.  Sohn;  1901. 

Nous  avons  eu  l'occasion,  à  propos  du  premier  Volume,  de  dire 
la  haute  valeur  de  cette  publication,  tant  pour  les  mathématiciens 
que  pour  les  physiciens.  Les  problèmes  traites  dans  ce   second 


COxMPTES   RENDUS  ET   ANALYSES.  i3 

Volume  ne  sont  pas  moins  intéressants  que  ceux  qui  remplissaient 
le  premier.  C'est  tout  d'abord  l'étude  de  Tëquation  diflerentielle 
du  second  ordre  que  vérifie  la  série  hypergéométrique,  puis  quel- 
ques indications  substantielles  sur  la  façon  dont  se  comportent 
les  solutions  d'une  équation  diflerentielle  de  la  forme 

lorsque  p  ne  change  pas  de  signe.  C'est  la  seule  partie  du  Livre 
qui  concerne  les  Mathématiques  pures  :  il  est  vrai  qu'elle  trouvera 
de  nombreuses  applications  dans  les  théories  physiques  et  que  les 
parties  suivantes  sont  riches  en  beaux  problèmes  mathématiques  : 
en  efl'et,  elles  se  rapportent  successivement  à  la  conduction  de  la 
chaleur,  à  l'élasticité,  aux  oscillations  électriques,  enfin  à  l'Hydro- 
dynamique. 


CESARO  (E.).  —  VoRLESuNGEN  iJBER  NATÎJRLicHE  Geosietrie.  Autorislorte 
deutsche  Aufgabe  von  G.  KowalewskL  i  vol.  in-8°;  vi-34i  pages.  Leipzig, 
Teubner;  1901. 

Les  Lezioni  di  Gèometria  intrinseca  de  M.  E.  Cesàro,  outre 
qu'elles  présentent  le  développement  systématique  de  méthodes 
importantes  qui  s'appliquent  depuis  les  courbes  planes  jusqu'aux 
équations  de  l'élasticité  dans  l'hyperespace,  en  passant  par  la 
déformation  des  surfaces,  sont  remplies  d'exemples  intéressants, 
bien  dignes  d'être  cités  par  les  maîtres  et  étudiés  par  les  élèves  : 
le  succès  qu'elles  ont  eu  est  fort  naturel  et  nous  sommes  heureux 
d'en  annoncer  la  traduction  allemande,  due  à  M.  G.  Kowalewski. 
Cette  traduction  a  d'ailleurs  donné  à  l'auteur  l'occasion  de  reviser 
le  texte  et  d'y  introduire  de  nombreuses  améliorations  ou  addi- 
tions. 


lî  PIIEMIËRË  PARTIR. 


BOURLET  (C.)-  —  Cours  de  Mathématiques  a  l  usage  des  élèves  archi- 
TECTE3  et  ingénieurs,  PROFESSÉ  A  l'Ëcole  DES  Beaux-ârts.  I  vol.  in-8"; 
111-244  pages.  Paris,  Naud;  1902. 

Une  des  qualités  les  plus  essentielles  du  professeur  est  de  savoir 
s'adapter  à  son  milieu.  Le  savant  cherche  la  meilleure  exposition, 
en  soi,  le  maître  cherche  le  mode  d'exposition  dont  ses  élèves 
tireront  le  meilleur  parti;  il  lui  faut  donc  connaître  ses  élèves, 
leur  état  d'esprit,  et  le  but  qu'ils  veulent  atteindre.  M.  Bourlet 
possède  assurément  cette  qualité  essentielle  :  habitué  à  développer 
ailleurs  les  théories  sous  leur  forme  la  plus  générale,  à  en  pousser 
l'exposition  jusqu'aux  détails  les  plus  minutieux,  à  aiguiser  chez 
ses  élèves  la  subtilité  d'esprit,  le  goût  du  fini  et  le  sens  de  l'élé- 
gance, il  a  su,  pour  ses  auditeurs  de  l'Ecole  des  Beaux-Arls,  se 
dépouiller  de  ses  habitudes,  abandonner  franchement  toute  subti- 
lité, laisser  de  côté  tout  ce  qui  n'était  pas  utile,  faire  continuel- 
lement appel  à  cette  intuition  qui  suffit  largement  à  ceux  qui 
veulent  appliquer  les  Mathématiques  à  des  objets  concrets,  qui  ne 
prétendent  ni  scruter  leurs  principes,  ni  contribuer  plus  tard  à 
leur  avancement;  par  de  nombreux  exemples  choisis  dans  les  arts 
mêmes  qu'ils  auront  à  exercer,  il  a  su  enfin  montrer  à  ses  élèves 
le  parti  qu'ils  pourraient  tirer  un  jour  de  l'enseignement  qu'ils 
recevaient.  A  vrai  dire,  je  crois  bien  que  toutes  les  matières  que 
M.  Bourlet  a  réunies  dans  ce  Cours  de  Mathématiques  (notion  de 
fonction,  dérivées,  représentation  graphique  des  fonctions,  usage 
de  quelques  abaques,  quadratures  simples)  devraient  pénétrer 
dans  l'enseignement  élémentaire,  si  Ton  voulait  ne  pas  se  préoc- 
cuper seulement  d'orner  les  esprits,  mais  bien  armer  les  jeunes 
gens  pour  les  luttes  du  travail.  Et  il  ne  me  paraît  certain  ni  que 
le  goût  de  la  Science  pure  et  le  sens  de  sa  beauté  s'éteindraient 
parce  qu'il  y  aurait  plus  de  gens  à  savoir  que  celte  Science  sert  a 
quelque  chose,  et  comment  elle  sert,  ni  que  la  vanité  reconnue 
des  ornements  dont  on  prétend  affubler  leur  esprit  exalte  chez 
nos  enfants  l'ardeur  à  l'étude. 


COMPTES  RENDUS  ET  ANALYSES.  ii 


ŒTTINGEN    (A.    von).    —     ElEMENTE     DER     CEOMETRISCn-PERSPEKTIVISCnEX 

Zeichxens.    Mit   209  Textfiguren.    i    vol.  in- 8°;   vu- 177  pages.   Leipzig, 
Ëngclmann. 

La  perspective  ne  doit  pas  être  négligée  dans  l'enseignement 
élémentaire;  outre  son  utilité  technique,  la  simplicité  et  la  fécon- 
dité de  ses  méthodes  sont  faites  pour  donner  le  goût  de  la  Science, 
et  elle  donne  l'occasion  d'initier  les  élèves  à  la  Géométrie  synthé- 
tique. On  conçoit  fort  Lien  un  programme  élémentaire  où  les 
propriétés  fondamentales  de  la  perspective  et  de  l'homographie  se 
mêlent  à  l'exposition  de  quelques  règles  indispensables  au  dessi- 
nateur. 

C'est  ce  programme  qu'a  réalisé  M.  OEltingen  dans  le  Livre 
que  nous  annonçons  et  qui  est  divisé  en  trois  Parties  :  perspec- 
tive de  position  {Perspektive  der  Lage)^  perspective  métrique 
i^Massperspektive)^  applications  à  la  génération  de  quelques 
figures  projectives  dans  l'espace. 

Les  titres  de  ces  trois  Parties  en  disent  suffisamment  l'objet.  Il 
ne  faudrait  pas  d'ailleurs  prendre  les  mots  dans  un  sens  étroit  : 
ainsi,  dans  la  première  Partie,  les  propriétés  métriques  ne  sont 
nullement  exclues;  elles  jouent  au  contraire  un  rôle  essentiel,  et 
c'est  sur  leur  considération  que  sont  fondées  en  particulier  bon 
nombre  de  définitions  et  de  démonstrations  concernant  la  théorie 
de  l'homographie  :  le  titre  reste  vrai  comme  indication  générale, 
et  c'est  dans  cette  première  Partie  que  sont  traités  les  problèmes 
classiques  qui  concernent  la  position  relative  des  points,  droites 
ou  plans  que  l'on  considère,  tandis  que  les  problèmes  qui  con- 
cernent les  longueurs  et  les  angles  sont  traités  dans  la  seconde 
Partie.  Quant  à  la  troisième,  elle  est  consacrée  principalement  à 
l'élude  de  l'hyperboloïde  à  une  nappe  et  du  paraboloïde  hyperbo- 
lique, considérés  comme  le  lieu  d'une  droite  variable  qui  joint 
deux  points  qui  se  correspondent  homographiquement  sur  deux 
droites  fixes  de  l'espace.  L'Ouvrage  se  termine  par  quelques  pages 
où  sont  développées  plusieurs  propriétés  importantes  des  coniques 
ou  des  cercles. 


i(>  PREMIÈRE  PARTIE. 


SICÂRD  (H.).  —  Traitk  de  Cinématique  théorique,  avec  des  Notes  par 
A.  Labrousse.  i  vol.  in-8°;  viii-179  pages.  Gauthier-Villars;  190'ji. 

L'auteur  a  développé  d'une  façon  simple  et  claire  les  proposi- 
tions fondamentales  de  cinématique  que  suppose  l'étude  de  la 
Mécanique  rationnelle.  L'exposition  est  ù  la  fois  géométrique  et 
analytique  :  si  cette  façon  de  procéder  ne  satisfait  pas  les  esprits 
systématiques  qui  veulent  qu'on  voie  tout  du  même  point  de  vue, 
(|uitte  û  se  fatiguer  les  yeux:,  il  semble  bien  qu'elle  soit  la  plus 
pratique  pour  l'enseignement. 

L'auteur  développe  d'abord  les  propriétés  des  vecteurs  indis- 
pensables ù  la  Cinématique  comme  à  la  Statique;  il  traite  ensuite 
successivement  du  mouvement  d'un  point  et  du  mouvement  d'un 
corps  solide  :  celte  étude  est  d'abord  faite  au  point  de  vue  géomé- 
trique pour  les  vitesses,  puis  au  point  de  vue  analytique  pour  les 
vitesses  et  les  accélérations;  il  eût  été  facile  à  M.  Sicard  d'ajouter 
quelques  lignes  pour  montrer  comment  s'obtiennent  géométrique- 
ment les  règles  qui  concernent  les  accélérations.  Le  théorème  de 
Coriolis  est  démontré  géométriquement  et  analytiqucment.  Enfin 
le  dernier  Chapitre  concerne  la  composition  des  mouvements  d'un 
solide. 

M.  Labrousse  a  ajouté  quelques  Notes  intéressantes  sur  les  for- 
mules d'Olinde  Rodrigues  et  leur  application  à  Tétude  détaillée 
d'un  mouvement  dans  lequel  tous  les  points  du  corps  solide 
mobile  décrivent  des  surfaces  de  Steiner,  sur  le  déplacement 
considéré  comme  homographie,  sur  le  théorème  de  Schonemann 
et  Mannheim  et  l'application  de  ce  théorème  au  mouvement  d'une 
droite  dont  trois  points  décrivent  des  sphères  dont  les  centres 
sont  en  ligne  droite,  enfin  sur  le  quadrilatère  articulé  et  les  inver- 
seurs. 


I.IUHAIKI&  GAUTlIKït; 


■oahobt  <a-k-i. 


■   iT&iuiIrie  el    Jle  VtiTlII 


-  Caonlrmtfft'  cun-il^r),  Sv/ur 


lABLI".  m: S  MAÏIKHKS. 


JAHVUR  1002. 
Comptai  rendui  et  AnalyiKs 


Hdtdo  des  paDMcationB  iiirtil]<^ii)nti<|iii 
B|L\u.Air  <llp  n'Uii>tiiKlaagox<>«n<IIf.U!iilkL-ninul(<lo(tMintli 


1.IBKAIHIË   GALÎTHIliH-VILI.ABS. 


flK-i,   Utmbtr  rl«  llniiilHt,  rmr*nriir  •  1  tiilrilt^ 


la  prafc«UliU  d«*  JoaHMCoU  en  mwHII 


pUTIir.OL'l'.  l»F.  I.  i:<.oI.i-.  hKS  II\l)TI->  ETUIiES. 
nvai.ftsM  -^mtcTitiR  puni.tiisi.,. 


[ENGINS  MATHEMATIQUES, 

►»)MII*r.Ml  «'I  II  CTI.  TANHEKV, 


^t  ■■  dlTSCllDD  lie  la  CDnmistioa  des  Ueales  tludei 


IHÏVX1P.ME  SEUIE. 
TOm    lltVI.   -    FtVBIED    HOJ 


l'AIIIS, 

Jirilnl.   lui. Il-     Mii'iii"!  ni-LMllUlllK 

I.    PIII.ITK' ilniueK, 


t'IlwBell  paialt  rtinim 


LTBMAIHlË   G  At   '  Fi.  If    •  f  I 

u»All>Kkon«Mi 


fBAKBOgX.  -  Surltf  pmkifnr  du  rrnff.  (.;r.uiil  l'.i-., 

■pplicattmu  dt^  faaoUo»*  nlUpUqs**  *   l><-iii<!-  drt   t 
B«UT.  i  llw.»,)  la-ti  iS»o.  .         .     ,.- 


-  TrdUlluJca  risi 


tODBAM£l. 


«OXM.  —  btnduotiM  ^  l'A>ialn«  UIu>itiii>MJ«;  ireil.  d«  U 


fPAA  BB  a&OVO  (tf  Oha»l 


frAll   DS  BKOnO  {lo  Okavklict  1 


<  lin  TbMei  ilèiia^lai  Uuinig>  ri 


FAA    DE   SRUNO   {!<    Chfr-allnr   fr::. 


-  Ttièorle   Am   Htm 


FADRC    !&.;.  -   BMiai  m 


nt^rjtr^tfrtlmf  iti^  qoaql 


CAIlMtKH.        I^poBt    de  OiOaii)  U>t«|;>" 


i;o.Mi*rKS  HKNOLs  i:t  anai,vsi-:s. 


COMPTES    HRM)l;S   ET   ANALYSES. 


DICKSON  {L.-E.).  —  I.1MÎAII  Ghoii's  with  an  exposition  hf  tue  (Ialois 
FiELD  TiiEORr.  Tomo  V[  de  la  Thi  bnrr'm  Sammum;  vu\  LiciinBi:i;iiKitN  ait 

DEU  GEBIIîTE  nK»  II\TIlE)IATI»;ltKX  WlSSKNNMIAPTKK  HIT  ËIMii;IIU:SS  llinKR 

AsiWEXDiNUEN.  1  vol.  in-8';  x-lia  pa-îcs,  Li;i]>7.i;:.  Tcubiiur;  :i)ot. 


Soit 


un  svsU'Tne  de  s  svmliolcs;  sii[i]him)m*  ijtiVi  clia({iieciiu|)lc^/r:i,  iip) 
de  CCS  symboles  on  piiissu  fiiirc  c()rros|ioiiilrc,  d'iinp  pari,  un  do 
ces  symboles  Ur  <]i<c  l'on  a|i|)rllora  leur  somme  cl  que  l'un  ôcrira 
«a-f-  iipt  d'autre  part  un  oulrc  dp  ces  svnliulos  un  ipie  l'on  appel- 
lera leur /jror/Mi/  el  (|ue  l'nii  ôeiii-a  Ha"fi;  siijiposons  <pi('  l'addi- 
tion ainsi  définie  soil  eoninmlalivf^  el  assiicialive,  que  ht  ntitllijili- 
cation  soit  commululive,  associative  et  distrihnlivc;  supposons, 
en  nuire,  ^ne  la  soustraction,  ro};Mrdéc  comme  opi-ration  inverse 
de  l'addition,  soil  toujours  possible,  en  sorte  (pi'il  devra  y  avoir 
lin  des  symboles  ii^,  »,.  .  . .,  itt  ,  (pi i  jouera  le  iiiE'me  rôle  ijne 
le  nombre  zéro  dans  l'aildition  ordinaire,  pnis<{tie  ii^ —  f/,  doit 
être  un  des  symboles  ita\  l'it  -■■•  "i  ■;  *"■'<'  ii'empi'ibcra  de 
(lésij^ner  ce  symbole-là  par  le  stf;iir  o;  sup|Kisoiis  enlin  «pie  la 
ilivisiun,  regardée  cinniuv  opéraliuii  invirse  île  la  uiultipliealion, 
soit  toujours  possible,  pourvu  <pii'  le  diviseur  ne  foil  pas  le  syiii- 

boleo,  en  sorte  cpi'ildevray  avilir  nn  des  syml>idesH,i,  ii, ii,   , 

i{iii  jiinera  le  même  rôle  que  le  nuiiibre  un  dans  la  niulii|jlii:a(]oii 
ordinaire,  puisque  -  doit  être  un  di-s  symlxdesff,,,  it^.  . . .,  «!_,; 
rien  n'empi'ehcra  de  représenter  le  symbole  par  le  si^iie  i. 

Un  tel  svsl<''nie  de  s  sMiiliobs  eiinslilue  iiti  cluiini'  i /ii-/i/'\  que 
M.  Di.-ksniî  représenle  par  V{s,.  L'eM-inple  le  plus  >impU-  e-l.  en 
supposant  lyic  p  soil  un  nombre  entier,  rcii':''nil)le  des /»  nombres 
o,  1 ,  a,  ...,/)  —  1  liirs»praiix  résultais  des  additions  et  mullipH- 
culions  (_an  sens  ordinaire  du  mcil  i  ell'eetiiées  sur  ces  ininilires  un 
siibslitne  les  restes  de  ee>*  résiillats  pris  Miivanl  le  module  /..  Kii 
un  eertain  sens,  ces/*  niuubres.  pour  une  viilriir  eouM'Oiibli' de  /'. 

/IhW.  '/.-!  .SViViirM  n„ill,.m..    ■■  >vr<r.  t.  WVI.  MVm  .,  r  ..,r.  ■  , 


i8  IMIEMIÈHE  PAiniE. 

font  nécessairement  partie  de  F(5),  pourvu  que  l'on  donne  aux 
signes  o  et  i  la  signification  que  l^on  vient  d^expliquer,  et  que  Ton 
regarde  un  des  nombres  k  pris  dans  la  suite  t.,  3,  ...,/?  —  i 
comme  celui  des  symboles  de  V{s)  qui  est  la  somme  de  k  sym- 
boles égaux  au  symbole  (i).  Un  autre  exemple  est  fourni  par  les 
imaginaires  de  Galois. 

Si  P(^)  est  un  polynôme  en  x  de  degré  /i,  irréductible  suivant 
le  module  premier  />,  c'est-à-dire  tel  que  Ton  n'ait  pas,  en  dési- 
gnant par  g{x)^  A(^)j  ^(^)  ^cs  polynômes  entiers  en  x^  à  coefG- 
cienls  entiers 

V{x)  =  g{x)h{x)-^pk(x), 

l'ensemble  des  s  =  p"  polynômes  de  la  forme 

OÙ  ao,  cii,  '  *  "f  cin-\  sont  des  entiers  pris  parmi  les  nombres  o,  i , 
2,  *..,/?  —  I ,  constitue  un  champ  ¥{s)  au  sens  précédent,  pourvu 
que  Ton  remplace  dans  la  somme  ou  dans  le  produit  de  deux  tels 
polynômes,  effectués  suivant  les  règles  ordinaires  de  Talgèbre,  le 
résultat  ^{x)  par  un  polynôme  f  (j?),  qui  soit  congru  à  ^{x)  sui- 
vant le  système  de  modules  />,  ^{x)  c'est-à-dire  tel  que  la  diffé- 
rence ^{x)  —  y(^)  soit  de  la  forme 

pg{x)-^  P{x)h{x\ 

g{x)  et  h{x)  étant  des  polynômes  entiers,  et  cela  de  manière  que 
le  degré  de  <f{x)  soit  moindre  que  ti  et  que  les  coefficients  de 
çp(a:)  soient  pris  parmi  les  nombres  o,  1,2,  ...,/?  —  i . 

On  doit  à  M.  Moore  (*)  d'avoir  montré  que  ce  second  exemple, 
qui  embrasse  évidemment  le  premier,  épuise  tous  les  cas  possibles, 
c'est-à-dire  que,  si  l'on  se  donne  un  champ  quelconque  F(5), 
défini  comme  plus  haut,  s  est  de  la  forme/?",  en  désignant  par  p 
un  nombre  premier  et  par  n  un  nombre  entier  positif  et  qu'on 
peut  lui  faire  correspondre  un  champ  GF(/?"),  dit  champ  de 
Galois,  constitué  comme  on  vient  de  l'expliquer.  C'est  le  pre- 
mier soin  de  M.  Dickson  que  d'établir  ce  théorème,  de  montrer 
par  là  même  qu'un  tel  champ  ne  dépend  pas,  au  fond,  du  poly- 


(')  DuU.  amer.  math.  Soc  i8«j3. 


COMPTIiS  UKNDUS   M  \    ANALYSES.  mj 

Dome  P(j?),  irréductible  (mod/>),  qui  peut  servir  à  le  constituer, 
puis  d'établir  l'existence  d'un  champ  GF(p")  pour  tout  nombre 
premier  p  et  tout  entier  positif  n.  Il  établit  ensuite  la  théorie  du 
champ  de  Galois,  théorie  où  interviennent  et  se  généralisent 
diverses  propositions  de  la  théorie  des  nombres,  ainsi  que  Galois 
l'avait  déjà  reconnu.  Cette  étude  constitue  la  première  Partie  de 
son  Livre  (p.  1-71). 

La  seconde  Partie  est  intitulée  :  Théorie  des  groupes  linéaires 
dans  un  champ  de  Galois;  je  me  bornerai,  comme  pour  la  pre- 
mière, à  en  expliquer  l'objet. 

Si  l'on  considère  m  variables 

SI»      Çti      •  •  •  1     s'w» 

et  les  substitutions  linéaires 

(A)  Ç'^=2«/yîy         (/  =  !,  2,  ...,  m), 

dans  lesquelles  les  coefficients  a/y  sont  des  éléments  d'un  champ 
de  Galois  GF()e>"),  tels  que  le  déterminant 

l«/y| 

ne  soit  pas  nul,  il  est  clair  que  les  substitutions  relativement  à 
Topération  de  composition  constitueront  un  groupe  fini;  c'est  le 
groupe  linéaire  général  dans  le  champ  de  Galois  GV(p");  ce 
groupe  peut  aussi  être  regardé  comme  un  groupe  de  permutations, 
si  Ton  regarde  les  variables  Ç,,  Ç^f  -  -  '•>  im  comme  devant  être 
pris  parmi  les  éléments  du  champ  GF(p")  et  comme  étant  les 
indices  des  />'""  lettres 

obtenues  en  remplaçant  les  ^  par  toutes  les  valeurs  possibles.  Car 
il  est  évident  que  l'effet  de  la  substitution  (A)  revient  à  remplacer 
les  p"'^  lettres 

h    p.       f 

•9t •  ■»»i  ••••  \m 

par  les  p""*  lettres 

L'intérêt  qui  s'attache  à  l'étude  de  ce  groupe  linéaire  apparaît 


Ao  PlUiMIÈllE   PAUTIE. 

immédialement.  Celle  étude  est  développée  dans  une  suite  de 
quinze  Chapitres  (p.  75-3 lo)  relatifs  à  la  théorie  générale,  au 
groupe  linéaire  abélien  et  à  sa  généralisation,  au  groupe  hyper- 
abélien,  au  groupe  hyperorthogonal,  au  groupe  linéaire  qui  laisse 
invariante  une  forme  quadratique  dont  les  coefficients  appar- 
tiennent au  groupe  de  Galois,  etc.  Signalons  l'application  de  la 
théorie  au  groupe  de  Téquation  des  vingt  sept  droites  sur  la  sur- 
face générale  du  troisième  ordre,  et  les  renseignements  sur  les 
systèmes  connus  de  groupes  simples  rassemblés  à  la  fîn  du  Volume. 
M.  Dickson,  par  sa  connaissance  approfondie  du  sujet,  par  les 
nombreuses  et  importantes  contributions  quMI  y  a  apportées, 
était  désigné  pour  écrire  ce  Livre.  11  Ta  fait  dans  un  style  très 
condensé,  grâce  auquel  il  a  pu  faire  tenir  en  trois  cents  pages  un 
très  grand  nombre  de  faits;  il  ne  paraît  cependant  avoir  rien  omis 
qui  fût  nécessaire  pour  Tintelligence  des  matières  qu^il  traite,  et  la 
lecture  de  son  Livre,  malgré  Télévation  du  sujet,  peut  être  abordée 
sans  aucune  érudition  spéciale. 


STOKES  (Sir  G.).  —  Mathematical  and  physical  Papers.  Tome  IIÏ.  i  vol. 
in-S"*;  viii-4i3  pagos.  Cambridge  University  Press;  1901. 

Le  troisième  Volume  des  Œuvres  scientifiques  de  Sir  G.  Stokes 
contient  les  Mémoires  suivants  : 

On  the  Effect  of  the  internai  friction  of  fluids  on  the 
motion  of  pendulums  (  i  - 1 4 1 )  (  Transactions  of  the  Cambridge 
philosophical  Society,  t.  IX). 

An  Examination  of  the  possible  effect  of  the  radiation  of 
heat  on  the  propagation  of  50w/irf  (i  42-1 54)  {Philosophical 
Magazine,  t.  1). 

On  the  Colours  of  thick  plates  (iSS-igô)  {Transactions  of 
the  Cambridge  philosophical  Society,  t.  IX). 

On  a  new  elliptic  Analyser  (197-202)  {Report  of  the  Bri- 
tish  A ssociation  for  1 85 1  ) . 


COMPTES  RENDUS  ET  ANALYSES.  21 

On  the  Conduction  of  heat  in  crystals  (203-227)  {Cam- 
bridge and  Dublin  mathematical  Journal,  l.  VI). 

On  the  total  Intensity  of  interfering  light  (228-232) 
{Transactions  of  the  Royal  Society  of  Edimburghy  l.  XX). 

On  the  Composition  and  Resolution  of  streams  of  pola- 
rized  light  from  différent  sources  (233-258)  {Transactions 
of  the  Cambridge  philosophical  Society,  l.  IX). 

Abstract  of  a  paper  «  On  the  Change  of  refrangibility  of 
light  »  (259-413)  (Proceedings  of  the  Royal  Society,  t.  VI). 

Ces  Mémoires  remonlent  aux  années  i85o,  i85i,  i852. 


GIBBS  (l.-W.)  et  WILSON  (E.-B.).  —  Vector  Analysis.  A  Text-Book  for 
tlieuseofstudentsofMathematicsandPhysics.  i  vol.  in-8",  \viii-436  pages. 
New-York,  Ch.  Scribner's  sons,  190 1. 

Ce  Volume  fait  partie  d'une  série,  les  Vale  Bicentennial  Pu- 
blications; les  Livres  qui  constitueront  cette  série  seront  l'œuvre 
des  professeurs  de  la  Vale  University.  L'un  des  auteurs  de  celui-ci, 
M.  L  Williard  Gibbs,  que  ses  travaux  de  Thermodynamique  ont 
rendu  justement  célèbre,  s'occupe  d'un  autre  Volume  de  la  même 
série,  4es  Elementary  Principles  in  statistical  mechanics ;  il 
fait  tous  les  ans  des  Leçons  sur  V Analyse  des  vecteurs  :  ces 
LfCçoQS  constituent  le  fond  du  présent  Livre,  mais,  conformément 
au  désir  de  M.  Gibbs,  M.  Edwin  Bidwell  Wilson  a  eu  toute  liberté 
pour  les  rédiger,  les  modifier  ou  les  compléter. 

C'est  un  Text-Book  que  les  auteurs  ont  prétendu  écrire,  et,  à 
parcourir  ce  Livre,  on  reconnaît  bien  vite  des  hommes  rompus  à 
renseignement  oral,  connaissant  à  fond  les  besoins  des  élèves, 
désireux  de  leur  éclaircir  les  choses,  de  leur  éviter  les  fautes,  de 
leur  mettre  en  main  un  instrument  dont  ils  puissent  se  servir, 
dont  ils  connaissent  l'utilité  et  la  puissance.  C'est,  lorsqu'on  écrit 
un  Livre,  une  tendance  très  naturelle  que  de  le  faire  aussi  systé- 
matique que  possible,  de  s'enfermer  dans  une  idée,  et  de  suivre, 


32  PREMIÈRE   PARTIE, 

aussi  loin  que  possible,  une  méthode  unique.  11  y  a  nombre  d'ex- 
cellents Livres  qui  sont  faits  de  cette  façon  et  qui  ont  dû  pro~ 
curer  aux  auteurs,  lorsqu'ils  ont  quitté  la  plume,  une  légitime 
satisfaction  :  ils  revoyaient  toute  leur  œuvre,  ils  se  réjouissaient 
en  pensant  qu'elle  était  bien  enchaînée,  qu'ils  ne  s'étaient  jamais 
écartés  de  leur  plan  et  qu'elle  ne  comportait  pas  de  digressions 
inutiles  :  le  sujet  avait  été  pris  à  son  commencement,  et  mené  à 
bonne  fin  sans  que  l'auteur  se  fût  jamais  écarté  de  la  ligne  droite, 
sans  que  le  lecteur  eût  été  tenté  de  regarder  à  droite  ou  à  gauche. 

Ce  n'est  pas  toujours  ces  Livres-là,  si  bien  faits  qu'ils  soient, 
qui  conviennent  aux  étudiants.  Dans  l'enseignement  oral,  on  est 
amené  très  naturellement  à  présenter  de  diverses  façons  la  dé- 
monstration d'un  même  théorème  :  on  soupçonne  que  celle-ci, 
qui,  pour  le  maître,  qui  domine  le  sujet,  est  la  plus  simple  et  la 
plus  naturelle,  n'est  pas  conforme  aux  habitudes  de  l'auditeur  : 
on  lui  en  donne  une  autre,  qu'il  comprend  mieux,  et  qui  éclaire 
la  première;  on  tient  compte  de  sa  façon  de  penser  et  Ton  cherche 
à  la  modifier  peu  à  peu  ;  on  sait  qu'il  s'occupe  d'autres  sujets  que 
celui  qu'on  traite  et  Ton  réveille  son  ardeur  en  lui  montrant  que 
les  vérités  nouvelles  qu'on  lui  enseigne  lui  serviront  ailleurs  et  lui 
permettront  d'aller  plus  loin  dans  ces  Sciences  où  il  a  déjà  pé- 
nétré et  qui,  peut-être,  l'attirent  plus,  pour  le  moment,  que  le 
Cours  où  il  assiste. 

Il  se  familiarise  peu  à  peu  avec  les  idées  et  les  notations  qu'il 
ignorait  hier  :  il  s'émerveille  de  cette  nouvelle  forme  sous  laquelle 
se  présentent  des  propositions  qu'il  connaissait  déjà;  il  les  systé- 
matise peu  à  peu  sous  cette  forme  et  en  prévoit  d'autres,  et,  s'il 
a  le  goût  de  la  logique,  s'amuse  à  rattacher  les  fils  que  son  maître 
avait  laissés  flotter. 

En  lisant  le  Livre  de  MM.  Gibbs  et  Wilson,  on  a  l'agréable 
sensation  d'assister  à  des  Leçons  admirablement  faites,  dont  les 
auditeurs  acquièrent,  presque  sans  peine,  ce  qui  leur  importe 
vraiment,  où  l'intérêt  ne  languit  pas,  où  l'on  est  presque  tenté 
de  savoir  autant  de  gré  au  maître  de  ce  qu'il  dit,  qui  est  essen- 
tiel, et  de  ce  qu'il  ne  dit  pas,  dont  on  peut  se  passer  et  qui  fati- 
guerait. 

Le  Livre  est  divisé  en  trois  Parties  bien  distinctes  :  la  première 
comprend  la  théorie  de  l'addition  et  de  la  multiplication  des  vec- 


COMPTES   IlENDUS  ET  ANALYSES.  23 

leurs;  la  seconde  concerne  le  Calcul  difTérentiel  et  intégral;  la 
troisième  contient  la  théorie  des  fonctions  linéaires  d'un  vecteur. 

Les  auteurs  ont  donné  le  plus  grand  soin  aux  notations.  Les 
vecteurs  sont  systématiquement  représentés  par  des  caractères 
gras,  majuscules  ou  non.  Les  notations  A.B,  AxB  sont  em- 
ployées, la  première  pour  le  produit  droit  (produit  intérieur  de 
Grassmann),  qui  est  un  nombre,  la  seconde  pour  le  produit 
gauche  (produit  extérieur),  qui  est  un  vecteur.  Non  seulement 
ils  expliquent  soigneusement  leurs  notations,  mais  ils  n^oublient 
pas  de  dire  comment  on  doit  les  énoncer  :  le  premier  produit 
s'énonce  A  dot  B,  le  second  A  cross  B  (*).  Pour  ce  qui  est  de 
la  multiplication  scalaire  (multiplication  d'un  vecteur  par  un 
nombre),  ils  n'emploient  pas  de  signe  :  c'est  la  simple  juxtapo- 
sition qui  indique  l'opération.  Ainsi  ^A  ou  Ax  veut  dire  le  vec- 
teur produit  du  vecteur  A  par  le  nombre  x.  Ils  insistent  sur  les 
cas  où  Ton  peut  supprimer  les  parenthèses  et  ceux  où  il  faut  les 
conserver.  Ainsi,  d'après  ce  qu*on  vient  d'expliquer,  le  symbole 
(A.B)Cveut  dire  le  produit  du  vecteur  G  par  le  nombre  A.B; 
mais  on  peut  aussi  bien  écrire  A.BC,  parce  que,  le  symbole  BC 
n'étant  pas  défini,  au  moins  pour  le  moment,  A.BC  ne  peut  pas 
s'interpréter  autrement  que  comme  le  produit  du  vecteur  C  par 
le  nombre  A.B.  De  même  le  symbole  A.B  x  C  ne  peut  pas 
s'interpréter  autrement  que  comme  le  nombre  produit  droit  des 
deux  vecteurs  A  et  B  x  C,  dont  le  dernier  est  le  vecteur  produit 
gauche  des  deux  vecteurs  B,  C.  Ils  adoptent  le  signe  +  pour 
l'addition  géométrique.  Les  lettres  i,  j,  k  sont  réservées  pour 
trois  vecteurs  égaux  à  l'unité  dirigés  suivant  les  arêtes  d'un 
trièdre  trireclangle  fixe.  Ainsi  le  symbole  J7i  4-j'j -H  2k  repré- 
sentera un  vecteur  égal  (équipollent)  au  vecteur  qui  part  de 
Torigine  des  coordonnées  et  aboutit  au  point  dont  les  coor- 
données cartésiennes  sont  x^  y^  z. 

Le  premier  Chapitre  est  consacré  à  l'addition  et  à  la  multipli- 
cation scalaire;  la  principale  application  se  rapporte  au  Calcul 
bar jcen trique.  Le  second  Chapitre  concerne  les  lois  des  diverses 
multiplications.  La  partie  théorique  se  termine  par  la  réduction  à 


(')  On  Irouvera,   page   i38,    une   note  assez  nniusanle  sur  les  diverse^^  fuçnns 
d'énoncer  l'opérateur  V. 


'i4  PREMIÈRE   PARTIE. 

des  produits  de  deux  vecteurs  des  produits  de  trois,  quatre,  . . . 
vecteurs.  Des  applications,  qui  montrent  bien  la  portée  de  la  mé- 
thode, sont  faites  à  la  Trigonométrie  sphérique,  à  la  Statique  du 
corps  solide,  à  la  Cinématique,  à  la  Géométrie  analytique. 

Le  calcul  différentiel  débute  par  la  notion  de  dérivée  géo- 
métrique et  par  les  règles  de  dérivation  :  les  applications  à  la 
courbure,  à  la  torsion,  à  la  cinématique  sont  toutes  indiquées. 
A  chaque  fonction  scalaire  (numérique)  V  des  trois  coordonnées 
d'un  point  (or,  ^,  z)  est  attaché  un  vecteur 

dx       ^  dy  àz* 

le  dérivatif  {deriçative)  de  la  fonction  V.  On  peut  le  définir 
comme  le  vecteur  qui  jouit  de  la  propriété 

dvSV  =  dW, 

pour  toutes  les  valeurs  de  dv>  Les  auteurs  développent  avec  soin 
les  importantes  propriétés  de  ce  vecteur  qui  joue,  comme  on  sait, 
un  rôle  essentiel. 

Le  même  signe  V  peut  se  rapporter  à  un  vecteur  V  qui  dépend 
des  nombres  x^y,  z\  les  symboles  V.V  et  V  x  V  seront* définis 
par  les  égalités 

V.V  =  i  •    -T hj    . hk   .   -T-, 

ox       •*        oy  oz 

V  X  V  =  1  X  -r hjx  -^ hkx  -T— : 

ox  oy  oz 

où  les  symboles  -j— >  •••  désignent  des  vecteurs,  dérivées  par- 
tielles du  vecteur  V  par  rapport  aux  nombres  x,  . . . ,  en  sorte 
que,  si  V| ,  V2,  V3  désignent  les  composantes  du  vecteur  V  (que 
l'on  peut  regarder  comme  des  nombres),  le  nombre  V.V  sera  la 

j  ,         dV,    d\t    <^V,  ..  ,  r^       „ 

somme  des  nombres  -r— >  -^—9  -r—»  tandis  que  le  vecteur  v  x  V 

ox      oy      oz  » 

aura  pour  composantes  les  trois  quantités  -r-^ ~>  -r-^ ~, 

'  "^  *  oy  oz      oz  dx 

dx  ày 

Le   nombre   V.V  est  la   divergence   du    vecteur   V;    le    vec- 


COMPTES   KENDUS   ET  ANALYSES.  i5 

leur  V  X  V  est  le  curl  (*)  du  môme  vecteur.  On  reconnaît  là  des 
combinaisons  qui  se  rencontrent  fréquemment  en  Mécanique  et 
en  Physique  mathématique.  Ce  système  de  notations  conduit  à 
une  suite  de  formules  très  simples  relatives,  en  particulier,  aux 
opérations  V,  V. ,  V  x  appliquées  à  des  sommes  ou  à  des  produits 
numériques,  droits  ou  gauches,  de  nombres  ou  de  vecteurs,  et  à 
l'itération  des  opérations  considérées.  Ces  nombreuses  formules 
se  présentent  d^une  façon  simple  et  naturelle. 
LfC  symbole 


Tw.rfr, 


où  W  désigne  un  vecteur  dépendant  du  point  x,  y^  z  de  la 
courbe  C,  ou,  si  l'on  veut,  du  vecteur  p  qui  part  de  l'origine  des 
coordonnées  pour  aboutir  au  même  point  et  ou  le  vecteur  infini- 
ment petit  dv  peut  être  regardé  comme  un  élément  d'arc  de  cette 
courbe  (parcourue  dans  un  sens  défini),  se  comprend  de  lui-même, 
en  se  reportant  à  la  définition  du  produit  droit;  il  a  le  même  sens 
que  rintégrale  curviligne 


X 


c 


où  W|,  Wj,  W3  sont  les  projections  du  vecteur  W.  Si  en  dési- 
gnant par  V  une  fonction  numérique  des  variables  numériques  x, 
y^  Zy  on  regarde  W  comme  égal  au  vecteur  W,  l'intégrale  prise  à 
partir  du  point  Xo,  J^oj  ^o  jusqu'au  point  x,  y,  z  est  égale  à 
V(x,  ^,  z)  —  y{^oiyoi  2o),  en  sorte  que,  dans  les  mêmes  condi- 

tioDS|  l'intégrale   iW.rfP  prise  le  long  d'une  courbe  fermée  est 

nulle;  réciproquement,  si  le  vecteur  W  est  tel  que  la  condition 
précédente  soit  vérifiée,  il  existe  une  fonction  (numérique)  V  telle 
que  l'on  ait  W  =  VV. 

L'intégrale  de  surface  d*un  vecteur  W  relative  à  la  surface  S  est 


(*)  Curl  veut  dire  boucle;  autant  conserver  le  mot  anglais,  comme  a  fait  (en 
allrniand)  M.  Weber  dans  son  édition  des  Leçons  de  Riemann  sur  les  équations 
aux  dérivées  partielles. 


a6  PlIEMIËItU  PAIlTMî. 

déliaie  par  la  formule 

f  f-W.dA  =  /  A  W,  d/  dt  -t-  W,  dz  dx  -4-  W,  dx  dy\, 

où,  dans  le  premier  membre,  le  vecleur  inilniment  petit  d^  repi 
sente,  d'après  des  conventions  bien  connues,  une  aire  infinime 
petite  découpée  sur  la  surface  S.  Ces  notions  et  notations  p« 
mettent  de  présenter  sous  une  forme  très  simple  et  condensée  1 
ibéorèmes  classiques  de  Gauss,  Slokes,  Green  et  conduisent 
une  foule  de  propositions  du  même  genre,  bien  que  sans  don 
moins  importantes.  Si  l'on  considère  une  fonction  numérique 
des  variables  x-,,  y^,  z^  ou  un  vecteur  W  qui  dépend  des  raém 
variables,  le  potentiel  de  V  ou  de  W  est  une  fonction  (aura 
rique),  ou  un  vecteur  fonction  des  variables  x,,  y,,  z,  défini  p 
l'une  ou  l'autre  des  équations 

Poiv  =,  fJ'P'"--/^  '!'•  -'r.  '''•■ 
p,.w-jy/g^"-;^^-"'  ■/„ ,(,,  ,(.„ 

OÙ  r, I  est  la  distance  du  point  x,,y,,  z,  au  point  x,,^,,  s». 

La  combinaison  des  fonctions  PotV,  Pot  W  avec  les  symboles 
V.,  Vx  donne  lieu  à  une  suite  de  propositions  simples.  S 
gnalons  en  particulier  les  notations 

TPotV  -  NewV. 

Tx  PotW  =  LapW, 

V.PolVf  =  Max-W, 

dont  les  seconds  membres  s'énoncent  navlonien  de  V,  laplaci 
ou  maxwellien  de  W,  et  les  combinaisons  qui  résultent  enco 
de  ces  notations  et  des  précédentes. 

Il  nous  reste  à  donner  quelque  idée  de  la  troisième  Parti 
consacrée  aux  fonctions  linéaires  d'un  vecteur. 

Un  vecleur  r'  est  dit  fonction  linéaire  d'un  vecteur  p  si  '. 
composantes  de  r'  sont  des  fondions  linéaires  et  bomogènes  < 
composantes  du  vecleur  /•.  Cette  définition  peut  d'ailleurs  é 
remplacée  par  la  suivante  :  F(r)  est  une  fonction  linéaire  d( 


COMPTES  IIKNDUS  ET  ANALYSES.  27 

si  Ton  a,  quels  que  soient  les  vecteurs  r<,  Ta, 

f(r,-+-r,)  =  f(ri)H-f(r,). 

L.'étade  des  fonctions  linéaires  se  ramène  à  celle  de  combi- 
naisons pour  lesquelles  les  auteurs  ont  adopté  les  noms  de  dyades 
cl  de  dyadiques  {dyad,  dyadic)»  En  désignant  par  a^ ,  as,  as,  ..., 
bi  9  1)2,  bs,  . . .  des  vecteurs,  le  symbole 

*  =  aibi  +  asbi+aabsH-. .. 

n^a  par  lui-même  aucun  sens,  puisque  la  définition  d'un  produit 
de  deux  vecteurs  n''a  été  donnée  que  dans  le  cas  où  les  deux  fac- 
teurs sont  séparés  par  l'un  des  deux  signes  .,  x;  mais  l'expres- 
sion précédente  prend    facilement  un   sens   si  on   la   considère 
comme  un  opérateur.  Appliquée  à  un  vecteur  quelconque  r,  la 
quantité  ^.r  sera,  par  définition,  le  vecleur 

ai  bi .  r  -h  aj  bt .  r  -+-  as  bs .  r  -4- . . . , 

obtenu  en  faisant  la  somme  (géométrique)  des  vecteurs  ai,  as, 
&)i  • . .  respectivement  multipliés  par  les  nombres  ai.r,  aj.r, 
fts-r,  ...,  qui  ont  été  définis  plus  haut.  L'expression  ^  s'appelle 
^^  djradique;  le  nom  de  dyade  s'applique  aux  éléments  aibi, 
*iba,  ajbs,  .  . .,  qui  portent  aussi  le  nom  de  produits  indéter- 
minés. Les  vecteurs  ai,  aa,  as,  . . .  s'appellent  antécédents,  les 
seconds  vecteurs  bi,  ba,  bs,  ...  s'appellent  conséquents.  En 
intervertissant  les  antécédents  et  les  conséquents  d'un  diadique, 
on  obtient  le  djadique  conjugué.  Deux  diadiques  ^,  W  sont 
^gaux,  lorsque  l'on  a,  quel  que  soit  le  vecteur  p, 

*.r  =  V.r. 
Le  scalaire  ^s  ^^  diadique  ^  est  le  nombre 

ai  .bi  -h  aj  .bj  -I-  as  .bj  -4- ...  ; 
le  vecteur  <^x  du  mérne  djadique  est  le  vecteur 

ai  X  bi  -+-  ai  X  bî  H-  aj  X  ba  -f-  — 

Pour  multiplier  un  diadique  par  un  nombre,  il  suffit  (par  défi- 
nition) de  multiplier  par  ce  nombre  l'un  des  vecteurs  qui  entrent 
dans  chacune  des  djades  qui  composent  le  diadique.  Il  est  en 


x>  PREMIEKk   PARTIE, 

dique  ^  vérifie  Icrquation  du  troisième  degré 

OÙ  1  désigne  l'idemfactor.  C*est  l'équatioD  dite  de  Hamition- 
Cajr/ey, 

Cette  théorie,  quelque  pen  abstraite,  troo^e  une  belle  et  immé- 
diate application  dans  le  Chapitre  suivant  consacré  aox  rotations 
et  dilatations,  et  où  s'introduisent  les  notions  de  rersors,  per- 
^trsorSy  tensors^  tontes^  çyclotonics,  shearers^  etc.  D*antres 
applications  concernent  les  surfaces  du  second  degré,  la  propaga- 
tion de  la  lumière  dans  les  cristaux,  la  courbure  des  surfaces,  les 
vibrations  harmoniques,  etc. 

Les  auteurs,  à  la  fin  de  chaque  Chapitre,  ont  donné  un  som- 
maire des  définitions,  propositions  et  formules  essentielles.  Ces 
résumés  seront  extrêmement  commodes  pour  tous  ceux  qui  auront 
étudié  leur  Livre  et  qui  n'auront  qu*à  s*v  reporter  pour  se  rap- 
peler de  suite  les  points  les  plus  importants. 


EST  AN  AVE  i  E.  .  —  Revie  dëce>:(al£  des  thèses  pmEScrrÉES  a  la  Faccite 
DES  Sciences  de  Pamis  en  vue  dc  geade  de  OxTEcm  Es  Scie^ecks,  dc 

l*'  JA?(TlEm  1891  AU  3l  DECEJfBEE   I^X).  AVEC  L* INDICATIONS  I^ES  KUODIQrES 
COVrE?(A.vr  LA  PLCPAMT   DE  CES  MÊXOIIES  OC  LEUftS  AXALTSES.   I  Tol.  io-S*, 

114  pa^es.  Arcis-sur-Aube,  Impr.  L.  FrèmoaE,  1901. 

Le  titre  de  cette  publication  dit  assez  son  utilité  et  son  intérêt. 
Elle  contient  réoumération  de  347  ^^>^^*  dont  63  regardent  les 
Mathématiques.  Cette  éoumération  suit  Tordre  chronologique 
dans  chacun  des  ordres  <  Siieuoes  mathématiques,  phvsiques, 
naturelles  I.  L*auteur  a  d'ailleurs  donne  deux  Tables.  Tune  par 
noms  d'auteur,  l'autre  par  matières  :  dans  cette  dernière  les  Ma- 
thématiques sont  divisées  en  .\nalvse.  Géométrie.  Mathématiques 
appliquées.  Les  recherches  sont  donc  extrêmement  faciles;  enfin 
M.  Elstanave  a  joint  à  son  Travail  quelques  documents  législatifs 
et  statistiques  qui  p«:uveot  être  utiles. 

Qu'il  uou>  <oit  permis  d'exprimer  le  regret  que  M.  Estanave 
ait  cru  devoir  kornirr  à  la  seule  Faculté  des  Sciences  de  Paris  son 


COMPTES  IlENDUS  ET  ANALYSES.  3i 

intéressant  Travail.  Ce  sera  sans  doute  toujours  à  la  Sorbonne 
que  se  passeront  la  plupart  des  thèses  et,  d*ordinaire,  les  meil- 
leures; mais  enfin  toute  Pactivité  scientifique  de  la  France  n'est 
pas  concentrée  à  Paris,  et  il  n'est  pas  souhaitable  qu'elle  le  soit.  La 
période  qu'a  embrassée  M.  Estanave  comprend  la  création  des 
Universités;  si  cette  création  n'est  pas  un  acte  vain,  l'activité  des 
Facultés  des  Sciences  ira  en  grandissant  :  les  thèses  présentées 
devant  les  Facultés  autres  que  celle  de  Paris  sont  un  signe  de 
cette  activité,  et  c'est  sans  doute  ces  thèses-là  que,  dans  l'avenir, 
il  sera  plus  difficile  de  retrouver.  Le  public  savant,  les  grandes 
bibliothèques  ne  peuvent  manquer  de  faire  bon  accueil  à  la  publi- 
cation de  M.  Estanave.  Il  lui  sera  facile,  soit  dans  une  nouvelle 
édition,  soit  simplement  dans  le  Volume  qu'il  publiera  en  191 1, 
d'ajouter  quelques  pages  supplémentaires,  qui  seront  les  bien- 
venues. 


SNELLIUS  (W.).  —  Le  degré  du  méridien  terrestre  mesuré  par  la  dis- 
tance des  parallèles  de  Berg-op-Zoom  et  de  Malines,  publié  par  H.  Bos- 
11AN8,  S.  J.  In-8^,  22  pages.  Bruxelles,  Impr.  PoUeunis;  1900. 

COiGNET  (M.).  —  Le  Traité  des  sinus,  publié  par  H.  Bosmanns,  S-  J. 
In-8*,  80  [>age8.  Bruxelles,  hnpr.  PoUeunis;  1901. 

W.  Snellius  (1591-1626),  de  Leyde,  eut  le  premier  l'idée 
d'évalaer  la  longueur  d'un  arc  du  méridien  par  la  méthode  trigo- 
nométrique.  Son  Travail,  publié  en  161 7  dans  VEratosthenes 
^(avca, comprenait  la  mesure  de  l'arc  compris  entre  les  paral- 
lèles d'Alcmaar  et  de  Berg-op-Zoom.  Peu  content  de  ses  résultats, 
Snellius  recommença  les  mesures,  el  prolongea  jusqu'à  Malines 
le  réseau  de  ses  triangles. 

Ce  sont  les  mesures  de  ce  réseau  complémentaire,  recherchées 
en  vain  par  Musschenbroek,  dont  la  minute  originale,  inédite,  est 
conservée  à  la  Bibliothèque  royale  de  Bruxelles,  que  le  P.  Bosmans 
vient  d'éditer.  Cette  publication  est  accompagnée  de  notes  propres 
«  servir  à  l'histoire  des  travaux  géodésiques. 

Michel  Coignet  (i 549- 1623)   était  fort  estime  des   mathéma- 


395  PREMIÈRE   PARTIE. 

ticiens  de  son  époque  :  malheureusement,  de  ses  travaux,  la 
plupart  inédits,  un  petit  nombre  seulement  a  été  conservé  ;  on 
les  trouve  à  la  Bibliothèque  royale  de  Bruxelles. 

Le  Traité  des  sinus  a  pour  objet  la  construction  des  Tables  de 
lignes  trigonométriques  naturelles  :  il  présente  cette  particularité 
d'avoir  été  écrit  en  1612,  deux  ans  avant  l'apparition  de  la 
Mirifica  logarithmorum  canonis  descriptio  de  Neper.  Aussi 
Téditeur,  à  cette  occasion,  a  retracé  dans  de  savantes  notes 
rhistoire  des  formules  qui  s'y  rencontrent.  Plusieurs  de  ses 
conclusions,  neuves  ou  peu  connues,  formeront  une  contribution 
intéressante  à  l'histoire  de  la  Trigonométrie  au  xvii*'  siècle. 

A.  F. 


BOLTZMANN  (L.).  —  Leçons  sur  la  théorie  des  gaz  (P*  Partie).  Traduction 
française  par  A.  Gallotti,  avec  une  Introduction  et  des  Notes  de  M.  M.  Bril- 
LOUiN.  Paris,  Gauthior-Villars;  1902. 

Personne  n'aurait  aujourd'hui  l'idée  de  contester  l'avantage 
énorme  que  les  physiciens  actuels  tirent  de  l'emploi  des  raison- 
nements mathématiques  :  les  méthodes  purement  expérimentales 
qui  ont  conduit  leurs  prédécesseurs  à  la  découverte  des  grandes 
lois  de  la  Nature  deviennent  insuffisantes  pour  une  étude  minu- 
tieuse de  ses  propriétés.  Le  physicien  devient  de  plus  en  plus  un 
théoricien,  et  son  laboratoire  n'est  plus  là  que  pour  vérifier  des 
faits  dont  l'existence  est  prévue  d'avance,  imposée,  pour  ainsi 
dire,  par  le  seul  raisonnement. 

Le  Livre  que  vient  de  publier  M.  Gauthier-Villars  en  est  un 
exemple  frappant,  comme  nous  allons  essayer  de  le  montrer  en 
exposant  ses  grandes  lignes. 

M.  Boltzmann  indique  au  début  de  son  Ouvrage  quelles  sont 
les  raisons  qui  ont  conduit,  depuis  fort  longtemps,  à  supposer 
que  les  corps  n'emplissent  pas  d'une  façon  continue  Tespace 
qu'ils  occupent,  mais  sont  ])lutôt  composés  de  particules  infimes 
séparées  les  unes  des  autres,  les  molécules,  à  supposer  aussi  que 
ces  molécules  sont  constamment  en  mouvement.  Dès  l'antiquité 


COMPTKS   HKNDUS  KT  ANALYSKS.  r\ 

les  philosophes  ont  eu  Tidée  logique  de  celle  siniclure  molé- 
culaire. Des  faits  d'observation  nombreux  et  plus  ou  moins 
récents  conduisent  à  faire  la  même  hypothèse;  citons  entre  autres 
la  plupart  des  propriétés  de  la  matière  étudiées  en  Chimie  et  en 
Cristallographie. 

C'est  là  d'ailleurs  (et  il  convient  d'insister  sur  ce  point),  c'est  là 
une  simple  hypothèse  à  laquelle  il  faudrait  se  garder  d'assigner 
le  caractère  d'un  fait  mathématiquement  exact;  mais  celte  hypo- 
thèse est  grosse  de  conséquences  :  les  idées  alomistiques,  quoique 
fortement  combattues  par  toute  une  école  de  physiciens  mo- 
dernes, ont  conduit  à  des  découvertes  fort  importantes  et,  à  ce 
titre,  elles  méritent  d'être  encore  développées.  Peut-être  décou- 
vrira-t-on  un  jour  quelle  est  la  constitution  exacte  de  la  matière 
et  reconnaîtra-t-on  que  les  hypothèses  actuelles  des  atomisies 
sont  fausses;  peut-être  regardera-t-on  la  théorie  moléculaire 
comme  une  représentation  grossière,  puérile  même,  des  pro- 
priétés de  la  matière.  Qu'importe,  si  ces  hypolhèses,  qui  ne  sonl 
en  somme  que  la  représentation  d'un  ensemble  d'analogies  méca- 
niques, ont  conduit  auparavant,  par  le  développement  mathéma- 
tique de  ces  analogies,  à  la  découverte  de  faits  nouveaux? 

D'ailleurs,  si  M.  Boitzmann  montre,  au  début  de  son  Ouvrage, 
la  vraisemblance  de  ces  suppositions,  s'il  explique  comment  elles 
peuvent  rendre  compte  non   seulement  des  propriétés  des  gaz., 
mais  aussi  de  celles  des  liquides  et  des  solides,  les  adversaires  de 
ces  hypothèses  auraient  mauvaise  grâce  à  le  lui  reprocher.  Il  a 
bien  soin,  en  efl'et,  en  plusieurs  points  de  ces  Leçons,  de  rappeler 
que  ce  qu'il  y  a  de  rigoureux  dans  ses  développements  c'en  est 
seulement  la  partie  mathématique  :  il   lire  rigoureusement  des 
conséquences    mathématiques   de   certaines    hypolhèses  ;   or  ces 
hypothèses  coïncident  par  certains  points  avec  la  réalité  ;  donc, 
très  vraisemblablement,  les  conséquences  qu'il  en  déduit  présen- 
teront aussi   un  caractère  réel  :   à  l'expérience  de  le  constater. 
Cestlà  la  véritable  façon,  pour  un  physicien,  d'utiliser  les  Mathé- 
matiques; c'est  ainsi  qu'ont  procédé  non  seulement  les  partisans 
delà  théorie  moléculaire,  mais  bien  d'autres,  et  trop  nombreuses 
elles  sont  déjà  pour  qu'on  puisse  les  citer,  les  découvertes  faites 
par  cette  méthode  et  confirmées  a  posteriori  par  l'expérience. 
Il  suffît  d'ailleurs  de  jeter  un  coup  d'œil  sur  la  Table  des  ma- 
Biili,  des  Sciences  mathém.y  t*  série,  t.  XWI.  (  PVvrirr  1903.)  3 


tières  pour  se  rendre  compte  du  caractère  provisoire  de  ce  qui 
ij'esl  que  l'hvpothèse  :  ce  premier  Volume,  en  effet,  envisage 
successivement  dans  ses  trois  Chapitres  trois  cas  entièrement 
différents  :  dans  le  premier  Chapitre,  les  molécules  gazeuses  sont 
regardées  comme  des  boules  élastiques  n'agissant  les  unes  sur  les 
autres  qu*au  moment  où  elles  se  rencontrent.  Dans  le  second,  ces 
molécules  sont  au  contraire  des  centres  de  forces  agissant  à  dis- 
tance les  unes  sur  les  autres,  quelle  que  soit  d^ailleurs  leur  dis- 
tance, la  nature  de  la  force  n'étant  pas  déterminée.  Dans  le 
troisième,  enfin,  on  suppose  que  celte  force  est  une  force  répul- 
sive dont  l'intensité  est  en  raison  inverse  de  la  cinquième  puis- 
sance de  la  distance,  s*annulant  par  conséquent  assez  vite  quand 
les  molécules  s'éloignent  ;  cette  hypothèse  spéciale  étant  destinée 
à  simplilier  le  calcul  des  équations  différentielles  du  mouvement 
des  molécules. 

Et  l'auteur  ne  se  borne  pas  à  cela  :  dans  la  seconde  Partie  de 
ses  Leçons,  dont  M.  Gallotti  prépare  actuellement  la  traduction, 
c'est  surtout  à  Thypothèse  de  Van  der  Waals  qu'il  s'attache,  à 
cette  hypothèse  de  la  force  de  cohésion  qui  est,  contrairement  au 
cas  précédent,  une  force  attractive  et  restant  sensible  à  des  dis- 
tances assez  grandes.  Chacune  de  ces  hypothèses  spéciales  conduit 
d*ailleurs,  par  un  développement  convenable,  à  des  résultats 
concordant  avec  la  pratique.  Souvent  même,  et  c'est  là  l'utilité 
de  la  méthode  employée,  les  raisonnements  mathématiques  ont 
permis  de  prévoir  certaines  propriétés  que  les  expérimentateurs 
ont  vérifié  depui-^. 

Il  serait  maliidroil  de  chercher  à  résumer  en  quelques  lignes 
tout  ce  que  ce  Livre  contient  d'intéressant.  La  besogne  serait 
d'autant  plus  ardue  que  les  Leçons  de  M.  Boltzmann  sont  elles- 
mêmes  un  résumt',  une  mise  au  point,  pour  ainsi  dire,  de  tous  ses 
Mémoires  précédents  et  de  tous  les  Travaux  analogues  publiés 
par  Kirchhoff,  Maxwell,  \  an  der  Waals,  etc.  Nous  nous  bornerons 
donc  à  indiquer  brièvement  les  principaux  sujets  traités  dans  ce 
premier  Volume. 

C  est  dabord,  dans  Tlntroduclion,  une  justification  de  Thjpo- 
thèse  moléculaire,  justification  que  nous  avons  exposée  plus  haut 
dans  ses  grandes  lij:nes  ;  puis  la  définition,  par  les  chocs  des 
molécules  sur  le<  parois,  :1e  la  pression  d'un  gaz  ou  d*un  mélange 


COMPTKS  UKNDUS  KT  ANALYSES.  J» 

gazeux,  qui   devient  ainsi  fonction  des   masses    et  des   vitesses 
moyennes  des  molécules. 

Adoptant  pour  un  instant  Thypotlièse  de  molécules  élastiques, 
dans  le  premier  Chapitre  M.  Boltzmann  étudie  d*abord,  en  faisant 
intervenir  le  calcul  des  probabilités,  la  répartition  des  vitesses 
la  plus  vraisemblable  dans  un  gaz  dénué  de  mouvements  d'en- 
semble et  qui  n'est  soumis  à  aucune  force  extérieure.  Il  est  amené 
incidemment  à  préciser  une  notion  fort  importante  en  Physi(|ue 
moléculaire:  c'est  la  distinction  des  milieux  en  «  molar-geordnete 
ou  raolar*ungeordnete  »  et  a  molekuiar-geordnete  ou  molekular- 
ungeordnete  »,  ce  que  le  traducteur  a  rendu  en  français  par 
milieu  «  comportant  une  organisation  d'ensemble  ou  sans  orga- 
nisation d'ensemble  «  et  milieu  a  comportant  une  organisation 
moléculaire  ou  sans  organisation  moléculaire  ».  Nous  croyons 
utile  d'indiquer  ici  le  sens  encore  peu  connu  de  ces  expressions. 

On  dit  que  la  répartition  des  molécules  comporte  une  organi- 
sation d'ensemble  (molar-geordnete)  si,  par  exemple,  certaines 
variables  qui  déterminent  le  mouvement  des  molécules  ont,  dans 
certaines  partie»  finies  de  l'espace  occupé  par  le  gaz,  d'autres 
valeurs  moyennes  que  dans  d'autres  parties  :  par  exemple,  la 
pression,  ou  la  vitesse  mo}'ennc  des  molécules,  peut  être  plus 
grande  dans  une  moitié  du  récipient  que  dans  l'autre;  ou,  plus 
généralement,  une  partie  finie  du  gaz  peut  se  comporter  autre- 
ment qu'une  autre. 

L'absence  de  toute  loi  de  ce  genre  caractérise  une  disposition 
dénuée  d'organisation  d'ensemble  (molar-ungeordnele). 

Quand  la  disposition  des  molécules  ne  varie  pas  régulièrement 
d'un  espace  fini  à  un  autre,  c'est-à-dire  quand  on  a  un  ensemble 
inorganisé,  il  peut  se  faire  cependant  qu^on  trouve  une  certaine 
régularité  dans  des  groupes  définis  de  deux  molécules  voisines 
(ou  même  dans  des  groupes  qui,  sans  avoir  une  étendue  finie,  en 
comprennent  davantage).  On  dira  d'une  telle  disposition  qu'elle 
comporte  une  organisation  moléculaire  (molekular-geordnete). 
Pour  ne  mettre  en  évidence  que  deux  exemples  dans  la  variété 
infinie  des  cas  possibles,  nous  aurions  une  disposition  de  cette 
nature  en  supposant  que  cbaque  molécule  se  dirige  toujours  vers 
le  centre  de  la  molécule  la  plus  rapprochée,  ou  encore  que 
chaque  molécule  douée  d'une   vitesse   comprise   entre  certaines 


U\  V\\\iM\E\\\i   PAinii:. 

liinilrs  ait  pour  voisines  iinniëdiates  dix  autres  molécules  remar- 
quuhirment  plus  lentes.  Si  ces  groupements  spéciaux  n'étaient 
pas  limités  à  certaines  régions  de  Tespace  occupé  par  le  corps, 
mais  se  trouvaient  en  moj^enne  aussi  nombreux  dans  toutes  ses 
pnrlies,  la  disposition  serait  néanmoins  dénuée  d'organisation 
d'ensemble. 

KnHn,  s'il  n'existe  aurune  régularité  de  cette  nature,  il  n'y  a 
piis  d'or^anisalion  moléculaire  (molekular-ungeordnete). 

Pour  un  milieu  sans  organisation  spéciale,  M.  Boltzmann 
montre  (|ue  la  réparlition  des  vitesses  des  molécules  la  plus  pro- 
bable e^{  celle  (|u'u  indicpiée  Maxwell. 

Kn  supposant  Tétat  d'un  gaz  stationnaire,  il  déduit  des  équa- 
tions du  mouvement  nioléculaire  la  loi  connue  de  Bojle  (ou  de 
Mariotte).  Kn  caractérisant  la  température  des  gaz  par  la  force 
vive  n)ovenne  de  leurs  molécules  et  par  comparaison  avec  un  gaz 
Ivpe,  il  retrouve  les  lois  de.  (Ibarles  et  d'Avogadro. 

DilVérents  pbénoménes  observés  dans  les  gaz  apparaissent 
ensuite  comme  conséquences  du  mouvement  de  leurs  molécules  : 
lu  conductibilité  électri(|ue,  la  conductibilité  calorifique,  le  frot- 
tement intérieur,  la  dilVusion;  et  tous  ces  phénomènes  sont  carac- 
lénst**s  par  ties  roeflicients  tpril  calcule  en  fonction  de  certaines 
ilonnées  simples  romme  la  masse  ou  la  vitesse  niovenne  des 
molécules. 

Telle  e>t»  dan>  un  rapide  aperçu,  la  matière  du  premier  Chapitre 
de  rOu\ra^e.  Bolt/mann  a  adopté  une  marche  analogue  dans  les 
deuv  autres»  n»ai^  en  partant  dhvpothèses  dillerentes.  Nous  n'en- 
trepremb'ouH  pa^  l'anal \^e  dt'taillee  de  ces  (^.hapitres,  espérant 
a\oir  donne  au  le»  ttMir  une  idée  ^ulliNante  îles  avantaî^es  de  la 
nictiiodc  du  j;iand  théorie  un  allemand  potir  engager  een\  d*enlre 
ru\  quinleiv^^e  plu^  Npocialement  cette  matière  à  lire  lensenible 
de  rOnxraiir  II'*  \  li\»u\ei\MU  d^adleur^  bien  de>  sujets  que 
l^vdtMnann  n  a  pu  qu\udiqutM\  «>lVrant  ain^i  un  champ  considé* 
labb'  d  luxoNii^aHonN  au\  eheivhcurs  qui  \oudi\M)t  protîler  de  sa 
►nrilu»  i*'  pxMii    X,*   mettre    sir   la   xvmc   de   deevnnertes    nou\elies. 

le  lx*x  teio  tixMiNsu  \lai»N  U  Pietave  »  vm  Ue  par  M.  Marcel 
HidKMnn  \n\  ,nv*vt»  bt'^lvMixpie  ^ur  Ihxpolb»^*'  nudeeulairo  dans 
!»  ibe.M  .'  »i\''*  ;v*'.  ^'^^  %•*  Uu  V  *  '«'H  »u^»  •',j\*  »  bv'i;{v,ntp  mieux  iiuo 
t»v'.;x   K.     xi.î.^'x    !,     i     ;•,     A-.    î»-    ,'»  \x-  x>;*re.»u'i:;   uptiv*  de   celte 


MfÏLANGKS.  3; 

théorie,  dévelo|)pemeiil  bien  justifié  par  les  nombreux  résullals 
auxquels  elle  a  déjà  conduit  et  que  rappelle  M.  Brillouin.  Difl'é- 
rents  points  particuliers  de  la  théorie  relatifs  à  la  distribution  des 
vitesses  et  aux  diverses  diffusions  sont  également  précisés  dans 
les  Notes  qu'il  a  bien  voulu  ajouter  à  la  fin  de  TOuvrage. 


MÉLANGES. 

LE  PREMIER  CHAPITRE  D'UN  RAPPORT  SUR  QUELQUES  PROGRÈS  RÉGENTS 

DANS  LES  SCIENCES  ('); 

Pah    m.   ÊMiLK    riCAHI). 


LKS  PRLXnPES  1)K  L  ANALYSK  KT  1>K  LA  (iEOMKTRIK. 

On  ne  peut  s'empêcher  d'être  frappé  de  l'abondance  des  publi- 
cations parues  depuis  une  vingtaine  d'années  et  se  rapportant  à 
la  philosophie  des  Mathématiques;  elles  sont  bien  en  accord  avec 
les  tendances  de  Tépoque  où  nous  vivons,  et  où  Tesprit  humain 
applique  dans  des  directions  varices  une  critique  de  plus  en  plus 
pénétrante.  Placé  à  ce  point  de  vue,  on  trouve  même  dans  le 
nombre  entier  des  difficultés  que  n'a  pas  dédaignées  un  grand 
phvsîcien  comme  Ilelmholtz.  Plus  grandes  encore  sont  les  diffi- 
cultés pour  les  nombres  incommensurables  qui,  dans  Tantiquité, 
troublèrent  sans  doute  les  pythagoriciens;  pour  les  analystes  mo- 
dernes, uu  nombre  incommensurable  représente  dans  Tensemble 


(')  Nous  reproduisons  ici  le  proniicr  Chapitre  d'un  Rapport  jji'ncral  sur  les 
Sciences  k  propos  de  1'Ex.position  Univorsi'IU*  t\c  1900.  I*ar  sa  nature  uiénie.  ce 
Happort  ne  pouvait  s'étendre  longuement  sur  les  Sciences  niatliéuiatiques;  devant 
;:ardcr  un  rarartêre  général  et  philosophique,  il  laissait  nécessaireuH  ni  de  côté 
on  cr^nd  nombre  de  queslion>«  intéressantes  pour  les  fiéomrlres. 


38  PREMIÈRK  PARTIE. 

des  nombres  rationnels  une  coupure  qui  correspond  à  un  partage 
de  ces  nombres  rationnels  en  deux  classes.  L'étude  arithmétique 
du  concept  du  continu  est  loin  d^étre  simple  et  a  donné  lieu  à  de 
nombreuses  recherches,  parmi  lesquelles  il  faut  citer  celles  de 
M.  Dedekind  et  de  M.  G.  Cantor.  Toutes  ces  études  paraîtront 
d'abord  bien  subtiles,  car  rien  ne  semble  plus  simple  que  la  notion 
du  continu,  et  nous  avons  tous,  dira-t-on,  Fintuition  d'un  en- 
semble continu,  en  considérant  tous  les  points  d'une  droite  com- 
pris entre  zéro  et  un.  Mais  le  caractère  de  ces  spéculations  philo- 
sophiques est  précisément  de  se  méfier  de  l'intuition,  et  c'est  un 
peu  ici  la  lutte  entre  l'intuition  et  la  logique.  Il  faut  d'ailleurs 
reconnaître  que,  dans  l'histoire  de  la  Science,  on  rencontre  plus 
d'une  confusion  tenant  à  l'insuffisante  élaboration  des  notions 
fondamentales.  Si  abstraits  que  soient  ces  travaux,  je  devais  ce- 
pendant les  mentionner  pour  donner  une  idée  des  spéculations 
des  géomètres  philosophes  qui  ont  cherché  dans  ces  dernières 
années  à  éclaircir  les  principes  de  l'Analyse  mathématique.  L'étude 
des  bases  de  la  Géométrie  n'a  pas  moins  attiré  l'attention;  tout 
n'est  pas  si  clair  que  le  croient  beaucoup  de  personnes,  dans  les 
commencements  de  la  Géométrie,  et  d'Alembert  a  pu  écrire  que 
la  définition  et  les  propriétés  de  la  ligne  droite  sont  l'écueil  et  le 
scandale  de  la  Géométrie.  Nous  sommes  aujourd'hui  bien  con- 
vaincus qu'il  y  a  dans  toute  Science  un  point  au  delà  duquel  on 
ne  peut  remonter  :  il  faut  poser  certaines  données,  certains  con- 
cepts, et  formuler  au  sujet  de  ces  concepts  des  axiomes  ou  postu- 
lats qui  reviennent,  au  fond,  à  les  définir.  On  posera,  par  exemple, 
au  début  de  la  Géométrie  élémenlaire,  les  concepts  de  point,  de 
ligne  droite,  et  l'on  formulera  cet  axiome  que  deux  points  déter- 
minent toujours  une  droite.  C'est  pour  le  géomètre  un  difficile 
problème  que  d'établir  la  Géométrie  sur  un  système  complet  et 
non  contradictoire  d'axiomes  indépendants;  dans  ces  derniers 
temps,  des  travaux  remarquables,  tels  que  ceux  de  M.  Hilbert  et  de 
M.  Veronèse,  ont  été  publiés  dans  cette  voie.  Suivant  qu'on  adopte 
tel  ou  tel  svstème  d'axiomes,  on  aura  telle  ou  telle  Géométrie.  On 
peut  maintenant  se  demander  quelle  est  l'origine  de  ces  postulats. 
Pour  Kant,  la  source  de  nos  connaissances  géométriques  est  dans 
rintuition,  et  les  axiomes  plus  ou  moins  explicitement  formulés 
au  début  de  la  Géométrie  ont  un  caractère  de  nécessité  absolue; 


.MÊLANGKS.  39 

I*e$pace  est  pour  Kant  une  forme  a  priori  de  notre  sensibilité. 
Aucun  géomètre  ne  peut  aujourd'hui  souscrire  à  cette  opinion, 
depuis  qu'on  a  montré  que  diverses  Géométries,  exemples  de 
toute  contradiction  logique,  peuvent  être  obtenues  en  parlant  de 
divers  systèmes  de  postulats,  et  l'on  doit  renoncera  cette  intuition 
directe,  antérieure  à  toute  observation,  que  nous  aurions  de 
l'espace. 

L'observation  et  l'expérience  jouent  donc  un  rôle  indispensable 
dans  la  formation  de  nos  connaissances  géométriques;  mais,  tout 
en  admettant  ce  point  indiscutable,  les  avis  sont  encore  très  par- 
tagés. Quelques  physiciens  voient  uniquement  dans  les  axiomes 
des  inductions  basées  sur  les  observations  et  les  mesures  faites  sur 
les  corps  :  c'est  l'empirisme  géométrique.  D'autres  attribuent  un 
rôle  plus  ou  moins  grand  à  l'esprit  travaillant  sur  les  données  de 
l'expérience.  Pour  certains  même,  comme  M.  Poincaré,  le  concept 
de  groupe^  sur  lequel  nous  reviendrons  dans  un  moment,  pré- 
existe dans  notre  esprit  et  s'impose  comme  forme  de  notre  enten- 
dement; en  outre,  plusieurs  interprétations  de  l'expérience  sont 
possibles,  et  parmi  celles-ci  l'esprit  a  choisi  la  plus  commode  et 
la  plus  simple.  Il  ne  faut  évidemment  pas  trop  presser  le  sens  de 
ces  termes,  qui  ont  surtout  ici  une  signification  algébrique;  en 
fait,  la  commodité  et  la  simplicité  peuvent  résulter  de  riiérédilé 
ci  de  l'habitude. 

Mais  ne  nous  attardons  pas  à  ces  questions  de  psychologie,  où 
Ton  risque  vile  de  ne  se  comprendre  qu'à  demi-mot,  et  restons  sur 
le  terrain  mathématique  et  logique.  J'ai  fait  tout  à  l'heure  allu- 
sion à  divers  systèmes  possibles  de  postulats.  Si  Ton  ouvre  unïraité 
de  Géométrie  élémentaire,  on  ne  trouve  formulé  bien  explicile- 
ment qu'un  seul  axiome;  il  porte  le  nom  Ae poslulatum  iV Euclide, 
En  réalité,  un  nombre  considérable  d'axiomes  sont  sous-entendus, 
el,  en  étudiant  les  plus  récents  travaux  sur  les  principes  de  la 
Géométrie,  on  est  ellVayé  à  la  vue  de  la  longue  lisle  des  postulats 
nécessaires  à  poser  pour  que  la  Géométrie  ait  toute  la  rigueur 
logique  qu'on  lui  attribue  généralement.  Les  plus  importants  se 
rapportent  aux  concepts  de  droites,  de  plans,  d'angles,  de  con- 
gniences  ;  il  en  est  un  autre,  d'une  nature  différente,  qu'il  pour- 
rait paraître  inutile  de  formuler:  c'est  le  postulat  de  continuité  ou 
axiome   d'Archimède.   Au    point   de  vue    lof;iquc,   ce  serait   une 


4o  IMUilMiÈUË   PÂKTIË. 

erreur;  ainsi  l'on  a  pu  construire  des  Géomélries  étranges  daos 
lesquelles,  en  portant  à  partir  d'un  point  d'une  droite  une  succes- 
sion de  segments  égaux,  il  n'est  pas  possible  d'atteindre  un  poiot 
déterminé  de  la  droite,  quelque  grand  que  soit  le  nombre  de  ces 
segments. 

En  posant  tous  les  axiomes  de  la  Géométrie  plane  habituelle, 
sauf  celui  d'Euciide,  et  en  supposant  que  par  un  point  on  puisse 
mener  une  infinité  de  droites  ne  rencontrant  pas  une  droite,  on 
sait  que  Lobatschcfski  et  Bolyai  ont  édifié  une  Géométrie,  trouvée 
de  son  côté  par  Gauss.  Dans  cette  Géométrie  non  euclidienne,  la 
somme  des  angles  d'un  triangle  est  inférieure  à  deux  angles 
droits;  ou  la  désigne  souvent  sous  le  nom  de  Géométrie  hjperbo* 
lique.  On  peut  admettre,  au  contraire,  avec  Riemann,  que  par  un 
point  on  ne  puisse  pas  mener  de  droite  ne  rencontrant  pas  une 
droite;  on  aura  alors  une  seconde  Géométrie  non  euclidienne  dite 
elliptique^  dans  laquelle  la  somme  des  angles  d'un  Iriangle 
dépasse  deux  droites.  On  dit  souvent  que  les  Géométries  planes 
peuvent  êlre  interprétées  par  la  considération  des  pseudo-sphères 
ou  des  sphères  del  espace  euclidien  ;  toutefois,  cette  interprétation 
n^est  valable  que  pour  une  portion  limitée  du  plan  non  euclidien 
et  non  pour  le  plan  tout  entier.  Une  autre  interprétation  dans 
l'espace  ordinaire  de  la  Géométrie  plane  elliptique,  valable  pour 
le  plan  entier,  a  été  donnée  récemment  par  M.  Klein;  considérons 
dans  l'espace  ordinaire  l'ensemble  des  droites  et  des  plans  pas- 
sant par  un  point,  puis  les  angles  dièdres  formés  par  deux  tels 
plans,  toute  relation  enlre  ces  éléments  sera  la  traduction  d'une 
relation  dans  le  plan  non  euclidien,  en  substituant  aux  mois 
droite  y  plan,  angle  dièdre,  les  mots  point,  droite  et  angle.  On 
s'c'ït  naturellement  demandé  comment  on  pouvait  être  assuré  que, 
dans  les  déductions  des  Géométries  non  euclidiennes,  on  ne  ren- 
contrerait jamais  de  contradictions.  Les  interprétations,  auxquelles 
il  a  été  fait  plus  haut  allusion,  sauf  celles  de  M.  Klein  pour  la 
Géomôlrie  elliptique,  ne  donnent  pas  une  réponse  satisfaisante, 
mais  celle-ci  peut  être  fournie  par  la  considération  des  formules 
auxquelles  on  arrive  en  (lôoniclrle  hyperbolique  et  qui  ne  sont 
autres  (|ue  celles  de  la  Trigonométrie  sphérl(|ue  ordinaire,  en 
supposant  le  rayon  de  la  sphère  purement  imaginaire.  Toutefois, 
si  l'on  est  ain>i  assuré  que  le  poshilalum  d'Euclide  ne  peut  être 


MÉLANGES.  4i 

démontré  en  restant  dans  le  plan,  il  reste  un  doute  sur  Pim- 
possibilité  de  la  démonstration  en  employant  des  constructions 
hors  du  plan.  L'étude  des  Géoméiries  ne  doit  donc  pas  se  borner 
au  plan;  ce  fut  là  Pœuvre  de  Riemann,  d^Helmlioitz  et,  il  y  b  dix 
ans,  de  Sophus  Lie.  Tous  trois  se  placent  à  un  point  de  vue 
analytique  et  considèrent  Tespace  comme  une  multiplicité,  c'est- 
à-dire  qu'un  point  est  défmi  par  un  système  de  trois  nombres 
qu'on  appelle  les  coordonnées  du  point  ;  on  ne  pose  plus  alors 
Ici  la  notion  de  plan  et  de  droite,  on  part  du  point  comme 
élément.  L'idée  fondamentale  d'HelmhoItz  consiste  à  porter 
Tattention  sur  l'ensemble  des  mouvements  possibles  dans  l'espace 
dont  on  fait  l'étude.  On  suppose  que  lous  ces  mouvements  for- 
ment un  groupe  dépendant  de  six  arbitraires,  qu'ils  laissent 
invariable  une  fonction  des  coordonnées  de  deux  points  (|uelcon- 
ques,  enfin  que  le  mouvement  libre  soit  possible,  comme  disait 
Ileimboitz.  I^ie  démontre  que,  dans  l'espace  à  trois  dimensions, 
il  n'v  a  avec  ces  conditions  que  trois  Géométries  possibles;  l'une 
e>l  notre  Géométrie  ordinaire,  et  les  deux  autres  correspondent 
aux  deux  Géométries  planes  dont  j'ai  parlé  plus  haut,  et  de  ce 
point  de  vue  analvtique  on  est  assuré  de  l'impossibilité  de  toute 
contradiction.  On  peut  aussi,  d'une  manière  [)lus  géométrique, 
retrouver  ces  résultats  avec  Cavley  et  M.  Klein,  qui  subordonne 
ia  conception  métrique  de  l'espace  à  la  conception  projective. 

On  voit  par  ces  indications  quel  bel  ensemble  forment  les 
éludes  faites  sur  les  principes  de  la  Géométrie..  Dans  ces  dernières 
années,  la  question  de  l'indépendance  des  postulats  a  surtout 
préoccupé  les  Géomètres  allemands,  et  c'est  en  construisant  des 
Géométries  aflranchies  de  tel  axiome,  tandis  qu'elles  en  conser- 
vent tel  autre,  que  l'indépendance  de  ces  axiomes  s'est  trouvée 
établie.  On  remarquera  aussi  combien  il  est  inexact  de  parler, 
comme  on  le  fait  quelquefois,  des  trois  seules  Géométries  possi- 
bles. Le  nombre  des  Géométries  logiquement  possibles  est  infini; 
tout  dépend  des  systèmes  de  postulats  que  Ton  adopte.  A.u  point 
de  vue  mathématique,  l'étude  des  principes  de  la  Géométrie  a 
oll'ert,  comme  nous  l'avons  dit,  à  Sophus  Lie  un  beau  champ  d'ap- 
plications pour  la  grandiose  théorie  des  groupes  de  transformations 
qu'il  venait  de  créer.  De  même,  quarante  ans  auparavant,  la  théorie 
de»  formes  quadratiques  de  différentielles  s'était  développée  grâce 


ijt  PREMIERE  PARTIE. 

aax  recherches  de  Kiemaao  §ur  les  principes  de  la  Géomélrie. 
C'e^l  ainsi  qae  des  études,  qui  paraissent  a^oir  d*abord  on  carac- 
tère pnrement  philosophique,  ont  contribaé  au  progrès  des 
Sciences  mathématiques. 


II. 

LES    XATHÉVJITIQCES  PIKES. 

L'Anal vse  mathématique  repose  sur  Fidée  de  fonction,  c'est- 
à-dire  de  dépendance  entre  deu\  ou  plusieurs  grandeurs.  Il  a  fallu 
longtemps  avant  qu'on  se  rendit  compte  de  la  complexité  extraor- 
dinaire de  celte  notion,  et  c'est  là  d'ailleurs  une  circonstance  qui 
a  été  heureuse  pour  les  progrés  de  la  Science.  On  a  fait  plus  ou 
moins  consciemment  certaines  hypothèses  reslriclives,  et  il  n'est 
pas  douteux  que  la  considération  des  phénomènes  naturels  a  plus 
d'une  fois  guidé  le  mathématicien  dans  le  choix  de  ces  hypothèses. 
Une  première  limitation  essentielle  a  été  celle  de  la  continuité. 
Suivant  le  vieil  adage  :  \atura  non  facit  saltiis,  nous  ayons  le 
sentiment,  on  pourrait  dire  la  crovance,  que  dans  la  nature  tout 
se  passe  avec  continuité.  Il  ne  s'agit  ici,  bien  entendu,  que  de  la 
notion  du  continu  physique  tirée  des  données  brutes  des  sens; 
nous  avons  dit  plus  haut  qu'au  point  de  vue  du  nombre  Tidée  de 
continuité  est  loin  d'élre  aussi  claire  qu'elle  le  paraît.  Le  sentiment 
confus  de  la  rapidité  plus  ou  moins  grande  avec  laquelle  s'accom- 
plit tel  ou  tel  phénomène  est  sans  doute  l'origine  première  de 
l'idée  de  dérivée  d'une  fonction,  qui  est  à  la  base  du  calcul  dilTé- 
rentiel.  On  a  particularisé  davantage  encore  Tidée  de  fonction  en 
considérant  les  fonctions  analvtiques,  c'est-à-dire  développables 
en  séries  de  Tavlor  dans  le  voisinage  d'une  valeur  arbitraire  de 
la  variable.  Les  fonctions  élémentaires  jouissent  de  cette  propriété, 
et  les  facilités  rpie  donne  la  possibilité  de  ce  dévelo|)pement  ont 
donné  aux  fonctions  analytiques  une  importance  considérable. 
Depuis  Lagrange,  et  surtout  après  les  travaux  de  Cauclij,  de 
Weierstrass  et  de  Rieniann,  la  théorie  des  fonctions  analvtiques 
est  devenue  une  branche  maîtresse  de  TAnalysc  mathématique. 
Klle  doit  son  brillant  essor  à  la  découvcrlc  de  quel(|ucs  proposi- 


MÉLANGliS.  43 

lions  générales,  parnii  lesquelles  se  Irouvent  au  premier  rang  les 
ihéorèines  de  Caiieby  sur  rintégration  le  long  d'un  contour. 
Depuis  vingt  ans,  une  partie  împorlanlc  de  TelTort  malhëmalique 
a  été  consacrée  soit  aux  fonctions  analytiques  en  général,  soit  à 
certaines  fonctions  spéciales.  Ne  pouvant  entrer  ici  dans  le  détail 
de  ces  recherches  abstraites,  qu'il  nie  suffise  de  citer  les  noms  de 
MM.  Poincaré,  Millag-Leffler,  Picard,  Appcll,  Goursal,  Painlevé, 
liadamard  et  Borel  en  Ire  bien  d'autres.  Les  singularités  des  fonc- 
tions analytiques  et  leurs  diverses  représentations  par  des  séries, 
des  intégrales  définies,  des  fractions  continues,  ont  été  étudiées 
d'une  manière  approfondie.  Parmi  les  travaux  les  plus  récents 
relatifs  aux  développements  en  ^rie,  mentionnons  les  développe- 
ments dus  à  M.  Mittag-Leffler,  cl  la  notion  de  série  divergente 
sommable  introduite  par  M.  Borel,  qui  Ta  brillamment  utilisée 
pour  Tétudc  des  propriétés  des  fonctions.  Parmi  les  fonctions 
particulières,  après  le  merveilleux  développement  de  la  théorie 
des  fonctions  algébriques  d'une  variable  et  des  transcendantes  qui 
s V  rattachent,  après  les  célèbres  travaux  de  M.  Poincaré  sur  les 
fondions  fuchsiennes,  les  fonctions  algébriques  de  deux  variables 
devaient  solliciter  l'effort  des  chercheurs.  Les  études  de  M.  Picard 
sur  ces  questions  concernent  le  point  de  vue  transcendant  ;  celles 
de  M.  xNœtlier,  de  MM.  Castelnuovo,  Enriques  et  Humbert  se 
rapportent  surtout  au  point  de  vue  géométrique  et  algébrique.  Le 
cliamp  si  vaste  des  fonctions  analytiques  de  plusieurs  variables 
est  maintenant  attaqué  de  différents  côtés,  et  les  résultats  déjà 
obtenus  promettent  une  ample  moisson  de  découvertes. 

Si  le  concept  de  fonction  analytique  comprend  aujourd'hui 
dans  son  domaine  les  fonctions  les  plus  importantes  de  l'analyse, 
on  ne  doit  cependant  pas  négliger  d'approfondir  l'idée  de  fonction 
dans  toute  sa  généralité.  Depuis  les  travaux  de  Riemann,  qui 
<îl«sa  les  fonctions  en  intégrablcs  et  non  intégrables,  et  de 
"cierstrass,  qui  donna  le  premier  exemple  d'une  fonction 
continue  sans  dérivée,  ces  études  ont  été  poursuivies  par 
M.  Darboux  et  M.  Dini  et  actuellement  par  quehjues  géomètres 
*ï*liens.  Je  ne  veux  signaler  qu'une  remarque  curieuse  montrant 
'comment  nous  devons  parfois  nous  méfier  de  nos  conceptions  les 
plus  simples.  Quoi  de  plus  simple,  semble-t-il,  qu'un  arc  de 
courbe  plane   pour   la(|uelle    les    coordonnées   d'un    point   (|ucl- 


44  IMlEMlEKH   PARTIE. 

conque  sont  deux  fonctions  continues  d'un  paramètre  variant 
entre  deux  limites?  Nous  suivons  en  quelque  sorte  des  yeux 
le  point  décrivant  cet  arc.  Cependant  M.  Peano  a  montré  qn^on 
peut  choisir  ces  deux  fonctions  de  telle  sorte  que  le  point  puisse 
prendre  une  position  quelconque  dans  un  certain  rectangle;  nous 
avons  alors  le  résultat  étrange  d^une  courbe  qui  est  une  aire. 
C'est  ici  le  triomphe  de  ceux  qui,  comme  je  le  disais  tout  à 
rheure,  se  méfient  de  Tinluition.  A  quoi  pourront  servir,  dira- 
t-on,  des  fonctions  aussi  bizarres?  Il  est  facile  de  répondre  que 
les  fonctions  n'ont  pas  besoin  de  servir  à  quelque  chose  et  que 
l'étude  de  l'idée  de  fonction  mérite  d'être  faite  pour  elle-même. 
Mais  de  plus,  avec  la  complexité  croissante  des  phénomènes 
naturels  dont  nous  devons  aborder  Tétude,  les  images  que  nous 
pourrons  nous  en  faire  ne  nous  conduiront-elles  pas  à  employer 
d'autres  fonctions  pour  leurs  représentations  que  les  fonctions 
aualvti(|ues  ?     Il     serait    téméraire    de    formuler    une    réponse 


négative. 


Mais  revenons  au  présent.  Toute  l'histoire  de  la  Science  montre 
les  rapports  qui  unissent  l'Analyse  pure  et  les  phénomènes  natu- 
rels. Celte  solidarité  se  traduit  mathématiquement  quand  on  a 
ramené  l'étude  d\in  phénomène  à  des  équations  dilTérentielles  ; 
ainsi,  pour  Fourier,  l'étude  de  la  propagation  de  la  chaleur  se 
ramène  à  une  équation  aux  dérivées  partielles  que  Ton  devra 
intégrer  à  Taide  de  conditions  aux  limites  propres  à  chaque  cas. 
De  même,  tous  les  résultats  de  la  théorie  mathématique  de  l'élas- 
ticité se  concentrent  dans  un  système  classique  d'équations  diflfé- 
renlielles.  Nous  reviendrons  sur  cette  réduction  au  point  de  vue 
de  la  Mécani(|ue  et  de  la  Physique,  quand  nous  parlerons  de 
Texplicalion  des  phénomènes  naturels.  Nous  voulions  seulement 
iri  faire  comprendre  rint<'*rèl  considérable  s'attachant  à  l'étude 
des  équations  différentielles,  (pii  se  présentent  d'ailleurs  dans 
presque  toutes  les  parties  des  Mathéniati(|ues  pures.  Dans  ces 
dernières  années,  la  théorie  des  (Mpiations  différentielles  a  fait 
l'objet  de  nombreuses  recherches.  Des  voies  nouvelles  ont  été 
ouvertes  et  dans  des  directions  varié<*s.  Il  faudra  sans  doute 
encore  uni»  lonj^iie  suite  d'elVorts  pour  \enir  à  bout  des  questions 
posées,  mais  nous  non>  rendons  compte  de  la  nature  des  diffi- 
cultés <|u*il  faudra  \alncrt\  La  plupart  des  géomètres  c|ui  se  sont 


MÈLANGKS.  iî 

occupés  de  la  lliéorle  générale  des  fonctions  analytiques  ont 
apporté  aussi  leurs  contributions  à  Tétude  des  équations  diflfé- 
rcntielles  ordinaires,  commencée  jadis  à  ce  point  de  vue  par 
Cauchj  et  continuée  par  Briot  et  Bouquet  et  par  M.  Fuchs.  Les 
recherches  les  plus  récentes  dans  cet  ordre  sont  celles  de 
M.  Painlevé,  que  la .  considération  de  certaines  équations  du 
second  ordre  a  conduit  à  des  transcendantes  nouvelles.  La 
Physique  mathématique  indiquait,  nous  Tavons  dit,  des  types  de 
problèmes  du  plus  haut  intérêt;  cette  voie  féconde  a  été  suivie 
par  de  nombreux  chercheurs,  comme  MM.  Schwarz,  Neumann  et 
Poincaré  pour  Téquation  de  Laplace;  MM.  Picard  et  Vollerra 
pour  des  équations  plus  générales.  A  un  autre  point  de  vue 
encore,  l'étude  des  courbes  définies  par  des  équations  différen- 
tielles a  été  renouvelée  et  des  méthodes  nouvelles  ont  été  créées 
par  M.  Poincaré;  la  liaison  étroite  de  ce  problème  avec  la  Géo- 
métrie de  situation  a  été  mise  en  évidence  et  très  heureusement 
utilisée  par  M.  Hadamard  dans  st;s  remarquables  recherches  sur 
les  lignes  géodésiques. 

Le  beau  traité  de  M.  Goursat  sur  les  équations  aux  dérivées 
partielles  du  second  ordre  vient  de  rappeler  l'attention  sur  des 
questions  importantes  quelque  temps  négligées,  comme  Tinté- 
gralion  enfeclive  à  l'aide  d'expressions  d'un  type  déterminé. 
Pareillement,  les  recherches  de  Géométrie  infinitésimale  ont  pris 
wn  grand  essor  sous  l'influence  du  grand  Ouvrage  de  M.  Darboux 
sur  la  théorie  des  surfaces;  ses  travaux,  ceux  de  MM.  Bianchi, 
Wcingarlcn,  Guichard  ont  donné  une  vie  nouvelle  à  cette  partie, 
SI  importante  depuis  Gauss,  des  Sciences  mathématiques,  et, 
entre  autres,  la  question  de  la  déformation  des  surfaces  s'est 
enrichie  de  résultats  remarquables. 

Nous  avons  parlé  tout  à  l'heure  de  l'œuvre  de  Sophus  Lie  sur 
la  théorie  des  groupes  de  transformations,  qui  restera  certaine- 
ment un  des  plus  beaux  monuments  de  l'Analyse  mathématique 
w  XIX*  siècle.  L'illustre  géomètre  en  avait  montré  l'importance 
"*ns  l'élude  des  équations  difler^entielles,  et  ses  élèves  ont 
eonlinué  ce  genre  de  recherches.  A  un.  tout  autre  point  de  vue, 
M.  Picard,  MM.  Vcssiot  et  Drach  ont  tiré  partie  de  la  théorie  des 
poupes  de  transformations  pour  étendre  à  l'Analyse  les  notions 
«fécondes  introduites  en  Algèbre  par  Galois,  de  telle  sorte  que 


i<»  PUHM]f:i(K  PÂKTIH. 

de  remarquables  analogies  entre  la  théorie  des  équations  difleren- 
lielles  et  la  théorie  des  équations  algébriques  ont  été  mises  en 
évidence. 

Il  nous  faut  encore  dire  un  mot  de  la  partie  la  plus  abstraite 
des  Sciences  mathémaliques,  celle  où  régne  le  nombre  pur.  Les 
célèbres  recherches  de  Kummer,  de  M.  Dedekind  et  de  Rronecker 
sur  les  nombres  algébriques  ont  été  Torigine  de  travaux  extrê- 
mement intéressants  publiés  surtout  en  Allemagne.  Toute  une 
Arithmétique  nouvelle  a  été  fondée,  où  les  lois  de  la  divisibilité 
se  présentent  d^abord  tout  autres  que  dans  l'Arithmétique  usuelle; 
on  y  voit  des  entiers  déconiposables  de  plusieurs  manières  en  fac- 
teurs premiers,  et  ce  n'est  qu'en  introduisant  la  notion  des  idéaux 
que  M.  Dedekind  a  pu  retrouver  les  lois  simples  auxquelles  nous 
sommes  habitués.  Citons  au  moins  le  nom  de  M.  Minkowski,  qui 
utilise  en  .Vrithmétique  les  conceptions  géométriques  et  vient  de 
rassembler  ses  profondes  recherches  dans  un  Livre  sur  la  Géomé- 
trie des  nombres,  et  les  noms  de  MM.  llilbert,  liurwitz  et 
Frobenius,  auxquels  la  théorie  des  nombres  et  l'Algèbre  pure 
doivent  d'importants  progrès.  Rappelons  enfin  que  M.  Lindemann, 
s'inspirant  des  profondes  recherches  d'Hermite  sur  la  transcen- 
dance du  nombre  e,  a  pu  établir  l'impossibilité  delà  quadrature 
du  cercle,  proposition  dont,  depuis  plus  de  deux  mille  ans,  on 
cherchait  en  vain  une  démonstration  rigoureuse. 


III. 

l.\    MKCAMQl  K   CKUKSTK    KT   l/ ASTRONOMIE   PlIVSIQrE. 

Nous  obéissons  aux  habitudes  en  parlant  ici  de  l'Astronomie, 
science  dont  une  partie  a  un  caractère  exclusivement  mathéma- 
tique et  dont  l'autre  rentre  en  réalité  dans  la  Physique.  L'Astro- 
nomie de  position  ne  nous  éloigne  pas  de  la  théorie  des  équations 
dinéreulielles  dont  nous  parlions  tout  à  l'heure.  Une  fois  posées 
les  lois  lie  la  gravitation  universelle,  et  le  Soleil  et  les  planètes 
étant  supposés  réduits  ù  des  points  matériels,  la  recherche  des 
positions  des  planètes  revient  à  l'intégration  d'un  système  d'équa- 
tions (liirrrontiellr>  (pii  s'écrit  aisément.  Malgré  leur  apparente 
simplicité,  ces  é(pialions  présentent  trr*normes  difficultés  et  font 


MÉLANGi:S.  4; 

depuis  longtemps  Tobjel  de  réliide  approfondie  des  géomètres  et 
des    astronomes.   Si   des   circonstances   particulières,    comme    la 
g^randeiir  de  la  masse  du  Soleil  par  rapport  à  celle  des  planètes, 
lie   s'étaient  présenlées,  les  procédés  d'inlégralion  par  approxi- 
mations   successives    emploies    par    les    astronomes    n'auraient 
c^onduit  à  aucun  résultat  ;  on  peut  donc    se   réjouir  des  circon- 
stances heureuses  à  qui  nous  devons  le  magnifique  épanouissement 
Je  la  Mécanique  céleste  depuis  plus  d'un  siècle.  Une  œuvre  magis- 
irale^dont  l'auteur  a  été  prématurément  enlevé  à  la  Science,  il  y  a 
quelques  années,  le  Traité  de  Mécanique  céleste  de  Tisserand, 
lionne  un  tableau  complet  de  l'état  actuel  de  l'Astronomie  mathé- 
rnaiique.  Nous  ne  pouvons  mieux  faire  que  de  reproduire  les  der- 
oières  lignes  de  cet  Ouvrage  qui  résument  les  progrès  de  l'Astro- 
nomie de  position   au  siècle  dernier  :   «  La  loi  de  Newton,  dit 
"Tisserand,  représente  en  somme  avec  une  très  grande  précision 
les  mouvements  de  translation  des  corps  célestes.  On  peut  être 
émerveillé  de  voir  que  les  inégalités' si   nombreuses,  si  compli- 
quées, et  quelques-unes  considérables,  du  mouvement  de  la  Lune 
soient  représentées  comme   elles  le  sont,   par  la   théorie.  Sans 
doute  il  reste  quelque  chose  :  dans  un  intervalle  de  deux  siècles 
et  demi  environ,  la  Lune  s'écarte  peu  à  peu  de  la  position  calculée 
jusqu'à  un  maximum  de  quinze  secondes  d'arc,  de  manière  que, 
durant  ce  long  intervalle,  le  bord  éclairé  de  la  Lune  passera  un 
peu  plus  tôt  ou  un  peu  plus  tard  devant  les  fils  d'araignée  de 
la  lunette  méridienne,  sans  (pie  l'avance  ou  le  retard  dépasse  une 
seconde  de  temps.  De  même  les  ])Ositions  des  planètes,  pendant 
«n  siècle  et  demi  d'observations   précises,  sont  représentées  à 
woinsde  deux  secondes  d'arc  près.  Il  y  a  une  exception  :  Mercure 
pcot  être  en  avance  ou  en  retard  d'une  quantité  qui,  pour  cer- 
taines régions  de  l'orbite,  s'élève  à  huit  secondes  d'arc,  soit  une 
demi-seconde  de  temps  au  bout  d'un  siècle.  Les  désaccords  pour 
knœud  de  Vénus  et  le  périhélie  de  Mars  sont  bien  moins  impor- 
tants. On  éprouve,  en  fin  de  compte,  une  admiration  profonde 
pour  le   génie   de  Newton   et  de   ses   successeurs   et   pour  les 

• 

inmenses  travaux  de  Le  Verrier,  poursuivant  pendant  plus  de 
^<^te  ans  son  enquête  méthodique  dans  toute  l'étendue  du 
système  solaire,  travaux  si  habilement  continués  et  développés 
par  M.  Newcomb.   » 


48  PIIKMIEHR   PARTIK. 

Il  nous  faut  ajouter  maintenant  que,  au  point  de  vue  théorique, 
le  mathématicien  a  lieu  d^étre  moins  satisfait  que  rastronome,  et 
Ton  peut  dire  que  les  équations  de  la  Mécanique  céleste  font  son 
désespoir.  Depuis  dix  ans,  M.  Poincaré  poursuit  sur  ce  sujet  des 
recherches  extrêmement  profondes,  qu'il  vierit  de  rassembler 
dans  un  Ouvrage  ayant  pour  litre  :  Les  méthodes  nouvelles  de  la 
Mécanique  céleste.  Les  conclusions  les  plus  importantes  ont  un 
caractère  négatif.  M.  Poincaré  montre  que  les  séries  employées 
en  Mécanique  céleste  ne  peuvent  être  toujours  convergentes  et 
qu'on  n'en  peut  rien  tirer  en  toute  rigueur  pour  la  position  des 
astres  à  trrs  longue  échéance;  ceci,  bien  entendu,  n'empêche  pas 
que,  pour  un  temps  assez  limité,  on  ne  puisse  avoir  confiance 
dans  les  prédictions  des  calculs  habituels,  grâce  aux  heureuses 
circonstances  auxquelles  j'ai  fait  allusion.  En  outre,  M.  Poincaré 
établit  qu'il  n'existe  pas  d'autres  intégrales  premières  uniformes 
que  celles  actuellement  connues.  Parmi  les  résultats  positifs  dus 
à  l'éminent  géomètre,  citons  les  solutions  périodiques  et  les  solu- 
tions asymptoliques  dont  il  a  démontré  Texislence  et  qui  permet- 
tront probablement  de  nioditier  le  ])oinl  de  départ  des  méthodes 
d'approximation  suivies  aujourd'hui.  Il  est  à  craindre  néanmoins 
que  les  efforts  des  analystes  viennent  échouer  longtemps  encore 
contre  les  immenses  difficultés  d'un  problème  posé  cependant  si 
nettement  :  les  lois  de  la  Nature  ne  sont  pas  toujours  simples 
pour  les  calculs  des  mathématiciens.  En  présence  de  ces  diffi- 
cultés, il  n'y  a  certes  pas  lieu  d'être  étonné  des  quelques  désac- 
cords (jue  présenlenl  avec  Tobservalion  les  théories  de  la  Lune  et 
de  Mercure;  on  peut  penser  que  c'est  à  noire  impuissance  ana- 
lytique, et  non  pas  à  la  loi  même  de  la  gravitation  universelle,  qu'il 
faut  attribuer  ces  légères  discordances. 

L'Astronomie  d'observation  a  fait  à  la  Physique  des  emprunts 
de  plus  en  plus  étendus.  La  Photographie  appliquée  à  l'Astro- 
nomie est  devenue  un  puissant  auxiliaire  de  l'Astronomie  de  posi- 
tion, en  permettant  d'entreprendre  la  Carte  céleste  internationale. 
La  Spectroscopie  avait,  dès  sa  naissance,  trouvé  dans  le  ciel  une 
de  ses  plus  remarquables  applications;  elle  a,  depuis,  révélé  la 
constitution  de  prescpie  tous  les  astres,  depuis  les  comètes  jus- 
qu'aux nébuleuses  et  même,  au  moyen  de  la  méthode  Doppler- 
Fizeau  dont  nous  parlerons  en  Pliysi(|uc,  décelé  la  vitesse  de  leurs 


MÉLANGES.  Î9 

mouvements  propres.  Si  la  Photographie  et  la  Spcctroscopie  ont 
pu  ainsi  changer  en  quelque  sorte  la  face  de  l\\slronomie  d'ob- 
servalion,  cela  est  dû  pour  une  bonne  part  aux  perfectionnements 
apportés  à  la  construction  des  instruments,  et  en  particulier  à  la 
puissance  des  objectifs  que  Ton  emploie  aujourd'hui.  Il  existe 
maintenant  plusieurs  lunettes  ayant  un  mètre  d^ouverture,  et  tout 
le  monde  a  vu  à  l'Exposition  la  grande  lunette  de  60™  dont  Tob- 
jectifa  i",20  de  diamètre.  Un  examen  rapide  des  divers  corps  du 
système  solaire,  puis  des  systèmes  beaucoup  plus  éloignés  formés 
par  les  étoiles  et  les  nébuleuses,  nous  montrera  les  résultats  essen- 
tiels obtenus  en  Astronomie  dans  ces  dernières  années. 

Il  est  indispensable  de  connaître  la  forme,  les  dimensions  et 
les  mouvements  de  la  Terre  que  nous  habitons.  L'Europe  presque 
tout  entière  a  été  couverte  de  triangles  géodésiques.  Les  Anglais 
ont  triangulé  Tlnde,  et  au  Cap  ils  ont  étendu  Tare  de  La  Caille 
qu'ils  songent  à  prolonger  jusqu'à  la  Méditerranée.  La  France 
reprend  en  ce  moment  l'arc  du  Pérou,  tandis  que  des  missions 
russe  et  suédoise  mesurent  un  arc  au  Spilzberg.  Les  mesures 
relatives  à  la  gravité  sont  toujours  le  complément  indispensable 
des  opérations  géodésiques.  Tandis  que  jusqu'ici  on  s'est  servi 
presque  exclusivement  dans  ce  but  du  pendule,  M.  Eolvos  vient 
de  modiGer  la  balance  de  torsion,  en  remarquant  que  la  pesanteur 
aux  divers  points  de  celte  balance  n'est  pas  la  même  que  celle  au 
centre  de  gravité  autour  duquel  se  font  les  oscillations,  ce  qui 
produit  un  couple.  Son  ingénieux  appareil  a  reçu  un  grand  prix  à 
TExposition. 

Le  mouvement  de  translation  de  la  Terre  donne,  comme  on 
sait,  naissance  à  ce  qu'on  appelle  l'aberration,  d'après  laquelle 
nous  ne  voyons  pas  exactement  les  étoiles  à  leurs  places  réelles  ; 
la  constante  si  importante  de  l'aberration  lie  paraît  pas  encore  être 
connue  avec  la  précision  désirable.  Dans  le  déplacement  annuel 
de  la  Terre  autour  du  Soleil,  son  axe  de  rotation  ne  reste  qu'à  peu 
près  parallèle  à  lui-même  ;  ses  mouvements  correspondent  à  la 
précession  et  à  la  nutation,  phénomènes  qui  produisent  les  varia- 
tions de  longitude  et  de  latitude  en  chaque  point  de  notre  globe. 
Dans  ces  dernières  années,  aucun  problème  astronomique  n'a 
suscité  plus  de  recherches  que  celui  de  la  variation  des  latitudes. 
Le  mouvement  en  spirale  du  pôle  sur  la  surface  terrestre  est  main- 

BêUt.  des  Sciences  malhém,,  a*  série,  l.  XXVI.   (Février  1902.)  4 


5o  PUEMIÈKE   PARTIE. 

tenant  établi,  et  il  est  hors  de  doute  que  dans  les  variations 
de  latitude  résultant  des  mouvements  du  pôle  il  existe  deux 
termes  périodiques  dont  l'un,  découvert  par  M.  Chandier,  est  de 
\/\  mois,  l'autre  étant  d'une  année.  Il  resterait  à  démêler  les 
causes  météorologiques,  géologiques  ou  autres,  produisant  ce 
mouvement  si  complexe. 

Les  études  d'Astronomie  physique  sur  le  Soleil  et  la  Lune  se 
poursuivent  régulièrement.  C'est  surtout  au  spectroscope  que 
nous  devons  nos  connaissances  sur  la  constitution  physique  du 
Soleil.  Ce  merveilleux  instrument  montre  que  la  plupart  des  corps 
connus  à  la  surface  de  la  Terre  existent  dans  le  Soleil  à  Tétai  de 
vapeur,  et  même,  chose  singulière,  il  a  révélé  dans  le  Soleil 
l'existence  de  l'hélium  près  de  3o  ans  avant  que  ce  gaz  fût 
découvert  parmi  les  éléments  terrestres.  Au-dessus  de  la  pho- 
tosphère se  trouve  une  enveloppe  rose  et  mince  qui  l'entoure, 
la  chromosphère.  Çà  et  là  celle-ci  s'élève  à  de  grandes  hauteurs, 
formant  ainsi  des  flammes  qu'on  appelle  les  protubérances.  En 
1868,  MM.  Janssen  et  Lockyer  avaient  montré  qu'on  pouvait  les 
observer  en  dehors  des  éclipses;  leur  spectre,  contenant  un  grand 
nombre  de  raies  brillantes,  a  été  étudié  avec  soin,  et  MM.  Haie  et 
Deslandres  ont  même  pu  obtenir  des  photographies  des  protubé- 
rances. En  interprétant,  avec  le  principe  Doppler-Fizeau,  les 
déplacements  des  raies  du  spectre  des  protubérances,  on  a  trouvé 
que  ces  flammes  sont  le  siège  de  mouvements  extrêmement 
rapides.  Au-dessus  de  la  chromosphère  se  trouve  la  couronne, 
qui  forme  la  dernière  et  aussi  la  plus  mystérieuse  des  enveloppes 
solaires.  On  l'aperçoit  seulement  pendant  les  éclipses  totales  de 
Soleil  sous  forme  d'auréole  à  lumière  argentée  entourant  le  Soleil 
et  la  Lune.  La  couronne  n'étant  observable  que  quelques  heures 
par  siècle,  nos  connaissances  sur  sa  nature  progressent  lentement. 
Parmi  les  raies  brillantes  de  son  spectre,  on  remarque  surtout 
une  raie  verte  produite  par  une  matière  encore  inconnue  sur 
la  Terre,  le  coronium.  D'après  les  observations  des  dernières 
éclipses,  M.  Deslandres  pense  que  la  couronne  tout  entière  tourne 
dans  le  même  sens  que  le  Soleil. 

La  portion  de  la  surface  de  notre  satellite  tournée  vers  la 
Terre  commence  maintenant  à  être  connue  avec  une  grande  pré- 
cision, grâce  aux  photographies  lunaires  faites  par  MM,  Lœvy  et 


MÉLANGES.  5( 

PuiseuiL  avec  le  grand  éqiiatorial  coudé  de  rObservaloire  de  Paris. 
Uq  grand  nombre  de  Caries  de  leur  magninque  Atlas  ont  déjà 
paru,  représentant  la  Lune  à  J'échelle  de  i"""  pour  iSoo*". 
Plusieurs  astronomes  pensent  actuellement  que  la  Lune  doit 
avoir  une  légère  atmosphère  qui  aurait  eu  autrefois  une  densité 
beaucoup  plus  forte  qu'aujourdMiui. 

N^ous  avons  vu  les  difficultés  subsistant  au  point  de  vue  de  la 
théorie  de  la  planète  Mercure.    Au  point   de   vue  physique,  sa 
surface  ne    présentant  jamais   que   de    rares  détails   difficiles  à 
saisir,  on  a  encore  quelques  doutes  sur  la  durée  de  sa  rotation 
autour  de  son  axe.  Longtemps  la  durée  admise  a  été  d'environ 
24   lieures,  mais,  d'après  les  observations  récentes  de  M.  Schia- 
parelli,    confirmées   par  M.    Perrotin,    elle    tournerait    sur  elle- 
luénie  dans  le  même  temps  qu'elle  tourne  autour  du  Soleil,  soit 
88      jours.   Quoique  la  planète   Vénus  soit  Tastre  le   plus   bril- 
lant,   du  ciel,  après  le  Soleil  et  la  Lune,  on  sait  peu  de  chose  de 
sa  constitution  physique,  sans  doute  a  cause  de  son  atmosphère 
épaisse:  la  durée  de  la  rotation  est  regardée  par  MM.  Schiaparelli 
et  F^errolin  comme  égale  à  225  jours.  Toutefois,  des  observations 
speo  troscopiques    très   récentes,   annoncées  par   M.    Bélopolskj, 
tendraient  à  la  ramener  à  peu  près  à  24  heures. 

I— a  question  des  canauv  de  Mars  n'a  guère  avancé  dans  ces  der- 
nièr^Cîs  années.  Pour  les  petites  planètes  comprises  entre  Mars  et 
Jupiter,  leur   nombre  s'accroît   sans   cesse   et    on   les   découvre 
maintenant   par   la   photographie.    Le    plus    intéressant   de   ces 
astéroïdes  est  Éros,  qui  a  été  découvert  par  M.  AVitt,  à   IJcrlin, 
en  1  898;  il  présente  cette  particularité  unique  de  se  trouver  par- 
fois entre  Mars  et  la  Terre,  et  de  passer  à  une  faible  distance  de 
celle-ci.  On  aura  ainsi  un  moyen  de  trouver  la  distance  d'Éros  à 
la  Terre,  et,  par  suite,  de  fixer  avec  une  précision  jusqu'ici  irréa- 
lisable les    dimensions   du    système   solaire;    une   entente    s'est 
établie  à  ce  sujet  entre  divers  Observatoires  à  la  dernière  Confé- 
rence astronomique  internationale.  Un  autre  événement  astrono- 
miqiie  important  a  été  la  découverte  faite  en  1892,  par  M.  Barnard, 
à  1  Observatoire  Lîck,  d'un  cinquième  satellite  de  Jupiter  dont  la 
révolution  autour  de  la  planète  est  d'environ  12  heures. 

*^s  questions  se  rattachant  aux  comètes  sont  très  nombreuses  ; 
<^<^sl  un  des  problèmes  les  plus  intéressants  à  Tordre  du  jour, 


52  PREMIÈRE  PARTIE. 

tant  au  point  de  vue  de  PAstronomie   de  position   qu'au  point 
de  vue  de  TAstronomie   physique   et   de  la   Cosmogonie.  On  a 
pensé  longtemps  que  les  comètes  venaient  des  espaces  interstel- 
laires et  pénétraient  le  plus  souvent  en  étrangères  dans  le  système 
solaire  pour  en  sortir  ensuite,  mais  on  admet  maintenant  qu'elles 
appartiennent  an  système  solaire.  La  désagrégation  des  comètes 
paraît  tenir  surtout  à  Faction  du  Soleil  et  des  planètes,  Taction 
prépondérante  étant  celle  du  Soleil,  qui  agit  lentement  par  son 
attraction  et  plus  énergiqucment  par  sa  chaleur.  Des  comètes  aux 
étoiles  filantes,  la  transition  est  immédiate.  La  parenté  entre  les 
deux  espèces   de   corps   est   indéniable,  mais,  malgré  les  beaux 
Travaux  de  M.  Schiaparelli,  bien  des  questions  restent  ouvertes, 
et   la  désagrégation  des  comètes  ne   sufHt   probablement  pas  à 
expliquer  comment  la  Terre  rencontre   tant  d^essaims  d'étoiles 
filantes. 

Si,  du  système  solaire,  nous  passons  au  monde  sidéral,  nous 
voyons  se  dresser  les  problèmes  les  plus  grandioses.  Il  est  inutile 
d'insister  à  nouveau  sur  Timportance  de  la  photographie  pour  la 
formation  d'une  (larte  céleste  et  d'un  Catalogue  d'étoiles.  Ce 
travail  immense  est  en  excellente  voie;  le  Catalogue,  qui  doit  ren- 
lerincr  les  coordonnées  exactes  de  deux  à  trois  millions  d'étoiles 
jusqu'à  la  onzième  grandeur,  sera  même  terminé  d'ici  peu.  Un 
des  problèmes  les  plus  captivants  de  l'Astronomie  sLellaire  est  la 
recherche  des  étoiles  doubles  ou  multiples  ;  longtemps  négligée 
en  France,  cetttî  branche  de  l'Astronomie  est  maintenant  cultivée 
avec  succès,  notamment  par  MM.  Callandreau,  Bigourdan  et 
Perrotin.  L'étude  du  mouvement  des  étoiles  doubles  ou  multiples 
a  révélé  en  (pielque  sorie  l'unité  primordiale  (jui  règne  dans 
l'Univers,  car  elle  a  montré  que,  dans  ces  systèmes  éloignés,  la 
nialière  obéit  aux  mêmes  lois  de  Taltraction  (|uc  dans  le  système 
solaire.  De»  plus,  on  a  pu,  en  observant  le  dédoublement  pério- 
(ll(|ue  (le  certaines  raies  spectrales,  conclure  (|ue  (juelques  étoiles, 
simples  sous  les  plus  forts  «grossissements,  étaient  doubles  et 
animées  d'un  mouvement  relatif  orbital.  Kniin,  une  autre  classe 
d'étoiles  doubles  est  formée*  par  celles  (|ui  ont  un  compagnon 
obscur,  dont  la  présence  n'est  révélée  (|ue  par  l'irrégularité  du 
mouvement  propre?  de  Tél^iile  principale  :  Ici  est  le  cas  de  Sirius. 
Mentionnons    i-ncorr    1rs    rltHlcs    dont    réclal    rsl    \iiriable,    le> 


BULLETIN  BIBLIOGRAPHIQUE.  53 

étoiles  nouvelles  comme  celle  qui  apparut  de  décembre  1891  à 
avril  iSga  dans  la  constellation  du  Cocher,  et  enfin  les  nébu- 
leuses, dont  on  fixe  aujourd'hui  avec  la  plus  haute  précision  pos- 
sible la  position  actuelle  dans  le  ciel.  Le  nombre  des  nébuleuses 
connues  a  considérablement  augmenté,  principalement  par  suite 
des  belles  observations  faites  dans  ces  dernières  années,  à  Paris, 
par  M.  Bigourdan;  leur  intérêt  tient  surtout  au  rôle  capital  que 
ces  astres  jouent  dans  les  théories  cosmogoniques,  chaque  nébu- 
leuse paraissant  constituer  un  monde  stellaire  en  formation. 


BULLETIN    BIBLIOGRAPHIQUE. 


Adams  (J.-C).  —  Scientijic  Papers.  T.  II.  In-4'*.  London,  Clay.  ij  sli. 

A?cDOTER  (H.)-  —  Leçons  sur  la  théorie  des  formes  et  la  géométrie 
analytique  supérieure,  T.  I.  In-S",  vni-5o8  p.  Paris,  Gaulhier-Villars. 

FaETCiNET  (G.  DB).  —  Essai  sur  la  philosophie  des  Sciences  {A na- 
iy-Me  :  Mécanique).  2*  édit.  In-8°.  xiii-336  p.  F^aris,  Gaulhier-Villars.  G  fr. 

Jahibucii  ûber  die  Fortschritte  der  Mathematik ^  begrundct  von 
C  Obrtmann,  herausgeg.  von  E.  Lampe.  29.  Bd.  Jahrg.  1898.  (In  3 
lieCtcn.)  I  Heft.  gr.  in-8°,  4iG  p.  Berlin,  G.  Reimer.  i3  m. 

KiLLi?»  (W.).  —  Lehrbuch  der  analytischen  Géométrie  in  homo- 
/^enen  Koordinaten.i  ThI.  Die  ebene  Géométrie,  gr.  in-8*,  xui-ido  p. 
avec  5o  fig.  Paderborn,  Schoningh.  4  m* 

LoaKNTZ  (H. -A.).  —  Lehrbuch  der  Differential-  u.  Integralrechnung 
u.  der  Anfangsgrûnde  der  analyt.  Géométrie,  Unler  Mitwirkg.  d. 
Verf.  ûbcrsetrt  von  G.-C.  Schmidt.  Gr.  in-8*,  VII-47C  p.  avec  118  fig. 
Leipzig,  Barth.  10  m.;  relié  11  m. 

Tbotiia  (Tu.-V.).  —  Die  kubische  Gleichung  u,  ihre  Auflôsung  fïir 
réelle^  iniagindre  u,  komplexe  Wurzeln,  Ein  Versuch.  Gr.  10-8", 
flf-L\l  p.  Berlin,  Ernst  und  Sohn.  2  m.  5o  pf. 

Ueur  angewandte  .\fathematik  und  Physik  in  ihrer  liedeutung  fiir 
den  Unterricht  an  den  hnheren  Schuîen.    Scbst  Erlduterunir  der  bc- 


j.\  PUEMlEUE    PAiniR. 

5rt^/.  Gôttinffcr  Universitâtseinrichtungen.  Vorirâge,  gesammelt  von 
F.  Klein  u.  K.  Riccke.  gr.  in-8",  viii-242  p.  avec  84  fig.  Leipzig,  Tcubncr. 
Relie,  G  m. 

Wkbkr  (H.).  —  Die partiellen  Differentialgleichungen  der  maihe- 
matisc/ten  Physik,  Nach  Hi.einann's  Vorlesungcn.  In-4  Aufl.  neu.  bearb. 
i  B(l.  gr.  in-8*,  xviii-fioG  p.  avec  portraits.  RrauDSchweig,  Vieweg  und 
Sohn.  10  m. 

Jankt  (  P.).  —  Leçons  d^électro technique  générale,  In-8",  ix-Gi4  p. 
avec  137  fijî.  Paris,  Gaulhicr-Villars.  uo  fr. 

Mascart  (Iî.).  —  Traité  de  magnétisme  terrestre.  In-S*»,  vi-44^  P- 
avec  fig.  Paris,  Gaulliier-Villars.  1  >  fr. 

Bksskl.  —  Zivôlf  liriefe  an  Olbers,  (A us  den  Sitzungsberichten  der 
prcuss,  Akad,  ti,  Wissvnsch.)  Gr.  iii-8",  18  p.  Berlin,  G.  Beimer.  i   m. 

BorciiK  (K.)ol  Lkvy  {\,.).  —  Analyse  infinifésimale,  à  l'usage  des 
Ingénieurs,  T.  1  :  Calcul  dijfércntiel.  hi-8".  viii-559  p.  Paris,  Gauthier- 
Villars. 

lUuTROix  kV.).  —  l/Imagination  et  les  .}f a  thématiques,  selon  Des- 
cartes,  ln-8'\  *»i  p.  Paris,  Aloaii.  •»  fr. 

KNt:^Ki.oi»vniK  der  mathematischcn  Wissenscha/tcn  m,  Kinschluss 
ihrer  Anwcnilungcn.  itcrausgeg.  im  Au/trage  tler  Akademieen  d, 
Wissenschtiftcn  iu  Mùnchcn  11.  llVr/i.  oio.  Il  Bd.  Anaivsis.  Redij;.  von 
II.  Burkhardt.  4-  Hofl.  (îr.  in-S"".  I.oiprij:,  Toubnor.  4  >"•  80  pf. 

lluiRN  vJ.-i»,V  —  S\  nopsis  der  h%*hcren  Atathematik.  111  Bd.  Diffe- 
rcntiat'  m.  inta.-ralrt'chnun::,  à  l.f;:    Tir.  in-i'*-  Borlin.  Hames.  5  ni. 

i>ST\v\iu's  klassiAer  der  t'rakten  U'issenschaf'ten.  y^*  IINIKL  ln-8'*. 
t.oipfij:.  Kusjolmann.  Bolio,  .»  ni.  i*>  pf. 

t\'^fttmu  :  \'  tu.  V.  VbcK  Vbhjiluiiunj;  ubcr  omo  Ivsondcrp  klassr  alge- 
hr4i>oh  4«f^<*loxtor  (%louhuiucu  v.Ss>V  Hcrausjîf j; .  xoii  V,  Iav^%%\.  .So  p. 
»i.»    pt.  \'    lî^.     V.  l.      i\iuoh\.     Vbhjn«{Uiiu    ul*or    bcstiinmt<r    Intégrale 

twix.hcn    iuui;«ii^i>rn    liimidi.    \«S:»^    llcrjiu^^ri:.    \on    P.    Slàckcl.    80   p. 
I  m.  î»  yi  \*  tî.î     l.açr^njtr  un.l  \  jiuchx,  /wci  VMutuiUins:^n  lur  Théorie 

ùoi   )MV*«iollfn   huVoivulMUWu'luiniLx'o  i    v^»\ij:     l;jv:uil  »iu  tVunoaiv  p,ir  li.   Ko- 
waiow-^W».    '»  p     I  m 

\lU>ii:lK    xJ,  «*.'••;;'.■•:.:«..":    .;'.  *    t.»'    .:';>;.      \»:      in-<\    V|1I-.m>    n. 

r\M\»H     M  I.-    .x..xv.:.-V      «..X     l  ..■.'        \t  :     ^    ':::.<.  T.  III . 


BULLETIN  BIBLIOGRAPHIQUE.  55 

IIaxdwobterbuch  der  Astronomie,  herausgegeben  von  W.  Valenliner. 
v?'t*  livraison.  Gr.  in-S".  Breslau,  Trcwendt.  3  m.  60  pf. 

Jaiirbuch  ûber  die  Fortsçhritte  der  Mathematik,  begrundct  von 
C-  Ohrlmann,  herausgep^.  von  E.  Lampe.  T.  XXIX,  année  1898,  i'  fasci- 
col<*  Gr.  in-8".  Berlin,  G.  Reinier.  ô  m. 

>1i:ller  (F.).  — Mathematisches  Vocabularium,  franzôsisch-deutsch 
u.  ^deutsch-franz.^  enth.  die  Kunstausdrùcke  aus  der  reine n  u,  ange^ 
w€*ndten  Mathematik,  Première  Partie  (français-allemand).  In-S**, 
i\-  i3i  p.  Leipzig,  Teubner.  Paris,  Gauthier-Villars.  8  m. 

Pascal  (E.).  —  Répertoriant  der  hôheren  Mathematik,  Deutsche 
\usgabe  von  A.  Schepp.  Analysis  u.  Géométrie,  i"  Partie.  Die  Ana- 
lysis.  Gr.  in-8*,  \ii-688  p.  Leipzig,  Teubner.  Relié.  10  m. 

RoucHÉ  (E.)  et  GosiBEROUSSE  (C.  de).  —  Traité  de  Géométrie.  7*  édi- 
tion. 2*  F^artie  :  Géométrie  dans  Vespace,  In-8*,  xviii-664  p.  Paris,  Gau- 
thier-Villars.  9  fr.  5o  c. 

SchijÔiiilcii  (O.).  —  Uebungsbuch  zum  Studium  der  hôheren  Ana^ 
lyiis.  n  Thl.  Aufgaben  aus  der  Integrairecbnung.  4*  édition  par  R.  Henke. 
Gr.  iii-8%  viii-448  p.  avec  fig.  sur  bois.  Leipzig,  Teubner.  9  m. 

Sbuet  (J.-A.).  —  Traité  de  Trigonométrie,  8*  édit.  In-80,  x-336  p. 
Paris,  Gauthier-Villars.  4  fr. 

Veiopfextlichungen  des  Centralbureaus  der  internationale  n  Erd- 
metsung,  Neue  Folge.  N"'  1  et  2.  Gr.  in-4».  Berlin,  G.  Reimer. 

Contenu  :  Bericht  ûbcr  die  Thâtigkcit  des  Centralbureaus  der  internat.  Erd- 
ncssuog  im  J.  1899,  nebst  dem  Arbeilspian  fur  1900.  28  p.,  2  planches.  3  m. 
^- Coho,  Ableitung  der  Declinatioacn  u.  Kigenbewcgungen  der  Sterne  fUr  dcn 
iotemat.  Breitendienst.  63  p.  3  m. 

^LDAKERA  (Fr.)'  —  Corso  di  mecanica  razionale.  T.  l.  In-8".  Pa- 
lermo,  Reber.  12  I.  5o  c. 

Meitz  (H.).  —  Electric  waves;  Researches  on  propagation  of 
tlectric  action  with  finite  velocity  through  space.  Traduit  par 
^'  1^' Jones.  In-8".  298  p.  London,  Macmillan.  10  sh. 

BotHM  (  K.).  —  Zur  Intégration  partieller  Differentialgleichungen. 
Gr.  in-g",  55  p.  Leipzig,  Teubner.  i  m.  80  pf. 

DuiAT.  —  Éléments  de  Méthodologie  mathématique.  In-8",  vii-i  102  p. 
Paris,  Xony  cl  C". 

I^iioiEK  (O.).  —  Lehrbuch  der  analytischen  Géométrie,  i  Thl.  Ana- 
l/tische  Géométrie  der  Ebcnc.  Gr.  in-S",  viii-35o  p.  avec  83  fig.  Berlin, 
U.  Th.  Ilofmann.  6  m. 


ï.~;-il9  p. 


i.f:   Jer 


^^^^^1.1  II  II 

J 

14 •.H>«^TX  m  r^ElN*.  U-li  id^i..    ...                                                            ^^^^H 

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MLTrBOSMXQUS,   p.>J>IU.   Mr  U  OdMail                       ^^^| 

1 

TABLE  DES  VAJttntSf 


FCnun  UM. 


bLTUu»*  •  L  -     -  L^^u>  am  in  i< 


Kmt  dM  pnbUexUaas 
ioruUL  ftir  die  Mao  anJ  M^«nuiill<'  Hai 


LIBRAIRIE  GAI  IHiKK-x  II  I  vlisj 


KODCaË     EucnF 


BULLET1^ 


ENn^SMATIlÉMATIQlES.iîn 


i'>ii)\,  n.  ncARO  RT  i.  nMMiuv, 


i  Au  la  CummiatitiD  d«i  Rsnttts  Êtodea.  ^  ï  =  *  * 

§|ff" 
S  ?  s  s 

S  ■'  1 

«i.lilcl'l  i.  IJtNKItM  ^  ;  " 


....«II-  ,  I  t  I  -î  J 


■À~'-^^ 


U'LIblItlIIB 

l'titïTf'tlWIflll. 


LIBRAMIIE   GAUTniKn-VILLAn^ 

qDAIDH««B*XI>»-AC(iVSti!<e,S^,  A  PARIt. 


fUSItilCATIOli  I  Cl." 


p  la  UiAontj  •)•> 


IuA'.^»//c  ^^.Mlft 


EéiMntfilqi 


lABBOTI^B.  :B.' 


(AVPKI.I.  !P->. 


cMirim  Nlstbr>i|Ui 


i:OMPTES  RENDUS  ET  ANALYSES. 


COMPTES   UENDUS   KT  ANALYSES. 


PICARD  (E.}.  —  (JiKLOi'Es  BKFi.ExioNs  Sun  r.v  Méuamul-k  snivios  crime  l'nK- 
xiÈBB  Leçon  DK  UvNAViQL'E.  I  vol.  in-«,  ■(()  |in^cs.  ii(H9^,  l'jirifi,  ll;iiilliiiT- 
ViUars. 


La  première  l'arlic  de  cnL  inlûrRssant  uftusciilc  a  paru  ilans  lu 
Bulletin;  quant  à  la  Premii-re  Leçon  de  Dynamiijui'  (jiii  lo  tcr- 
nioe,  tous  ceux  <]iii  â'îiilùre'i.sdiil  à  rensci<;tipinciil  di;  la  ^l>.>cani(|iio 
nmdronl  sûrement  la  lire  et  la  méditer.  Il  nous  suffini,  en  l'iin- 
Bonçant,  d'indiquer  rapidement  la  suite  des  idées  de  l'auteur. 

M.  l'icard  définit  d'abord  le  cliam|)  <!•'  forces  con^tanlos  et 
introduit,  pour  ce.  cas,  le  principe  de  riiKlé|)ondani'o  de  l'elfet 
des  forces  et  du  mouvement  antérieurement  acquis.  Ce  principe 
lui  permet  d'élablirla  constance  dernccéléralion.  ]l  insiste  ensuite 
«r  11  difTérencc  entre  la  conception  th'H(tmiqti<-  de  la  force 
conitaote,  ainsi  obtenue,  cl  la  conception  sfittif/iie.  Que  les 
Bonilires  représentant  1rs  forces  envisagées  an  point  de  vno  sta- 
tiljaeet  au  point  de  vue  djnamitpie  soient  proportionnels,  c'est  là 
un  riiullat  expérimental.  L'expérience  iipprend  aussi  que  dans 
un  même  cliatnp  raccêlération  du  mouvement  produit,  que)  que 
Mit  le  poÎQl  matériel,  est  la  même.  Ce  principe  expérimental 
«enduit  à  altriluieranx  iliirércnts  points  matériels  des  coeflieienls 
numériques  (masses)  (|ui  apparaissent  d'abord  comme  un  sy-ilème 
de  Doinlircs  proportionnel^.  La  relation 


I'"' 


■""itreque,  si,  pour  un  point  tli 
"«pour  tont  autre  point  !■' =  i 
'«ucni  précisée  par  lu  <[<'-linitio 
•l'initès.  L'éyalité  fîéomélrl.]ue 
'"Pposp  plus  <)ne  la  force  si.il  coi 
M  mouvement  réel  du  poinl  cum 
■^""'cmeiits    discontinus    produits     par  <l< 

""Il  -tu  Sri.-111-e^  iilflllir,,,..   i-  -^.li,'.    I.  WVI. 


tniiK-, 

il. 

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58  PUEMIËRE  PARTIE. 

Quelques  exemples  simples  mettent  en  évidence  la  portée  et 
l'usage  de  cette  égalité.  La  Leçon  se  termine  par  quelques  défini- 
lions  relatives  au  travail  dUine  force  et  aux  imités  employées 
pour  le  mesurer. 


MELANGES. 


LE  CATALOGUE  INTERNATIONAL  DE  LITTÉRATURE  SCIENTIFIQUE  ('): 

Par  m.  Gaston  DAHBOUX. 

Dans  un  article  du  Journal  des  Savants,  où  nous  avons  rap- 
pelé les  démarches  et  les  pourparlers  qui  ont  précédé  et  pro- 
voqué la  formation  de  V Association  internationale  des  Aca- 
démies, nous  avons  fait  allusion  plus  d'une  fois  au  Catalogue 
international  de  littérature  scientifique,  dont  la  Société  Royale 
de  Londres  a  pris  l'initiative  et  assumé  la  publication.  Nous 
revenons  aujourd'hui  sur  ce  sujet  pour  faire  connaître,  d'une 
manière  phis  complète,  le  but,  le  plan  et  l'étendue  de  cette  entre- 
prise bibliographique.  Le  sujet,  sans  doute,  est  aride  et  un  peu 
sévère,  mais  l'entreprise  est  sans  précédent;  et  il  a  fallu,  pour  la 
faire  réussir,  un  concours  d'efforts  et  de  bonnes  volontés  sur 
lequel  il  est  peut-être  intéressant  d'insister. 

Depuis  longtemps,  on  le  sait,  la  Société  Royale  de  Londres  était 
engagée  dans  la  publication  d'un  Catalogue  des  Notes  et  Mémoires 
scientifiques  {Catalogue  of  scientific  Papers)^  bien  connu  à  la 
fois  des  bibliothécaires  et  des  savants.  Ce  répertoire  contenait,  à 
l'exclusion  des  Ouvrages  séparés  dont  la  recherche  est  relative- 
ment facile,  les  titres  des  Notes  et  Mémoires  publiés  dans  les 
Revues  et  Journaux  scientifiques  du  monde  entier  depuis  le  com- 
mencement du  xTx'  siècle,  ces  litres  clant  classés  seulement  dans 


(')  K\tr;iil  <ln  Journal  des  Sfnants. 


MÉLANGES.  5o 

l'om^dre  alphabrliqiic  «les  noms  d'auteurs.  C'élail  un  savant  anu'ri- 

ca  î  ■^1  M.  le  professeur  Henry,  de  Washington,  qui,  le  premier,  au 

Congrès  de  TAssocialion  britannique  tenu  en  i855,  avait  appelé 

Ta  t,  lenlion  sur  les  services  que  pouvait  rendre  un  tel  Catalogue;  et 

dtV  ^    ï^oj,  la  Société  Royale  en  commença  la  publicalion.  De|)uis 

ce  1.  te  date,  1 1  volumes  in-4"  ont  été  successivement  publiés,  com- 

prc^  nanties  litres  des  Mémoires  parus  depuis  1800  jusqu'à  i883. 

Lcïs»  lacunesque  présentaient  les  premiersVolumes  ont  été  comblées 

en       parlie  dans  les  derniers  ;   un   Catalogue  supplémentaire,   qui 

co  v:m  tiendra  tous  les  Mémoires  dont  les  titres  ont  été  omis  dans  les 

Vol  unies  précédents,  est  complètement  achevé  et  va  paraître  dans 

quelque  temps.   La  Société  Royale  a  l'intention  de  compléter  le 

travail  dont   elle   a   pris   la   charge   et    de   le   conduire  jusqu'à 

l'aiti  née  1900.  Il  y  a  plus  :  grâce  à  la  libéralité  d'un  de  ses  membres, 

M.    le  docteur  Ludwig  Mond,  elle  l'accompagnera  d'un  index  par 

ordre  de  matières,  qui  facilitera  les  recherches  et  accroîtra  nola- 

blenent  l'utilité  de   cette   belle  publicalion.   Ainsi   se   Irouvera 

achevé  le   Catalogue  bibliographique   de  l'œuvre  si  importante 

accomplie  dans  tous  les  ordres  de  recherches  scientifiques  durant 

le  siècle  qui  vient  de  finir. 

C'est  à  partir  de  1901  que  prendra  donc  naissance  le  nouveau 
Catalogue  international  de  littérature  scientifique  dont  nous  dési- 
rons entretenir  nos  lecteurs.   Il  faut  d'abord  faire  connaître  les 
motifs  vraiment  impérieux  pour  lesquels  la  Société  Royale  a  cru 
nécessaire  d'interrompre  son  œuvre  ou,  plus  exactement,  de  faire 
appel,  pour  la  continuer,  à  la  coopération  des  savants  de  tous  les 
pays.  Depuis  le  commencement  du  xix*  siècle,    les  recherches 
scientifiques  se  sont  accrues  dans  une  proportion  dont  on  se  fera 
une  idée  d'après  les  chifFrcs  suivants.  Si  on  laissait  de  coté  les  col- 
lections académiques,  d'ailleurs  peu  nombreuses  et  paraissant  à 
des  intervalles  éloignés,  on  pourrait  sans  doute  faire  tenir  en  une 
p*ge  la  liste  des  périodiques  cjui,  vers  l'année  1800,  s'occupaient 
des  Sciences  pures  ou  de  leurs  applications.  Il  y  a  aujourd'hui  près 
de  10000  périodiques  de  ce  genre  :  900  environ  en  France,  i3oo  en 
Allemagne,  1000  en  Américjuc,  etc.  Pour  composer  le  nouveau 
Catalogue,  il  faudra  donc,  nous  ne  dirons  pas  analyser,  mais  par- 
courir tout  au  moins  ces  io(K)o  périodiques,  qui  sont  écrits  dans 
(odlcs  les  langues  possibles  c\  traitent  les  sujets  les  plus  variés. 


Go  PREMIÈRE   PARTIE. 

On  conçoit  bien  qu'une  telle  entreprise  ne  peut  être  centralisée, 
qu'elle  dépasse  les  moyens  et  les  ressources  de  toute  Académie, 
quelque  puissante  et  quelque  active  qu'on  la  suppose.  De  plus, 
les  savants  s'accordent  à  reconnaître,  depuis  longtemps,  qu'un 
catalogue  par  noms  d'auteurs  ne  rend  que  des  services  incomplets. 
Ce  qui  est  vraiment  utile,  c'est  la  classification  par  ordre  de 
matières;  elle  seule  répond  aux  exigences  des  travailleurs,  dont  le 
désir  très  légitime  est  d'être  renseignés,  aussi  complètement  et 
aussi  promptement  que  possible,  sur  toutes  les  découvertes 
publiées  dans  le  domaine  qui  les  intéresse  plus  particulièrement. 

La  publication  du  Catalogue  par  noms  d'auteurs  devait  amener 
naturellement  la  Société  à  s'occuper  de  toutes  ces  questions;  après 
avoir  pris  l'avis  des  personnes  les  plus  compétentes  et  s'être  assuré 
l'adhésion  des  divers  corps  savants,  elle  provoqua  la  convocation 
d'une  Conférence  internationale,  qui  se  réunit  à  Londres,  du  i4  au 
i^  juillet  1896,  et  qui  réunit  les  représentants  officiels  des  pays 
suivants:  Allemagne,  Autriche,  Belgique,  Danemark,  Etats-Unis, 
France,  Grande-Bretagne,  Grèce,  Hongrie,  Italie,  Japon,  Mexique, 
Norvège,  Pays-Bas,  Suède,  Suisse,  Canada,  colonie  du  Cap,  Indes, 
Natal,  Nouvelle-Galles  du  Sud,  Nouvelle-Zélande,  Queensland. 

La  Conférence  comprenait  une  quarantaine  de  délégués.  Ceux 
de  la  France,  MM.  Deniker  et  Darboux,  avaient  reçu  pour  mission 
de  prêter  leur  concours  à  une  œuvre  dont  l'utilité,  je  dirai  presque 
la  nécessité,  ne  paraissait  pas  pouvoir  être  contestée.  La  Confé- 
rence fut  présidée  par  l'honorable  sir  John  Gorst,  délégué  du 
Gouvernement  britanni([ue,  avec  un  talent  et  une  courtoisie  aux- 
quels nous  sommes  heureux  de  rendre  hommage. 

On  s'enlendit  tout  d'abord,  et  sans  peine,  sur  le  point  essentiel. 
Tous  les  délégués  s'accordèrent  à  reconnaître  qu'il  était  désirable 
de  compiler  et  de  publier,  à  l'aide  de  la  coopération  internatio- 
nale, un  Catalogue  complet  de  littérature  scientifique,  classé  sui- 
vant les  sujets  et  aussi  suivant  les  noms  des  auteurs.  On  déclara 
également  que,  dans  la  préparation  de  celle  publication,  on  devait, 
avant  tout,  avoir  égard  aux  exigences  des  chercheurs,  afin  que 
ceux-ci  pussent,  à  Taide  du  Catalogue,  trouver,  avec  le  minimum 
(l'efi^ort,  tout  ce  qui  aurait  <'lé  publié  sur  une  question  ou  sur  un 
sujet  donnr. 

(les  points  élant  éliiblis  d'un  accord  unanime,  il  fallait  aborder 


MÉLANGES.  6i 

les  moyens  d'exécution.  On  s'arrtHa  à  l'organîsalion  suivante,  qui 
élaîl  en  quelque  sorte  imposée  par  la  nature  de  l'œuvre  à  entre- 
prendre. On  décida  d'abord  que  les  matériaux  nécessaires  à  la 
confection  du  Catalogue  seraient,  autant  que  possible,  recueillis 
dans  les  difl(érents  pays  par  désorganisations  locales  ou  Bureaux 
régionaux  y  constitués  à  cet  cflet;  que  l'édition  définitive  et  la 
publication  du  Catalogue  seraient  confiées  à  un  Bureau  central 
iniernationaly  chargé  de  recevoir,  de  contrôler,  de  classer  et  de 
faire  paraître  les  documents  envoyés  par  les  différents  bureaux 
régionaux;  que  ce  Bureau  central  serait  placé  à  Londres  et  qu'il 
accomplirait  sa  tâche  sous  la  direction  et  le  contrôle  d'un  Conseil 
international f  composé  d'un  petit  nombre  de  délégués  des  prin- 
cipaux États. 

Ces  différentes  décisions  réglaient,  sous  la  forme  la  plus  précise 
et  la  mieux  appropriée,  l'organisation  du  travail  qui  devait  être 
accompli  pour  l'exécution  du  Catalogue;  mais  il  restait  à  examiner 
un  grand  nombre  de  questions  délicates  et  difficiles  relatives  au 
plan  et  à  l'étendue  de  ce  travail.  La  Conférence  décida  tout  d'abord 
que  le  nouveau  Catalogue  serait,  comme  l'ancien,  exclusivement 
consacré  à  la  Science  pure,  dégagée  de  toutes  ses  applications;  mais 
elle  fit  disparaître  avec  raison  l'exclusion  qui  frappait  les  brochures 
el  les  ouvrages  séparés.  Une  de  ses  résolutions  porte,  en  effet, 
que  le  nouveau  Catalogue  devra  comprendre  toutes  les  contribu- 
tions originales  aux  diverses  branches  de  la  Science  qui  paraîtront, 
soit  dans  les  revues,  soit  dans  les  recueils  des  Sociétés  savantes, 
soit  comme  livres,  brochures  ou  mémoires  indépendants.  Ce  point 
ne  souleva  pas  de  difficultés.  On  eut,  au  contraire,  quelque  peine 
à  dresser  la  liste  des  Sciences  qui  devaient  figurer  dans  le  Cata- 
logue et  Ton  s'arrêta  à  la  rédaction  suivante  qui  réservait  les  points 
sur  lesquels  l'accord  n'était  pas  complet  : 

M  Devront  entrer  dans  le  Catalogue  toutes  les  contributions  aux 
Sciences  mathématiques,  physiques  et  naturelles;  par  exemple  : 
Mathématiques,  Astronomie,  Physique,  Chimie,  Minéralogie, 
Géologie,  Géographie  mathématique  et  physique,  Botanique, 
Zoologie,  Anatomie,  Pathologie  générale  et  expérimentale,  Psy- 
chologie expérimentale,  Physiologie  et  Anthropologie,  à  l'exclu- 
sion de  ce  qu'on   nomme   parfois  les  Sciences  appliquées;    les 


62  PHliMIÊUE   PAHTIE. 

limilcs  de  ces  différenles  Sciences  seront  délcrminées  ullérieiire- 
menl.   >> 

Mais  la  question  qui  souleva  les  discussions  les  plus  vives  fut 
celle  de  la  classiflcation  à  adopter  pour  le  nouveau  Catalogue.  Les 
délégués  de  la  Belgique,  MM.  La  Fontaine  et  Otiet,  étaient  deux 
des  directeurs  de  V Institut  international  de  bibliographie,  qui 
a  été  établi  à  Bruxelles  en  1895,  sur  l'initiative  d'une  Conférence 
bibliographique  internationale,  et  Ton  sait  que  cet  Institut  a 
adopté  le  système  décimal  du  docteur  Dewev.  Une  discussion  un 
peu  confuse  s'engagea  sur  ce  système,  qui,  appuyé  par  le  délégué 
autrichien,  fut  combattu  par  d'autres  et  en  particulier  par  les  deux 
délégués  américains,  le  docteur  Billings  et  le  professeur  Newcomb. 
On  ne  (ït  pas,  à  notre  avis,  une  distinction  assez  nette  entre  deux 
points  essentiels.  Dans  le  système  Dewey,  comme  dans  tout  s^'s- 
tème  de  classification,  il  y  a  deux  choses  bien  distinctes  :  le  clas- 
sèment  des  matières  et  des  sujets,  qui  est  le  point  essentiel,  et, 
d'autre  pari,  le  système  d'indexation.  Les  objections  au  classe- 
ment, tel  qu'il  avait  été  établi  par  Tcdition  de  1894  du  système 
Dewey,  nous  paraissent  des  plus  sérieuses.  Il  y  a,  au  contraire, 
des  choses  intéressantes  dans  le  système  d'indexation  adopté  par 
le  Bureau  bil)liographi(|ue  de  Bruxelles.  ISous  avons  visité  cet 
Institut  en  1898  et  nous  avons  été  frappé  de  l'importance  des 
résultats  qu'il  a  obtenus  avec  un  |)crsonnel  et  des  moyens  relati- 
vement restreints. 

Finalement  la  Conférence  déclara  (ju'elle  ne  pouvait  accepter 
aucun  des  systèmes  récemment  proposés  et  décida  que  la  question 
(le  la  classification  devait  faire  l'objet  de  nouvelles  éludes. 

Elle  examina  ensuite  sons  quelle  forme  le  Catalogue  devrait  être 
composé.  Comme  la  question  financière  n'avait  pas  été  soulevée 
el  comme  les  délégués  ne  pouvaient  se  rendre  compte  encore  de 
loiites  ses  difficultés,  (juelques-uns  firent  les  propositions  les 
plus  larges.  On  voulait  à  la  fois  un  Catalogue  sur  fiches,  un  Cata- 
logue |)ar  ordre  de  matières  et  un  Catalogue  par  noms  d'auteurs. 
La  (Conférence  décida  que  le  Bureau  central  éditerait  le  Catalogue 
sous  forme  de  fiches  et  que  les  fiches  relatives  à  une  ou  plusieurs 
sciences,  ou  à  (|uelqucs-uncs  de  leurs  sections,  seraient  fournies 
au  public  par  les  soins  du  Bureau  central.  Elle  décida  égalemeni 


MÉLANGES.  63 

que  le  Bureau  central  aurait  à  publier  le  Catalogue  sous  forme  de 
livre  à  des  intervalles  régulièrement  espacés. 

En  résumé,  deux  questions  essentielles  avaient  été  réservées  : 
celle  de  la  classification  et  celle  des  moyens  financiers  à  adopter 
pour  la  confection  et  la  publication  du  Catalogue.  La  Société 
Royale  fut  priée  de  choisir  dans  son  sein  un  comité  qui  aurait 
pour  mission  de  les  résoudre  en  même  temps  que  quelques  autres, 
moins  importantes,  laissées  en  suspens,  et  de  faire  un  rapport 
sur  ce  sujet  à  tous  les  Gouvernements  intéressés. 

Tel  fut  le  résultat  de  la  première  Conférence;  il  était,  somme 
loute,  très  encourageant.  Tous  les  délégués  avaient  pris  part  aux 
discussions  en  manifestant  le  désir  le  plus  sincère  de  voir  aboutir 
Tœuvre  considérable  proposée  par  la  Société  Royale  ;  des  réso- 
lutions précises  et  concordantes  avaient  été  adoptées  sur  les  points 
principaux.  Les  discussions  qui  avaient  eu  lieu  sur  les  questions 
réservées  avaient  donné  aux  délégués  Tidée  la  plus  nette  des  dif- 
ficultés qui  se  présentaient  encore;  et  ces  difficultés  étaient  loin 
de  paraître  insurmontables. 

Le  comité  que  nomma  la  Société  Royale,  sur  l'invitation  qui 
lui  avait  été  adressée  par  la  Conférence,  travailla  près  de  2  ans. 
Il  élabora  des  classifications  très  étendues  et  très  détaillées  pour 
les  diflercntes  sciences  qui  devaient  figurer  dans  le  Catalogue;  il 
serra  de  près  aussi  la  question  financière  en  faisant  connaître, 
dune  manière  aussi  approchée  que  possible,  les  dépenses  qu'en- 
IraÎDerait  la  publication  du  Catalogue  projeté.  Son  rapport,  publié 
ca  mars  1898,  fut  envoyé  à  tous  les  Gouvernements,  qui  furent 
invués  à  prendre  part  à  une  deuxième  Conférence  internationale, 
dans  laquelle  on  s'efforcerait  de  résoudre  toutes  les  questions  qui 
**'aieni  été  réservées. 

Celle  deuxième  Conférence  se  réunit  à  Londres  du  1 1  au 
i3  octobre  1898.  Elle  comprenait  des  délégués  de  tous  les  Gou- 
^'crnements  représentés  à  la  première,  à  l'exception  du  Dane- 
"•rk,  de  la  Grèce,  de  riialie,  du  Canada  et  de  la  Nouvelle-Galles 
du  Sud.  Confirmant  presque  toutes  les  résolutions  adoplccs  dans 
«prenaière  réunion,  elle  ne  put  cependant  parvenir  à  des  résolu- 
tJOns  définitives  en  ce  qui  concernait  les  deux  questions  princi- 
pales qu*elle  avait  à  résoudre,  à  savoir  la  classificalion  par  ordre 
de  matières  et  les  moycnj»  financiers.  Toulefois,  les  vues  qui  furent 


64  PREMIERE  PARTIE. 

échaQ::ées  sur  ces  deux  poinls  essenliel s  furent  loîo  d'élre  iouliies, 
et  Ton  put  s'entendre  notamment  sur  les  principes  qai  devaient 
ré^ir  le  s%'§lème  de  classification.  Un  Comité  intemational  provi- 
soire composé  de  huit  membres  fut  chaîné  d'élaborer  le  plan  défi- 
nitif du  Catalogue  projeté. 

On  étudia  aussi  de  plus  près  les  questions  relatives  à  la  partici- 
palidti  financière  des  différents  Gouvernements,  et  il  fut  reconnu, 
sur  la  proposition  des  délégués  français,  que  la  forme  la  plus  faci- 
lement réalisable  de  celte  participation  était  celle  d*ane  souscrip- 
tion à  un  nombre  déterminé  d'exemplaires  du  Catalogue*  garantie 
par  chacun  des  Gouvernements  pour  une  période  de  5  ans. 

Le  Comité  international  provisoire  chargé  d*exécuter  les  réso- 
lutions delà  ijonférence  se  réunit  à  Londres  du  i"au  5aoûl  1899. 
Il  se  composait  de  sir  M.  Foster.  de  MM.  Armstrong,  Rûcker  pour 
la  Grande-Bretagne,  de  MM.  F.  Klein  et  Schwalbe  pour  TAIle- 
magne,  de  M.  Koppeu  pour  la  Russie  et  de  M.  H.  Poincaré  pour 
la  France.  Il  prit  connaissance  des  rapports  envovés  par  les  difie- 
rents  pavs  et  adupla  des  classifications  pour  les  17  sciences  qui 
doivent  entrer  dans  le  <^talogue.  La  liste  de  ces  sciences  fut 
définitivement  arrêtée  de  la  manière  sui\ante  : 

A.  Maihôniati:jiie5.  L.   Biolo::îe  centrale. 

B.  >!ci:anique.  >!.   Botanique. 
C    l'h^ïique.  \.   Zoologie. 

I».  <^himie.  O.   Analomie  de  Thonime  «  v  coni- 

E.  Vrlr.tQomie.  pri*  l'His-lologie  cl  l'Embryo- 

F.  M»^ltrori»l'»;zio       \     c«»ni|»ri>     I'*  Io;;ie  '. 

>!-jjnr:ti*njo  lorrt^slre  .  î*.    Anthropologie  ph\5ique. 

G.  Minr:ral'.»::ie  ■  y  conij-ris  la  P»*-  O.    Ph\*ioloirie  1  y  compris  la  Psv- 

lroIo:;ioolljCri^iallourapliio..  cholo;:ie     expérimentale,    la 

II.  r,t.:,|..^-ie.  Pharmacoiogie  et  la    Patho- 

J.    G'-".:ra|'hie  •  inallicindti']<ii:  et  lo^îe  e\|>érimentale ). 

|'h_\<ique   .  B.    Bactériologie. 
K.   Pjl'.'.intulo^i»:. 

Prenant  surtout  en  roii^idératioii  le>  représentations  du  Gou- 
\rrii»'m«.'ul  allemand  qui  tenduioiit  à  réduire  le  coiit  de  Tentre- 
pri-»-,  le  ^^«jinité  pro\i>oire  décida  d'ajourner  la  publication  dt 
^^idio^ue  sur  fiches.  i|ui  avait  été  prévue  dans  les  deux  premièreî 
< -onlérenccs,  et  aus^i  de  soumettre  à  une  certaine  limitation  le 
nombre  «Ic>  ni'.utiun-  diircreulc>  ou  dc>  place-  di>lincles  qtie  Toc 


MÉLANGES.  65 

pourrait  attribuer  à  chaque  Mémoire  dans  le  Catalogue  par  ordre 
de  matières. 

Une  troisième  Conférence  se  réunit  à  Londres,  le  12  et  le  1 3  juin 
1900,  pour  examiner  les  propositions  précédentes  et  faire  con- 
naître les  résolutions  définitives  des  Gouvernements.  Elle  accepta 
sans  aucune  difficulté  les  classifications  qui  avaient  été  proposées 
et  reconnut  que  les  engagements  financiers  pris  par  les  Gouverne- 
ments représentés  permettaient  d'envisager  l'avenir  avec  confiance. 
La  Société  Royale,  qui,  dans  une  question  si  ardue  et  si  difficile, 
a  montré  un  esprit  de  suite  et  une  persévérance  auxquels  il  con- 
vient de  rendre  hommage,  leva  d'ailleurs  toutes  les  difficultés  en 
se  constituant  comme  éditeur  du  Catalogue  au  nom  du  Conseil 
international.  La  Société  Royale  consentit  également  à  faire 
1  avance  du  capital  nécessaire  pour  commencer  l'entreprise,  à 
charge  d'être  remboursée  dans  le  délai  de  5  années  à  partir 
de   1901. 

L'oeuvre  entrait  donc  dans  la  période  d'exécution.  Les  organes 
qui  lui  étaient  nécessaires  se  sont,  nous  allons  le  voir,  constitués 
avec  la  plus  encourageante  rapidité. 

li'abord  le  Conseil  internationctl,  qui  a  la  responsabilité  et  la 
direction  du  Catalogue,  a  été  nommé  sans  délai.  Il  se  compose 
actuellement  de  sir  Michaël  Poster,  de  MM.  les  professeurs  Riicker 
c^  Armstrong,  du  D"^  L.  Mond,  délégués  de  la  Société  Royale,  de 
^1-  H.  Poincaré  pour  la  France,  du  D^'Uhlworm  pour  l'Allemagne, 
de  M.  Nasini  pour  l'Italie.  Le  délégué  des  Étals-Unis  sera  désigné 
ultérieurement. 

A  la  première  réunion  du  Conseil,  qui  a  eu  lieu  le  12  décembre 
*9^c>,  il  a  été  décidé  de  commencer  la  préparation  du  Catalogue 
^  partir  du  i"janvier  1901.  Les  traités  pour  l'impression  et  l'édi- 
tion   du  Catalogue  ont  été  approuvés.  Pour  pallier  aux  inconvé- 
nients, très  grands  selon  nous,  qui  résultent  de  la  suppression  du 
v^talogue  sur  fiches,  il  a  été  décidé  que  le  Catalogue  sera  imprimé 
sur  deux  colonnes  et  que  l'on  pourra  livrer  à  tous  ceux  qui  en 
feront  la  demande  des   exemplaires  pour   lesquels  l'impression 
sera    faite  sur  un  seul  côté  de  chaque  feuille  de  papier,   ce  qui 
permettra  de  découper  les  volumes  et  de  coller  les  titres  sur  des 
ncnes  ayant  les   dimensions    habituellement  employées   par  les 
bibliothécaires. 


6(>  PUËMIEKË  FAUTIF.. 

Cliaquc  édilion  annuelle  du  Calaloguc  aura  17  volumes,  dont 
le  prix  sera  de  17  livres  sterling  pour  les  Gouvernements  partici- 
pants et  d'environ  18  livres  pour  les  particuliers. 

Le  D*"  H.  Forster  Morley  a  été  nommé  directeur  du  Bureau 
central.  Ce  bureau  est  installé  à  Londres  dans  le  Strand,  34  et 
35,  Soulhanipton  Street,  et  Ton  y  travaille  déjà  à  la  préparation 
du  Catalogue  pour  l'année  courante. 

En  ce  qui  concerne  les  Bureaux  régionaux,  les  nouvelles 
sont  au  moins  aussi  satisfaisantes.  Au  mois  d'août  dernier,  des 
Bureaux  régionaux  ])ourvus  de  toutes  les  ressources  nécessaires 
avaient  été  constitués  dans  les  pays  suivants  : 


France. 

Allemagne. 

Italie. 

Etats-Unis. 

Grande-Bretagne. 


Belgique. 
A  II  triche. 
Japon . 
Canada. 
Suisse. 


Norvège. 

Pavs-Bas. 

Danemark. 

Inde. 

Mexique. 


Colonie  du  Cap. 
Hongrie. 
Portugal. 
Grèce. 


Depuis,  le  mouvement  s'est  accentué  :  l'Académie  de  Cracovie 
a  offert  d'analyser  tous  les  journaux  écrits  en  langue  polonaise;  la 
Russie  a  constitué  son  Bureau  régional  sous  la  direction  de  M.  le 
professeur  Famintzine,  de  l'Université  de  Saint-Pétersbourg;  la 
Finlande,  l'Australie  s'occupent  des  meilleurs  moyens  de  cata- 
loguer leur  littérature  scientinque.  J-.e  succès  étant  assuré,  il  est 
clair  qu'aucun  pays  ne  voudra  être  oublié. 

Déjà  les  Bureaux  régionaux  ont  envoyé  5 000  ficlies  au  Bureau 
central.  Celui-ci  ne  reste  pas  inactif;  il  a  publié  en  anglais  les 
classifications  et  les  instructions  aux  Bureaux  régionaux.  Tous  ces 
documents  ont  été  traduits  en  français,  en  italien  et  en  allemand 
par  les  soins  des  Bureaux  régionaux.  Ces  traductions  ont  paru  ou 
vont  paraître  iiicessanunent,  ainsi  que  les  listes  des  périodiques  à 
analyser,  accompagnées  des  abréviations  propres  à  désigner  chaque 
j>ériodique.  Nous  avons  déjà  reçu  la  liste  des  périodic[ues français; 
clic  comprend  exactement  8.")3  numéros.  Les  listes  relatives  à 
rAIlcniagne,  à  la  Grandc-Brelague  et  à  plusieurs  autres  pays  ont 
également  paru. 

L'avenir  Hnancier  de  Tœuvre  se  présente  aussi  sous  l'aspect  le 
plus  encourageant.  Les  contributions  des  différents  pays  ont 
revêtu  la  forme  de   promesses  de  souscriptions   annuelles   a   un 


MÉLANGES.  fi; 

certain  nombre  d'exemplaires  complels  du  Catalogue,  ou  à  leur 
équivalent  en  volumes  séparés  pendant  la  période  1 901-1 906.  La 
liste  des  souscriptions  doit  dépasser  à  ce  jour  35o  exemplaires. 

L'œuvre  peut  donc  être  considérée  comme  fondée;  elle  sera 
contrôlée  périodiquement  par  une  Convention  internationale 
qui  se  réunira  à  Londres  en  igoD,  puis  en  1910,  et  ensuite  tous  les 
10  ans.  Celte  Convention  s'occupera  de  Texanicn  et,  s'il  y  a  lieu, 
de  la  revision  des  règles  qui  ont  été  adoptées  pour  la  publication 
du  Catalogue.  En  tout  état  de  cause,  ces  régies  ne  pourront  donc 
être  modifiées  avant  l'année  1906. 

Dans  l'intervalle  entre  deux  réunions  consécutives  de  la  Con- 
vention internationale,  Tadministration  du  Catalogue  incombe  au 
Conseil  international.  Ce  Conseil,  qui  vient  de  se  réunira  Londres, 
a  décidé  que  l'impression  du  Catalogue  commencerait  incessam- 
ment. 

Notre  pays  peut  se  rendre  cette  justice  que,  dès  le  début,  il  a 
donné  avec  empressement  son  concours  le  plus  actif  à  une  œuvre 
dont  l'utilité  était  incontestable,  mais  dont  la  réalisation  pouvait 
paraître  bien  difficile.  Comme  Ta  fait  remarquer  avec  grande  rai- 
son la  Société  Royale  dans  l'exposé  qu'elle  a  fait  présenter  à  la 
récente  assemblée  générale  de  V Association  internationale  des 
Académies,  les  difficultés  contre  lesquelles  les  promoteurs  du 
Catalogue  ont  eu  à  se  débattre,  alors  qu'il  n'existait  aucun  organe 
scientifique  international,  mettent  en  pleine  lumière  les  services 
que  cet  organe  pourra  rendre  en  s'occupant  des  problèmes  dont 
la  solution  nécessite  la  coopération  de  toutes  les  nations  civilisées. 

Gastojv  D.vrboux. 


SUR  QUELQUES  TRAVAUX  RÉGENTS  RELATIFS  A  LA  NOMOGRAPHIE  ('); 

Par  m.  Mauuick  d'OCAGNK. 

Le  principal  objet  de  la  présente  Note  est  de  donner  une  ana- 
lyse   critique    d'un    Mémoire    de    plus    de   3oo    pages,    publié 

(  '  )  1^  Traité  de  Nomographic  que  nous  avons  public  en    iS^i)  à  la  librairie 
(■authîcr-Yillars  sera  désigne  dans  la  suiio  de  colle  Noie  par  les  leitrcs  T.  de  JV. 


G8  PUEMIËUE  PARTIE. 

dans  la  livraison  d^août  1901  du  Bulletin  de  la  Société  des 
Ingénieurs  civils,  par  M.  Soreau,  ancien  élève  de  TEcole  Poly- 
technique, sous  le  titre  :  Contribution  à  la  théorie  et  aux 
applications  de  la  Nomo graphie. 

Par  la  même  occasion,  nous  signalerons  quelques  autres  Tra- 
vaux relatifs  au  même  sujet,  parus  depuis  peu,  et  non  dépourvus 
d'intérêt  au  point  de  vue  purement  mathématique.  Nous  indi- 
querons enfin,  dans  une  Note  annexe,  le  développement  qu*a 
pris  renseignement  de  la  doctrine  nouvelle  dans  diverses  écoles 
techniques  de  la  France  et  de  l'étranger. 

Rappelons  tout  d'abord  que  la  Nomographie  traite  de  la  repré- 
sentation des  équations  à  un  nombre  quelconque  de  variables 
au  moyen  de  Tableaux  graphiques  cotés  dits  abaques  (*),  ou 
mieux  nonio  g  ranimes  ^  suivant  une  proposition  émanant  de 
M.  Schilling,  professeur  à  l'Université  de  Goltingen. 


I. 


Le  Travail  de  M.  Soreau  peut  être  considéré  comme  une  expo- 
sition, sous  une  forme  nouvelle  en  quelques-unes  de  ses  par- 
lies,  des  principes  fondamentaux  contenus  dans  le  Traité  de 
Nomographie  dont,  en  son  ensemble,  il  suit  l'ordre  même  à 
quelques  variantes  de  détail  près.  Chemin  faisant,  d'ailleurs, 
il  comj)lèlc  ou  généralise  plusieurs  de  ces  principes,  comme  on 
va  le  voir. 

iJisons  tout  de  suite  que  la  contribution  personnelle  de  l'au- 
teur porte  presque  exclusivement  sur  les  nomogrammes  du  type 
ù  alignement,  ce  qui  vient  confirmer  une  fois  de  plus  l'intérêt 
c|ui  s'attache  à  ce  mode  particulier  de  représentation  cotée,  intérêt 
drjii  mis  en  évidence  [)ar  le  très  grand  nombre  d'applications 
lechniquos  qui  ont  suivi  rétablissement  de  sa  théorie  dans  notre 
hrocliuro  de  i8(ji  ('-),  el,  plus  encore,  le  développement  de  cette 


(  '  )  D'aprrs  >oii  ct\iii(>lo;;ic.  ce  lormodoil  cire  réservé  pour  désigner  les  Tableaux 
;;rti|)iii(|iu-Mlotii  la  disposilion  rappelle  celle  d'un  damier  (  a6a;). 

(  -  )  Xoniograpliic,  Les  calculs  usuels  e/fecCués  au  moyen  des  abaques. 
<:iia|..  IV  Cl  M. 


MÉLANGES.  (>9 

théorie  dans  notre  Traité  de  1899  (*).  Sur  80  exemples  de 
nomogrammes  qui  servent  à  illustrer  Texposé  de  M.  Soreau,  il 
nV  en  a  pas  moins  de  67  du  tjpe  à  alignement,  dont  44  nouveaux 
traduisant  des  formules  empruntées  à  la  Géodésie,  à  THydrau- 
lique,  à  la  Résistance  des  matériaux,  à  TArtillerie,  à  la  Naviga- 
tion, aux  Machines  à  vapeur,  aux  Chemins  de  fer,  elc. 

Ce  qui  caractérise  le  mode  d'exposition  de  M.  Soreau,  c'est  Vem- 
ploi  exclusif  des  coordonnées  cartésiennes  et,  ce  qui  en  est  une 
suite  nécessaire,  l'usage  constant  des  déterminants.  L'idée  de  prin- 
cipe qui  nous  a  conduit  à  formuler  la  méthode  des  points  alignés  a 
consisté  à  opérer  une  transformation  dualistique  des  abaques  car- 
tésiens, anamorphoses  ou  non,  par  la  substitution  aux  coordon- 
nées cartésiennes  de  certaines  coordonnées  tangentielles  spéciales 
que  nous  avions  étudiées  sous  le  nom  de  coordonnées  parallèles. 
Et  de  fait,  ce  sont  bien  là  ce  qu'on  peut  appeler  les  coordon- 
nées naturelles  de  la  question  (^).  Mais  il  est  clair  qu'une  fois 
obtenus  par  cette  voie,  les  nomogrammes  à  alignement  peuvent 
èlre  décrits  au  moyen  de  tout  autre  système  de  coordonnées,  et 
notamment  au  moyen  des  coordonnées  cartésiennes.  Nous  avons 
même  très   explicitement  mis  en   lumière  (•**)  le  lien  qui  existe 
entre  les  équations  servant  à  exprimer  le  principe  de  la  méthode 
Jans  l'un  ou  l'autre  système;  et  si,  pour  des  raisons  que   nous 
*fOQs  fait  connaître  (*),  nous  avons  préféré  nous  en  tenir,  d'une 
"lanière  générale,  à  l'emploi  des  coordonnées  parallèles,  qui  nous 
*^aîl  servi  de  point  de  départ,  nous  reconnaissons  bien  volontiers 
''ntérét  qu'il   y  avait,  pour  les   techniciens,  à  ce   que   l'exposé 
Complet  de  notre  théorie  fût  repris  en  coordonnées  cartésiennes, 
^*  Oous  ne  pouvons  que  savoir  gré  à  M.  Soreau  d'avoir  mené  celte 
îacKcàbien  («). 


<•  >   r.  de  JV.y  Chap.  III  et  V. 

1    )   Comparer  nolammeot  l'exposé,  au  moyea   de  ces  coordonnées,  de  la  nié- 

ltiO(i«  f\ç  transformation  géométrique  que  nous  avons  proposée  pour  passer  d'un 

ttoinogranime  à  droites  cnlrc-croisces  à  un  autre  à  points  alignés  {T.  de  A'.,  p.  129), 

*  celui  qui  résulte  de   l'emploi   des   coordonnées   cartésiennes    {Mcni.  Soreau^ 

«')  T.  de  .V.,  p.  i34. 
'*  )  r.  de  iV.,  p.  127. 

(')  Nou^   croyons   devoir    pré-ionlrr  ici    une  nhscrxalion    relative  à  un  détail 
t(niiint>|«)«:iqiic  de  l'exposé  de  M.  Soreau,  qui,  pour  1rs  Icclours  déjà  familiarisés 


i 


7û  PREMIÈIIK   PARTIE. 

Rappelons  que  les  équations  à  trois  variables  ai,  a^,  aj 
auxquelles  s'applique  la  méthode  des  points  alignés  sont  celles 
qui  peuvent  revêtir  la  fornne 


(i) 


/î    <pi    'J'i 

/î   ?i   4'« 

/s       ?8       4*8 


=  o, 


OÙ//,©/,  ai  représentent  des  fonctions  de  la  seule  variable  a/. 
Une  telle  équation  exprime,  en  effet,  l'alignement  des  trois 
points  dont  les  coordonnées  homogènes  sont  données  respective- 
ment par 

^=/h      y=^h      ^  —  ^i      (t  =  i,2, 3), 

et,  plus  généralement,  de  ceux  qui  s'en  déduisent  par  une  trans- 
formation homographiquc  quelconque  (*). 

Former,  lorsqu'une  équation  appartient  à  ce  type,  les  fonc- 
tions y*/,  o/,  ^1,  qui  sont  dites  ses  composantes,  c'est,  d'après 
notre  terminologie,  effectuer  la  disjonction  des  variables  de 
celle  équation. 

Le  principal  objet  de  la  théorie  que  nous  avons  développée 
sur  ce  sujet  a  consisté  à  donner  le  moyen  d'effectuer  immédia- 
tement cette  disjonction  pour  certains  types  d'équalions  rentrant 
dans  le  type  général  à  alignement,  et  qui  constituent  à  cet  égard 
des  formes  canoniques.  Reprenant  la  question  en  coordonnées 
cartésiennes,  M.  Soreau  fonde  une  classification  des  équations 
de  ce  type  sur  la  remarque  suivante  : 

Si,  dans  le  type  général  (i)  qui  contienl,  au  premier  degré, 
six  fonctions  arbitraires  (^)  (obtenues  en  divisant  les  éléments 
de  chaque  ligne  du  dclermiuanl  par  l'un  d'eux),  les  fondions  d'une 
même  ligne  sont  liées  par  une  relation  linéaire,  elles  se  réduisent 
à  une  seule  dans  le  déterminant  développé  et  les  points  cotés 
correspondants  forment  une  échelle  rcctiligne.  M.  Soreau  appelle 


avec  le  T.  de  iV.,  pourrait  élre  Ja  cause  d'une  certaine  confusion.  Contrairement 
à  l'usage  adopte  dans  cet  Ouvrage,  M.  Soreau  donne  le  nom  de  réseau  à  un  seul 
système  simplement  infini  de  lignes,  au  lieu  de  le  réserver  pour  l'ensemble  de 
deux  tels  systèmes. 

V)  T.  de  A'.,  p.  i3'|. 

(2)  T.  de  A'.,  p.  /,iy  (noie). 


MÉLANGIîS. 


Tl 


/ 


dès  lors  ordre  nomo graphique  de  réqualion  le  nombre  des  fonc- 
tions arbitraires  linéairement  indépendantes  qu'elle  renferme 
au  premier  degré.  Ce  nombre  varie  de  3  à  6  et  l'on  volt  que 
le  nombre  des  échelles  rectilignes  qui  figurent  sur  le  nomo^ 
gramme  correspondant  est  égal  à  6  —  p. 

L'idée  de  celte  classification  est  bonne  en  soi,  mais  il  nous  sem- 
blerait préférable  de  prendre  comme  caractéristique  de  chaque 
Ivpe  l'excès  du  nombre  des  fonctions  composantes  linéairement 
indépendantes  sur  celui  des  variables.  Cet  excès  pourrait  être  dit 
\q  genre  nomo  graphique  Ae  l'équation  proposée.  Il  varie,  pour  le 
type  à  simple  alignement,  de  o  à  3  et  Ton  voit  qu'iV  est  égal  au 
nombre  des  échelles  curvilignes  du  nomogramme  correspon- 
dant» Avec  une  telle  définition,  les  nomogrammes  à  simple  ou  à 
double  alignement  qui  ne  comportent  que  des  échelles  recti- 
lignes, et  sont  entièrement  comparables,  sont  indistinctement  de 
genre  o,  tandis  qu'avec  la  définition  de  M.  Soreau  ils  sont  res- 
pectivement d'ordre  3  et  d'ordre  4*  Quoi  qu'il  en  soit  de  cette 
définition,  la  forme  la  plus  générale  de  l'équation  représentable 
par  trois  échelles  rectilignes,  c'est-à-dire  de  l'équation  d'ordre 
nomographique  3  (ou  de  genre  o  d'après  la  définition  précé- 
dente), est  la  suivante  : 

(  -2)  A/,/,/3-H  B,/,/s-+-  B,/,/,  -t-  B3/,/,4-  C,/,  H-  Cî/,4-  Ca/a-H  D  =  o. 

Nous  en  avons  fait  une  étude  complète  (*)  en  prenant  pour  les 
fonctionsyi,y27 /s  l^s  variables  ai,  a2,  aj  elles-mêmes,  parce  que 
nous  avions  en  vue  de  déterminer  les  cas  où  les  échelles  servant 
a  la  représentation  peuvent,  par  transformation  homographiquc, 
être  rendues  régulières. 

Si,  sans  changer  un  mot  à  notre  théorie,  on  substitue  les  // 
aux  tti,  on  obtient  la  solution  tout  à  fait  générale  de  ce  problème  : 
Représenter  l'équation  (2)  par  trois  échelles  qui  soient  projectiles 
de  celles  des  fonctions  /, ,  /a,  /a. 

Celte  étude  nous  a  montré  que,  avec  cette  condition  de  projec- 
tivîlé,  la  disjonction  des  variables   de  celte  équation  peut  être 


i'  )   T.  lie  iV.,  Chap.  VI,  Sert.  II  B.  Celle  cliidc  avait  piTcédcmracnt  fait  l'objet 
d'un  Mémoire  spécial  dans  les  Acta  Mathcmatira  (t.  WI,  189-,  p.  3oi). 


72  PREMIÈRE  PARTIE. 

opérée  sous  forme  réelle  lorsque  le  discriminant  A  du  premier 
membre  de  (2)  rendu  homogène  est  positif  ou  nul. 

Si  A>o,  on  effectue  la  disjonction  en  mettant  l'équation  sous 
la  forme 

('2')      M(/,-i-^,)(/,-f-50r/3H-^3)-HN(/l^-^l)(/l-^'t)(/3-+-'»)=O, 

qui  rentre  dans  le  type  canonique 

(2',)  ?l«t?3=I, 

et  les  trois  échelles  rectilignes  correspondantes  ne  sont  pas  con- 
courantes. 

Si  A  =  0,  on  met  l'équation  sous  la  forme 

f\-^Sx  ft-^St  /3-^S3 

qui  rentre  dans  le  type  canonique 

et  les  trois  échelles  correspondantes  sont  concourantes. 

Mais  le  calcul,  dans  tous  les  cas,  des  divers  coefficients  M,  N, 
.ç/,  ti,  exige  une  discussion  délicate  tenant  à  ce  que  si,  parmi  les 
(juantités 

E,  =  AC,  -  B,  B3,         Ej  =  ACî  —  B3 B„         E3  =  AG3  -  B»  B„ 

il  en  est  qui  s'annulent,  le  résultat  doit  être  mis  sous  une  forme 
spéciale  pour  ne  pas  devenir  illusoire.  Cette  discussion  est  com- 
plètement épuisée  dans  la  solution  que  nous  avons  donnée,  à 
laquelle  n'échappe  aucun  cas.  Mais  cette  solution,  rejelée  à  la  fin 
de  notre  Traité  (parce  que  faite  pour  intéresser  les  mathématiciens 
plutôt  que  les  techniciens,  comme  nous  le  disons  expressément 
dans  notre  Introduction,  p.  i\),  avait  échappé  à  M.  Soreau  qui  a, 
en  conséquence,  repris  le  problème  piar  une  marche  un  peu  diffé- 
rente pour  aboutir  à  un  résultat  d'ailleurs  immédiatement  réduc- 
tible au  notre  dans  le  cas  général  (•),  mais  sans  aborder  la  discus- 


(')  Il  suffit,  pour  opérer  celle  réduclion,  de  remarquer  que  les  quantités  }l. 
de  M.  Soreau   se  confondent  avec  celles  qui,  au  moyen  de  nos  notations,  s'ccri- 

vent  -ç . 


MÉLANGES. 


> 


sioD,  pourtant  indispensable,  à  laquelle  nous  nous  étions  livré  et 
qui  vise  les  cas  où  certaines  des  quantités  E/  s^annulent.  Sur  ce 
point,  Texposé  de  Tauteur  n'a  donc  pas  la  généralité  quMl  lui  sup- 
pose (•). 

La  condition  de  projeclivité  que  nous  avons  observée,  en 
raison  de  la  recherche  des  échelles  régulières^  exclut  évidem- 
ment l'emploi  de  toute  anamorphose  transcendante.  Si  Ton 
s^aOranchitde  cette  condition,  il  est  clair  qu^on  peut  réduire  Tun  à 
Taulre  les  types  canoniques  (2',  )  et  (2*  )  en  opérant,  avec  Lalanne, 
ranamorphose  logarithmique  définie  par 

^i=  log<p,, 

ce  qui  permet  de  faire  correspondre  à  volonté  à  toute  équation 
da  tvpe  (2)  pour  laquelle  A^o  un  nomogramme  à  échelles  con- 
courantes ou  non,   en  partant  des  types  projectifs  qui  viennent 
d'être  définis.    En    faisant   cette  remarque   dans    son    Mémoire, 
M.  Soreau  semble  croire  (^)  qu'elle  nous  avait  échappé,  alors  que 
la  phrase  soulignée  ci-dessus  montre  clairement  la  raison  pour 
laquelle  nous  n'avions  pas  à  la  faire  intervenir  en  cet  endroit.  On 
la  rencontre  d'ailleurs  en  un  autre  passage  de  notre  Livre  ('). 

Ed  outre,  lorsque,  comme  M.  Soreau,  on  ne  s'astreint  pas  à 
conserver  le  caractère  projectif  des  échelles,  mais  que  l'on  se 
donne  toute  latitude  de  leur  faire  subir  une  anamorphose  quel- 
conque, ce  n'est  pas  seulement  lorsque  le  discriminant  A  est  positif 
00  nul,  mais  même  lorsqu'il  est  négatif,  que  Ton  peut  représenter 
une  équation  du  t\pe  (2)  au  moyen  d'un  nomogramme  à  aligne- 
ïDent  constitué  par  trois  échelles  rectilignes.  M.  G.  Fonlené  a  l'ait 
'oir  (*)y  en  effet,  que  si  A<I  o,  l'équation  peut  être  mise  sous  la 


(  )  Loc.cit.t  p-  ^49»  '^^'^  c^  3^7*  -^'^us  tenons  à  dire  que,  depuis  que  nous  lui  avons 
^^oiuniqué  celle  crilique,  M.  Soreau  a  reconnu  que  le  moyen  de  rendre  sou 
***ijse  applicable  aux  divers  cas  que  notre  solution  avait  mis  en  évidence  con- 
"**fi  laisser  sut)sistcr  dans  le  résultat  final  les  quantités  qu'il  a  appelées  X-cl  ;x., 
^<|Bi,  pour  le  passage  à  la  limite,  se  prêtent  au  même  r«Me  que  nos  quantités  o| 
'^  Pi  «aiquclles  elles  sont  évidemment  réductibles. 

(  )  £oc.  cil.,  p.  35(i  et  2J7, 

^*)  Voir  la  remarque  qui,  à  la  page  4*7^  accompagne  les  type**  (  i  )  et  (1  his) 
^  U  rapprochant  des  notes  des  pages  1  i^  et  i^h. 

(*)  Nouç.  Ann.  de  Math..  3'  série,  t.  XI\,  i»)  )o,  p.  49'|. 

^ftll.  des  Sciences  mathéni. y  i'  •^ctiii.  l.  WVl.  (Mur>  n)o«  )  (î 


I 

l 


76  PULMIÈIIU;    PAKTIE. 

dans  la  pratique,  pour  lesquels  ces  condilions  sont  toujo 
réalisées. 

Nous  mentionnerons  encore  la  partie  du  Mémoire  ou  Faul 
examine  les  t}^pes  de  nomogrammes  à  trois  variables  qui  se  dé< 
sent  de  ceux  à  quatre  variables  lorsque,  dans  ces  derniers,  on  s 
pose  deux  des  variables  identiques  (^),  ou  l'une  d'elles  rempla 
par  une  constante  (^). 

Dans  l'exposé  qu'il  présente  ensuite  des  principes  applîcal 
à  la  représentation  des  équations  à  un  nombre  quelconque 
variables  supérieur  à  3  ('),  M.  Soreau  s'est  surtout  efforcé 
mettre  en  lumière  le  parti  que  l'on  peut  tirer  de  l'accolemenl 
nomogrammes  du  type  à  simple  ou  à  double  alignement  s*ap 
quant  à  des  groupes  de  variables  convenablement  isolés  d 
l'équation  considérée.  Il  n'hésite  d'ailleurs  pas,  lorsqu'il  n 
résulte  aucun  inconvénient,  à  faire  correspondre  plusieurs  s 
tèmes  cotés  à  une  même  variable  pour  rendre  possible  Tapplicat 
de  ce  procédé.  A  ce  propos,  on  doit  une  mention  spéciale  j 
nomogrammes  donnés  sous  les  n"*  53  et  65.  Le  premier  ( 
relatif  à  IVpaisseur  des  tôles  des  fojers  cylindriques,  et  qui 
décompose  en  deux  nomogrammes,  Tun  à  équerre,  l'autre  à  sim 
alignement,  sert  à  représenter  une  équation  à  cinq  variables 
moyeu  de  six  systèmes  cotés.  Le  second  (^),  relatif  à  la  tract 
des  locomotives,  et  qui  se  dt^compose  en  quatre  nomogrammes,  d 
deux  à  équerre  et  deux  à  sini|)lc  alignement,  sert  à  représer 
une  équation  à  sept  variables  au  moyen  de  dix  systèmes  cotes. 

Nous  nous  étions  altaclié,  dans  notre  Livre  (®),  à  faire  resso 
les  précieux  services  (jue  peut  rendre  la  méthode  des  points  alig 


(')  Loc.  cit.^  p.  372.  Au  sujet  des  nomograunncs  sur  lesquels,  à  une  m 
variable,  correspondent  plusieurs  syslènies  colés,  voir  le  renvoi  au  bas  f 
page   |Oi  du  T.  de  \. 

(  ')  Loc.  cit.,  p.  38.^. 

(•'»)   T.  de  y.,  Cbap.  V. 

(*)  Loc.  vit. ^  p.   |io.  On  purl  remarquer  que  le  type  d'échelle  multiple  à 
port  curvilij;nc  (jui  ^c  rencontre  dans  ce  non)(»gramine,  et  que  M.  Soreau  si^ 
counric  nouveau,   rentre   très  expiicilonienl    dans   la  définition   que  nous  a 
donnée  des  échelles  à  points  condenses  (  T.  de  .V.,  p.  39'3).  Toutefois,  c'est 
là  le  premier  exemple  pmtitjue  d'une  telle  échelle  qui  s'offre  à  nous. 

{'")  Loc.  cit.,  p.   |'|7. 

(•')    7.  de  .\  .  Chap.   III,  Sert.  IV. 


MÉLAxNGliS.  77 

noiir  la  recherche  de  certaines  lois  empiriques,  et  nous  avions,  à 

cr^t  égard,  eu  recours  au  remarquable  exemple  que  Von  doit  à 

f^M  .  Râteau  et  qui  lui  a  permis  de  donner  une  expression  analytique 

tK^^'S  approchée  des  consommations  théoriques  d^une  machine  à 

>',^  peur.    Après    avoir   repris    cet    exemple    dans    son    Travail, 

\t  .  Soreau  le  fait  suivre  de  deux  autres  qui  lui  sont  personnels  et 

cm  9.M  i  visent  l'un  le  maximum  des  efforts  tranchants  dans  les  poutres 

^      «.me  travée  (*),  l'autre  la   probabilité  d'une  relation  entre  le 

coefficient  de  chaleur  spécifique  d^électricité  des  métaux  et  leur 

^oint  neutre  (*). 

En  résumé,  sans  parler  de  Télégance  et  de  la  variété  des  exem- 
ples nouveaux  d'application  qu'il  contient,  le  Mémoire  de  M.  So- 
reau nous  semble  devoir  s'imposer  à  l'attention  de  tous  ceux  qui 
s'intéressent  à  la  Nomographie,  surtout  en  raison  de  la  forme  origi- 
nale et  féconde  sous  laquelle  la  théorie  du  double  alignement  s'y 
trouve  exposée  et  généralisée,  ainsi  que  de  l'extension  qui  y  est 
donnée  à  la  représentation  des  équations  à  plus  de  trois  variables 
p^accolement  de  nomogrammes  à  alignement. 


II. 


I^es  avantages  pratiques  de  la  méthode  des  points  alignés,  que 
vient  de  confirmer  encore  l'ensemble  des  applications  contenues 
d*Dsle  Mémoire  de  M.  Soreau,  après  celles  qui  étaient  dues  déjà 
•  de  nombreux  auteurs,  rendent  manifeste  l'intérêt  qu'il  y  a 
>  étendre  son  emploi  dans  la  plus  large  mesure  possible. 

Si  l'on  ne  peut  pas  toujours  (bien  que  ce  soit  extrêmement 
fréquent)  mettre  rigoureusement  sous  la  forme  du  type  général 
à  alignement  [équation  (i)  ci-dessus]  toute  équation  se  rencon- 
trant dans  la  pratique,  on  parvient  à  le  faire  parfois  avec  une 
^approximation  suffisante  en  rempla(;ant,  dans  un  domaine 
déterminé,  l'équation  donnée  par  une  autre  appartenant  au  type 
îoulu. 


^M  Loc.  cit.,  p.   193. 
i')  Loc.  cit..  p   4«»9' 


78  PKKMlfclUi  l>Ain  IK. 

Il  arrive,  en  eflfet,  qii^une  rclalion  entre  Iroîs  variables,  tra- 
duite en  un  abaque  cartésien,  entre  certaines  limites,  donne  lieu 
au  tracé  d\in  système  de  lignes  se  confondant  très  sensiblement, 
dans  le  champ  considéré,  avec  des  droites.  En  substituant  dès 
lors  à  ces  lignes  les  droites  qui  en  diflièrent  très  peu  et  appli- 
quant à  Tabaque  ainsi  obtenu  la  transformation  dualistique  rap- 
pelée plus  haut,  on  obtient  un  nomogramme  à  points  alignés  qui 
représente  Téquation  proposée  avec  une  certaine  approximation. 
C^est  ainsi  notamment  que  le  capitaine  Lafaj  a  construit  ses 
ingénieux  nomogrammes  pour  le  tir  des  pièces  de  siège  (*). 

On  peut  aussi,  lorsque  les  courbes  obtenues  sur  Tabaque  car- 
tésien s'écartent  par  trop  de  lignes  droites,  s'eObrcer  de  leur  en 
substituer  d'autres  qui  présentent  cette  particularité,  grâce  à 
l'emploi  d'une  anamorphose  graphique  (*-*)  comme  celle  que 
Lalanne  appliqua  jadis,  dans  un  cas  particulier,  à  la  Table  de 
mortalité  de  Demonferrand.  La  même  transformation  que  précé- 
demment, effectuée  après  celte  anamorphose,  donne  alors  de 
nouveau  un  nomogramme  à  points  alignés. 

Mais  on  ne  connaissait  jusqu'ici,  pour  obtenir  un  tel  résultat, 
d'autre  moyen  que  le  simple  tâtonnement,  et  il  était  fort  à 
souhaiter  qu'une  méthode  plus  sûre  fût  instituée  à  cet  effet.  C'est 
à  quoi  le  capitaine  Lafaj  a  réussi  en  r amensinl  approximative^ 
ment,  par  un  ingénieux  procédé  graphique,  une  équation  quel- 
conque à  trois  variables  à  Tun  des  types  canoniques 

/i  -+-/«  -+-/»  =  '►. 
ou 

n^spoelivemenl  de  genre  o  et  i . 

Pour  le  premier  (l'entre  eux  (^auquel  s*cippli(|ue  le  procédé  des 
nomo<;ranimes  à  échelle  mobile  connus  sous  le  nom  de  règles 
à  calcul)^  le  capitaine  Lafay  a  indiqué  une  première  solution 
à   Toreasion  d'un  problème  de  tir  (•"*).  Il  a,  depuis  lors,  développé 


(M   T.  de  \.,  p.  'iiii'i. 

{ '  I    7.  <io   V..  p.  S7. 

(  ';  lU'K'uv  (/'  irti/irrù'.  I.  I.MII,   iy«»i,  p.    î'»'». 


MÉLANGES.  79 

une  solution  plus  générale  (*)  s'étendant  au  second  Ijpe  qui, 
grâce  à  la  présence  d*une  fonction  composante  de  plus,  permet 
en  quelque  sorte  de  serrer  de  plus  près  Féquation  donnée.  Cette 
solution  nous  semble  appelée  à  rendre  de  très  réels  services  dans 
U  pratique  et  constitue  à  cet  égard  un  progrès  qu'il  convenait  de 
noler. 


m. 


Nous  dirons  enfin  un  mot  des  problèmes  que  la  Nomographie 
a  fait  naître  dans  le  domaine  des  Mathématiques  pures,  et  sur 
lesquels  nous  avons  naguère  attiré  l'attention  des  lecteurs  du 
H€dletin{^). 

Il  est  bien  clair,  par  exemple,  que  la  théorie  de  la  disjonction 
des  variables  dans  les  équations  du  type  à  alignement  de  genre  o, 
dont  il  a  été  question  plus  haut,  présente,  indépendamment  du 
but  pratique  qu'elle  poursuit,   un  intérêt,  au  point  de  vue  algé- 
brique, qui  n'est  pas  négligeable.  On  en  peut  dire  autant,  au  point 
de  vue  de  l'Analyse,  de  la  détermination  des  caractères  différen- 
tiels des  équations  auxquelles  s'applique  tel  ou  tel  type  de  nomo- 
graainie,  détermination  dont  notre  Livre  offre  d'assez  nombreux 
exemples  (»). 

Voici,  dans  cet  ordre  d'idées,  un  fait  qui  mérite  d'être  noté  : 
Devant  le  Congrès  international  des  Mathématiciens ^  tenu  à 
Paris  en  1900,  le  Président  de  la  première  Section,  M.  le  profes- 
seur D.  Hilbert,  de  l'Université  de  Goltingen,  a,  dans  une  con- 
férence magistrale,  signalé  à  la  sagacité  des  Géomètres  un  cer- 
tain nombre  de  problèmes   dignes,  selon  lui,  de  tenter  leurs  plus 
sérieux  efforts  (*). 
C^r,    ainsi   que    le  dit    très    expressément    l'auteur,    c'çst  la 


(   )  Génie  civil,  t.  XL^  1902,  p.  298. 
(')  Suit,  des  Se.  math.,  a*  série,  t.  XII,  1898,  p.  177. 
^*)  ^.  de  N.,  Chap.  VII,  Scct.  II  A. 

(   )  La   conférence  de  M.   Hilbert,  traduite  par   M.  Laiigel,  figure  in-exienso 
dans  le  Compte  rendu  du  Congrès,  page  58. 


8o  PRKMIËRB  PAUTiE. 

Nomographic  qui  lui  a  inspiré  le  problème  qui  Ggure  sous   le 
n**  13  (*),  et  voici  comment  : 

Les  seuls  éléments  à  plusieurs  cotes  qui  puissent  figurer  sur 
un  nomogrammc  ne  comportant  aucun  élément  mobile  sont 
ceux  qui  s^obtiennent  par  enchaînement  de  réseaux  succes- 
sifs (-),  c'est-à-dire  qui  correspondent  analj^tiquement  à  un 
enchaînement  fini  de  fondions  de  deux  arguments.  Dès  lors,  une 
équation  ne  sera  représenlable  par  un  nomogramme  sans  élé- 
ment mobile  qu^autant  que  sa  résolution  pourra  s'effectuer  au 
moyen  de  fonctions  de  deux  arguments  seulement.  Grâce  aux 
transformations  de  Tschirnhausen,  on  peut  étendre  un  tel  mode 
de  résolution  aux  équations  algébriques  quelconques  jusqu'au 
&  degré.  Le  problème  posé  par  M.  Hilbert  consiste  à  démontrer 
que  cette  possibilité  cesse  à  partir  du  ^®  degré. 

Celte  Communication  de  Téminent  Géomètre  a  été  pour  nous 
l'occasion  de  faire  voir  (')  que  la  méthode  des  points  alignés 
pouvait,  toujours  eu  égard  aux  transformations  de  Tschirnhausen, 
permettre  la  résolution  des  équations  algébriques  jusqu'au 
•j*  degré  inclusivement,  et,  par  suite,  que  l'adjonction  à  la 
partie  fixe  du  nomogramme  d'une  simple  ligne  droite  pour  tout 
élément  mobile  permettait  d'étendre  à  un  degré  de  plus,  pour 
les  équations  algébriques  quelconques,  le  bénéfice  de  la  résolu- 
tion nomographique. 

Celle  recherche  nous  ayant  amené  à  préciser,  d'une  façon  plus 
complète  que  nous  ne  l'avions  fait  dans  noire  Traité,  la  distinction 
essentielle  qu'il  convient  d'établir  entre  les  éléments  à  plusieurs 
cotes  suivant  que,  d'après  notre  terminologie,  ils  sont  ou  non 
condensés^  nous  avons,  dans  une  Note  spéciale  (*),  repris  à  ce  point 
de  vue  l'exposé  des  principes  fondamentaux  de  la  Nomograpliie 


(  '  )  Loc.  cit.,  |).  ()i. 

(-)   T.  de  A'.,  p.  V)\. 

(^)   ComjUes  rendus  de  r Académie  des  Sciences,  t.  CWXI,  1900,  p.  623. 

(*)  IhtU.  des  Se.  ntaf/i.,  2"  série,  i.  XXIV,  1901,  p.  256.  Il  a  été  fait  de  cette 
Noie  €l«;s  Iradiiciions  en  iillcmuind  par  AI.  Fiirle  {Archiv  der  Matkematik)^  en 
cspa;^n()I  par  M.  T<»rr<s  { ,\aiuraicza),  en  italien  par  M.  Lazzeri  (Periodico  di 
Matcmaliva  ).  M.  Lo\ell  nous  a.  en  oulrr,  fait  connaître  son  intention  d'en 
ilonner  iin<'  lra<lu(tioii  en  anglais. 


MÉLANGES.  8i 

V^ur  en  indiquer  ensuite  rappUcatîon  à  la  résolution  nomogra- 
V^lqae  des  équations  algébriques  des  sept  premiers  degrés. 


NOTE  ANNEXE 

SUR   LA  PÉNÉTRATION   DE   LA   N0M0GR.VPU1E   DANS  L*ENSEIGNEMENT 

DES    ÉCOLES    TECHNIQUES. 

Dans  l'analyse  qu'il  a  donnée  du  Traité  de  Nomographie  ('), 
M,  Maurice  Lévy  émet  l'avis  que  le  nouveau  corps  de  doctrine 
«  mérite  de  prendre  place  à  côté  de  la  Géométrie  descriptive  et 
de  la  Statique  graphique  ». 

Et,  de  fait,  la  Nomographie^  réduite  au  moins  à  ses  principes 
les  plus  essentiels,  commence  à  se  faire,  à  côté  de  ses  deux  aînées, 
une  petite  place  dans  l'enseignement  des  écoles  techniques. 
£lle  a  été  généralement  rattachée  soit  à  des  cours  de  Statique 
graphique  (^),  soit  à  des  cours  purement  techniques  dans  les 
applications  desquels  peut  intervenir  l'usage  des  nomogrammes. 

Voici  rindication  de  quelques-uns  des  Cours  dans  lesquels  ont 
été  successivement  introduites  des  notions  plus  ou  moins  déve- 
loppées de  Nomographie  : 

FRANCE. 

École  Polytechnique.  — Cours  de  Géométrie  descrip- 
tive      MM.  Haag. 

École  des  Ponts  et  Chaussées,  —  Leçons  sur  la  cuba- 

ture  des  terrasses d'Ocagne. 

École  des  Mines  de  S aint-É tienne.  —  Cours  de  Méca- 
nique appliquée Jouguet  (*). 

École  forestière  de  Nancy.  —  Cours  de  construction 

de  roules PetitcoIIot. 


(*)  Génie  civil,  l.  XXXV,   1899,  P*  425. 

(')  Sur  la  oéccssité,  en  dépit  de  ce  rattachement  didactique,  d'établir  une  dis- 
UnctioD  formelle  entre  le  calcul  nomographiquc  et  le  calcul  graphique  propre- 
ment dit,  voir  la  Note  que  nous  avons  présentée  au  Congrès  international  des 
Mathématiciens  de  1900  (page  419  du  Compte  rendu  du  Congrès). 

(^)  A  litre  d'exercice,  M.  Jouguet  fait  construire  à  ses  élèves  quelques  nomo- 
grammes. 

Bull,  des  Sciences  mathém.,  3*  série,  t.  XXVI.  (Mars  1902.)  6. 


82 


PREMIÈRE  PARTIE. 


ALLEMAGNE. 

Ecole  technique  supérieure  de  Siuti^ari,  —  Cours  de 
Géométrie  descriptive MM.  Mehmke. 

Université  de  Gôiiin^en.  —  Cours  de  Statique  gra- 
phique    Schilling. 

BELGIQUE. 

Université  de  Louvain,  —  Cours  spécial  de  Nomogra- 
phie Suttor. 

ITALIE. 

Ecole  d^ application  des  Ingénieurs  de  Padoue,  — 

Cours  de  Statique  graphique FaTaro  (^ 

Ecole  d'application  des  Ingénieurs  de  Bologne.    — 

Cours  de  Statique  graphique Gorrieri. 

PORTUGAL. 

Académie  polytechnique  de  Porto.  —  Cours  de  con- 
struction de  routes  et  chemins  de  fer Laranjeira 


C'est   en    Belgi<^»ie,  à  ï L'uixersité  de  Lom-ain,   que  l'ensei- 
nement   de  la   Nomoirrapliie  a   pris  jusqu*ici    le   plus    complet 
développement.  Sous  rinspiralion  de  M.  Pasquier^-),  professeur 
de  Mécanique  à  celle  Lnixersilé,  il  v  a  été  fondé  un  Cours  spécial 
de    Nomographie   conlié   à    M.    ringénieur  Sultor,    et  qui  com- 
prend   une  leçon   par   semaine    pendanl  le  premier  semestre  de 
la   deuxième   année    d'éludé    des   Ecoles    spéciales    d^ingénieurs 
annexées  à  TL  niversilé.  Cet  enseignement  est  d'ailleurs  complété 
par  des  conslruclions   de  nomogrammes  que  les  élèves  doivent 
exécuter  à  litre  d'exercices   pratiques.    Les  étudiants  de   l'Uni- 
versilé    appartenant   à   l'ordre   des    Sciences   mathématiques   ou 
physiques  peuvenl  facullalivemenl  suivre  ce  Cours  dont  les  pre- 


{  M  L\t>>isiaiit  d\i  profos5our,  M.  ringénieur  Bella\itis.  dirige  des  exercices  pra- 
h  ]no>  ilo  i^>n<>iruoti«>u  lio  nomogrammes. 
v*  '   Voir  à  c;*  *uji*l  Paiiiclo  public  par  M.  Pasquior  dans  L' Enseignement  ma^ 

i/tcmjti-jtte  ^i.  I.  p.  o5o  . 


MÉLANGES.  83 

inières  feuilles  aulographiées  ont  été  publiées  en  igoo  par 
M.  SuUor  (*). 

Indépendamment  des  Cours  permanents  dans  le  programme 
desquels  elle  a  été  admise,  la  Nomographie  a  donné  lieu  à  des 
séries  de  conférences  isolées  dont  quelques-unes  ont,  depuis  lors, 
pris  la  forme  de  publications  imprimées.  A  cet  égard,  on  doit 
donner  une  mention  spéciale  à  celles  qui  ont  été  faites,  d'une 
partf  sous  Tinspiration  de  M.  Félix  Klein,  par  M.  Schilling  à  la 
Société  mathématique  de  l'Université  de  Goltingen  (2),  de  Tau- 
Ire,  par  M.  Pesci  à  l'Académie  navale  de  Livourne  ('  ). 

Les  conférences  de  M.  Pesci  ont  d'ailleurs  été  pour  lui  l'occa- 
sion de  remarquables  applications  de  la  méthode  des  points 
alignés  à  TArt  naval  et,  plus  particulièrement^  à  la  Balistique 
navale,  en  collaboration  avec  le  commandant  Ronca  (^). 


SUR  LES  GROUPES  DE  TRàNSFORMàTIONS  DES  ÉQUATIONS 

DIFFÉRENTIELLES  LINEAIRES; 

Par  m.  Alfred  LOEWY. 

(Extrait  d'une  lettre  adressée  à  M.  Picard.) 

Je  sais  heureux  que  vous  attachiez  quelque  intérêt  à  mes 
''^marques  sur  le  groupe  de  transformations  d'une  équation  diffé- 
'^'ïtîelle  linéaire  et  je  vous  remercie  pour  l'invilation  bienveil- 
lante de  vous  exposer  le  détail  de  ce  sujet.  J'emploie  les  mêmes 

*^oiîons  que  vous  dans  votre  Traité  d^  Analyse  y  l.  III,  p.  53i, 

^ï'aris,  1896). 

(')  Loavain;  typographie  G  île. 

^*)  Ueber  die  Nomographie  von  Af,  d'Ocagne,  par  le  D'  F.  Schilling  (Leipzig; 
Tcabiier,  igoo). 

(')  Cenni  di  Nomografia,  par  le  professeur  G.  Pesci   (Livourne;  P.  Giusti, 
'900.  !•  édition  co  1901),  reproduit  en  appendice  du  Manuale  ci-dessous. 

^B  aotre  résamé  de  Nomographie  a  paru  en  langue  italienne,  sous  la  signature 
w  capitaine  Ricci,  dans  la  Bixfista  d'Artigliera  e  Genio  (1900-1901). 

'*i  Manuale  del  Tiro,  par  le  capitaine  de  frégate  ilonca  (Li\ourne;  P.  (liusti, 
i<^i).  Cet  important  Ouvrage  est  complété  par  un  alhuni  de  nomograninics  à 
C^  échelle,  mis  en  usage  dans  la  flotte  italienne. 


8i  PREMIÈRE  PARTIE. 

Soit 

dnt  Y  d^ — ^V  d^'~^Y 

une  équation  différentielle  linéaire  à  coefGcients  rationnels;  nous 
désignons  par^i  ,^2?  •  •  m  y  m  un  système  fondamental  d'intégrales 
et  posons 

(a)  V=  a,^i-+-Mi^,-h...-+-iim^m, 

où  les  //  sont  des  fonctions  rationnelles  arbitrairement  choisies 
de  X,  En  différen liant  la  relation  (2)  m^  fois  et  ayant  égard  à 
J'équation  (1),  on  forme  un  système  de  m*-f-  1  équations  (3),  qui 

donnent  V, -,->  "  *>  ,j^,n*  ^"  fonctions  linéaires  et  homogènes 

des  y  et  de  leurs  dérivées  jusqu'à  l'ordre  m  —  i .  Nous  éliminons 
entre  les  m^-f-  i  équations  (3)  les  fonctioiis^  et  leurs  dérivées  et 
nous  obtenons  une  équation  de  l'ordre  m^  : 

à  coefficients  rationnels.  Parce  que  les  fondions  u  choisies  arbi- 
trairement sont  indépendantes  linéairement,  l'équation  (E),  que 
M.  Schlesingcr,  dans  son  Ilandbuch  dcr  Théorie  der  linearen 
Dijfcrentialglcichungen,  t.  11|,  p.  60  (B.  G.  Teubner,  Leip- 
zig, '897),  appelle  d*après  voire  nom  la  résolsrante  de  Picard^ 
esl  de  Tordre  //i^,  elle  a  pour  inlégralcs  les  /?i*  fonctions  Uiyk*  Du 
syslome  des  équations  (3)  on  peut  tirer  les  valeurs  des  y  et  de 

leurs  dérivées  on  fondions  linéaires  de  V,  -;— >  ••  •>  -; — r-r  à  coef- 

ticients  rationnels. 
On  a 


< 


ix         "  "    «/x"-'-» 


.    lA  .       d"'    '\ 

•     *         '  '  dx  i/x"^'-» 

où  Ioh  X.  i,  ....  A  >onl  ralionnoN  on  .r. 


MÉLANGES.  85 

Od  voit  qu^à  toute  intégrale  V  de  Téquation  (E)  correspond  un 
sjstème  d'intégrales  y^,  y^^  ...,  ym  de  Téquation  proposée  (i). 
Seulement,  dans  le  cas  où  le  déterminant  wronskien  des  j^  est  nul, 
le  système^!, ^2 7  •  •  •  ^ym  ne  sera  pas  fondamental;  de  là  résulte 
une  équation  diflerentielle  : 

à  coefficients  rationnels,  k  étant  au  plus  égal  a  m^ — i.  Prenant 
pour  V  une  intégrale  de  l'équation  (E)  qui  ne  satisfait  pas  à 
Téquation    (9),    on     obtiendra    un    système    fondamental    y%^ 

yt*  •  •  •  »  J^m» 

Soit  V  une  solution  quelconque  de  Téquation  (E)  qui  ne  satis- 
fait pas  à  Téquation  (^),  nous  formons  l'équation  difFérentielle  à 
coefficients  rationnels  de  Tordre  minimum  qui  est  satisfaite  par  la 
fonction  V.  Nous  désignons  celte  équation  différentielle  à  coeffi- 
cients rationnels  de  l'ordre  minimum,  qui  a  pour  intégrale  la  fonc- 
tion choisie  V,  par 

/     .,  rfv  dp^y\ 

Nous  pouvons  supposer  que  l'équation  (g)  est  algébriquement 

irréductible  par  rapport  à  la  dérivée    ,       de  l'ordre  le  plus  élevé. 

C'est  ici  que  mes  considérations  se  distinguent  de  vos  recher- 
ches. Parmi  toutes  les  équations  (g)  qui  correspondent  aux  diffé- 
rentes possibilités  par  lesquelles  on  peut  choisir  V,  vous  ne 
considérez  que  les  équations  de  l'ordre  minimum  et  vous  prenez 
l'une  d'elles,  que  vous  désignez  par  la  lettre  (/)  : 


D'après  votre  détermination  on  doit  avoir  rinégalllé  pi  ^p. 

En  examinant  vos  considérations,  on  voit  qu'elles  sont  basées 
sur  ces  faits  que  toute  solution  de  votre  équation  (/)  satisfait  a 
Téquation  (E)  et  que  toute  équation  différentielle  à  coefficients 
rationnels  qui  est  satisfaite  par  une  intégrale  de  {/)  n'appartenant 
pas  à  (5)  le  sera  pour  toutes  les  solutions  de  (/). 

Vous  savez  que  M.  Kœnigsbcrgcr  a  démontre  le  théorème  :  «  Si 


86  PliEMIËRE  PARTIE. 

Ton  a  une  équation  différentielle  quelconque  (g)  à  GoefBcienis 
rationnels  et  algébriquement  irréductible  par  rapport  à  la  dérivée 
de  l'ordre  le  plus  élevé,  et  si  une  intégrale  V  de  Téquation  (g)  ne 
satisfait  pas  à  une  équation  diflerenlielle  à  coefGcients  rationoels 
d'un  ordre  inférieur  que  Téquation  {g)j  chaque  équation  diffé- 
rentielle à  coefficients  rationnels  vérifiée  par  cette  intégrale  V  le 
sera  pour  toutes  les  solutions  de  (g).  »  (Koehigsberger,  Lehrbuch 
der  Théorie  der  Differentialgleichungen  mit  einer  unab- 
hàngigen  Variablen,  p.  69;  Leipzig,  1889.) 

En  ajrant  égard  à  ce  théorème  de  M.  Kœnigsberger,  on  peut 
employer  Téquation  (^g)  de  la  même  manière  que  vous  le  faites  à 
Taide  de  voire  équation  {f)  et  Ton  obtient  tous  vos  résultats. 

Des  résultats  connus  sur  le  groupe  de  transformations  d'une 
équation  différentielle  linéaire,  on  sait  déjà  a  priori  que  les  con- 
séquences déduites  des  équations  différentes  {g)  ne  peuvent  pas 
être  d'une  généralité  plus  grande  que  les  conséquences  déduites 
des  équations  {f)  de  l'ordre  minimum  parmi  toutes  les  équa- 
tions {g).  On  peut  démontrer  directement  que  l'ensemble  des 
équations  (/)  est  le  même  que  l'ensemble  des  équations  (^). 

Soit 

une  équation  de  la  forme  considérée  ci-dessus;  nous  prenons  une 
autre  équation  différentielle  que  nous  désignons  par 


(fi)  /i(^.  Vj, 


d\\  dP\    V 

—  -  ■         «      •    •    •  •       ■■  I 

dx  dxt*  I 


=  o. 


Je  suppose  que  Téqualion  (/i  )  est  une  équation  d'ordre 
moindre /?  de  la  manière  que  vous  la  considérez  (comparez  p.  54o 
de  votre  Traité),  En  conséquence  décela,/?^/?,. 

Puisque  \  est  une  fonction  linéaire  des^',  et  celles-ci  s'exprimant 
aussi  linéairement  à  l'aide  de  V,  et  de  ses  dérivées,  nous  aurons 
pour  V  une  expression  linéaire  par  rapport  à  V|  et  ses  dérivées. 
Considérons  deux  intégrales  déterminées  i>  et  ç?i  des  équations  (g) 
et  (/«),  n'appartenant  pas  à  Téquation  (©),  on  aura 


MÉLANGIiS.  87 

a  et  ^  ëlant  des  fondions  rali'onnelles  de  x.  Nous  supposons 
encore  que  l^intégrale  déterminée  v  soit  une  telle  intégrale  de 
Téquation  (^)  qui  ne  satisfait  pas  à  une  équation  différentielle  à 
coerGcients  rationnels  d'un  ordre  moindre  que  Tordre  de  l'équa- 
lîon  (^).  L*équation  (g^)  a  toujours  une  telle  intégrale  v^  car  nous 
avons  défiai  l'équation  (^)  par  cette  qualité. 

Soît  V|  rinlégrale  générale  de  (/i),  nous  formons  l'expression 


W  =  (xV,-f-p 


dx 


L^équation  (/i)  étant  de  Tordre  /?,  l'expression  W  satisfera  à  une 
équation  diOerentielle.  à  coefficients  rationnels  d'un  ordre  au  plus 
égal  à/7  : 

(/t)  /î(W)  =  o. 

Les  deux  équations  (^f^  et  (^)  ont  l'intégrale  v  commune,  v  ne 
satisfait  pas  à  une  équation  différentielle  à  coefficients  rationnels 
d'un  ordre  moindre  que  p^  ;  c'est  pourquoi  l'ordre  de  (/i)  <Joil 
être  ~/>i ,  mais  nous  avions p  =Pi*  De  là  résulte p  z=. p^. 

Par  ces  considérations^  nous  avons  étendu  aux  équations  diffé- 
rentielles linéaires  le  théorème,  relatif  aux  équations  algébriques, 
que  vous  avez  donné  page  44^  de  votre  Traité,  On  voit  que  : 

Si  Von  fait  abstraction  des  intégrales  de  (E)  qui  satisfont 
à  (ç)  et  que  Von  forme  pour  chaque  intégrale  de  (E)  V équation 
de  V ordre  minimum  à  coefficients  rationnels,  vérifiée  par  cette 
intégrale,  toutes  ces  équations  sont  du  même  ordre. 

Comme  voiis  l'avez  démontré,  on  passe  de  l'une  de  ces  équa- 
tions à  l'autre  par  une  transformation  rationnelle. 


CORRESPONDANCE  : 
A  PROPOS  DE  LA  THERMODYNAMIQUE  GÉNÉRALE  DE  GUSTAVE  ROEIN; 

Lettre  de  M.  L.  RAFFY. 

Les  lecteurs  du  Bulletin  ont  certainement  encore  présente  à 
la  mémoire  l'importante  étude  que  M.  Duhem  a  consacrée  dans  ce 


88  PUIiMIÈUE    PAUTIK. 

Recueil  à  la  Thermodynamique  générale  de  Robin.  Je  suis  d'au- 
tant plus  à  Taise  pour  en  discuter  certains  passages  que  M.  Duhem 
m'a  traité  avec  une  courtoisie  dont  je  ne  puis  que  le  remercier. 
Mais  je  ne  suis  pas  seul  en  cause  :  dans  Tintérét  de  la  Science, 
j'ai  enfreint  les  volontés  de  l'ami  qui  n'est  plus  et  fait  connaître 
ses  idi''cs;  je  .-^^uis  donc  doublement  tenu  de  les  défendre. 

A  la  vérité,  il  y  a  autre  chose  que  des  discussions  doctrinales 
dans  Topuscule  de  M.  Duhem.  On  y  trouve  des  développements- 
historiques  sur  la  genèse  des  lois  fondamentales  de  la  Science  et — 
sur  la  part  que  M.  Duhem  a  prise  à  leur  coordination  :  je  n'aL 
point  à  m'occuper  de  ces  sujets. 

On  y  trouve  aussi  des  revendications  de  priorité  :  la  liste  que^ 
M.  Duhem  a  établie  en  contient  quatre,  auxquelles  s'en  ajoutes^ 
une  cinquième,  quand  l'auteur,  au  cours  de  son  article,  les  reprend — 
l'une  après  l'autre,  pour  les  renouveler  chacune  en  son  lieu.  Je  ne=" 
crois  point  devoir  en  faire.rexamen,  d'abord  parce  que  ces  sortes 
de  questions  n'intéressent  pas  le  progrès  même  de  la  Science  ('), 
ensuite  et  surtout  parce  qu'elles  ne  sauraient  être  posées  à  propos 
de  Robin.  Satisfait  de  son  (ler  idéal,  Robin  s'isolait  dans  les  hautes 
retraites  où  les  préoccupations  égoïstes   n'ont  point  accès  et  il 
professait  sur  Tlmpersonnâlité  de  la  Science  des  opinions  très 
fermes,  qu*il  mettait  en  pratique  :    se  refusant  toujours  à  faire 
imprimer  ses   travaux^  il  engageait  ses  auditeurs  à  publier  sous 
leur  nom,  si  bon  leur  semblait,  les  vues  et  les  résultats  qu'ils  em- 
portaient de  ses  leçons.  Mais  il  y  a  plus.  Après  des  méditations 
(|ui  avaient  duré  de  longues  années,  Robin  formula  deux  principes 
absolument  originaux,  (|ui  n'empruntent  aux  Réjlexions  sur  la 
puissance  motrice  du  feu  que  les  notions  de  cycle  et  de  réversi- 
bilité :  au  premier,  (]ui,  couïbiné  avec  le  principe  de  l'équivalence, 
suffit   presque    pour   refaire,    en    l'élargissant,   toute   l'ancienne 
Thermodynamique,  il  conserva  le  nom  de  Carnot;  quanta  l'autre, 
sur  le(|ucl    il   fondait  la  science    générale  des  équilibres   de   la 
matière,  il  prit  soin  de  l'appeler  second  principe  de  Carnot  (*), 


(')  «^u'impnrlo,  rn  oUV.'l,  (|iic  le  tliormoiiiclro  normal  clioisi  par  M.  Duliein, 
dans  son  Commentaire  aux  principes  de  la  Thermodynamique  qui  a  paru  au 
rouis  de  i-^îi»,  soit  celui  que  Roliin  avait  défini  dans  une  Icron  de  fé>ricr  1^*92, 
ou  <{n'il  remonte  à  .1.  Montier,  ^i  re  nV*l  à  Ur^naull? 

(■)  •«  Pour  honorer,  dil-ii  (p.  'is  ),  riioniino  de  génii!  que  Ton  a   trop  souvent 


MÉLANGES.  89 

comme  pour  s^opposcr  à  ce  qu^il  fui  plus  tard  mis  sous  son  propre 
nom.  Qui  s^élonnerait  que  Robin,  appliquant  de  la  sorte  ses  prin- 
cipes de  détachement,  ne  se  souciât  pas  d*élucider  devant  ses 
auditeurs  des  questions  de  propriété  scientifique,  qui  n^avaient 
point  de  sens  pour  lui?  Aussi,  en  dehors  de  quelques  appellations 
consacrées,  la  Thermodynamique  générale  ne  contient  guère 
de  noms  propres  :  Sir  W.  Thomson,  Helmholtz,  Clausius  même 
y  sont  à  peine  cités  plus  d'une  fois.  Voilà  qui  est  péremploirc. 
Robin  n'écrivait  point  Thistoire  de  la  Science  :  il  la  faisait  (*). 

Je  vais  maintenant  passer  en  revue  les  principales  observations 
critiques  de  M.  Duhem,  dans  Tordre  même  où  il  les  a  présentées. 

Aux  énoncés  des  deux  «  principes  de  Carnot  »,  M.  Duhem 
conteste  ce  caractère  d'être  la  généralisation  par  voie  inductive 
d*un  grand  nombre  de  faits  observés  :  il  a  paru  inutile  de  viser 
l'universelle  et  quotidienne  expérience  des  machines  a  feu.  Quant 
aux  vérifications  de  laboratoire,  faut-il  s'étonner  que  les  vues,  si 
neuves,  de  Robin  n'aient  point  inspiré  les  expérimentateurs  avant 
d'être  publiées? 

M.  Duhem  reproche  aussi  à  Robin  d'avoir  été  infidèle  à  l'esprit 
de  sa  méthode  en  introduisant  le  potentiel  interne,  «  qui  n'est 
pas  plus  accessible  à  l'expérience  que  l'énergie  et  l'entropie  ». 
Voici  pourtant  ce  qu'on  lit  à  la  page  Sg  de  la  Thermodynamique 
générale  :  «  On  pourra  toujours  déterminer  le  travail  isother- 
mique réversible  à  toute  température  et  par  suite  le  potentiel 
interne,  grâce  à  des  expériences  à^équilibre,  dont  on  n'aura 
qu'à  relier  les  résultats  par  des  graphiques  ou  par  une  formule 
empirique.  » 

Un  peu  plus  loin,  M.  Duhem  s'élève  contre  les  corps  témoins 
cl  leurs  actions  de  présence,  si  longtemps  décriés  et  dont  l'em- 


sacrifié  à  Clausius,  et  qui  a  vu  mieux  que  personne  les  faits  les  plus  importants 
dr  la  Thermodynamique,  ayant  découvert,  en  dehors  du  principe  qui  porte  son 
oom,  le  principe  même  de  réquivalonce,  longtemps  avant  que  Robert  Maycr  le 
promulguât.  » 

(*)  Esprit  éminemment  rréateur,  Rohin,  alors  même  qu'il  employait  des  maté- 
riaux dont  la  découverte  était  duc  à  d'autres,  ne  les  enchâssait  dans  ses  construc- 
lions  qu'après  les  avoir  soumise  une  longue  élahoraiion,  d'où  ils  sortaient  trans- 
f«>rmés;  tellement  que,  pour  leur  attribuer  une  provenance  vraisemblable,  il 
fdiudraitlc  plus  souvent  l'œil  exercé  d'un  crudit,  sinon  mi^mclH  perspicacité  jalouse 
d'un  historien. 


IH»  IMtKMIKKI-:  PARTIE. 

ploi  sjslëmaliquey  fait  par  Robin  eo  mainte  occasion  et  nolam- 
ment  pour  réaliser,  dans  la  mesure  du  possible,  les  transformations 
réversibles,  est  ondes  traits  les  plus  originaux  de  sa  doctrine.  Les 
exemples  rapportés  dans  la  Thermodynamique  générale  (p.  1 1 
à  i3)  sont  empruntés  à  Pexpérience  journalière  et  hors  de  tonle 
contestation.  M.  Duhem  s^attacheàune  expérience  de  Van^tHofT, 
discutable,  parait-il.  Mais  ce  qu'il  en  dit  n^est  pas  pour  infirmer- 
cette  vérité,  bien  acquise,  que  nombre  d'actions  phvsiques  ou  chi~ 
miques,  qui  mettent  en  jeu  des  quantités  considérables  de  cha^ 
leur  ou  qui  transforment  d^énormes  masses  de  matitee,  sont  dues 
à  des  agents  mécaniques  ou  à  des  corps  témoins  qui  n'éprouyenl: 
eux-mêmes  que  des  modifications  infinitésimales.  Cette  |irodi- 
gieuse  disproportion  entre  la  cause  et  TeOet  n^avait,  sans  doolie> 
pas  échappé  aux  physiciens  et  aux  chimistes  ;  mais  ils  n^en  avaient, 
que  je  sache,  rien  conclu,  tandis  que  Robin,  en  construisant  sa 
science  des  équilibres  et  des  modifications  de  la  matière  (*),  en  a 
tiré  un  parti  qu*on  ne  pouvait  prévoir  et  que  M.  Duhem  semble 
avoir  méconnu. 

A  propos  du  premier  Chapitre  de  TOuvrage,  M.  Duhem  blâme 
Robin  d*avoir  parlé  de  chaleur  rayonnante  avant  d^avoir  défini  la 
quantité  de  chaleur;  il  me  paraît  pourtant  que  le  feu  est  logique- 
ment antérieur  à  la  calorimétrie.  Quant  au  fer  rouge  dans  le  puits 
de  glace,  s*il  n*échaufle  pas  la  glace,  il  la  fond,  sans  être  en  con- 
tact avec  elle,  ce  que  ne  ferait  pas  une  source  de  chaleur;  il 
exerce  donc  sur  elle  une  action^  mot  que  M.  Duhem  prend  dans 
un  sens  trop  étroit  en  lui  imposant  une  acception  mécanique. 

Il  est  assurément  fort  malaisé  d*enlrer  dans  la  pensée  d^autrui 
(Tesprit  y  a  d'autant  plus  de  peine  qu'il  est  plus  inventif)  et 
M.  Duhem  donne  un  nou\el  exemple  de  cette  difficulté  quand  il 
oppose  à  la  définition  du  iraxail.  posée  par  Robin,  l'objecticm  que 
voici  :  u  Pourquoi  une  partie  du  système  tomberait-elle  vers  le 
sol,  dont  elle  n'éprouve  niicune  action?  »  Ici  encore  M.  Duhem, 


(  '  )  Je  «lis  sn  sciiMico.  rdr  c'»?sl  Itobin  qui  a  le  premier  conçu  cl  professé,  dès  1880, 
la  p<tssibilil«'  île  coiisiruire.  Ci»iiiiiio  M,  huheiii  Va  êcril  une  douzaine  d'années 
plus  lanl  :  «  nm»  srienre  t|ui  riubrassi*  dan>  des  priiiripes  rommuns  tous  Icsclian- 
j:»Mnenls  d'élal  dos  rorp<.  au<si  liien  les  rhansements  do  lieu  que  les  clianj^ements 
ilo  qualilô>  pliy^^itinos  «.  Il  rnonoail  \oltuitiers  cc\it  i«lèe  dan«  se!&  conversations  ft 
M.  Ihilioiii.  t|iii  \«»>.iii  nitliiii  .1  rollo  opiM|iio.  a  ilù  la  lui  entondre  exprimer. 


MÉLANGES.  91 

par   le  moi  action,  entend  une  force,  ne  séparant  point  la  cliulc 
ics     corps,  qui  est  un  fait,  de  Fattraclion  terrestre,  qui  est  une 
liyrj:^^ thèse.  Or,  l'une  des  visées  principales  de  Robin  est  de  définir 
le  t.wavail  de  tous  les  systèmes  possibles  par  la  chute  des  corps  et 
p3v*    des  mesures  calorimétriques.  Comment,  si  Ton  tient  compte 
de   celte  idée  directrice,  admettre  qu'un  système  matériel  ne  tom- 
berai pas  vers  le  sol,  parce  qu'il  aura  été  isolé?  Il  eût  suffi,  pour 
bieo    entendre  le  passage  incriminé  (p.  18),  qui  contient  le  mot 
isolé  en  italiques,  de  se  reporter  à  l'endroit  (p.  10)  où  il  est  pour 
la    première  fois  question  de  Yisolement  du  système,  obtenu  au 
moyen  d'une  enveloppe  :  l'objection,  qui  est  purement  verbale, 
tombait  d'elle-même  aussitôt. 

Au  sujet  des   principes  de  Carnot,  M.  Duhem   soulève   une 

question  théorique  très  importante  :  le  travail,  au  bout  d'un  cycle 

monothermique,  pourrait  être  nul,  le  cycle  étant  irréversible, 

contrairement  aux  idées  de  Robin.  M.  Duhem  en  donne  pour 

exen^ple  les  mouvements  sans  viscosité  ni  frottement  qu^étudie  la 

Méosànique  classique.  Je  ne  sais  si  Robin  a  eu  connaissance  de  la 

dénr^  onstration  de  M.  Duhem,  ou  s'il  y  trouvait  quelque  difficulté; 

mai  s  y  le  résultat  admis,  il  n'avait  pas  à  en  tenir  compte,  les  mou- 

veinents  sans  viscosité  ni  frottement  n'existant  que  dans  la  Méca- 

Diqxme  irréelle,  non  dans  la  nature.  Aussi  sommes-nous  d'accord 

aveo   M.  Duhem  pour  considérer  la  Dynamique  classique  comme 

un  Cas  limite  plutôt  que  comme  un  cas  particulier  de  la  Tlier- 

foodynamique  générale. 

L*a  démonstration  sur  laquelle  Robin  fonde  la  Statique  générale 
est  contestée  par  M.  Duhem.  Tout  le  désaccord  tient  à  ce  que 
M-  Diihem  conçoit  les  équilibres  apparents  et  les  modifications 
spontanées  autrement  qu'ils  ne  sont  définis  dans  la  Thermody- 
namique générale  (p.  Il,  12,  i4)  et  à  ce  que  tout  équilibre  se 
confond  pour  lui  avec  ce  que  Robin  appelle  un  équilibre  stable^ 
Quant  à  l'équilibre  mécanique,  il  est  aisé  d'expliquer  le  jugement 
de  Robin  sur  le  théorème  de  Lagrange  et  de  Lejeune-Dirichlet, 
Qu'il  faille  faire  intervenir  la  considération  du  mouvement  pour 
établir  qu'un  équilibre  est  stable,  M.  Duhem  a  parfaitement  raison 
de  I  affirmer  et  nul  ne  le  conteste.  Mais  je  maintiens  avec  Robin 
qiron  ne  doit  pas  invoquer  les  formules 


.('  l'tlKMIËHE  PARTIE. 

(]iio  visciil  k-s  mots  «  lois  cxaclvs  du  mou  veinent  »  el  qui  ne  Bont, 
d'iûllcurs.  lien  moins  ifite  dih»oiiti/-es.  Un  elTct,  les  prétendues 
clémonslrulions  (ju'cn  dunncnl  1rs  Ouvrages  classiques  reposent 
sur  une  confusion  enlrc  les  Torcus  considérées  eu  Sutiquc  et  ce 
que  Ih  Dvi)amii|iic  d<-«ign<;  snii>  le  ni^niu  nom.  Celte  opinion,  trop 
peu  ri^pnndiic  cnrorc  t-n  Francn,  esl  iiettcnicnl  formulée  dans  la 
7'/ifritiinlyniiitii//tiP  f^i'ni'-niti'  {\}.  ».{5^;  aussi  Uoiiin  )>ouvait-il, 
et  pour  deux  raisons,  ri-jcicr  In  di'mouslralion  de  Dîriclilel,  qui 
implique  \v.  /losliilnl  exprimé  par  les  forniiiliis  (i). 

V.n  ce  qui  con<'(.-rnc  la  propo^ntion  de  l'onde  explosive,  je  crois 
devoir  diiiiiicr  ruison  ii  M.  Duliciii  :  l'analyse  de  Kobiri  établit  le 
lliéon'-uic  ili'  Mu^iiniiil,  nniis  sans  le  p':néniliger;  sa  portée  est 
rc'Slri-inl<^  par  lir  nipproclimicnl  Judicieux  que  faîl  M.  Dithcni  et 
qui  a  cerlaiiicincnt  cc}i;tji|ii'  ù  rtiuleiir,  intiis  <]uî  n'aurait  pas  dA 
,„'.Vl,a|,|,cr. 

Il  III-  ini.'  Ji'pliilt  [xiiiit  lie  liiiirsiir  oui  iiviiii.  Aussi  liicii  Texami-n 
ii|>|ii'i.riiii.li  i|iii'  M.  Diilii'iii  II  rail  ili'  la  riirrnmlrnamiiiiie g,mc- 

r„l,-  nu  ivM'Ir  |iii>  lr.i|.  ili-  iliriiilli n  il l'i'M'.iiliuii  ilc  la  lilulie 

(liif  j'iii  iissiiiiii-r.  (hi'il  1110  siiil  il ■  (iiTiiiis  il'iijiiiiler  ijiie  je  la 

jHiiirsiiis  i-l  i[iii-  j ii][itii  iiiililionraliiinl  la  Tt,é;,rit'  th's  fmic- 

li.nit.  ,:rcl,mWm,al  fmul,:-  sur  li.l,,-  il,-  ii„iiil,r,;  raliii  los 
Lrpms  lie  <luwi,-  /./ii  <iV/i„-  ilo  ll.iliiii. 


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COMPTES   UliNDUS   \'4  ANALVSKS.  ./> 


COMPTES   UENDl S   KT  ANALYSES. 


WERNFK  BOV.  —  Sir  la  rur^ati/ra  intc^ra  i;t  i.v  Tc>r»oL(»(;ii:  l>i:.s  si  iif.\c:ks 
PEMKF.S.  Disscrialion  inaiij:nnjl«*.  'j-y  |uii:cs  cl  î  planclics  de  fi!:«n*os.  (int- 
Kin<nio:  u)«>i. 

La  Taille  des  maliùrrs  de  een  •  inlc'rrssiuilt*  Thrse  peut  servir  à 
donner  une  idée  des  sujets  IruihS,  nuiis  non  de  la  riehcsse  el  de 
TaliOndanee  des  points  de  vue  nouveaux  : 

Iatrcuiict  !«»>'. 

Gif APiTRK  I.  —  Dr  la  ctirvatunt   intrisift  dt's  ronrhcs  cl  de 
f^ur'  tJvfonnation  parfaite  nient  conlinste. 

^Ji«  vFiTRR  II.  —  De  la  ciirxattira  intei^rtt  des  surfaces  fer- 
fnécs    /iilatères.  Courbure  u  éf/ut\'a lente  ^>. 

'  -      XieprésentalioD  de  la  eurvalura  intei;ra  par  une  inlé^rule. 
2-      ^Appliealion  des  formules  chiennes;  de  la  déformation  par- 
faiterK^  «ni  continue  des  surfacres. 

3,      De  la  représentation  des  points  paral)oli(|ues  sur  la  sphère 
de  Os^  tiss. 

■»-      tJe  la  courhure  u  ér|uivalenl('  •>. 

•*•      LJe  la  curvatura   intej;ra   de    surfaces   hilatères    de  caraclé- 
ri*^*cnjeA'  <|ni  ont  un  nomhre  <pich:onque  de  ccuirhes  douhles. 
"•     F'articnlarisation  relative  aux  pol\rdres. 

^HAMTRK    III.    —    Les   sitrfarrs   uniltttrres,    leur  eurwttuia 
iale^g'a  et  leur  tapolo*sie. 

'•    '-i«.*s  surfaces  unilatrrcs  el  leur  cur\alura  iiileura. 
*•   I-)es  diverses   formes  des  surfaces  Icrmccs,  ex(*cplion  faite 
de*  surfaces   à    caracl<''risli*pjc    impaire*    cl    «Icpourvucs   de    sin- 
gularités. 

••-  Méthode   pour   la   con-^lructinn   de   surfaces   dépourvues   de 
singularités  et  (pii  oui  une  c.iraeh'ri^licpic  donuét*. 
^'  »-e<  surfaces  à  caracléri^li«pie  A*  _-  i . 
B*^'''  lies  Sciences  tmit/icnt  .  :•'  -•'in-,  l.  WVI.  (  \\iil  nr»i'.) 


94 


pkiimièrb:  partie. 


o.   Une  surface  parliciilit're  à  caraclérisliqiie /*  =r^  i .   Ses  rap- 
ports avec  le  plan  de  la  Géométrie  projeclive. 

Voici  une  traduction  abrégée  de  rintroduclion  : 

Dans  le  célèbre  Mémoire  Disq,  gcn.  circa  sup.  cursras  Gauss 


ig.  I. 


I 
I 
I 
I 
I 
I 
I 
I 
I 
I 


jL. 


Il ■! 


y^' 


désigne  par  les  mots  ciinalura  intégra  d'une  portion  Unie 
de  surface  à  courbure  parrour  positive  ou  partout  négative,  Taire 
de  sa  représontation  splirriffiie  (  Darbocx,  Théorie  des  Surfaces, 


ri};.  ■?. 


kX 


t.  1,  11"  \VÎ.  p.  s><>()).  Pour  ohlonir  la  curvalura  intégra  d'une  por- 
tion finie  de  surface  c|uelcon(|uc,  on  devra  décomposer  la  surface 
vu  parties  que  l'on  peut  représenter  d'une  manière  univoque  et 
réversible  sur  la  sphère;  on  formera  la  somme  algébrique  des 
curK'cttura  intégra  de  ces  parties,  alfeolées  des  signes  -|-  ou  — , 


COMPTES  UENDUS  ET  ANALÏSES.  gS 

selon   que  leur  courbure  sera  positive  ou  négative.  L'expression 
analytique  de  la  curvalura  intégra  C  est 


=/""■ 


oit  k  est  la  courbure  [courbure  totale  =:  courbure  gaussienne  ^ 

Fig.  3. 


Krummangs-niaas,    inen^jura    curvalurœ  —  p— if.  (voir  Daudoux, 

Sur/aces,  t.  U,  n-  497,  p.  365)],  où  da  désigne  l'élér 

lîcîel  et  où  l'intégrale  doit  être  étendue  Atuule  la  i 

il   s'agit    d'évaluer  la  curvalura   intégra.   Dans  le   n"  6   de  son 


lent  super- 
■}>ion  dont 


Mémoire,  Gauss  dit  ;  «  ...  Nous  nous  réservons  cependant  de 
donner  à  une  autre  occasion  une  exposition  plus  étendue  sur  le 
sujet  de  Ggures  conçues  de  la  manière  la  plus  générale,  »  Malheu- 
reusement Gauss  n'est  plus  revenu  sur  ce  .sujet.  Nous  verrons 
plu»  loin  que  l'étude  de  la  curvalura  intégra  des  surfaces  fermées, 
seule  étude  dont  nous  nous  occuperons,  conduit  directement  à  la 
considération  de  leur  connexion.  Ce  rapport  entre  la  connexion 


Sb  PREMIÈRE   PARTIE. 

et  la  curvatiira  intégra  a  élé  découvert  par  Kronecker  (')  et  par 
D^ck  (').  En  cITet,  on  a  l'équation  C^(i — ^)4^)  P  désignant 
le  genre  de  la  surface  fermée.  11  m'u  semblé  (|u'il  valait  la  peiDC 
de  donner  une  nouvelle  démons  ira  tt  on  directe  de  ce  théorème 
sans  faire  aucun  usage  des  résultais  de  Kronecker  et  Dyck.  La 
métliode  que  nous  employons  permet  d'étendre  la  notion  de 
curvatura  intégra  aux  points  où  la  courbure  gaussienne  devient 


intinic  et  par  suite  d'éiendre  le  tlicorènie  aux  surfaces  quî  poss^~ 
dent  des  siM<;iil:Lritcs. 

K(i  raison  de  raiialo<i;ic  avec  les  surfaces,  nous  consacrerons  nn 
premier  Chiqiitre  à  in  citi\atttra  intégra  des  courbes  fermées  et 
à  leurs  rléformations  parfaitcntent  continues. 

Dans  un  deiixit^mc  Cliupilre,  nous  démonlrerons  le  lliéorème 
pri'cilé  n  nous  l'riendrons.  A  eet  elïet  nnus  inlroduirons  la 
noiioti  de  courbure  éifuitalente.  loi  se  rnllaclie  une  applica- 
lliiii  d<:  nos  résullais  iinx  polyèdres  el  nous  verrons  qu'ils  sont 
i<lfiitir[iiis  ;i  In  toli'bre  propu^illon  d'Eiiler  el  ;i  ses  diverses  géné- 


:.  WXll,  1888).  t> 


COMPTES  RENDUS  ET  ANALYSES.  97 

ralisations.  Dans  un  troisième  Chapitre,  nous  étendrons  nos  résuU 
tats    aux  surfaces   unilatères    et    nous   discuterons   la    question 


suivante  : 


Les  diverses  surfaces  ayant  un  nombre  donné  de  rétrosec- 

Fig.  6. 


-> 


lions  ne  les  morcelant  pas  que  Von  peut  construire  ont-çlles 
ioutesdes  représentants  dépourvus  de  singularités? 

Nous  avons  trouvé  qu'à  cette  question  l'on  doit  répondre  par 
raffirmative. 

^f^  particulier  il  existe  une  surface  dépourvue  de  singula- 
^iies,  située  tout  entière  à  distance  ftnie,  fermée,  et  qui  au 
^^^  de  /'Aiialysis  situs  est  identique  au  plan  de  la  Géométrie 
P''ojective . . . . 

*^oor  plus  de  détails  nous  devons  renvoyer  au  Mémoire  même 
•  ^^y.  Contentons-nous  de  mentionner  la  surface  unilatùre 


98  PREMJËHE  PARTIE. 

précitée  de  M.  Boy.  Cette  surface  est  assez  difficile  à  décrire  sans 
entrer  dans  une  foule  de  détails,  mais  les  dessins  ci-dessus  per- 
mettront de  s'en  faire  une  idée  assez  claire.  Un  modèle  de  celte 
surface  a  été  présenté  par  M.  Hilbert  a  la  Réunion  des  mathéma- 
ticiens allemands  à  Hambourg,  il  y  a  peu  de  temps. 

Cette  surface  présente  des  propriétés  très  intéressantes.  Entre 
autres  elle  pourrait  fournir  une  représentation  concrète  du  plan 
elliptique,  puiscprclle  peut  servir  a  représenter  le  plan  prO' 
jectif.  M.  Boy  n'entre  en  aucun  détail  sur  celte  question  et  ne 
parle  pas  de  la  Géométrie  elliptique.  Il  se  contente  d'énoncer  le 
théorème  relatif  au  plan  projectif  et  de  le  démontrer.  Il  termine 
en  disant  que  la  manière  dont  le  plan  projectif  serait  représenté 
sur  la  surface  présente  un  grand  degré  d'arbitraire.  Le  plus  simple 
serait,  dit-il,  de  faire  correspondre  la  droite  de  Tinfini  à  la  partie 
de  la  courbe  double  située  sur  les  nappes  de  forme  tubulaire. 

L.  L. 


NETTO  CE.).  —  Lkiirbicu  dkr  Combinat(»rik  (Toubnor's  Sammlun*;  voa 
Lchrbiicher  auf  dcm  Gobielo  (1er  malheinalischeii  Wissonschaflcii,  etc. 
Tomo  VII). 

La  librairie  ïoubner  publie,  eu  même  temps  que  TEncvclo- 
pédie,  une  série  de  Livres  sur  diverses  branches  des  Mathéma- 
tiques, qui  ne  laisseroul  pas  de  rendre  de  grands  services  aux 
étudiants.  Ceux-ci,  sans  doute,  ne  les  liront  pas  tous  ;  ils  choisi- 
ront suivant  leurs  goùls,  leurs  aptitudes,  les  recherches  qu'ils 
on!  envie  dVulreprendre,  et  se  trouveront  ainsi  tout  orientés, 
après  un  travail  relativement  facile,  ou  qui  tout  au  moins  n*a 
rien  ireUVavant.  Ils  nt»  seront  pas  ifai Heurs  les  seuls  à  profiler 
dt*  l'heureuse  iniliali\e  de  la  librairie  Teubner. 

\.\'  Li\re  de  M.  \etlo  sur  la  Coin(»ùuitoirc  traite  ifune  branche 
deN  MalluMnaliqiu's  qui  eNt  peul-ètrr  un  peu  dt'Iaissôo,  mais  qui 
liMitolois  a  <'i»nsrr\ê  et  et>nNtM*vera  des  adeplos  iVrxenls  :  car  d'une 
part,  et'ltt'  (\*fnhiniUoir%'  >e  mêle  ,\  bon  Ui>nibre  lie  belles  ques- 
liou'i    d' Vl^t'luv,   d' Vrllhiuotique,    d'Vualxse,   df    (lêoniêtrie,    de 


COMPTES  lilîxNDUS  KT  ANALYSES.  99 

Calcul  des  probabililës,  et,  d'autre  part,  les  problèmes  propres 
qu^on  s'y  propose  sont  d^ordinaire  fort  curieux,  souvent  amusants 
par  leur  énoncé,  et  parfois  irritants  par  cela  même  qu'on  ne  sait 
commenl  les  aborder;  enfîn,  plusieurs  de  ces  problèmes  ont  leur 
histoire,  et  la  qualité  de  ceux  qui  s'en  sont  occupés  ajoute  à 
leur  intérêt  propre.  Le  Livre  de  M.  Netto  donnera  sans  doute 
satisfaction  à  des  lecteurs  très  divers. 

Après  avoir  établi  les  définitions  et  propositions  fondamen- 
tales concernant  les  permutations,  combinaisons,  arrangements, 
les  applications  à  la  formule  du  binôme  et  à  ses  extensions  dans 
divers  sens  (Abel,  Burg,   etc.),  ainsi    que   les  principales  pro- 
.priélés  de  ces  développements.  Fauteur  traite,  dans  une  suite  de 
six  Chapitres,  un  grand  nombre  de  questions  qui  se  déduisent  des 
problèmes  fondamentaux   en    imposant   quelque   condition    que 
doivent  vérilier  les  arrangements  ou  les  combinaisons.  Le  lecteur 
sera    certainement    satisfait    de   savoir    qu'il   y  a  précisément 
33i2  manières    d'arranger   les   mots   dans    le    vers   du  jésuite 
B.  Bauhusius  : 

Tôt  tibi  sunt  dotes,    Virgo,  quot  sidéra  cœlo 

sans  que  les  lois  de  la  métrique  soient  violées  (sauf  celle  qui 
concerne  la  césure).   Beaucoup  de  gens  s'y  sont  trompés. 

Citons  encore  le  problème  des  huit  reines  sur  Tcchiquier,  dont 
aucune  ne  doit  menacer  les  autres,  et  diverses  questions  analogues 
entre  elles,  qui  ne  sont  pas  sans  intérêt  mathématique,  dont  la 
plus  simple  est  celle  d'Euler  : 

Combien  y  a-t-il  de  permutations  des  nombres  1,  2,  3,...  ndans 
lesquelles  aucun  de  ces  nombres  n'est  à  sa  place? 

Quelque  mauvais  plaisant  en  appliquera  peut-être  la  solution  à 
la  l'echerche  de  la  probabilité  pour  qu'aucun  candidat,  à  la  suite 
*lun  concours,  ne  soit  placé  à  la  place  qu'il  devrait  occuper, 
^^  peut  compliquer  ce  problème  en  supposant  qu'il  y  ait  plu- 
**curs  séries  d'épreuves.  Le  compte  des  termes  d'un  déterminant 
1^1  satisfont  à  telles  ou  telles  conditions  fournit  des  problèmes 
"U  même  genre.  L'étude  des  inversions,  et  surtout  celle  des 
-^^juences,  que  M.  D.  André  a  poussée  fort  loin,  est  Tobjet  d'un 
inlércssant  Chapitre. 


loo  PREMIÈRE  PARTIE. 

Lorsque  les  objets  que  l'on  combine  ou  que  l'on  arrange  so  ^ 
des  nombres,  on  peut  se  proposer  de  ne  conserver  que  ceux  d.  ^ 
arrangements  ou  des  combinaisons  dont  les  éléments  form^  ^ 
une  somme  donnée.  De  là,  relativement  à  ces  combinais(^  -m 
elles-mêmes,  ou  à  leur  nombre,  une  suite  de  problèmes  don^:^ 
suffit  d'indiquer  l'origine.  Euler  a  montré  comment  on  pouv^  ^= 
former  la  fonction  génératrice  qui  fournit,  comme  coefficieim  ■ 
•ces  nombres  de  combinaisons  (avec  ou  sans  répétition)  pour 
somme  prescrite.  Nous  entrons  ici  dans  le  problème  de  la  paa 
tion  des  nombres.  M.  Netto  expose  les  recherches  de  Sylves 
sur  la  détermination  du  coefficient  de  x"  dans  le  dévcloppem.  ' 
suivant  les  puissances  ascendantes  de  x  de  l'expression 

I 

(I  —  x^)(i  —xf*){i  —  x<^). .  .  ' 

coefficient   dont  la    signification    arithmétique   est   bien   conn 
depuis  Euler.    Plusieurs   questions,   relatives  à  la   partition  A 
nombres,  peuvent  se  traiter  simplement  par  la  considération  »  ^ 
diagrammes  de  points;  un  Chapitre  est  consacré  aux  solutions  d 
cette  espèce.    Enfin,    en  supposant  toujours  que  les  objets  qu 
l'on  combine  sont  des  nombres,   on  peut  regarder  une  corabi-^ 
naison  comme  un  produit  et  la  considération  des  sommes  de  pro^ 
duits  ainsi  obtenus  offre  un  nouveau  champ  de  recherches. 

Deux  Chapitres  sont  consacrés  aux  systèmes  de  ternes  et  à  des 
systèmes  analogues;  c'est  d'abord  le  problème  de  Steiner,  qui  s'in- 
troduit dans  Tétude  des  tangentes  doubles  des  courbes  du  qua- 
trième degré.  Voici  en  quoi  il  consiste  : 

On  donne  n  objets  :  peut-on  les  arranger  par  ternes  (trois 
par  trois)  de  manière  que  deux  objets  quelconques  figurent  dans 
un  terne  et  seulement  dans  un?  Un  tel  groupement  constituera 
un  système  de  ternes. 

Si  par  exemple  les  objets  sont  les  nombres  i,  2,  3,  4?  5,  6,  7, 
on  trouve   le  système  suivant  de  ternes  qui  répond  à  la  question 

123,     14^,     ifij,     246,     2J7,     347,     356; 

en  dehors  de  ce  système  de  ternes,  il  reste  (sur  les  35  combinai* 
sons  de  7  objets  pris  3  à  3)  28  ternes  libres. 

I^eut-on  arranger  les  n  objets  par  quaternes  de  manière  qu'un 


COMPTES  RENDUS  ET  ANALYSES.         îot 

T<:Tnc  libre  (en  donnanl  â  ce  mol  le  sens  de  l'exemple  précédent  ) 
Cî  relire  dans  un  quaterne  et  dans  un  seul,  sans  que  jamais  trois 
<'-fcmcnts  d\in  quaterne  ne  constitue  un  des  ternes  du  système 
I  r  ■  imitif? 

La  question  se  continue  en  p^roupant  maintenant  les  objets 
cri^q  par  cinq,  etc.  :  elle  a  été  Tobjet  de  travaux  assez  étendus. 

Il  est  aisé  de  montrer  que,  pour  l'existence  d'un  système  de 

tornes,   le  nombre  n   doit  être  de  l'une  des  formes   6  N-j-  ii 

t>    ]N  -h  3  :  rcxistencc  d'un  groupement  en  quaternes,  tel  qu'on  l'a 

«locrit  plus   haut,   n'implique  aucune  condition    nouvelle.  Dans 

l' «"temple   précédent,   on   aurait  le   système    de   quaternes    que 

xoici  : 

ii47,     1256,     i34C,     i357,     233),     2367,    4^07. 

Il  n'y  a  pas  pour  ce  môme  exemple  de  quaternes  libres,  c'cst- 
a-dire  de  quaterne  qui  n'appartienne  pas  au  système  précédent  et 
ne  contienne  aucun  terne  du  système  de  ternes.  Il  n'y  a  pas 
lie  1.1  de  cberchcr  ici  de  groupements  plus  élevés.  M.  Reiss  et 
M-  H.  Moore  ont  donné  des  constructions  du  système  de  ternes 
<l  tiii  nombre  de  la  forme  6  N  4-  1  ou  6  N  -f-  3.  M.  Nelto  a  résolu 
lut- même  la  question  par  d'intéressantes  considérations  emprun- 
ti'os  à  la  théorie  des  nombres.  La  construction  donnée  par 
'•î.   Ilefler  complète  sur  un  point  celle  de  M.  Nelto. 

^  oici  maintenant  le  problème  de  Kirkman  : 


^: 


1  Ton  considère  un  système  de  ternes  formé  avec6/i  -f-3  objets 
i^  contiendra  évidemment  (2  /i  -}-  i)  (3  /i  -4-  1)  ternes  :  on  demande 
«le  partager  ces  ternes  en   3  /i  -h  1  groupes  de  2  /i  -f-  i   ternes,  de 
laçon  (pie    dans   chaque    groii[)e    figurent   les  6  n  -h  3   objets. 
*^n  peut,  dans  le   cas  de  n  =  2,  enjoliver  la  question  en  l'appli- 
i  'l'ianl  à    quinze  jeunes  filles,   pensionnaires  du  même   élablissc- 

•wcnt,  qui  vont,  tous  les  jours  de  la  semaine,  se  promener  trois 
par  trois,  formant  ainsi  chaque  jour  un  groupe  dilTcrent  de  cinq 
•ï'rncs  du  système.  Au  bout  de  la  semaine,  chaque  jeune  fille  a 
••uuré  dans  un  lerne  avec  chacune  de  ses  compagnes.  C'est  le  pro- 
"Inne  des  quinze  écolièrcs. 

Dans  ravanl-deraicr  Chapitre  <lc  son  Livre,  M.  Ncllo  passe  en 
Buli.  des  Sciences  mathcni.,  1'  série,  t.  WVI.  (Avril  igoi)  7. 


loa  PUEM]Èll£  PARTIE. 

revue  les  principales  applications  de  la  Combinatoire,   Dans 
dernier,  enfin,  il  a  rassemblé  un  grand  nombre  de  formules  reb 
tives  aux  coefficients  binomiaux. 


ZOLL  (Otto).  —  Ueber  Flachen  mit  Scharen  von  geschlossenen  geodjl  ' 
TisciiEN  LiNiEN.  Inaugural  Disserlalioa  und  ziigleich  von  der  philosophî  ^ 
schen  Facultat  der  Universitai  Gëtlingen,  gckrôate  Preissehrift.  4^  pagCF  ^ 

1901. 

L'Universilé  de  Gollîngue  avait  proposé  comme  sujet  de  priit. 
pour  Tannée  1901  la  question  suivante  :  «  Déterminer  et  étudier" 
les  surfaces  sur  lesquelles  existe  un  réseau  de  lignes  géode- 
siques  fermées.  Dans  le  traitement  de  ce  problème,  on  tiendra 
compte  de  la  relation  de  la  théorie  des  lignes  géodésiques  avec  la 
dynamique    du   point.    (  Voir  en   particulier    les  remarques   de 
M.  Darboux,  Leçons  sur  la    Théorie  générale  des  surfaces, 
t.  II,  n«547.)  » 

On  sait  de  quelle  importance  est  en  Mathématiques  pures  et 
appliquées  la  théorie  des  équations  différentielles  qui  possèdent 
(les  solutions  périodiques.  Les  travaux  de  M.  Poincaré  sur  ce 
sujel,  dans  ses  recherches  sur  le  problème  des  trois  corps,  ont  en- 
core accentué  celte  importance.  Dans  son  Ouvrage  célèbre  Sur 
les  Méthodes  noui  elles  de  la  Mécanique  céleste,  M.  Poincaré  se 
sert  de  ces  mots  bien  remarquables  pour  caractériser  les  solutions 
périodiques  :  «  C'est  la  seule  brèche  par  laquelle  nous  puissions 
pénétrer  dans  une  place  jusqu'ici  réputée  inabordable.   » 

Or,  le  problème  posé  par  la  Faculté  de  Gtiltingue  conduit  pré- 
ciséuïcnl  à  certaines  équations  différentielles  qui  doivent  posséder 
des  solutions  périodiques.  En  Mécanique,  une  ligne  géodésique 
est  définie  comme  la  Irajecloirc  d'un  point  (]ui,  n'étant  soumis  à 
aucune  force  extérieure,  se  nicul  avec  une  vitesse  constante  sur 
une  surface.  Si  la  ligne  géodésique  doit  se  fermer  il  faut  qu'après 
un  certain  temps  T  le  point  revienne  à  sa  position  initiale  et  par- 
courre  de  nouveau  la  même  trajectoire.  Quant  à  la  surface  sur 
la(|uellc  se  trouve  la  ligne  géodésique  on  suppose  qu'elle  se  com- 


COMPTES  RENDUS  ET  ANALYSES.         io3 

|>orle  d^une  manière  régulière,  au  moins  dans  le  voisinage  des 
l>oiols  où  la  géodésique  suit  son  cours.  Il  s^ensuit  que  la  géode- 
sîqiie  elle-même  est  partout  régulière  et  n'a  pas  de  points  saillants 
anguleux^  car  il  n'existe  qu^une  géodésique  passant  par  un  point, 
dans  une  direction  déterminée.  Si  Ton  donne  aux  équations  de  la 
courbe  la  représentatioo  paramétrique 

le  temps  étant  pris  comme  paramètre,  ^,  ^,  y,  et  leuris  dérivées 
Jus(|a'à  lin  certain  ordre,  seront  des  fonctions  continues.  La  con- 
dition de  fermeture  de  la  ligne  géodésique  s'exprime  analytique- 
ment  en  disant  que  o,  ^,  y  sont  des  fonctions  périodiques  ayant 
la  fliéme  période  T. 

Inspiré  par  les  travaux  de  M.  Poincaré,  M.  Hadamard  a  fait  des 
recherches  du  plus  grand  intérêt  sur  les  trajectoires  d\in  point  et 
a  été  conduit  en  particulier  à  s'occuper  de  la  fermeture  des  lignes 
géodésiques.  Dans  le  remarquable  Mémoire  Sur  certaines  pro- 
p^-iétés  des  trajectoires  en  Dynamique,  M.  Hadamard  démontre 
que,  sur  une  surface  à  courbure  gaussienne  toujours  positive,  deux 
lignes  géodésiques  fermées  se  coupent  nécessairement.  Quant 
aux  surfaces  à  courbure  partout  négative,  Téminent  géomètre 
ootient  aussi  des  résultats  très  élégants.  Au  moyen  de  considé- 
"■^t-îons  tirées  de  VAnalysis  situs,  il  démontre  que  sur  toute 
sttclace  de  cette  nature  il  existe  des  géodésiques  fermées  et  que, 
P^Mr  chacune  de  ces  dernières,  il  existe  une  ligne  géodésique  qui 
^^O  rapproche  asymptotiquement.  \^Voir  Hadamard,  Les  sur- 
f^^^es  à  courbures  opposées  {Journal  de  Liouville,  1898).]  Ces 
*^«  les  recherches  de  M.  Hadamard  sont  d'un  caractère  très  général. 
*^ Van t  répondre  à  une  question  particulière,  les  recherches  expo- 
**^3  par  M.  ZoU  dans  le  Mémoire  couronné  par  la  Faculté  de 
'J^-^t.tingue  sont  nécessairement  plus  spéciales. 

^^  très  remarquable  Travail  renferme  toute  une  série  d*impor- 

»**^t:set  nouveaux  résultats.  Écrit  dans  un  style  clair  et  facile  à 

"^^  il  présente  ce  cachet  d'élégance  et  de  rigueur  que  l'on  est  en 

«^oit  d'attendre  d'un  disciple  de  M.  Hilbert.   La  forme  n'en  est 

P^a  moins  attrayante  que  le  fond.  Après  avoir  rapidement  décrit 

les  points  de  vue  et  les  méthodes  servant  à  obtenir  les  surfaces 

p(>ssédanl  un  réseau  de  lignes  géodésiques  fermées,  fauteur  étudie 


io4  PUEMIÈUlî   PARTIE. 

<lans  la  première  Partie  de  son  Mémoire  les  classes  spéciales  de 
surfaces  ajantla  propriété  requise,  à  savoir  :  les  surfaces-canal 
qui  sont  les  surfaces  les  plus  générales  ayant  un  réseau  de  lignes 
géodésiques  fermées  planes,  puis  les  surfaces  hélicoïdales  et  les 
surfaces  de  révolution.  Cette  première  Partie  renferme  aussi  un 
grand  nombre  d'intéressants  théorèmes  dont  nous  nous  bornerons 
à  citer  le  suivant  : 


Sur  une  sur/ace  à  courbure  gaussienne  partout  négative  il 
n^existe  aucun  réseau  de  lignes  géodésiques  fermées. 

Ce  théorème,  démontré  par  M.  Zoll,  permet  d'exclure  de  suite 
de  la  recherche  le  groupe  si  étendu  des  surfaces  minima  et  des 
surfaces  réglées. 

Dans  la  seconde  Partie,  M.  Zoll  s'occupe  surtout  des  surfaces 
sur  lesquelles  toutes  les  géodésiques  sont  fermées.  Ici,  comme 
dans  la  plupart  des  questions  relatives  à  la  théorie  des  surfaces,  il 
faut  toujours  revenir  à  TOuvrage  classique  de  M.  Dauboux  : 
Leçons  sur  la  Théorie  générale  des  surfaces.  On  sait  que 
Téminent  géomètre  y  a  exposé  une  méthode  pour  construire  de 
telles  surfaces,  mais  cette  méthode  fournit  toujours  des  surfaces 
qui  ont  un  contour  (t.  II,  n**  317,  loc,  cit.)  Or,  et  c'est  là  le 
résultat  capital  de  son  Mémoire,  M.  Zoll  est  parvenu  à  construire 
une  infinité  de  surfaces  fermées,  dépourvues  de  singularités, 
situées  à  distance  finie,  dont  les  lignes  géodcsitjucs  sont  toutes 
fermées,  et  qui  cependant  ne  sont  pas  des  sphères.  INI.  Tannery, 
s'inspirant  des  recherches  de  M.  Darboux,  avait  découvert  une 
surface  de  révolution  en  forme  de  poire  sur  laquelle  toutes  les 
lignes  géodésiques  sont  non  seulement  fermées  mais  encore  algé- 
hri(|ues.  La  collection  de  j\I.  lirill  en  renferme  un  modèle.  Mais 
cette  surface  ne  répond  pas  tout  à  fait  à  la  question,  car  elle  pos- 
sède un  point  nodal.  La  surface  découverte  par  M.  Zoll,  au  con- 
traire, n'a  aucun  i)oint  singulier  et  résout  donc  le  problème.  Kilo 
(Si  rgalcment  de  révolution  et  piriformo.  Le  manque  d'espace 
nous  interdit  (rentrer  en  plus  do  <l(''t;iils  sur  c(*l  intéressant  type 
(1(*  surfaces  et  sur  leurs  expressions  analyticpu^s.  Maintenant, 
cxistc-t-il  des  surfaces  jouissant  de  la  propriét('  requise  sans  être 
(le  r«'vulution?   .M.    Zoll  répond  par  raflîrniativc,  mais   il   ajoute 


COMPTES  RENDUS  ET  ANALYSES.  io5 

que  Texpression  analytique  de  ces  surfaces  serait  très  difficile  à 
trouver. 

Dans  la  conclusion,  l^auteur  expose  des  généralisations  inté- 
ressantes. Entre  autres  propositions,  il  démontre,  pour  terminer, 
cet  intéressant  théorème  : 

La  sphère  est  la  seule  surface  dépourvue  de  singularités  sur 
laquelle  toutes  les  lignes  à  courbure  géodésique  constante 
joient  fermées, 

La  Table  des  matières  donnera  une  idée  précise  de  la  disposi- 
tion de  ce  Mémoire  dont  on  ne  saurait  trop  recommander  la  lecture 
^  ceux  qu ^intéresse  la  théorie  des  surfaces. 


1 


NTRODOCTIOIf. 


Partie  I.    —    Sur/aces   ayant   un  réseau  de   géodésiques 
ermées. 


1.  Lignes  géodésiques  infiniment  voisines. 

2.  Méthode  générale  pour  trouver  les  surfaces  ayant  un  réseau 
de  géodésiques  fermées. 

3.  Lignes  géodésiques  planes. 

4.  Ilélicoïdes. 

5.  Surfaces  de  révolution. 

Partie  H.  —  Surfaces  dont  les  géodésiques  sont  toutes  fer- 
mées. 

6.  Méthode  générale  pour  trouver  les  surfaces  précitées. 

7.  Surfaces  de  révolution  dépourvues  de  singularités  et  répon- 
dant à  la  question. 

8.  Propriétés   des  surfaces  dont   les  géodésiques  sont  toutes 
fermées. 

G)}(CLUsioiir.  —  Généralités.  L.  Lalgel. 


io6  PHBMIËHE   PÂiniK. 


MELANGES. 


SUR  LES  TRANSFORMATIONS  DE  CONTACT  DES  SURFACES  HINIMA; 

Par  m.  U.  LEBESGUE. 

Je  me  propose  de  rechercher  les  transformations  de  contact  qui 
font  correspondre  à  Ion  te  surface  minima  une  surface  niinima. 

1.  Soit  une  multiplicité  M,  d'élémenls  de  contact  dont  les 
points  forment  une  courbe  c  et  dont  les  plans  enveloppent  une 
développable  A.  Si  c  est  minima  et  si  A  est  un  cylindre  de  généra- 
trices isotropes,  et  dans  ce  cas  seulement  (*),  il  existe  une  infinité 
de  surfaces  minima  contenant  les  éléments  de  contacts  donnés, 
M«  est  alors  une  multiplicité  caractéristique.  L'ensemble  de  ces 
multiplicités  caractéristiques  n'est  pas  altéré  par  les  transforma- 
lions  cherchées. 

Deux  éléments  de  contact  dont  les  plans  ont  une  direction 
isolrope  commune,  et  deux  tels  plans  seulement,  peuvent  être 
considérés  comme  faisant  partie  de  la  même  caractéristique;  donc 
ils  doivent  élre  transformés  en  éléments  de  même  nature.  Par 
suite,  à  deux  éléments  dont  les  plans  sont  parallèles  correspon- 
dent deux  éléments  parallèles.  A  un  plan  correspond  donc  une 
surface  dont  tous  les  plans  tangents  sont  parallèles,  c'est-à-dire 
un  plan;  la  transformation  cherchée  est  tangentielle. 

Deux  cvlindres  isotro|)es  (pii  se  déduisent  Tun  de  l'autre  par 
une  translation  pouvant  être,  et  eux  seuls  parmi  les  cvlindres  de 
même  direction,  considérés  comme  circonscrits  à  la  même  surface 
minima  le  long  de  deux  courbes  minim.i  du  même  SNstême,  ont 
pour  translormt's   des  cylindres  jouissant  de   la   même  propriété. 


(')  Il  y  a  ON.oplion  si,  r  olanl  ininim.».  A  r^l  rir»  .>iiHn  iio  an  «  orrlc  <lc  l'infini: 
mais  il  n'o\islo  «jn'nnr  de  <'cs  r«»nrh»'s  minima  par  surlarr  niinnna.  el  cVsl  une 
ariMc  <lo  rcbion»"ioaicnl  (^  0  vURoi  \.  I.€';>^ns  sut  iii  f^n'^*'ii':;t'nKr(iir(/cssur/a(Cs. 
t .   l.  noir  p.  ^»|(ii 


>>  I 


MÉLANGES.  107 

►onc  à  un  cylindre  minima  périodique  correspond  un  cylindre 
périodique  et  par  suite  à  une  surface  minima  périodique  corres- 
pond une  surface  de  même  nature. 

Soient  P,  Q,  R,  ...  des  plans,  P',  Q',  R',  . .  .  ceux  qu'on  déduit 
n3rune  translation  X.  On  peut  construire  une  surface  minima  pé- 
riodique non  altérée  par  la  même  translation  A  et  tangente  à  tous 
c^s  plans;  donc  les  transformés  de  P',  Q',  R',  ...  se  déduisent 
p3r  une  translation  des  transformés  de  P,  Q,  R,  . . . .  y<  une 
i^nnslalion  correspond  une  translation. 

^.  Soit  le  plan 

(i  —  «iUi)  J7  -4-  i(i  -^  uui)  y  -\-  {u  -{-  ui)  z  -k-  \  =  0, 

ou,  en  posant 

x  -4-  ly  "=  X,        X  —  /^  =  Y,        ^  =  Z, 

X  —  awi  Y  -h  (  w  -f-  Ml  ) Z  -h  ;  =  0, 
et  soit 

X'— i^i',  Y'h-(i' -4- r,  )  Z'-i- S' =  o 

^^1  transformé.  A  tout  point  du  cercle  à  Tinfîni  correspond  un 
'^tre  point  du  même  cercle;  donc  on  peut  supposer  v  fonction 
"^  /i,  i?,  de  u^.  On  pourrait  même  supposer  ces  deux  fonctions 
**^^ntiques  en  tenant  compte  des  développables  circonscrites  au 
^^■*cle  de  rinfini,  c'est-à-dire  des  solutions  données  par  l'intégrale 
'^t.crmédiaire  singulière,  mais  cela  est  inutile. 

Si,  à  la  translation  a,  p,  y,  correspond  la  translation  a',  jS',  v', 
^^  aura,  en  supposant  ^'  =/(uy  //,,  Ç), 


l'-%'^vv^^'~(v^çi  ) y'  =/|  u^  m,,  J  __  a  ^  t£ m,  3  —  (  w  -+-  m,  )y ] . 


La  dérivée  du  premier  membre  par  rapport  à  ç  étant  indépen- 
<*^nte  de  a',  ^',  y',  donc  de  a,  [3,  y,  il  en  doit  être  de  même  de  celle 
du  second  membre,  c'est-à-dire  que  $'  est  fonction  linéaire  de  Ç, 

î'=?(">"i)-+-/i(w,"i);. 

En  tenant  compte  de  cette  relation,  Téquation  précédente  se 
réduit  à 


io8  PREMIÈRE  PARTIE. 

Écrivons  que  les  dérivées  secondes  du  premier  membre,  par 
rapport  à  a,  ^,  y  sont  nulles,  on  a 

quels  que  soient  i^  et  (^i,  ou  w^  et  v  -i-  Vt]  donc  a',  P',  7^  sont  des 
fondions  linéaires  de  a,  j3,  y. 

A  une  translation  isotrope  correspond  une  translation  isotrope; 
à  deux  translations  isotropes  de  directions  différentes  corres- 
pondent des  translations  de  directions  différenles.  A  condition, 
peut-être,  de  prendre  des  axes  imaginaires,  mais  des  axes  x',y',  3' 
non  isotropes,  on  peut  donc  supposer 

En  écrivant  que  ol'-  -+-  |i'2  _|_  ^2  et  a^  -j-  [i2  _|_  yi  s'annulent  à  la  fois, 
on  a 

ai^bt=Oy         ±:  a  =±:  6  =  C|  (*). 

Dans  tous  les  cas,  après  une  transformation  homothétiquc  et 
peut-être  le  changement  du  sens  de  l'un  des  axes  X,  Y,  Z,  on  a 

donc,  d'après  l'équation  (i\ 
(*t  par  suite 

3.  Pour  que  le  plan  considéré  soit  tangent  à  une  surface  mi- 
nima  il  faut  que  Ton  ait  (^) 

Mais  î'  devant  être  do  même  forme,  ^  (//,  Ux  )  ou  ;'  —  \  sera  aussi 


(')  l>  rcsuliat  s'obiicnl  iminotliateinciit  ni  rrmarqudnt  que  les  seules  transfor- 
iiiatioiK  hoini>i;ra|>hi(}uos  du  plan  do  riutioi  qui  n'allrrent  pas  \v  cefcle  isotrope 
sont  n'Ilfs  «jui  ri'>ullont  He*  deplacemonls  el  «les  syniôlne*. 

I  •)  L>vuU'»rx,  Lcyns  sur /a  fhcjne  i:cnéralc  liis  sur/aces.  i.  I.  p.  ^>'^6. 


MÉLANGES.  109 

i  même  forme,   c'est-à-dire   sera  le  5  d'une    ceriaîne   surface 

inima. 

La  transformation  la  plus  générale  est  donc  trouvée.  Pour  obtenir 
MM^  énoncé  géométrique  simple,  remarquons  qu'avant  d'effectuer 
1^  transformation  précédente  nous  faisons  subir  aux  surfaces 
sxB inima  données  une  transformation  par  figures  semblables;  si 
rious  effectuons  de  plus  une  homolhélie  de  rapport  2,  on  aura  à 
Ia  place  de  (2) 

^o  étant  relatif  à  une  surface  minima  Sq.  Donc,  à  une  trans/or- 
nt9^2lion  par  figures  semblables  près,  on  obtient  ainsi  la 
t^^^insformation  cherchée  :  une  surface  minima  Sq  étant  arbi- 
tj^^^rement  choisie,  on  fait  correspondre  au  plan  P  le  plan  P' 
p^:mrallèle  à  P  équidistant  de  P  et  du  plan  t.  tangent  à  Sq  parai- 
l^y  bernent  à  P. 

Dans  cet  énoncé,  il  faut  entendre  par  surface  minima  Tenve- 

l<=^ppe  des  plans  déGnis  par  une  équation  de  la  forme  (3);  mais 

f^  4t)  onfi(Ui)  pouvant  se  réduire  à  zéro,  une  telle  équation  peut 

"^ finir  une  courbe  minima  (*).  Le  cas  où,  Sq  étant  une  courbe 

^^'^^nima,  on   applique  la   transformation  à  une  courbe   minima 

"^cinire  que  nous  avons  obtenu  une  généralisation  simple  de  la 

Ç^viération  des  surfaces  minima  que  SophusLie  a  déduite  des  for- 

Œ^ulfs  de  Monge. 

A  l'aide  de  la  formule  (3)  une  surface  minima  est  définie  par 

^cux  fonctions  y,  f^  ;  soient  foj  f^o  les  fonctions  définissant  Sq. 

^^mme  ces  fonctions  sonl  en  général  multiformes  et  différentes 

»  Une  de  l'autre,  la  transformation  obtenue  n'est  pas  univoque.  Si 

ûïi  l'applique  à  la  surface  2)  relative  aux  fonclionsy, /i,  on  obtient 

^eux  surfaces  analjtiquement  distinctes  relatives  à 

}(/-+-/.),     î(/i-*-Ao)        et         J(/+/,.o),     i(/i^/o). 


(')  Ctiie  extension  donnée  aux  mots  sur/ace  minima  correspond  à  l'extension 
au  sens  da  mot  intégrale  que  M.  Goursat  développe  à  la  page  49  du  Tome  I  de 
•es  Leçons  sur  l'Intégration  des  équations  aux  dérivées  partielles  du  second 
ordre. 


un  PKlilMlËHË  PARTIB:. 

I^oiir  que  ces  (leii\  surfaces  se  réduisent  à  une,  quelle  que 
soit  ï,  il  faut  et  il  suffit  que  I)o  soit  une  surface  double. 


4.  La  transformation  trouvée  est  une  conséquence  de  ce  que 
Ç  est  linéaire  par  rapport  aux  fonctions /,/j  et  leurs  dérivées.  On 
déduit  de  là  des  transformations  différentes,  en  apparence  seule- 
ment, de  celle  déjà  trouvée;  elles  expriment  toutes  ce  fait  :  une 
somme  algébrique  de  ^relatifs à  des  surfaces mininia,  est  le  Çd^une 
surface  minima.  Voici  Tun  de  ces  énoncés  :  soient  S,  2,  2'  trois  sur- 
faces minima,  P,  17,  11'  trois  plans  tangents  parallèles  à  ces  trois 
surfaces;  la  translation  (jui  amène  II  en  P  transforme  H'  en  P, 
P'  enveloppe  une  surface  minima.  Si  2  se  réduit  à  un  point,  on  a 
l'interprétation  de  la  transformation  trouvée,  sous  sa  forme  pri- 
mitive ($'  =  C3  -{-  ç). 

Soient  des  surfaces  niinima  affectées  de  coefficients  quelconques. 
Si  Ton  établit  entre  ces  surfaces  une  correspondance  par  plans 
tangents  parallèles,  le  centre  des  distances  proportionnelles  des 
points  de  contact  décrit  une  surface  minima  (*). 

3.  La  transformation  trouvée  peut  encore  être  rattachée  à  celle 
propriété  ;  soient  deux  surfaces  S,  S'  entre  lesquelles  est  établie 
une  correspondance  par  plans  tangents  parallèles,  et-  le  lieu  des 
milieux  des  points  correspondants.  En  un  pointdeX  la  somme  des 
ra\ons  de  courbure  principaux  est  la  demi-somme  des  quantités 
analogues  relatives  aux  points  correspondants  de  S  et  S'. 

Ccl'd  se  démontre  très  facilement  par  la  géométrie,  et  résulte 
immédiatement  de  la  formule  (i^j),  p.  9..\5,  du  Tome  I  de  l'Ouvrage 
cité  de  M.  Darboux.  La  transformation  du  ri"  3  fait  donc  corres- 
|)ondre  à  toutr  surface  parallèle  à  une  surface  minima  une  surface 
ilr  même  nature;  et  il  en  sorait  encoie  de  même  si  2o  était  une 
>urlacc  parallèle  à  une  surfacr  minima.  Je  dis  que  /a  transfor- 
fHtitinn  ainsi  (((''finir  rst  Iti  trttnsfornifition   de  contact  /a  nias 


'  (.'«  -    tt'.iii^!i>i  III. liions    III'    "l'iil    p.is    iH'UXilli^:    M.    <iiitir^,it    I«>    a    <i;:ii,ilrt*s 
I  oiiiiiH-  |Hiu\.iiil   »ri  \  ir  .i  l.i  lictriiiiiiiation  lii*.  <>iirtii't">  iiiiiiiiii.i    .i\,iiit    1,'^    inrinrs 

|-!,il  «»   i!«-    »\  m«  'lu-    ijrrîMi    |.i'!  \     «lu-    1  f;«ljlii  I  . 


MÉLANGES.  m 

^t}ri  enraie  qui  fait  correspondre,  à  toute  surface  parallèle 
à  terre  surface  mininia,  une  surface  de  même  nature;  une 
Iransformalion  par  fi<»;ures  semblables  ayant  été  préalablement 
efTeciuée. 

Lorsqu'on  se  donne  une  courbe  c  et  une  développable  A  conte- 
nant  c,  il  existe  deux  surfaces  et  deux  seulement,  tangentes  à  A  le 
lon^  de  cet  telles  que  la  somme  (positive)  des  rayons  de  courbure 
ail  une  valeur  donnée).;  cela  est  évidentpuisqu'il  suffit  de  déplacer 
chacun  des  éléments  de  contact,  définis  par  (c,  A),  de  façon  que  le 
plan  soit  parallèle  à  lui-même  et  que  le  j)oint  décrive  une  lon- 
g^ueur  À  sur  la  perpendiculaire  au  plan,  pour  obtenir  une  nouvelle 
courbe  C|,  une  nouvelle  développable  A,  qui  définissent  une 
surFace  minima  parallèle  à  la  surface  cherchée.  On  voit  de  plus 
(|iie  si,  pour  une  certaine  valeur  \q  de  X,  c,  est  miniinn,  A(  étant  un 
c^'lîndre  isotrope,  il  y  a  une  infinité  de  surfaces  relatives  à  \q  tan- 
{^enies  à  A  le  long  de  r,  et  aucune  pour  A  différente  de  Âq.  On 
pourrait  raisonner  à  partir  de  ces  multiplicités  particulières  (c,  A) 
coin  me  nous  Tavons  faitdans  le  cas  des  surfaces  miniina  à  partir  des 
imilLiplicités  caractéristiques,  mais  il  est  plus  simple  de  raisonner 
ainsi. 

l*ar  tout  point  d'une  surface  parallèle  à  une   surface  minima 
\>asseQldeux  de  ces  multiplicités  singulières,  puisqu'elles  corres- 
\K)ndeDt  aux  caractéristiques  de  la  surface  minima  parallèle.   Si 
BOUS  considérons  deux  surfaces  S,  S'  relatives  à  la  même  valeur 
^e  ).,  il  est  possible  de  construire    une   troisième  surface  2  di; 
la  même  famille  tangente  à  S  et  à  S' le  long  de  multiplicités  singu- 
lières. Or  l'ensemble  de  ces  mulûplicités  est  conservé  par  la  trans- 
formation cherchée;  donc  par  la  transformation  à  deux  surfaces 
relaiives  à  la  même  valeur  de  \  correspondent  deux  surfaces  rela- 
lives  à  une  même  valeur  de  X,  'f  (X). 

Ceci  posé,  à  tous  les  éléments  de  contact  faisons  subir,  comme 
îl  a  été  dit,  un  déplacement  ^(o)  dans  un  sens  convenable.  Si  ce 
déplacement  est  eiïcctué  sur  l'espace  après  la  transformation  que 
nous  cherchons,  toutes  les  surfaces  minima  ont  pour  homologues 
des  surfaces  minima.  La  transformation  totale  est  donc  obtenue 
par  une  transformation  par  figures  semblables,  puis  par  la  trans- 
l'ormation  du  n®  3  relative  à  une  certaine  surface  Sq-  Mais  il  est 
évident  que,  pour  effectuer  en  sens  inverse  le  déplacement  qui 


iij^  PltKMÏKRE  PARTIE. 

nous  a  t'ir  iilile,  il  siiflil  de  remplacer,  dans  l'énoncé  du  n"  3, 
la  surfHce  1^  par  l'une,  ronvenaldcmeni  choisie,  des  deux  surfaces 
paralUMes  à  Xq  el  relalives  à  la  valeur  2'^(o)  de  A. 


HLLLETIN   lilHLIOGKAPIlIOL'E. 


HtTT.NKR  «r.i.  —  Shifiù'n  ithcrdit*  fin'cnschr  Abhandlung  :  Mathe- 
iiin tirai  in%'esfi£rf{tions  cnnrer/ii/ar  thc  ians  o/  the  equUibrium  of 
fluids  (i83';!;.  Iii-S'\  v-<)S  p.  Leipz-i;:.  Tculiner.  6  m.  jo  pf. 

I  IVei>srliririeii  ilt^r  fui->tl.  Jjlilonox^^ki'sciieii  Gcsellscliafl  zu  Leipzig.) 

l)iKH:iiLET  (  L.^.  Dit*  / ht r.sfr /lutter  ganz  willkiirlicher  funciionem 
(lurrh  Sinus-  u.  Cosinusrcihen  (1837  ». —  Skidki.  ^Ph.-L.).  A'ofa  Mer 
die  Kisrcnschaft  der  lieiht'n.  nelrhe iiiscnntinuiriiche  FunctionendoT' 
stelif'ti  (iSi7.<.  ]lcriiii<;:ci:.  vnii  II.  Liobiiiiinii.  In-8",  58  p.  Leipzig,  Engel- 
ma  II  II.  <.'.ai't.  1  m. 

(  iSlwîild's  Ivla<>iki.r  ilrr  exakten  NVis>cnsrliafien.  N*  116.) 

IUgkn  «J.-ri.i.  —  Atlas strllarum  variabilinm.  Séries  HT,  complee- 
tens  variaftiics  intra  /irnitrs  deriinationis  -~  1'}"  et  —  go°,  quarum  lux 
tninima  est  in/'ra  /naji^nitUf/irtf/n  m^.  {\i\  iii-i",  37  planches  avec  3y  p. 
<IV\plir.'iliuii>  I.-1  V   p.  trxie.  Berlin.  I)ain»*<.  .\llas  relié.  Prix  de  souscrip* 

tiiifi,  j7  m.;  prix  <lr  ilclail.   ii  m.  40  pf. 

I.rROTii  (J.).  —   l'or/esuns^^en  iiher  niimerischcs  Hechnen.  Gr.   in-8", 

M-i«»4  p.  ii\cr  I  i  fi^'.  Loip/.i^.  Teiibiier.  8  ni. 

Si.iiKKKHiis  (  (i.).  —  Amvrnduni:  der  Diffcrential-  u.  Inteffral-Rechr- 
nti/ii!  au/  (icometrie.  1  IM.  Eint'i'iltnin^^  in  Au:  Théorie  der  Ciirvcn  în  der 
Khene  11.  ini  Kaiiiin'.  i\\\  in-S".  x-SGt)  p.  avec  fi{r.  Leipzig,  Vcil  cl  C*.  10  m.; 
leli*'-.  1 1  m. 


I  l'l.HIHAiritE    li  AlITMIKH-VI  IL  A  ILS. 


LES  ANNUES  DE  MATIIÉMATIUUES 


lOlJllStl.  m;s  CANDIDAT? 


lit  tVMtf,  SHfMiV^.  i  M  i\C.tm  IT  k  LMCREtiATIOX 


<  llWl,MBliaU«tfn|>«rallni«lu-|« 


^^^^^^^1 

H                   Locmin  ni.)  -  <><irlr^  irmçfrtrfflnPJ 

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BTÎÏtitîî? 

ASTUONOMK. 

njUf  JE  rAH  L'UttSERVATUIRâ  M  l'AIItS, 


a.  niGOunoAN,  ".  f 

\;.i.\:-iiiti:\ 

i^a^^^H 

'-^H 

.^^^^ 

..-.■ 

'''i^^^H 

•t*%» 


CO&IPTHS  liKNDUS  HT  ANxXLVSKS.  ii3 


COMPTES   RENDUS   ET  ANALYSES. 


FeSTSCHRIFT  ZUR   FeIER   des   lIL'NnKRTFVNFZIGJAIiniCiKN    BkSTKHKNS  DFR  KoM- 
GLICHEN  GeSELLSCHAFT   DEH   \VjSSE.\S<:II.\FTKN  ZU  (ioTTlNCKN.  HkITHAGH  ZIR 

Geleiirtengeschiciite  GoTTiMiENS.  Mit  cincin  Tilolhildo  iind  i'\  Tufoln. 
I  vol.  în-8«,  688  paj^os.  Berlin,  Woidinann,  1901. 

Ce  beau  Volume,  orné  d\in  assez  ^rand  nombre  de  portraits, 
renferme  d^inlcressants  documents  liistori(|ucs  relatifs  à  divers 
membres  de  la  Société  royale  des  Sciences  de  (id'ltingiie.  Deux 
de  ces  documents,  d'une  nature  fort  diflérento,  mais  Irrs  intéres- 
sants Pun  et  l'autre,  se  rapportent  à  Gauss. 

L'un  n'est  autre  qu'une  sorte  de  carnet,  un  I\otizen journal 
suivant  l'expression  de  Gauss  lui-même,  011  celui-ci  a  noté,  en 
quelques  mots  très  brefs,  au  jour  le  jour,  ses  reclierclies  et  ses 
découvertes  mathématiques  de  1796  à  181 4-  C'est  un  pauvre 
cahierde  dix-neuf  pages,  inappréciable  pour  Tliisloire  de  la  pensée 
du  grand  géomètre. 

Il  avait  été  pieusement  conservé  par  la  famille  de  celui-ci  et  a 
été  communiqué  en  i8()8  à  M.  Stâckel,  en  vik*  d(!  l'édition  des 
OEUivres  complètes.  1^  publication  (  '  )  a  été  faile  avec  tout  le  soin 
désirable;  quelques  notes  donnent  les  explications  et  renvois 
bibliographiques  indispensables;  le  texte  a  du  vixv.  quelquefois 
complété,  afin  qu'il  fut  clair;  les  complémcnls  oui  été  mis  entre 
crochets.  Enfin  une  page  a  été  reproduite  en  fac-similé;  nous  eu 
donnons  ci-dessous  le  texte,  qui  suffira  pour  (pu;  le  lecteur  prenne 
l'idée  de  l'intérêt  qui  s'attache  à  ces  quebpies  feuilles  :  celte  page 

rapporte  aux  années  1 7<)8-i  799  : 


De  lemnîscata   clc^antissiniii   oninc!>   (r^poctationcs  <iii|MM-:iniiii  acquisi- 
%'irous  et  quideni  pcr  uictlidJos  rpiu:  caiiipum  prorsu.s  iitivuin  iiuhis  aporiuiit. 

Goii.  Jul. 
Solulio  problcmatis  ballistiri. 

(iott.  JllI. 


(  '^  Il  en  a  clé  fuît  un  liriiKO  à  paît. 
Bull,  des  Sciences  mathvm.j  •'  >ciic,  i.  \\N  I.  (.M.ii  1  <)<".)  s 


ii4  PREMIÈUE   PARTIE. 

Gometarum  theoriam  perfectiorem  reddidi. 


GoU.  Jul. 


Novus  in  analysi  campus  se  nobis  aperuit  scilicet  investigatio  functio* 
num^  etc. 


Formas  superiores  considerare  cœpimus. 


Formulas  novas  exactas  pro  parallaxi  eruimus. 


Oct.? 


Br.  Pebr.  14. 


Br.  Apr.  8. 

Terminum  médium   arithmetico-geometricum  inter  1  et  y^  ^^^^  =  ~~ 

usque  ad  figuram  undecimam  comprobavimus,  quare  demonsrata  prorsus 

novus  campus  in  analysi  certo  aperietur. 

Br.  mai  3o. 

In  principiis  Geomctrise  egregios  progressus  fecimus. 

Br.  sept. 

Girca  terminos  medios  arithmetico-geometricos  multa  nova  detenimus. 

Br.  not. 

De  l'examen  attentif  des  passages  qui  concernent  la  théorie 
des  fonctions  elliptiques  et  de  leurs  dates,  M.  Klein  tire  celte 
induction  :  Le  point  de  départ  de  Gauss  n'est  pas,  comme  on  Ta 
cru  d'après  Schering,  la  théorie  de  la  moyenne  arithmético-géo- 
métrique,  mais  bien  l'étude  des  fonctions  lemniscatiennes.  II  était 
en  possession  dès  1898  des  fonctions  2r  pour  le  cas  de  la  lemnis- 
cale,  qui  lui  permettent  en  1899  de  résoudre,  pour  ce  cas,  le 
problème  de  la  moyenne  arithmético-géométrique.  Il  reconnaît, 
dans  cette  même  année,  la  généralité  de  la  méthode  et  est  amené, 
par  là  même,  à  l'étude  des  fondions  elliptiques,  dans  le  cas 
général. 

On  lira  aussi  avec  un  vif  intérêt  les  souvenirs  de  M.  II.  Dede- 
kind  relatifs  aux  leçons  de  Gauss  sur  la  méthode  des  moindres 
carrés.  Ces  souvenirs  sont  singulièrement  nets  :  Tadmiration  pour 
le  grand  homme,  la  joie  de  l'apercevoir  de  loin,  l'émotion  de  la 
première  visite,  la  mauvaise  humeur  de  Gauss  quand  on  lui  parle 
de  faire  son  cours,  le  cabinet  de  travail  et  l'antichambre,  la  table 
où  les  neuf  auditeurs  n'arrivaient  pas  à  se  caser,  la  voix,  l'atti- 
tudc,  la  prononciation  populaire  et  la  belle  écriture  du  savant, 
tout  cela  s'est  imprime  dans  le  cerveau  du  jeune  homme,  en  iS-fo, 


COMPTES  KËNDUS  ET  ANALYSES.  ii5 

el  aujourd'hui  le  maîlre  vénéré  nous  rend  ses  impressions  avec 
une  fraîcheur  charmante  et  un  relief  saisissant.  M.  Dedekind  a 
fait  plus  encore  :  en  fouillant  ses  notes  et  ses  souvenirs,  il  est 
parvenu  à  résumer  de  la  façon  la  plus  intéressante  la  première 
partie  des  Leçons  de  Gauss,  une  sorte  d'introduction  élémentaire 
et  pratique,  moins  connue  que  l'exposition  plus  savante,  fondée 
snr  la  théorie  des  probabilités. 

Deux  portraits  figurent  dans  cette  publication.  Dans  Tun, 
Oauss  a  vingt-six  ans;  les  traits  sont  pleins,  les  cheveux  sont 
épais  et  bouclés;  dans  l'autre,  que  la  lithographie  a  rendu  plus 
populaire,  les  jolies  boucles  sont  remplacées  par  une  calotte  noire, 
d^où  s'échappent  quelques  mèches  grises;  la  pensée  et  l'âge  ont 
cr«usé  les  traits;  le  front  s'est  éclairci  et  s'est  bombé;  la  bouche  a 
S^fAé  sa  finesse  et  les  yeux  leur  vivacité. 

Les  documents  biographiques  sur  Gauss  auront  leur  place  dans 
'c  Tome  X  de  ses  Œuvres,  dont  le  Tome  VIII  vient  de  paraître. 
On  peut  avoir  pleine  confiance  dans  ceux  qui  s'occupent  de  par- 
faire et  de  terminer  le  monument  élevé  à  la  gloire  du  grand  mathé- 
'i^aticien.   Est-ce  ici    le    lieu,   à   propos  de  ces   documents,  de 
'appeler  cette  correspondance  entre  Gauss  et  Bolyai,  que  l'on  a 
'^cemmenl  éditée  (*)  avec  luxe,  qui  nous  fait  pénétrer  dans  l'in- 
timité de  ces  deux  hommes,  qui  est  pleine  de  traits  touchants, 
comiques,  admirables?  Le  lecteur  connaît,  par  la  traduction  qu'a 
donnée  M.  Laugel  du  travail  de  MM.  L.  Stackel  el  Engel  (2),  le 
'^le  de  Gauss  el  des  Uoljai  dans  l'établissement  des  fondements 
d^   la  Géométrie.  Mais  on  ne  saurait  trop  lui  recommander,  s'il 
^^ui  passer  quelques  heures  délectables,  de  lire  toutes  ces  lettres, 
w  savourer  les  anecdotes,  les  portraits,  les  rendez-vous,  les  pipes 
^l^e  chacun,  à  de  certains  jours  et  de  certaines  heures,  fume  en 
Pensant  à  son  ami,  les  malheurs  arrivés  aux  barriques  de  vin,  la 
pUcidité  de  Gauss,  l'enthousiasme  et  le  lyrisme  débordant  de 
^lyai.... 


1*)   Bolyai  Farkcu  es   Gauss   Frigyes  Karoly  Levelese;    in-4'.    Budapest, 
^^ja  a  Magyar  Tud.  Akademia,  1899. 
(')  Bulletin^  2*  série,  t.  XXI,  p.  3o(). 


ii6  premiEke  partie. 


VIVANTI  (G.)-  —  Teoria   delle    Fuxziom   anautiche.   i   vol.  in-i6 
viii-43f  pages  (de  la  collection  des  Manuels  Hoepli).  Milan,  Hoepli;  igoi. 

Ce  petit  Volume,  que  le  nom  de  son  auteur  recommande  suffi 
samment,  contient  une  Introduction  où  sont  résumées  les  princ 
pales  propriétés  des  ensembles;  le  reste  est  un  exposé  clair  i 
concis  des  propositions  essentielles  de  la  théorie  des  fonctioi 
analytiques.  La  grande  concision  est  une  condition  nécessitée  ps^   -^ 
le  format  :  tous  ceux  qui  veulent  collaborer  à  cette  collection 
intéressante  et  si  utile  de  Manuels  que  publie  la  maison  Hoep=:^= 
ont  dû  s'efforcer  de  la  pousser  aussi  loin  que  possible.  Dans  a 
tains  de  ces  Manuels  les  démonstrations  ont  dû  être  supprimée 
ce  n'est  pas  le  cas  ici.   L'exposition   est  faite  dans  le  sens 
Weierstrass,  c'est-à-dire  en  prenant  pour  unique  point  de  déps 
la  théorie  des  séries  procédant  suivant  les  puissances  entières 
la  variable  :  s'il  est  question  de  dérivées  et  d'intégrales,  c'est 
dérivées  et  d'intégrales  de  telles  séries,  qui  peuvent  être  défin 
d'une  façon  purement  formelle.  L'intégrale  prise  entre  des  limi 
imaginaires  ne  joue  aucun  rôle. 

L'Introduction  contient  d'abord  les  notions,  définitions  et  p 
positions  fondamentales  de  la  théorie  des  ensembles.  Elle  p"^ — ^ 
suppose  la  notion  de  nombre;  elle  est  faite  d'ailleurs  avec      -^^b 
grand  souci  de  la  rigueur  logique  :  ainsi  l'auteur  s'arrête  sur"         ia 
distinction  entre  le  fini  et  l'infini  et  ne  craint  pas  de  démont-  « — ^^ 
qu'un  ensemble  contenu  dans  un  ensemble  fini  est  fini.  Il  dé^^^^- 
loppe  les  notions  les  plus  importantes  concernant  les  noml^**^^ 
transfinis  et  applique  ces  notions  à  certains  points  de  la  tliéo^*^^ 
des  ensembles  de  points. 

Immédiatement  après  la  notion  de  cercle  de  convergence  d'«-»  '^^ 
série  de  puissances  entières,  M.  Vivanti  introduit  la  notion  ^^ 
valeur  moyenne  d'une  fonction  sur  une  circonférence  de  cerc^ï*» 
ainsi  qu'a  fait  M.  Pringsheim,  en  vue  de  la  démonstration  ^" 
théorème  du  commandant  Laurent.  Cette  notion  permet,  concm  a^^ 
on  sait,  d'éviter,  dans  plusieurs  cas,  la  notion  d'intégrale  cu^""^*" 
ligne,  dont  elle  est  d'ailleurs  très  voisine.  Puis  viennent  les  notio"* 
de  dérivation  et  d'intégration  d'une  série  de  puissances  entiè^"^^' 


COxMPTES  RENDUS  ET  ANALYSES.  117 

«2  1^1.     fsens  qui  a  été  spécifié  plus  haut,  le  prolongement  analytique, 

I22.     <:léfinilion  d%ine  fonction  analytique,  déduite  d\in  de  ses  élé- 

i-K^^r~its,  dans  toute  sa   généralité,    la  distinction  entre  les  points 

<^i  rzB  ^uliers,    le    théorème    de    Laurent   démontré    comme   a    fait 

^1  .      IVingsheim,  le  théorème  dû  à  Casorati  et  retrouve  par  Weier- 

stK*^  ^s  sur  la  façon  dont  se  comporte  une  fonction  dans  le  voisinage 

dl**  u  m  point  singulier  essentiel  qui  n'est  pas  la  limite  d'un  ensemble 

de     points  singuliers  essentiels  :  on  doit  à  M.  Vivanti  lui-même 

des    remarques  intéressantes  sur  ce  sujet. 

^X^près  quelques  indications  concernant  les  séries  de  fonctions 

rat.ioDnelles   (expressions   arithmétiques),  et  sur  le   plan   d'une 

t^li-ide  systématique  des  fonctions  analytiques,  l'auteur  développe 

les      recherches   de   Weierstrass  sur  l'expression  d'une  fonction 

«itière  comme  produit  de  facteurs  primaires  (avec  application  aux 

f<^nclions  sinor,  o-x),  les  principales  propositions  qui  se  rapportent 

à  la  notion  de  genre,  les  recherches  de  M.  Mittag-Lcfiler  sur  la 

■"^présentation  d'une  fonction  uniforme  avec  une  infinité  de  points 

^"^guliers. 

4*our  ce  qui  est  des  recherches  plus  récentes  de  MM.  Poincaré, 
**^damard,  Borel  sur  les  fonctions  entières,  recherches  où  inter- 

m 

^■oni  notamment  la  rapidité  plus  ou  moins  grande  avec  laquelle 
^*'gmcnte  le  maximum  de  la  valeur  absolue  de  la  fonction  quand 
■^  Valeur  absolue  de  x  augmente  indéfmiment,  M.  Vivanti  ne  pou- 
^^itni  les  passer  sous  silence,  ni  les  développer,  avec  leurs  démon- 
strations, sans  sortir  du  cadre  qu'il  s'était  tracé.  Il  a  dû  se  borner 
**  >*apporter  les  déGnilions  et  les  résultats  les  plus  importants.  Il 
'analyse  aussi  rapidement  les  résultats  obtenus  par  MM.  llunge, 
1  ^înlevé,  Hilbert  sur  la  représentation  des  fonctions  analytiques, 
donne  avec  quelques  détails  le  théorème  de  M.  Miltag-Leffler 
*ur  la  représentation,  dans  une  étoile,  d'une  branche  d'une  fonc- 
Uon  analytique  déterminée  par  un  de  ses  éléments,  cite  quelques 
exemples  de  fonctions  lacunaires,  s'arrête  sur  les  questions  que 
soulève  la  théorie  du  prolongement  analytique  (Poincaré,  Borel, 
Fibry,etc.),  puis  sur  les  conclusions  qu'on  peut  tirer  de  la  nature 
des  points  singuliers  de  deux  fonctions  relativement  à  celle  des 
points  singuliers  d'une   troisième    fonction   construite  avec   les 
^M         <lcux  premières  (Pincherle,  Borel,  Iladamard,  etc.),  et  termine 
par  quelques  pages  sur  ce  que  l'on  sait  de  la  distribution  des 


r* 


ii8  PKEMIËIIË  PAKTIE. 

points  singuliers   sur  le  cercle  de  convergence   d'une   série 
puissances  (Lecornu,  Hadamard,  Borel,  Leau,  Le  Roy,  Prin 
sheim,  etc.). 


ÂliL  (D**  Fritz).  —  Untersuciiungen  ûbbr  geodâtischb  Linien. 
Inaugural  Dissertation.  5o  pages.  Kiel;  1901. 

Dans  ces  recherches  sur  les  lignes  géodésiques,  Tauteur  s^at 
lâche  a  Tétudc  des  réseaux  linéaires  de  géodésiques,  c'est-à-di 
des  réseaux  que  l'on  peut  représenter  par  des  équations  linéaire 

de  la  forme 

au-\-^if  =  const., 

a  et  p  désignant  des  constantes  déterminées. 

Sur  une  surface,  il  existe  toujours  deux  réseaux  linéaires  de 
lignes  géodésiques,  et  Ton  n'a  qu'à  poser  simplement 

/)  = /(li,!')  =  const.        et        ^  =  ^(a,c)=  const. 

Lorsque  sur  une  surface  il  existe  quatre  réseaux  linéaires  de 
géodésiques,  M.  Finstcrvvaldcr  (*)  a  démontré  que  la  surface  a 
nécessairement  une  courbure  gaussienne  constante.  Prenant 
ensuite  comme  point  de  départ  la  proposition  que  sur  toute  sur- 
face de  révolution  il  existe  trois  réseaux  linéaires  de  géodésiques, 
M.  Fritz  Ahl  s'est  proposé  de  rechercher  s'il  n'existerait  pas 
d'autres  surfaces  jouissant  de  celte  propriété.  Il  s'est  donc 
demande  s'il  existerait  dos  expressions  de  la  forme 

ds^-  Edu^ -{-  ^V du  du  -^  Gdi>* 

pour  lesquelles  l'équation  des  lignes  géodésiques  serait  vérifiée  par 

zi  =  consl.,         (^  =  const.,         u  —  t»  =  const., 

l'élément  linéaire  n'appartenant  ni  à  une  surface  de  révolution, 
ni  à  une  surface  applicable  sur  une  surface  de  révolution.  L'au- 


(  '  )  s.  FiNSTunx  ALnKH,  Mer/tonisr/ie  Beziehunf^en  bei der  Ftàrhende/ormafion 
(JahrrsOi'rtrhtr  dvr  />.    1/.    I  ..  IM  VI.   iSS»j.  p.   '>o  à  .'m». 


COMPTES  RENDUS  ET  ANALYSES.         119 

leur  est  conduit  à  un  système  de  trois  équations  simultanées  aux 
dérivées  partielles  du  premier  ordre 


dif  du  ov 


(3) 


dG\ 


\  \    dv  du  âi^  du  /  \du        '  dv  )  ~~    ' 


On  ne  peut  espérer  obtenir  une  solution  générale  de  ces  équa- 
tions. M.  Âhl  s'est  donc  proposé  d'étudier  les  cas  particuliers  où 
l'on  peut  arriver  à  un  résultat.  Il  commence  par  démontrer  que 
les  six  cas  suivants  conduisent  toujours  à  des  surfaces  de  révolu- 
lion,  à  savoir  : 

(i>  E=:o,        G  =  o, 

<a)(")  F  =  o, 

(3)  F  =  const.  9^  o, 

U  )  E  =  const.  yé.  o, 

(>)  E  =  XF«  ) 

icx  ^      >  „    [        (^=  const.), 

(^)  F  =  XE    )        ^  ' 

Mais  la  partie  principale  de  la  dissertation  est  celle  consacrée  à 
la  discussion  des  cas 

E  =  Ao  u*  -f-  a  Bo  w  -4-  Co, 
F  =  Aia«-t-2B|««-4-Ci, 
G  =  Aj  a«  -t-  2  Bj  M  -h  Cl, 

où  A^, ...,  Cî  sont  des  fonctions  de  t»*seul,  déterminées  par  la 
nature  même  du  problème. 

Celte  hypothèse  relative  aux  quantités  fondamentales  E,  F,  G, 

*été  suggérée  à  Tau teur  par  une  remarque  verbale  de  M.  Stackel, 

a  qui  l'on  doit  d^ailleurs  des  études  remarquables  sur  la  théorie 

<*«»  lignes  géodésiques. 

On  obtient  alors  un  système  de  i5  équations  dilTérentielles  du 

(*)  Comparer  Darboux,  Leçons  sur  la  Th.  des  surf.,  t.  I,  1887,  p.  i48-i5i. 


l'io  PIIEMIËRE    PARTIE. 

premier  ordre  pour  les  coeriicîeDts  A©,  - . .,  C^.  Leur  discussi^^^^^^n 
conduil  à  distinguer  un  grand  nombre  de  cas.  Une  sîmplificali^^^^=>n 

essentielle  consiste  d'abord  à  écarter  ceux  qui  conduisent  aux  si^^ :^r- 

faces  de  révolution.  L'auteur  fait  voir  qu'il  y  a  deux  formes  esse^^^    n- 

liellement  dlfTérenles  de  Télément  linéaire  auxquelles  ne  corrt ^  s- 

pond  aucune  surface  de  révolution  et  pour  lesquelles  il  existe  fat  "»is 

réseaux  linéaires  de  géodésiques,  à  savoir  : 

ds^=z(u-h  vydu^ —  7.{u-h  v)(u  —  2C)  dudv. 

A  la  seconde  forme  ci-dessus  de  l'élément  linéaire  ne  corre 
pond  aucune  surface  réelle,  mais  la  première  donne  les  surfac 
désignées  par  Sophus  Lie  sous  le  nom  de  sur/aces  spirales  ( 
Une  élégante  propriété  de  Télément  linéaire  de  ces  surfaces  réel 
est  celle  d'être  transformé  eu  lui-même  par  la  transformati 

On  voit  que  l'auteur  a  ajouté  d'importants  résultats  à  un  c^^^Hcs 
Chapitres  de  la  théorie  générale  des  surfaces. 

L.  Laugel. 


TESSARI  { n.V  —  La  Costrizionk  delli  ingranaggi  ad  use  delle  sgi' 
HKiiLi  iNUL'uNKRt  K  uEi  MECcAMci.  1  vol.  in-8^  ;  xv-xj^S  fKi^es  ct  8  planci 
Turin,  Boooa  froros:  ujo^. 

L'onsoiirnomonl  dos  choses  techniques  présente  des  difficul  t^s 
spéciales  ol  poul  élro  conçu  de  façons  assez,  diverses.  Il  peuK^  ^^ 
donner  au  milieu  des  choses  mêmes,  à  Tatelier,  au  laboratoi  ^"*' 
Ou  n'a  pas  alors  à  se  préoccuper  de  donner  des  définitions  1  *^" 
giques  :  ou  montre  les  objets  mêmes,  on  les  nomme  en  les  m  o  ■3" 
Iranl,  ou  les  monte,  on  les  démonte,  on  les  voil  fonctionner:.  '*^ 
mots  éveillent  des  images  précises,  des  souvenirs  de  sensalio '^  *» 


(*)  Sornis  l-Y.  r''ic,-^ne  d^r  rrant/ormatùvis-Orupptn  {ArehU'  for  McM^^^ 


p  soric 
pour  les  riiLiii-s  llii'-ii- 


COMPTES  KENUUS  RT   ANaLVSE 
l^plulôlqur  ilc«  coDcepls.  Cf^l  ensci^ncmcnt-là,  (jui 
•  Tappren tissage,  iiVat  jinsfi  dûdaigner 

ii^icmi  :  il  peut,  sans  doute,  être  accompagn<'  trcxplica lions,  mais 

'  <-  laV^t  pas  un  enseigoemenl  &cictitili(|ue.  Dans  un  euseigiiement 

•cî«cililî(|ne  les  objets  cinivent  Hre  schématisas,  réduits  â  ce  qu'ils 

ont    d'essentiel;  leur  fonctionnement  doit  être  expliqué  par  des 

friïictpes  appartenant  à  Jes  Sciences  que  connaissent  les  élèves,  à 

l<'9  propositions  «te  Oéuinètrie,  s'il  s'agit,  comme  irî,  dit  jeu  de 

DÛcanistncs  compostas  d'organes  rigides. 

^g^   Trop  souvent  les  livres  rédigés  par  les  lioninies  de  métier  ne 

^^■Paveot  élre  compris  que  par  ceux  qui  ont  fait  cette  sorte  d'ap- 

Bprenlissyge  (Jont  je  partais  tout  à  l'heure;  tes  auteurs  ne  s'astrei- 

;;>ienlp«ssuf1isammentàcet  ordre  logique  qui  est  le  fond  de  tonte 

^■■•«?nce,  et  ne  se   préoccupent  même   pas  de  définir  les  termes 

if^choiques  qui  viennent  naturellement  sous  leur  plume.  De  tels 

"Cs  peuvent  rendre  de  grands  services  aux  lecteuts  pour  les- 

heis  ils  ont  été  écrits,  qui  v  trouvent  les  renseignements  dout  ils 

pl  besoin;  ils  ne  peuvent  guère  servir  aux  étudiants  proprement 

Bi».  D'autre  part,  le  tliéoricieu  qui  veut  donner  un  enseignement 

-di>aut   pntlique   laisse    trop    souvent  de  cAlé  les   déluils  qui 

pnnuicnt  et  s'attarde  volontiers  aux  problèmes  théoriques  qui  lui 

pal  snggéréii  par  l'ordre  de  questions  dont  il  s'occupe.  Quelques- 

kls  de  ces  problèmes  ne  valent  que  comme  exemples  ou  cnmmc 

"•«sèment;  il  importe  de  ne  pas  en  abuser  et  de  ne  pas  se  com- 

Ipuire  uniquement,  dans  les  choses  d'ordre  priilique,  à  celles  qui 

"•nnenl  l'oceasion  de  parler  de  quelque  joli  théorème  de  Matlié- 

K*Hiiqiteg,  D'autres  problèmes  se  trouvent  avoir  no  grand  intérêt 

■  Ms-mémes,  et  l'histoire  de  la  plus  pure  des  Sciences  montre 

*Wï  que  le»  plus  beaux  développements  théoriques  ont  étr  sou- 

'**>i  les  réponses  â  des  questions  posées  dans  la  réalité  ;  pour  ne 

I  pHer  que  du   sujet  truite  par  M,  Tessart.  que  de  (Chapitres  de 

[  ''Spiuatique  n'inlervienuent-iU  pas  dans  la  solution  de  ce  pro- 

nlènr  :  transformer,  au  nio^en  d'organes  rigides  en  contact,  un 

«ouvpineul  de  rotation  autour  d'un  nxe  en  un  mouvement  de  ro- 

,  Ulioii  niitour  d'un  autre  nve?  Ce  n'est  pas  ces  Chapitres  qu'il 

**pl  de  développer  dans  un  Traité  des  engrenages  :  si  ce  'l'ruité 

itdù  être  un  livre  csscnlicllctncnt  pratique,  l'auteur  se  serait 

I  homé^k  l'énoncé  des  régies  précises  qui  servent  au  tracé  des  ligures: 


1)7  PREMIÈRE  PARTIE. 

le  livre  que  M.  Tessart  a  voula  écrire  est  un  livre  de  Science  o^ 
les  applications  ne  sont  jamais  perdues  de  vue  :  c^est  toujours  di 
organes  préciS|  déterminés  qu'il  a  en  vue;  il  ne  sera  satisfait  qv  ^ 
quand  il  aura  montré  comment  la  construction  peut  être  achevé^^ 
que  son  lecteur  aura  toutes  les  données  nécessaires  pour  dessine  ^ 
complètement  ces  organes  et  possédera  toutes  les  raisons  qui  jui 
liiient  ce  dessin. 

On  a  bientôt  fait,  par  exemple,  lorsquMl  s'agit  dN 
cylindriques,  dejustiCer,  devant  des  auditeurs  qui  possèdent  h 
éléments  de  la  Cinématique,  les  diverses  règles  pour  le  tracé  d^ 
deux  profils  conjugués.  Â  coup  sûr,  l'auditeur,  ou  le  lecteur,  » 
trouvé    là   une  application  intéressante  de  principes  qu'il  con- 
naissait, et  cette  application,  bornée  à  ce  que  je  viens  de  dire, 
est  même  une  illustration  naturelle  de  la  théorie  du  déplacement 
d*unc  ligure   dans  son  plan.  S*il  ne  sait  que  cela,  notre  audi- 
lour  sera  fort  embarrassé  de  dessiner  un  engrenage,  et  risquera 
de  ne  so  rendre  compte  que  bien  imparfaitement  du  fonctionne* 
ment  de  Tapparcil  dont  on  lui  a  parlé.  Quels  profils  choisi ra-t-i  1  ? 
Si  c\\s|  un  engrenage  épicvcloîdal,  comment  prendra-t-il  le  rajon 
du   corcio  doni    un   point    décrira  les  profils   conjugués?  Com- 
ment limitora-l-il  ces  profils?  Comment  fera-t-il  les  saillies  et  les 
\idos?  Quelles  dents  seront-elles  en  contact  et  pendant  combien 
de    temps?  Combien    ce    mode    dVngrenages    comporle-t*il   de 
dents?  l^^s  questions  abondent^  et  je  ne  parle,  bien  entendu,  que 
de  celles  qui  sont  du  rt^ssort  de  la   Cinématique*  et  qu*a  traitées 
M.  Tessari:  il  v  en  a  bien  d*autres  qui  intéressent  la  Dynamique, 
IVIaslioitô«  U  résistance   des   matérijux«  etc.;    ces  questions-là, 
rauleur  ne  |H>uvAit  que  les  signaler  en  |>a5sanl«  pour  indiquer  à 
l\HV4sion  comment  d'jiutres  considérations  que  celles  qui  sont 
tir^^os  de  lu  pure  iuH^mcIrie  interviennent.  )^r  exemple,  dans  le 
ch\^i\  des  dimensions  des  or^jines«  et  s*il  se  contente  de  dire  par- 
fois que  b  prjiliquc  u  conduit  À  adopter  tel  ou  lel  nombre,  soo 
Kvlciir  >c  contentera  aussi  de  celte  atlirmation*  d*aatant  que  ce 
îtvieur  >ent  bien  qu'on  ne  peut  tout  lui  dir^  el  qu^il  n*e$l  pas 
ùvtle  de  totti  expliquer  :  ju  moins  scra-lMl  satisfait  d'être  capable 
de  lîexiner  un  organe  rxvl  et  qui  {s^urraic  lonclionner.  de  ne  pas 
vji\o\r  Neuîewen:.  d'une  fa<\^;î  xa^ue  e5  trv^ulvUnle.  que  laCîoêma- 
;:que  ^cr;  à  quelque  cKomt.  wa*.^  d  v  Uv  ra»«s;x  c;>  Nftckant   com* 


COMPTES  HENtlUS  ET  ANALYSES. 


ul 


benl  elle  sert.  Rt  si  même  il  ne  doit  jamsis  être  ni  ingénieur  ni 

^CMnicirn,  mais  un  homme  de  science  ou  un  professeur,  on  sim- 

jjienieoi  un  homme  instruit,  l'étude  upprofondie  du  quelqu'un  de* 

kemples  simples  dêvcloppiis  par  M.   Tessari  sera,  à   coup  srtr, 

Dc   excellente  discipline.   Ce  que  l'on  gagne  de  modestie  cl  de 

iCCf  en  uc  se  contenlnnt  pas  de    principes  généraux   que 

PTon  se  croit  capable  d'appliquer,  si  seulement  ou  le  voulait,  et  en 

adiani  jusqu'au  bout  un  exemple  précis,  sans  se  laisser  rebuter 

■r  ce  qu'il  peut  avoir  d'un  peu  méliculeux,  n'esl  pas  à  dédaigner. 

Les  lignes  qui  préct'dent  suffironl,  je  l'csp^'re.  à  caractériser  l'es- 

rît  AU  foisscienlinquc  ei  pratique  du  livre  de  M.  Tessarr  :  celui-ci 

■t  în{;énicur  et  Ton  sent  assez  ifu'il  parle  de  sujets  qu'il  connaît  : 

i  esl  professeur  au    F"  Mmeo   indiistriale   italiano,    et    l'on 

onnaEtra,  en  lisant  son  livre,  l'hunime  qui  sait  enseigner.    Les 

rdîvers   problèmes   sont   traités  d'une   façon     systématique,    par 

IrélnJc   Am    mouvement    relanf  d'une    des    roues  par   rapport    à 

I  rtulre.  Cette  élude  donne  le  plus  simplement  qu'il  est    possible 

1  loatc}  )(s  popusitions  théoriques  dont  on  a  besoin.  Sept  Chapitres 

1  Mkat  consacrés  au\  engrenages  à  axes  parallèles,  pour  un  rapport 

caastanl  des  vitesses  angulaires  1  après  avoir  nettemcnl  posé  les 


fnncipes, 


étudié 


le  jeu  des  appareils,  énuméfé  les  questions  à 


réinndre  dans  chaque  cas  jiarliculier,  l'aulL'ur  traite  successive- 

BKSt  des  profils  épirvcloîdanx.  des  lianes  rectiligne;,   des  prollls 

I  i  développantes  de  cercle  et  des  engrenages  â  fuseaux.  Un  Cha- 

j  pilre  rpéctal  e*l  consacré  aux  engrenages  de  llooke  et  Whiie 

li(fVN«  à  chevrons)  dans  lestpiels  la  surface  des  dénis  n'est   pas 

j^ÎMdriqne,   mais  hélicoïdale.  L'auteur  termine  ce   Chapitre  en 

int  le  sonhait  de  voir  établir  des  rccherchei  expérimen- 

•  wr  la  comparaison,  au  point  de  vue  du  frottement,  entre  ces 

mages  cl  les  engrenages  cylindriques  ordinaires.  Trois  (iha- 

■tre»  très  intéressants  laut  au  point  de  vue  théorique  qu'au  point 

fr  vue  pratique  se  rapportent  au  cas  où,  les  nxes  étant  toujours 

rllMn,  le  rapport  des  vitesses  est  supposé  variable.  De  nom- 

■eirt  exemples  sont  traités  avec  détail.  Les  problèmes  analogues 

semt  que  Ton  vient  de  dire  sont  repris  dans  le   cas  des  axes 

tbacoiirsuls  :  ils  sont  distribués  dans  trois  Chapitres. 

)  Enfin,  rOnvrttge  se  termine  pnr  l'élude  du  cas  où  les  axes  sont 

a  d'une  faron  quelconque  dans  l'espace,  les  mouvement*  dc 


134  PKËMIËRE  PARTIE. 

rolalion  élant'  supposes  uniformes.  Un  Chapitre  est  consacré 
l'ëtude  de  la  disposition  des  deux  hjperboloïdes  de  révolutîo 
tangents  le  long  d^une  génératrice  commune,  que  Ton  est  al 
amené   à  considérer,   l'autre  à  Pétude  des  dents  dont  on  pe 
armer  ces  hj'perboloïdes.  J.  T. 


CELLËRIER  (Cii.)-  —  Cours  de  Mécanique,  i  vol.  in-8«;  viii-617  pages. 

Paris,  Gauthier- Villars  ;  1892. 

Ce  Cours  de  Mécanique,  professé  en  grande  partie  à  l'Univer' 
site  de  Genève,  et  complùlement  rédigé  par  Tauteur,  est  trè 
intéressant  par  les  tendances  multiples  et  quelquefois  opposée- 
qui  s^y  manifestent.  L^auleur  était  un  excellent  géomètre,  qui 
écrit  nombre  de  Mémoires  sur  la  Mécanique  et  la  Physique  mathé-^ 
matique,  et  s'intéressait  aux  points  les  plus  subtils  de  rAnalyse** 
On  sent  chez,  lui  le  goût  de  la  généralité  :  ainsi  son  Cours,  qut 
débute  par  la  Statique,  s'ouvre  par  la  démonstration  du  principe 
des  vitesses  virtuelles,  ramené,  grâce  à  une  ingénieuse  dispo- 
sition de  ces  petites  poulies  qui  figurent  dans  plusieurs  démon- 
strations classiques,  à  cet  axiome  :  Si  une  force  unique  est 
appliquée  à  un  système  théorique,  et  si  ce  système  peut  se  mou- 
voir de  faron  que  le  point  d'application  se  déplace  suivant  la 
direction  de  cette  force,  le  système  ne  restera  pas  en  équilibre. 

Mais,  en  même  temps  qu'il  a  le  goût  des  théories  générales^ 
Cellérier  ne  perd  pas  de  vue  les  phénomènes  physiques  :  il  en  a  le 
sens  et  veut  le  communiquer  à  son  lecteur,  qui  ne  restera  pas 
lonj;lomps  dans  les  considérations  abstraites;  cela  se  prévoit  d*ail- 
leurs,  ici  et  là,  dès  les  j>remières  pages;  mais  les  applications 
mettent  en  évidence  les  préoccupations  de  l'auteur  :  tout  d'abord, 
|)our  ce  qui  concerne  les  systrmes  à  liaisons  complètes,  il  aura 
jirand  soin  de  faire  ressortir  le  sens  de  Ténoncé  populaire  du 
principe  des  vitesses  \irtuelles  :  u  Ce  qu'on  gai^ne  en  force,  on  le 
ptM'd  en  \ilt»ssc  »•:  il  aura  grand  >«)in  aussi  de  distinguer  les  divers 
déplaremenl>,  de  nature  lrr>  iliUcrenle,  4|uc  peut  recevoir  un 
>>slcnic;    il   clucidera  <lc    son    mieux   la    notion    des    forces    de 


COMPTES  RENDUS  ET  ANALYSES.  I25 

coniacty  innllipliant  les  exemples,  tantôt  en  considérant  le  frot- 
tement, tantôt  en  le  négligeant,  parlera,  dans  un  cas  simple,  de 
^équilibre  des  voûtes,  puis  des  murs  de  soutènement,  et  dira 
même  quelques  mots  de  la  flexion  des  tiges.  Les  préoccupations 
du  physicien  se  retrouvent  dans  l'établissement  des  principes  de 
la  Dynamique,  lorsque,  par  exemple,  il  introduit  la  notion  du 
poiot  matériel. 

•c  Dans  ce  qui  précède,  dit-il,  nous  faisons  abstraction  du  fait 
que  la  matière,  à  un  degré  d*extréme  subdivision,  se  réduit  en 
nnolécules.  Ce  fait  constitue  un  défaut  d'homogénéité  ou  des 
irrégularités  de  structure  dont  les  dimensions  sont  en  général 
imperceptibles  en  comparaison  de  celles  d'un  corps,  et  dont  Tin- 
fluence  par  suite  peut  être  négligée  en  Mécanique. 

>»    Il  en  est  de  même  s'il  s'agit  d*un  élément  ou  d'un  point  ma- 
tériel. En  réalité,  on  pourrait  sans  erreur  sensible  le  considérer 
comme   infiniment  petit,  tout  en  lui  attribuant  des  dimensions 
immenses  en  comparaison  de  l'intervalle  mo}en  des  molécules. 
Mais  il  n'est  pas  même  nécessaire  de  s*arréter  à  cette  sorte  d'ap- 
proximation;  en   eflet,    les    lois   de   la    Mécanique    ne    peuvent 
dlêpendre  de  cet  intervalle,  dont  la  longueur  nous  est  inconnue; 
&i  donc  nous  lui  supposons   une  petitesse  indéfinie,  ces  lois   ne 
seront  pas  changées.   Cela  revient  à  regarder  la  matière  comme 
coniioae,  conformément,    du  reste,    à   sa   nature    apparente.    » 

Jamais,  sans  doute,  un  mathématicien  qui  ne  serait  que  mathé- 
*nalicien,  qui  ne  se  préoccuperait  que  du  jeu  logique  des  défi- 
■^Uions  et  des  déductions,  n'aurait  écrit  cette  phrase  sur  les  lois 
<lc  la  Mécanique,  qui  ne  peuvent  dépendre  de  l'intervalle  moyen 
<>€s molécules,  intervalle  dont  la  longueur  nous  est  inconnue.  On 
?  sent  l'homme  qui  a  des  scrupules  et  une  certaine  conception  de 
l^noaiière,  mais  on  ne  se  rend  pas  bien  compte  de  l'idée  physique 
Ou  métaphysique  que  recouvrent  ses  paroles. 

Je  ne  cite  cet  exemple  que  pour  signaler  les  difficultés  presque 
^hérentes  aux  livres,  très  utiles  d'ailleurs,  qui,  comme  celui  de 
wlérier,  prétendent  familiariser  le  lecteur  avec  les  phénomènes 
^^  les  théories  physiques.  L'auteur  pense  ces  phénomènes  avec 
certaines  habitudes  d'esprit,  et  ces  habitudes  créent  pour  lui  une 
*onc  d'évidence  qui  ne   peut  être  partagée  par  le  lecteur.  A  la 


ia6  PllËMIÈUE  PARTIE. 

vérité,  lorsqu^il  s'agit  de  spéculations  telles  que  celles  do9 
vient  d'être  question,  Tinconvénient  que  je  signale  n^a  plus  graJ 
importance  :  sans  doute,  il  ne  s'agit  de  rien  moins  que  des  éc[ 
tions  fondamentales  de  la  Dynamique  ;  mais,  après  tout,  ces  éq 
tions  sont  plus  claires,  en  elles-mêmes,  que  les  raisonnements 
lesquels  on  prétend  les  fonder,  et  il  est  loisible  au  lecteur  d'oubi 
ceux-ci  s'il  sait  appliquer  correctement  celles-là.  La  vraie  difficc 
est  peut-être  dans  les  applications  et  dans  l'appréciation  de 
simpIiGca tions  que  Ton  fait  subir  aux  problèmes  réels  pour 
mettre  en  équations  ;  la  meilleure  ressource,  pour  persuader 
lecteur  de  la  légitimité  de  ces  simpliGcations,  est  sans  doute 
multiplier  les  exemples;  on  en  trouvera  beaucoup,  et  d'ingéni< 
sèment  choisis,  dans  le  livre  de  Cellérier,  qui,  par  cela  même, 
pourra  manquer  de  rendre  de  bons  services. 

Après  Tétude  du  mouvement  d'un  point  et  une  digression 
cessaire  sur  l'évaluation  des  inté(|;rales  multiples  qui  s'introduis 
en  Mécanique  (centres  de  gravité,  moments  d'inertie,  attracti 
formule  de  Green,  etc.),  l'auteur  traite  du  mouvement  d'un  sol 
ou  d'un  système  de  solides,  en  parlant  du  principe  de  d'Alemb 
signalons  le  paragraphe  sur  le  mouvement  de  l'axe  de  la  Terre 
démonstration  de  la  réciproque  du  principe  des  vitesses  virtuel 
la  discussion  de  la  nature  des  liaisons,  l'application  des  forrai 
de  Lagrange  à  reflTel,  sur  un  pendule  composé,  de  la  secoussec 
à  un  tremblement  de  terre.  Le  chapitre  se  termine  par  la  théo 
des  percussions  et  l'élude  de  la  stabilité  de  l'équilibre  dans  le  c 
d'une  fonction  de  forces. 

Un  important  Chapitre,  sous  le  titre  Complément  de  la  Dyn 
mique  traite,  d'une  part,  des  applications  industrielles,  d 
résistances  passives,  des  moyens  de  régulariser  et  de  mesurer 
travail,  et,  d'autre  part,  de  Téiasticité  (vibrations  longitudinal 
d'une  tige  élastique,  relations  Ibndamentales  entre  les  pressio 
intérieures  d'un  corps,  valeur  des  pressions  en  fonction  des^ 
riables  qui  expriment  la  déformation,  etc.). 

La  mécanique  des  fluides  est  traitée  surtout  au  point  de  vi 
des  applications  pratiques. 

La  brève  analyse  qui  précède  a  eu  pour  but  de  mettre  en  h\ 
dencc  les  tendances  du  livre  de  Cellérier  :  s'il  touche  à  tous  I 
sujets  que  comporte  un  Traité  de  Mécanique  rationnelle,  l'aule 


COMPTES  RENDUS  ET  ANALYSES.  117 

efforce  évidemment  de  rapprocher  son  enseignement,  d^une  pari 
;  la  Mécanique  pratique,  d'autre  part  de  la  Physique  mathéma- 
3tie  :  il  j  a  eu  un  temps  où  renseignement  de  la  Mécanique  ra- 
onnelle  semblait  avoir  pour  but  principal  de  fournir  aux  étu- 
iants  des  exercices  intéressants  de  Calcul  intégral  ;  il  ne  faut  pas 
«guetter  que  ce  temps4à  soit  passé. 


lLEZAIS  (Raymond).  —  Sur  une  classe  de  fonctions  htperfuchsiennes. 

(Thèse).  Paris,  Gauthier-Villars  ;  1901. 

La  Thèse   de  M.   Âlezais  trouve  son  origine  dans  l'étude  de 
certaines  fonctions  hjperfuchsiennes  envisagées   par  M.  Picard 
{Acia  mathematica^  t.  I,  Il  et  V).  Les  périodes  de  Tintégrale 
abélienne 

(0  f  ^'      

sont  des  fonctions  des  deux  paramètres  x  et  j',  et  ont  trois  déter- 
mioations  linéairement  indépendantes;  soient  coi,  (1)2)  0)3  trois  de 
ces  déterminations  convenablement  choisies,  et  posons 

a>i  ci>3 

—  =  M,  —  =  V. 

(i>i  (jji 

^ctjrsonl  des  fonctions  uniformes  de  u  et  Vy  dont  le  champ 
ucxistence  est  le  domaine  de  Tespace  à  quatre  dimensions  cor- 
respondant aux  deux  variables  complexes  u  et  ^,  déflni  par  Tiné- 
gtlilé 

en  désignant  par  Uq  et  Vq  les  conjuguées  de  u  et  v, 

W.  Alezais  fait  d*abord  explicitement  la  recherche  de  ces  fonc- 
tions X  ety  de  u  et  v  (fonctions  hyperfuchsiennes)  au  moyen  des 
fonctions  6.  Considérant  ensuite  la  courbe  entre  5  et  ^ 

x»=(i-a)(r-p)(i-Y)('-5) 
^  intégrale  analogue  à  (1)  relative  à  cette  courbe,  il  fait  une 


^ 


128  PREMIÈRE  PARTIE. 

élude  approfondie  du  groupe  S  des  substilutîons  linéaires  re^^* 
lives  à  u  et  r,  quand  les  points  critiques  a,  ^,  y,  o  tournent    ^^^ 
uns  autour  des  autres,  groupe  qui  admet  cinq  substitutions  CV>^' 
danrientaies.  Comme  it  résultait  des  recherches  de  M.  Picard  -9     '^ 
groupe  S  pris  sous  forme  homogène  transforme  en  elle-mém^^ 
forme  quadratique  ternaire  à  indéterminées  conjuguées 

M.  Alezais  se  pose  alors  la  question  très  intéressante  de  sav 
si  le  groupe  S  coïncide  avec  le  groupe  des  substitutions  se 
blablcs  de  F,   ou  s'il  ne  forme  qu\in  sous-groupe   de  celui- 
Pour  élucider  la  question,  Tauteur  considère  un  nouveau  groupe 
provenant  des  échanges  des  valeurs  a,  [i,  y,  0  entre  elles, 
groupe  T  transforme  F  en  elle-même  et  contient  le  groupe 
M«  Alezais  établit  que  les  substitutions  de  S  sont  congrues  à 
substitution  unité  suivant  le  module  1  — X  (en  désignant  par 
une  racine  cubique  imaginaire  de  runitc),  et  que  S  est  donc  u 
sous-groupe  à  congrucuces  du  groupe  T;  il  en  est,  par  suite,  u 
sous-groupe  invariant.  On   peut  donc  décomposer  le  groupe 
en  classes  de  substitutions  incongrues  selon  le  module  i  — X.  I 
est  alors  possible  de  montrer  que  le  groupe  4>  de  toutes  les  sub 

suit  niions  transformant  F  en  elle-même  admet  comme  sous " 

groupe  imariant  d'indice  deux  le  groupe  T,  qui  adme^ 
lui-même  le  groupe  S  comme  sous- groupe  invariant  d'indice 
vingt-quatre,  I/étude  du  groupe  des  substitutions  semblables 
de  F  est  ainsi  faite  compirtemcnt,  et  ces  résultats  sont,  au  point 
de  vuearillunrlic|ne,  d'un  réel  inlérél.  On  sait,  en  effet,  qu'il  n'est 
pas  en  général  facile  de  pousser  jusqu'au  bout  la  recherche  des 
substitutions  fondamentales  du  groupe  relatif  à  une  forme  quadra- 
li(iuc  iudéliiiie.  Au  groupe  <^  correspondent,  d^iilleurs,  comme  à 
tout  groupe  de  substitutions  transformant  en  elle-même  une 
forme  (|uudrati(|ue  ternaire  indéHnie  à  indéterminées  conjuguées, 
des  fonctions  li^perfuchsicnnes. 

(lontinuaiil  son  étudt;  aritliniéti((ue,  M.  Alezais  passe  aux  sub- 
stitutions (|ui  nHilti|>lient  |)jirun  entier/»-  la  forme  F.  Les  célèbres 
tni\an\  (rilcruiitc  sur  la  transformation  des  (onctions  abéliennes 
(lu  piTinii-r  ordre  ap[)elaient,  dans  le  ca>  actuel,  (failleurs  plus 
complexe,  rullenlion  sur  la  réduction  et  Vcquii'alcncc  de   ces 


COMPTES  KENDUS  HT  ANALYSES.  .129 

substitutions.  Dans  plusieurs  questions  de  nature  algébrique,  le 
nombre  des   substitutions  non  équivalentes  jouera  certainement 
un  rôle  important,  quand  on  poussera  plus  loin  Tctude  des  fonc- 
tions hyperluchsiennes  correspondant  à  la  forme  F.  M.  Alezais 
retrouve  à  ce  sujet  le  nombre  indiqué  autrefois  sans  démonstra- 
tion par  M.  Picard,  quand  k  est  premier  et  de  la  forme  3m  -j-  1  ; 
il  lait  aussi  1<$  calcul  assez  délicat  pour  k  =  3.  Ces  résultats  seront 
à  utiliser  par  ceux  qui  voudront  entreprendre  la  formation  effec- 
tive de  certaines  équations  analogues  aux  équations  modulaires, 
et  obtenir  ainsi  des   exemples  de  sur/aces    hyper/uchsiennes, 
c'est-à-dire  de  surfaces  algébriques  pour  lesquelles  les  trois  coor- 
données s'expriment  par  des  fonctions  liyperfuchsiennes  de  deux 
paramètres. 

La  dernière  partie  est  consacrée  à  un  problème  de  transforma- 
tion linéaire  de  certaines  fonctions  0  de  genre  trois,  qui  conduit 
l'auteur  à  un  nouvel  exemple  concret  de  fonctions  hyperfuch- 
siennes,  et  lui  fournit  le  moyen  de  vérifier  directement  Tinva- 
riance  des  fonctions  x  et  v  considérées  au  début. 

Le  travail  très  soigné  de  M.  Alezais,  qui  témoigne  d'une  réelle 
puissance  de  calcul,  intéresse  à  la  fois,  comme  on  voit,  l' Arithmé- 
tique et  la  Théorie  des  fonctions;  sa  lecture  sera  indispensable  à 
ceux  qui  voudront  aborder  les  nombreux  problèmes  qui  se  pré- 
sentent encore  dans  cet  ordre  d'idées. 


FRE\'C1NKX  (C.  de).  —  Sur  les  principes  de  la  Mécanique  rationnelle. 
I  vol.  in-8**,  167  pages.  Paris,  Gauthior-Viilars,  1902. 

On  ne  peut  lire  un  livre  de  M.  de  Frcycinct  sans  admirer 
"abord  l'écrivain,  la  limpidité  du  style,  et  cette  simplicité  dans 
^élégance  qui,  chez  les  riches,  est  la  marque  du  goût.  Dans  ce 
|*vre-ci,  qui  touche  aux  points  les  plus  difficiles  de  la  Mécanique, 

**  y  a  pas  une  formule,  pas  un  symbole  analytique  ;  les  théorèmes 
^*  'es  principes  sont  dépouillés  de  tout  cet  appareil  inathéma- 
W^c,  dont  on  se  contente  parfois,  sans  se  donner  la  peine  de 
^o^rder  ce  qu'il  y  a  dessous^  les  mathématiciens  sont  si  habitués 

'**iL  des  Sciences  mathem.,  2'  s<-ric,  t.  XWI.  (Mai  njoa.)  9 


\ 


i3o  PREMIÈRE  PARTIE. 

à  leurs  symboles  et  s^amusent  si  volontiers  au  jeu  de  ces  symboles, 
qu'il  faut  peut-être  leur  arracher  leurs  jouets  pour  les  forcer  à 
penser.  Forcer  le  lecteur  à  penser  aux  choses,  c'est  là  sans  doute 
ce  qu'a  voulu  M.  de  Freycinct,  et  sa  modestie  semble  excessive 
lorsqu'il  dit,  à  la  fin  de  son  livre,  qu'il  s'est  seulement  efforcé  de 
dégager  les  abords  de  la  Mécanique  rationnelle  «  et  d'assurer  les 
premiers  pas  de  ceux  qui  voudraient  pénétrer  à  l'intérieur  de 
l'édifice  ». 

C'est  parmi  ceux  qui  sont  à  l'intérieur  de  l'édifice,  qui  sont 
curieux  de  savoir  comment  ils  y  sont  entrés,  et  si  le  chemin  qu'ils 
ont  suivi  était  bon,  que  M.  de  Frejcinet  trouvera  sans  doute  le 
plus  de  lecteurs. 

Quand  on  a  affaire  a  uu  esprit  aussi  lucide  que  le  sien,  à  un 
écrivain  qui  dit  exactement  ce  qu'il  veut  dire,  ni  plus,  ni  moins, 
il  est  qucl(|ue  peu  dangereux  de  prétendre  lire  entre  les  lignes  et 
de  prêter  à  l'auteur  des  opinions  qu'il  n'a  peut-être  pas,  ou  dont 
il  n'accepterait  pas  l'expression.  11  semble  bien,  toutefois,  que 
M.  de  Frejcinet  n'ait  pas  de  sympathie  pour  Técole  de  mathë* 
maticiens  ou  de  logiciens  dont  l'idéal  est  de  placer  au  début  de 
chaque  branche  des  Mathématiques  une  «  table  des  idées  pre- 
mières )),  des  définitions  précises,  des  postulats  dont  on  ait  con- 
staté l'indépendance  et  qui  soient  en  nombre  suffisant,  puis  de 
constituer  le  reste  de  la  science  avec  de  purs  raisonnements 
logiques.  Ce  n'est  peut-être  pas  à  ceux  qui  poussent  le  radicalisme 
aussi  loin,  mais  bien  a  ceux  qui  ont  quelques  tendances  de  ce 
côlé,  voire  modérées  et  timides,  que  s'adressent  les  pages  suivantes 
de  la  préface  : 

«  A  mon  avis,  ces  voies  nouvelles  ne  sont  pas  sûres,  et  en  tout 
ras  elles  ne  sont  pas  favorables  à  la  découverte  des  lois  naturelles. 
Je  cn)is  prudent  de  m'en  tenir  à  la  tradition  des  (ialilée,  des 
Newton,  dos  <r.\lemberl,  des  Laplace,  des  Lagrange;  et  si  quelque 
ilianj;einenl  doit  être  apporté  à  des  méthodes,  naguère  réputées 
(•Ia«isitiuos,  c'est  plutôt ^  selon  moi,  pour  en  accentuer  le  caractère 
exiu'riinonlal  et  pour  mettre  davantage  en  relief  les  données  phy- 
>iquos  qui  h»ur  servent  de  base**.  Sans  doute  la  Mécanique  ainsi 
c\|H»*»oe  prc^enle  un  u  niélani;c  ^>  de  calcul  et  «robservalion  u  avec 
•   quelque  peu  «ranlhroponïor|»lnsnie  »».  Mais  (juelle  est  la  branche 


COMPTES  RENDUS  ET  ANALYSES.  i3i 

de  nos  connaissances  qui  échappe  à  ce  dernier  reproche?  Toute 
science  ne  porle-t-elle  pas  Fempreinle  de  nos  concepts  et,  quand 
elle  sort  de  la  pure  logique,  l'empreinte  aussi  de  nos  sensations 
vis-à-vis  du  monde  extérieur?  Sa  fécondité  et  sa  certitude  ne  sont- 
elles  pas  alors  en  raison  de  son  intime  contact  avec  la  nature  et  ne 
devient-elle  pas  stérile  à  mesure  qu'elle  s'en  éloigne? 

»  J'ai  voulu,  dans  les  pages  qui  suivent,  reprendre  précisément 
la  méthode  que  certains  inclinent  à  délaisser.  Loin  d'en  atténuer 
le  prétendu  défaut,  je  l'ai  délibérément  accru  en  donnant  plus  de 
place  aux  considérations  empiriques.  Le  «  mélange  »  signalé 
comme  un  manque  d'unité  n'en  sera  que  plus  apparent;  j'espère 
toutefois  qu'il  ne  passera  pas  pour  de  la  confusion.  Car,  au  fond, 
les  deux  parties,  abstraite  et  concrète,  sont  parfaitement  dis- 
tinctes. 

»  Celle-ci  sert  de  support  à  celle-là.  Les  données  expérimen- 
tales précèdent  et  motivent  les  théories  analytiques;  elles  les  main- 
tiennent dans  la  région  du  réel,  hors  de  laquelle  les  plus  brillants 
exercices  de  calcul  sont  décevants.  » 

Que  la  Science  puisse  se  développer  sans  que  les  concepts  qui 
sont  à  la  base  de  cette  Science  aient  été  l'objet  d'une  critique 
*évère,  c'est  ce  que  l'histoire  met  hors  de  doute  ;  il  est  même  cer- 
^m  qu*on  ne  revient  sur  les  concepts,  poijr  les  étudier,  les  distin- 
Çuer,  les  débarrasser  de  ce  qu'ils  ont  d'inutile,  que  lorsque  la 
*^cience  est  déjà  très  avancée^  c'est  à  la  lumière  de  la  Science  elle- 
'"^^nae  qu'on  en  peut  scruter  les  principes  :  vaudrait-il  mieux  ne 
jamais  s'arrêter  à   cette  critique,   s'efforcer  d'aller  toujours  en 
*^ant  et  accumuler  plus  de  vérités  nouvelles?  Sans  doute,  il  ne 
^•udraitpas  faire  dire  cela  à  M.  de  Freycinet,  puisque,  après  tout, 
*oa  livre  même  est,  d'un  bout  à  l'autre,  la  preuve  de  l'intérêt 
4^  il  attache  à  l'étude  des  principes;  mais  il  est  vrai  que  l'organi- 
sation d'une  science    est   autre   chose    que    son  accroissement. 
V^elques-uns  regrettent  cet  appauvrissement  des  concepts   qui 
^sulie  de  leur  critique;  rien  n'est  plus  riche  que  l'intuition;  mais 
cette  richesse  est  confuse  et  cachée  :  il  faut  la  découvrir,  et  l'on 
^^  sait  comment  Tutiliser.  Rien  ne  semble  plus  pauvre  que  les 
concepts  qui  sont  à  la  base  de  la  Géométrie,  si  ce  n'est  ceux  qui 
*on|  à  la  base  de  l'Analyse  :  toule  la  richesse  est  dans  le  dévelop- 


i3'Jt 


imu:mièkk  i>autie. 


pemcnt  logique;  csl-cc  une  richesse  bien  solide?  n'est-ce  pas  pli 
tôt  un  rêve  de  richesse,  si  elle  ne  consiste  qu'en  formules  abstraite 
en  signes  conventionnels,  sous  lesquels  il  n'y  a  aucune  réalité? 
est  permis,  en  tout  cas,  de  priser  davantage  les  spéculations  qi 
s'adaptent  aux  choses  et  nous  permettent  de  mieux  les  connatti 
et,  d^ailleurs,  il  est  certain  que  Tétude  des  problèmes  réels  a  sin 
gulièrement  contribué  au  développement  de  la  Science  pure.  D'ui 
autre  côté,  l'enseignement  d'une  science  logiquement  constitnéi 
ne  [)eut  s'adresser  qu'à  des  esprits  très  mûris  par  cette  scicnci 
même  :  il  ne  convient  assurément  pas,  si  l'on  en  pousse  la  rigueui 
jusqu'au  bout,  à  des  gens  qui  n'ont  pas  la  longue  habitude  dcj 
abstractions,  qui  ne  sont  pas  accoutumés  à  respirer  un  air  raréGé 
ceux  qui  enseignent  la  Mécanique  rationnelle,  en  particulier,  ont^ 
d'ordinaire,  le  souci  de  donner  à  leurs  auditeurs  le  sens  des  pro- 
blèmes physiques  et  de  ne  pas  perdre,  eux  non  plus,  ce  «  contact 
avec  la  nature  »  que  recommande  M.  deFreycinet  :  j'en  trouverais- 
la  preuve,  s'il  était  besoin  de  la  chercher,  dans  le  soin  et  le  détail 
avec  lesquels  sont  définies  les  unités  pratiques  de  mesure  dans  les 
traités  récents  de  Mécanique. 

Malgré  tout,  il  est  dans  la  natOrc  d'une  science  de  s'organiser, 
de  se  subdiviser  en  |)arties  dont  chacune  se  dillérentie  naturelle- 
ment par  les  concepts  et  les  postulats  qui  lui  sont  propres,  prétend 
réduire  les  uns  et  les  autres  au  minimum  et  ne  s'appujer  que  sur 
ce  qui  est  à  elle;  la  Mécani(|ue  s'est  subdivisée  en  Statique,  Ciné- 
matique, D  vnann(|ue  ;  la  Statique  et  la  Cinématique  ont  des  parties 
purement  géomcl.ricjues;  la  I)vnami(|ue  a  des  parties  purement 
analvtifjues,  où  Ton  étudie  certains  Ivpes  d'é(|uations  difiercn- 
liellcs.  Des  notions  plus  ou  moins  confuses  de  force,  de  mouve- 
ment, de  matière  sont  sortis  des  éléments  géométriques,  numé- 
riques, anal\li(|ues  sur  lesquels  on  spécule  sans  penser  ni  ù  la 
force,  ni  an  niouNCinent,  ni  à  hi  matière  :  ces  diverses  parties  se 
prèlcnt  un  innluel  appui,  et  c'est  leur  ensemble  seul  qui  constitue 
la  M«H*;nii«|uo  rationnelle  ;  elles  n'en  sont  pas  moins  déjà  séparées, 
so  s«'|);iirr()nl  (]aNai)tii<;e  les  unes  des  autres  el  continueront  à  se 
sulxlis  i^cr.  (Icllo  division  de  la  Srionee  en  parties  correspond  à 
une  (lis  ismn  <lr>  ('()n('«'|>!s  cl  d<'s  postulais,  (jui  tend  à  préciser  et 
ù  îipp.iuN  rir  !<•<  prciniris,  à  mieux  distiniiuer  les  seconds,  et  à  rap- 
pioc  Ik'i   I.i  Si  irnc»"  de  I  id«  ;il  «1rs  purs  lo^icicll^.   C'r.sl  un  niouve- 


COMPTES  HENDUS  ET  ANALYSES.  i33 

ft€?iit  inévitable  par  lequel,  toutefois,  il  convient  de  ne  pas  se 
aîsser  entraîner  trop  vite  :  il  est  même  désirable  que  des  voix 
ui  t. «risées  viennent  de  temps  en  temps  en  montrer  les  inconvé- 
iîe>xts  ou  les  dangers. 

Si  même  cet  idéal  des  logiciens  était  atteint,   si   chaque  livre 

lUii  traite  d'une  partie  des  Mathématiques  contenait  au  début  la 

<     lable  des  idées  premières  »,  la  suite  des  définitions  et  des  pos- 

.u.lats indispensables,  la  critique  philosophique  et  historique  aurait 

gocore  à  s'exercer  sur  ces  idées  premières  et  sur  ces  postulats,  à 

en  discuter  l'origine  et  la  formation  ;  pour  ce  qui  concerne  la  Méca- 

Tiic|ue,  il  est  hors  de  doute  que  Texpérience  a  contribué  pour  une 

très  grande  part  à  l'une  et  à  l'autre.  Les  livres  comme  celui  de 

M.   de  Freycinet  auront  donc  toujours  leur  place.  Il  est  même 

permis  de  croire  que,  pour  ce  qui  concerne  les  principes,  le  rôle 

de    l'expérience  est  loin  d'être  épuisé,  si,  comme  le  veut  M.  de 

Frejcioet,  on  fait  rentrer  le  principe  de  l'équivalence  dans  les  lois 

foodamentales  de  la  Mécanique  rationnelle  :  d'autres  principes  du 

mènie genre  pourront  s'ajouter  à  celui-là. 

Quoi  qu'il  en  soit,  en  insistant  sur  le  caractère  expérimental  des 
données  de  la  Mécanique,  M.  de  Freycinet  ne  va  pas  à  l'encontre 
da  mouvement  dont  je  parlais  tout  à  l'heure;  mais  ses  fînes  ana- 
lyses contribueront  sur  plus  d'un  point  à  détruire  la  fausse  évi- 
dence sous  laquelle  on  est  parvenu  quelquefois  à  cacher  ces  don- 
nées, grâce  à  des  raisonnements  dont  on  ne  sait  pas  bien  ni  s'ils 
^niapriori,  ni  sur  quoi  ils  s'appuient.  Il  est  bon  de  reléguer  ces 
nisonnements-là,  qui  sentent  la  Métaphysique,  dans  l'histoire; 
qu on  leur  y  fasse  une  place  honorable,  puisqu'ils  ont  été  utiles  à 
la  constitution  de  la  Mécanique;  ceux  même  qui  croient  que  le 
monde  extérieur  nous  est  donné,  que  nous  sommes  incapables  de 
le  construire  avec  des  vérités  soi-disant  nécessaires  et  de  préten- 
does  évidences  métaphysiques,  ne  s'en  plaindront  pas. 

M.  de  Freycinet  examine  successivement  les  notions  essen- 
tielles de  la  Mécanique,  mouvement,  vitesse,  accélération,  force, 
masse,  etc.,  et  les  principes  fondamentaux  de  cette  science. 

Il  passe  rapidement  sur  les  notions  d'espace  et  de  temps,  qui 
ioterviennent  dans  la  notion  de  mouvement;  a  vrai  dire,  la  cri- 
tique de  la  notion  d'espace  appartient  plutôt  à  la  Géométrie  qu'à 
la   Mécanique.  Toutefois,   il  no  j^onvait   |>as  ne  pa-^  s'arr(^lcr  un 


l'H  PREMIÈRE  PARTIE. 

instant  sur  Ja  question  du  mouvement  relatif  et  du  mouveme 
absolu,  dont  il  admet  la  notion.  Il  est  vrai  qu^on  ne  trouve  rien 
ré|)ondrc  à  ceux  qui  soutiennent  que,  pour  qu'il  y  ait  une  Mécst^ 
ni(|no  rationnelle,  il  faut  bien  qu'il  y  ait  un  système  de  repères  e-* 
une  façon  de  mesurer  le  temps,  tels  que  les  lois  de  cette  Méca« 
ni(|ue  soi(Mit  vraies. 

((  La  première  origine  de  la  notion  de  force  se  trouve,  san 
oont(*sle,  dans  nos  impressions  personnelles.  Bien  avant  qucr* 
rbonime  vdl  créé  une  science  des  forces  et  se  fût  élevé  dans  la 
spliérc  des  abstra(  lions,  il  avait  acquis,  par  sa  propre  expérience, 
\c  sentiment  très  net  d'un  effort  à  déployer  pour  écarter  les 
obstacles  on  pour  déplacer  les  corps.  Soit  qu'il  exerçât  une  pression 
sur  (|iieh[ue  objet  fixe,  soit  qu'il  essayât  de  vaincre  des  frottements 
on  la  pesanteur,  soit  seulement  qu'il  voulût  faire  osciller  un  poids 
suspendu,  il  était  amené  ù  développer  une  contraction  musculaire, 
\\  faire  cjjort  pour  atteindre  son  but.  Tel  est  l'acte  spécial  et  bien 
délini  par  leipiel  rbomme  preud  conscience  de  sa  force  et  des 
t'IlVts  «pril  (Ml  peut  attendre.  Aucun  argument  ne  saurait  préva- 
loir contre  oo  fait;  aucune  interprétation  ne  saurait  enlever  à  la 
l'on  e  ain>i  conçue  et  ressentie  son  caraclùre  nettement  concret. 
Mlle  n\  st  point  une  abstraction,  un  être  de  raison,  mais  quelque 
cbosc  de  réel  et  d'enicace  dont  nous  portons  en  nous  un  type  cer- 
tain.  *^ 

San>  iloulc»  cl  \\n\  ne  saurait  mieux  dire;  mais  qu'il  y  a  loin  de 
la  .scnsalion  musculaire  à  ce  vecteur  qui,  pour  le  mathématicien, 
irailnil  la  force!  Va\  particulier,  la  comparaison  entre  deux  forces, 
rc^alil*',  Tadvlitivui  de  ileu\  forces  comportent  bien  des  difficultés 
que  le  >.\\.uil  auteur  ne  cbcrcbe  pas  à  dissimuler.  Pour  éclaircir 
ccn  noiiouN,  on  imagine  d'ordin.iirc  que  Ton  ait  à  sa  disposition  de 
peliu-^  loiCf^^qne  Ton  accroclic  ou  que  Ton  décroche  à  volonté  :  le 
inoiMN  »|ue  l\»n  pounail  dire  sur  les  mécanismes  plus  ou  moins 
ei»:n;^K  xcN  «^le  Ton  in\enle  pour  reali>er  ces  opcratious  est  que  la 
;  .   .  ;  .v'  ,î.  .\^  ;uv  eaii.Nuu  ^  i:iVv»iupicraiî  cette  Mécanique  rationnelle 
'  ^    .:.:  vi  étalon-  les  premières  lu^liouN.  Au  fond,  on  s'efforce 
'..■..  ï  lal  bîcn  tïue  niaî.  K  s  hoIkmis  t^uc  :  on  \cul  introduire 
>  I  .  -    ■.•,.,  N  V  .  ';î:-,k  iK  .i:::>  à  v:e>  pi.<  c.ore.   v.cs  a\cc  lesquels  on 
>    .       >x-  "  ^     ■:   :,..;i;..:^;   \\   .>;    .ia;  .i».:^   î  .^^>îMc  que   des 


COMPTES  UENDUS  ET  ANALYSES.  liS 

sîdëratîons  de  ce  genre  soient  intervenues  historiquement  dans 
Sjavail  plus  ou  moins  conscient  qui  a  abouti  à  substituer  à  la 
Lion  vague  de  force  un  vecteur  ajant,  pour  ce  qui  concerne  le 

«ivementy  des  propriétés  définies. 

...  Ainsi  le  corps  a  une  double  propriété  :  la  mobilité,  en 
"v^anlQ  de  laquelle,  s'il  est  libre,  il  cède  au  moindre  effort;  et  cette 
^  *»  ^ »e  propriété  d'après  laquelle  il  réclame  des  efforts  différents, 
*^Mon  sa  nature  et  ses  dimensions,  pour  prendre  le  même  mouve- 
ïXDt.  Celte  seconde  propriété  est  déterminée  parce  qu'on  appelle 
^^tasse.  Ainsi,  la  masse  des  corps  se  reconnaît  à  la  grandeur  des 
^c^es  qui  leur  font  prendre  le  même  mouvement. 
**  Si  donc  nous  avions  le  moyen  d'évaluer  immédiatement  Fin- 
sité  de  la  force  ou  le  nombre  de  kilogrammes  nécessaires  pour 
f^rimer  à  un  corps  un  mouvement  convenu,  nous  saurions,  par 
^""■^lême,  mesurer  sa  masse.  D'une  manière  générale,  les  masses 
^ous  les  corps  seraient  proportionnelles  aux  grandeurs  des  forces 
*'  "^  si  enregistrées. . . . 

^*   Les  physiciens  ont  constaté  que  tous  les  corps  sans  exception, 

^^ffcuis  le  plus  léger  duvet  jusqu'au  bloc  de  plomb  ou  de  platine, 

^*^^iidonnés  à  eux-mêmes  dans  le  vide,  prennent  le  même  mouve- 

'^^ïil  :  partis  en  même  temps  de  la  même  hauteur,   ils  arrivent 

^*^ Semble  au  bas  de  la  chute.  Les  forces  qui  les  sollicitent,  c'est- 

^^ire  leurs  poids,  sont  donc,  par  défînition,  proportionnelles  à 

^•J^ï's  masses.  Dès  lors,  au  lieu  de  mouvoir   les  corps   à    l'aide 

appareils  spéciaux,  pour  en  évaluer  la  masse,  il  suffit  de  les 

-A.U  fond,  cela  revient  à  dire  que  la  masse  est  définie  au  moyen 

^    la  balance,  et  c'est  sans  doute  ce  que  Ton  peut  en  dire  de 

P*i4s  clair  et  de  plus  sûr,  puisque,  après  tout,  c'est  au  moyen  de 

^    balance  qu'on  mesure  effectivement  les  masses.  Sans  doute,  ici 

^■*Ocre  on  pourrait  dire  que  la  balance  est  un  appareil  compliqué, 

^■^t  la  théorie  implique  une  bonne  partie  de  la  Mécanique  ralion- 

^■Ic;   c'est  même   cette    Mécanique   rationnelle  qui  fournit  le 

*****3»en  de  construire  des  balances  qui  soient  justes  et  sensibles  : 

l'^oiqu'une  partie  des  difficultés  soit  supprimée  en  ne  considé- 

^*^t,  comme  le  veulent  les  physiciens,  que  des  doubles  pesées, 

^^    n'est  pas  logique  de  se  servir  de  la  balance  pour  définir  une 


i3G  FREMIÊUË   PARTIE. 

notion  fondamentale  de  la  Mécanique.  De  quelque  côté  que  V 
se  retourne,  on  se  heurtera  toujours  à  Timpossibililé  deconstru 
le  monde  extérieur  avec  la  pure  Ionique.  D^ailleurs,  à  chacune 
notions  fondamentales  de  la  Mécanique  ne  correspond  pas  ic 
expérience  qui  permette  de  la  déflnir  :  il  y  a  une  infinilé  d'ex 
riences  dont  la  Mécanique  explique  et  coordonne  les  résuit 
d'une  façon  admirable,  et  c'est,  comme  on  Ta  dit,  la  cohérence 
toute  la  Science,  nullement  Tévidcnce  de  ses  principes,  qui 
garantit  la  valeur. 

M.  de  Frejcinet  insiste  avec  raison  sur  l'impossibilité  où  L  "^  <^o 
est  de  prévoir  logiquement  le  rôle  de  la  masse,  de  ce  coeffici  ^e=^Dt 
numérique  attaché  à  la  matière,  que  la  balance  nous  permet  d'^^  "sa- 
luer :  pour  les  corps  qui  sont  à  notre  portée,  il  s'efforce  de  f^a^  ^re 
pénétrer  dans  fesprit  do  son  lecteur  cet  étonnement  devant  -les 

choses  que  l'habitude  n'arrive  pas  à  dissiper  chez  le  véritable  j:^  Tki- 
losophe.  Pour  me  borner  à  la  façon  même  dont  M.  de  Frej'cm  -«ciiel 
introduit  la  notion  de  masse,  était-il  possible  de  prévoir  logicf  «jae- 
ment  ce  fait  que  le  temps  de  chute  d'un  corps  est  indépendan 


de 


sa  masse? 


Je  passe  sur  les  concepts  de  quantité  d'action,  de  travail^  "^ 

masse  vive,  d'énergie,  etc.,  que  M.  de  Frevcinet  examine  ens  '■-^^  **® 
et  ;i  |)ropos  des(juels  il  est  obli«j;é  d'anticiper  un  peu  sur  ces  ^^^ 
gcmnalea  du  nioin'rmcftt  auxquelles  il  consacre  le  second  C--  ^  **' 
pilre  de  son  livre,  ci  qu'il  ran^r  dans  Tordre  suivant  :  loi  d'  «^  ^*' 
lilé  entre  Tnelion  el  la  rt-acliori  ;  loi  d'inerlie;  loi  del'indépendLB  «^cc 
d'action  des  forces  ou  de  rindépendanee  des  mouvements;  lo  »  "® 
l'équivalence  uiécani(|ue  de  la  chaleur. 

11  déduit  de  la  seconde  et  de  la  Iroisième  loi  la  relation  fo*^*  ^*' 
mentale  de  la  Mécanicpic  F  =  /^r/  et  la  régie  du  parallélogramme*  -  ^^ 
on  peut,  iuversemenl,  par  iFitégralion.  déiluiredecesdeux demi  ^^  ^^* 
propositions  et  la  loi  de  l'incrlie  et  la  loi  de  l'indépendance  ^* 

clfels  des  forces.  Je  me  «h  luande  en  (luoi  il  est  préférable  d*ado  ^^^^^^ 
un  ordn:  plulol  (|u'un  aulre,  et  de  partir  d'un  svstème  de  lois      ^-^•"' 
loi  (|uc  d'un  autre.  La  façon  de  procéder  qu'a  adoptée  M.  de  l*^  ^K^ï" 
cinct  esi  plus  conforme  aux  habitudes  et  à  Thistoire  :  est-elle     ^^^p**^'' 
claire?  On   dira  |>eul-élrc,   connue  on   Ta   dit   à   propos  d'a«-^ 
stijris,  (|uc   rexpéricnce   ne   peut   fournir   des  relations  diffc^    ^^^ 
llrllis,   mai-   bien   (Ic*^   r(*lalions   entre  des    intégrales,   d'oii       ^^  ^^'*^ 


COMPTES  RENDUS  ET  ANALYSES.         iSy 

déduisons  les  relations  difTérenliclles  :  dans  le  cas  actuel,  cette 

obscn'alîon  n'est  guère  concluante,  car  ni  la  loi  de  Tinertie,  ni 

celle  de  rindépendance  des  actions  des  forces  ne  sont  susceptibles 

<l^u  Kl  «démonstration  expérimentale  directe.  S'il  n'y  a  donc,  dans 

l'e»jpècc,   ni  évidence  a  priori,    ni    vérification    expérimentale 

directe,  il  semble  très  légitime  de  se  décider,  dans  le  choix,  par 

'a  si  mplicilé  et  la  clarté  de  l'énoncé;  or  la  relation  F  =  my  et  la 

r^g'Ic  du  parallélogramme  sont,  à  ce  qu'il  me  semble,  des  énoncés 

pItAs  clairs  que  le  principe  de  Tindépendance  des  effets  des  forces 

e^t.    citi  mouvement  antérieurement  acquis  :  celui-ci,  si  je  ne  me 

trompe,  n'a  de  sens  que  si  les  forces  sont  données  en  fonction  du 

t^wi  ps,  et  ne  se  prête  à  des  déductions  faciles  que  si  les  forces 

^^^■ït.  constantes  :  M.  de  Frejcinet  a  lui-même  signalé  ce  dernier 

poîdi. 

Je  ne  puis,  en  terminant,  m'empêcher  de  citer  quelques-unes 
^^2*  observations  que  fait  M.  de  Freycinet  sur  les  lois  générales  du 
Q^oiavenient  : 

«<    Elles  sont  dues  entièrement  à  l'observation  et  ne  sont,  à  au- 
cun degré,  susceptibles  d'une  démonstration  logique.  Elles  dif- 
icreni  donc  essentiellement  des  principes  en  usage  dans  les  Mathé- 
"*aiiques  pures. 

^  Elles  sont  d'une  généralité  à  laquelle,  jusqu'ici,  on  ne  connaît 

P*s  d'exception.  On  est  autorisé  à  croire  qu'elles  s'appliquent 

non  seulement  dans  l'étendue  du  système  solaire,  mais  au  delà, 

^ns  Tuniversalilé  des  mondes.  A  mesure  que  l'identité  de  la  ma- 

^>ere,  chez  les  différents  astres,  s'affirme  davantage  à  la  suite  des 

•nerveilleuses  découvertes  de  la  Speclroscopie,  il  devient  de  plus 

^^  plus  probable  qu'ils  sont  soumis  aux  mêmes  lois  dynamiques. 

1^  fnouvement  des  étoiles  multiples  en  fournit  un  nouvel  indice. 

^   Elles  sont  d'une  exactitude  rigoureuse.  Leurs  formules  ne 

*oai  pas  approximatives,  comme  celles  de  nombreuses  lois  pby- 

siques  et  chimiques,  mais  elles  ont  la  rectitude  d'une  proposition 

**€  Géométrie.  Ainsi,  pour  ne  citer  que  la  première  loi  générale, 

celle  qui  concerne  l'égalité  entre  Taclion  et  la  réaction,  le  principe 

énoncé  se  vérifie  intégralement.  Il  n'est  pas,  selon  les  cas,  exact 

^  un  millième  ou  à  un  dix-millième  près,  mais  il  Test  d'une  manière 

absolue;  il  ne  comporte  pas  la  plus  Ictère  erreur....   » 


i38  FKEMIËRË   PARTIE. 

Que  ces  lois  ne  soient  nullement  susceptibles  d^une  dëmonstr; 
tion  logique,  c'est  ce  qui  me  paraît  incontestable  et  bon  a  dire.! 
disant  qu'elles  sont  dues  entièrement  à  Tobservation,  M.  deFre] 
cînet  n'a  certainement  pas  entendu  que  ces  lois  avaient  étéobse: 
vées  directement  :  elles  expriment  une  induction  très  lointaine 
une  interprétation  des  observations  bien  pénétrante  et  bien  hardi< 
on  n'admirera  jamais  assez  ceux  qui  sont  parvenus  à  les  penser  i — ^ 
à  les  exprimer  clairement.  Quant  à  leur  valeur  absolue,  il  est  peu        (• 

être  permis  d'être  moins  affirmatif  que  M.  de  Freycinet  :  ell< *.s 

s'étendent  à  des  domaines  extraordinairement  vastes  et  jusqu     ^i 
des  profondeurs  singulières;  grâce  à  elles,  notre  connaissance (L    o 
monde  extérieur  s'accroît  et  s'organise  dans  des  proportions  g=^t 
avec  une  précision  qui  sont,  pour  le  philosophe  et  le  savant,  ul  jd 
sujet  d'étonnement  et  de  légitime  orgueil;  mais  ne  ressembleo^.- 
elles  pas  à  un  conquérant  qui  ne  peut  se  maintenir  qu'en  recalaHrmt 
toujours  ses  frontières  et  qui,  de  gré  ou  de  force  ^  fait  rentrer  dan  s 
son  empire,  au  moins  nominalement,  ceux  mêmes  qui  ne  voudraient 
pas  le  reconnaître?  J.  T. 


IIAMKL    (Georg).    —   Ueber    die    Geometrien    in    denen    die    GiAD^>' 
DIE  KÏRZESTEN  siNP.  Inaugural-Dissorlation,  90  pages.  Gottingen;  1901. 

Dans  le  Problt-ine  1  do  ses  Mathematischc  Problème  (  '  ),  M.  Hi  '* 
berl  avait  proposé  celui  qui  fait  le  sujet  de  la  belle  Thèse  d^ 
M.  Hamel,  à  savoir  :  rexposilion  et  la  discussion  systématique d^^ 
Géomélries  où  la  droile  esl  par  définition  le  plus  court  chemî** 
d'un  point  à  un  autre. 

Cet  énonce  :  «  La  droite  est  le  plus  court  chemin. . .»  se  rédii  il» 

tssentiellemeni,  nous  dit  M.  llilbcrl  (/oc.  r//.),  au  théorème d'E »J' 

ilide  que  dans  un  triangle  la  somme  de  deux  cotés  est  toujoi»  *^ 

»lus  grande  que  le  troisième;  dans  ce  théorème,  il  ne  s'agit  que  ^^ 

concepts  élôinentairos,  cVst-à-dire  dérivant   immédiatement  cl  ^5 


(M  Oàttingcr  .\achnchtau  v,ov.,  et  7  ras  aux  liu  Coni^rcs  de  1900  (IradLuc- 

•Sam    I  «H*4kl  \ 


COMPTES  RENDUS  ET  ANALYSES.         iSg 

axiomes,  et  sa  discussion  est  donc  plus  abordable  que  celle  de  la 
proposition  de  la  droite  plus  court  chemin.  Dans  la  démonstration 
de  oe  théorème  d*Euclide,  aux  propositions  de  congruence  rela- 
tives au  transport  d'angles  et  de  segments  il  est  absolument  indis- 
pensable d'ajouter  un  théorème  de  la  congruence  des  triangles, 
celui  d'après  lequel  les  angles  à  la  base  d'un  triangle  isoscèle  sont 
égauic.  Alors  cette  question  se  présente  :  Existe-t-il  une  Géométrie 
où  sont  vérifiés  tous  les  axiomes  de  la  Géométrie  euclidienne,  et  en 
particulier  tous  les  axiomes  de  congruence,  sauf  l'axiome  de  con- 
gruence des  triangles  dont  il  vient  d'être  parlé  (c'est-à-dire  une 
Géométrie  où  ne  sera  pas  vérifié  le  théorème  d'après  lequel  les 
angles  à  la  base  d'un  triangle  isoscèle  sont  égaux),  et  où,  de  plus, 
le  théorème  que  dans  tout  triangle  la  somme  de  deux  côtés  est 
plus  grande  que  le  troisième  est  posé  comme  un  axiome  parti- 
culier? 

Celle  Géométrie  existe  effectivement  ;  c'est  celle  de  M.  Min- 
^o^ski  ('  ),  qui  est  caractérisée  essentiellement  par  les  conventions 
suivantes.  Premièremenl,  les  points  à  égale  distance  d'un  point 
"^€  0  sont  représentés  par  une  surface  convexe  fermée  de  l'espace 
euclidien  habituel  dont  le  centre  est  le  point  O.  C'est  la  surface 
^^^on  {die  Aichjlâche),  Deuxièmement,  deux  segments  sont  e/i- 
core  dits  égaux  quand  on  peut  les  faire  coïncider  au  moyen  d'une 
^•^nslalion  de  l'espace  euclidien  habituel.  Dans  la  Géométrie  de 
Mînkowski,  l'axiome  des  parallèles  est  vérifié. 

U  existe  une  autre  Géométrie  où  l'axiome  des  parallèles  n'est  pas 
vérifié,  tandis  que  tous  les  autres  axiomes  de  la  Géométrie  de 
Uîokowski  le  sont;  c'est  la  Géométrie  dite  de  Hilbert  (•^). 

Cela  posé,  il  s'agit  de  discuter  et  d'exposer  systématiquement 
boules  les  Géométries  possibles  dans  cet  ordre  d'idées.  Dans  le  cas 
^Qplan  et  en  admettant  l'axiome  de  continuité,  on  est  conduit  à 
«tadier  une  question  traitée  par  M.  Darboux  ('),  à  savoir  :  Déter- 
B^iner  tous  les  problèmes  du  calcul  des  variations  dans  le  plan  où 
ks  solutions  sont  toutes  les  droites  du  plan.  Ce  sont  les  générali- 


(')  Gtometrie  der  Zahlen,  I^ipzig,  Tcubncr. 

(')  Voir  AfafA.  Annalen,  t.  XLVI,  p.  91,  et  Enseignement  math.,  'S*  année, 
**^»i9^i  (traduction  Laugel). 
(')  Leçons  sur  ta  théorie  générale  des  sur/aces,  t.  III,  p.  54. 


i4o  IMIKMIÈUË   PÂUTIË. 

salions  fécondes  cl  intéressantes  de  toutes  ces  questions  qui     m^^ 
le  sujet  de  la  remarquable  Tht^se  de  M.  Hamel. 

lAiltenlion  toute  particulière  qui  se  porte  actuellement  su  ** 
calcul  des  variations  ajoute  encore  à  rintérèt  de  la  question  prof^ 
ment  dite.    Le  problème   est   eu   efTet  un  cas  particulier  d^^ 
que  M.  Ilamel  désigne  sous  le  nom  de  problème  d'inversion 
calcul  des  variations,  a  savoir  : 


c 


litant  donnée  une  certaine  équation  différentielle, 
miner  un  problème  du  calcul  des  variations  qui  ait  pour  éqt^ 
tion  de  La  grange  V  équation  donnée, 

La  première  question  de  ce  genre  se  présenta  en  Mécanique -y 
propos  du  principe  hamiltonien.  Ilelmhollz  (')  donna  ensuite  c^ 
tains  résultats  qui  furent  vérifiés  par  M.  A..  Mayer(^);  mais  en  C 
cas,  où  il  s^agil  de  systèmes  d*équalions  difTérentielles,  la  questio 
a  été  résolue  seulement  en  ce  sens  que  Ton  a  assigné  les  conditions 
requises  pour  que  chacune  des  équations  difTérentielles  données 
soit  identique  à  chacune  des  équations  de  Lagrange;  mais  il  n*a 
pas  été  tenu  compte  de  la  possibilité  de  combiner  les  équations 
d  i flV' re n l  i e 1 1  es  don n ées . 

Dans  le  cas  particulier  où  l'on  n'a  qu'une  seule  équation  diflfé- 
renlielle  à  considérer,  le  problème,  considérablement  généralisé 
d'ailliMirs  à  d'autres  points  de  vue,  a  élè  r«*solu  par  MM.  Konigs- 
berj;er(^)  et  Hr>hni  (*)et  d'une  manière  particulièrement  élégante 
p;ir  M.  llirsch  (••);  on  aucun  de  ces  cas,  d'ailleurs,  la  (piestion  n'a 
Ole  poursuivie  au  delà  du  point  de  vue  purement  formel,  et  Ton  n'a 
jamais  oxaminô  d'aulros  oondilions  (|ue  celles  de  Lagrange. 

Outre  son  iniporlanco  on  Mécanique  et  on  Géométrie,  Je  pro- 
blème d'invoision  du  calcul  des  variations  rournil  encore  des  ren- 
scignomonl s  précieux  sur  la  portée  do  ce  calcul  dont  on  s'occupe  tant 
actuolloinonl.  Aussi  il  no  serait  pas  inutile,  avant  de  lire  le  travail 
tic  M.  Ilanicl,  do  se  familiariser  a\oc  les  théories,  les  désignations 


\-\  Stti/i'iisr/tt'  /icrichir.   i"^*'*,  p.  Ju.». 

('     lU'rlinrr  lùtir/itt'.  \.  Il,   i*^»,'*.        ( '/ t'/;'i  .   t.   IM,  |».    iji 

^  •  I    <   /  I  •;<•.    l.     I  .  I  .    I».    l  ■  |. 


COMPTIiiS   HENDUS  ET  ANALYSES.  141 

cl  les  notations  empruntées  au  Traité  de  M.  Kneser  (*).  M.  Ha- 
danciard  a  déjà  fait  l'éloge  de  ce  dernier  livre  dans  ce  Bulletin  (J^)^ 
et  M.  Slackel  vient  aussi  de  lui  consacrer  un  très  intéressant  article 
dans  les  Archives  de  Griinert  [^),  Les  Untersuchungen  iiber 
Yariations-rechnung  de  M.  Zermelo  (Berlin,  1 894)  et  le  Mémoire 
récent  de  M.  Osgood  sur  ce  sujet  présentent  aussi  un  très  grand 
intérêt.  Nous  profitons  de  l'occasion  pour  exprimer  un  vœu  que 
nous  croyons  général,  ce  serait  de  voir  publier  les  Leçons  sur  le 
calcul  des  variations  faites  par  M.  Hadamard  au  Collège  de 
France.  Depuis  Lagrange,  et  depuis  la  publication  du  Traité  de 
Moig-no-Lindelof,  il  n'a  été  publié,  en  France,  aucun  livre  didac- 
l'<iue  sur  ce  calcul;  c'est  une  lacune  regrettable  qui  ne  saurait 
être  comblée  trop  tôt. 

lie  Mémoire  de  M.  Hamel,  qui  n'a  pas  loin  de  100  pages,  ne 
saurait  être  analysé  dans  tous  ses  détails  en  ce  peu  de  lignes,  tant 
a  cause  des  nouvelles  théories  exposées  que  de  leurs  nombreuses 
appli  c^^tions.  Après  avoir  dit  quelques  mots  sur  la  définition  de 
la  lig" lue  droite,  plus  court  chemin  d'un  point  à  un  autre,  nous  ter- 
raine K^ons  celle  trop  rapide  analyse  en  donnant  la  Table  des  matières 
de  ce  t. le  intéressante  Thèse. 

C  ^st  Archimède  (^)  qui  avait  énoncé  comme  postulat  que  la 
droite  est  le  plus  court  chemin  d'un  point  à  un  autre;  plus  tard, 
une  £";^asse  interprétation  du  texte  d'Archimède  fit  prendre  cette 
propx-îéié  comme  définition  de  la  droite  {^), 

Un.  grand  nombre  de  géomètres  ont  élevé  les  objections  les  plus 
sérieuses  contre  celle  définition  (*).  Mais  on  peut,  avec  M.  Hamel, 
rcgai-der  comme  très  licite  de  prendre  cet  axiome  :  La  droite  est  le 
plus  court  chemin  d'un  pointa  un  autre,  comme  axiome  fonda- 
"ïcnial  de  la  Métrique,  pourvu  que  l'on  définisse  auparavant  la 


'  )     dLehrbuch  der  Variationsrechntin g .  Braunschweij;,  Vicwcg. 

\  )     bulletin  des  Se,  math.,  a*  série,  t.  XXV,  janvier  1901. 

(  )    -^rchiv  d.  Afath.  und  Physik.,  3*  série,  t.  Il,  p.  18G. 

'  )     «  Dcpl  ffçxtpa;  xal  xgXivopou  »  Aaix6âuL£vov  a'. 

\  )     Commentaire  d'Anaritius  sur  les  Œuvres   d'Euclidc,   p.   6   de    l'édi- 
iiOQ  ivurtzc;  comparer  IIouel,  Essai  critique  sur  les  principes  de  la  Géomé- 
''**<»  Note  IV;  Paris,  1882,    p.   74,   et  aussi   Vi:iionese,    Grundziige  der   Geom. 
Mhang^  p.  635;  Leipzig,  Tcubncr. 
V  >    ^'oi>  en  particulier  IIoukl  et  Vi;iu>M:hi:  (loc.  cit.). 


i42  PREMIÈRE  PARTIE. 

droite  et  le  point.  C'est  ce  que  fait  M.  Hamel;  il  prend  le  postulat 
d'Archlmède  comme  axiome  fondamental  du  concept  qu^exprime 
le  mot  longueur.  Cela  seul  suffit  à  faire  sauter  aux  yeux  le  rôle 
prépondérant  que  joue  le  calcul  des  variations  dans  toute  la  dis- 
sertation. 

TABLE  DES  MATIÈRES. 
Introduction. 

Chapitre  I.  —  Les  Géométries  dans  le  plan. 

1.  Les  axiomes  de  la  Géométrie  projective. 

2.  Les  axiomes  de  la  Métrique. 

3.  Les  axiomes  de  monodromie. 
<4.  Applications  : 

i**  La  Géométrie  de  Minkowski; 

2°  La  Géométrie  de  Hilbcrt  et  ses  généralisations. 

5.   Un  principe  de  dualité. 

0.  Remarques  sur  les  axiomes  du  second  groupe.  Axiomes  de  cod- 
gruence  et  axiome  d*Archimédc.  Énoncé  d'un  théorème  sur  Tin- 
fluence  de  certaines  discontinuités.  Théorème  de  M.  Erdmann. 

7.  Démonstration  du  théorème  précédemment  énoncé.  Application. 

8.  Singularités  d'ordre  supérieur. 

0.  De  la  droite  de  Tinfini.  Le  Postulat  d'Euclide. 

10.   Généralisation  du  concept  de  la  «  courbe  étalon  x>  {Aichcurve  de 
Minkowski. 

Chapitre  II.  —  Les  Géométries  dans  l^ espace, 

il.  Les  axiomes  de  la  Géométrie  projective  et  de  la  Métrique. 

12.  Les  axiomes  de  monodromie. 

13.  Applications. 

14.  Sur  les  équations  dilTércntielles. 

ir>.   Inlerprélalion  géométrique  des  résultats.  Généralisation  du  concept 
de  la  a  surface  étalon  »  {Jic/iJ!dche  de  Minkowski). 

Conclusion. 

L.  Laugel. 


MÉLANGES-  i43 


MÉLANGES. 


SUR  LES  INTÉGRALES  DOUBLES  DE  FONCTIONS  RATIONNELLES 
DONT  TOUS  LES  RÉSIDUS  SONT  NULS; 

Par  m.  Émilb  PICARD. 


i  .  Étant  donnée  une  fonction  rationnelle  F(j;,  y)  des  deux 
variables  indépendantes  x  et  y,  je  rappelle  d'abord  ce  que  l'on  doit 
entendre  par  résidu  de  l'intégrale  double  (') 

(I)  JjF(x,y)dxdjr. 

Nous  pouvons  poser 

p,         . M(x, y) 

^'^'•^^■"  A(j:,^)a.B(:r,^)P...L(ar,^)X' 

M  étant  un  polynôme  en  j?,  à  coefficients  rationnels  en  y^  et  A, 
B,  .  . . ,  L  désignant  des  polynômes  irréductibles  en  x  et  y,  con- 
tenant la  lettre  x;  a,  •  •  »,  X  sont  des  entiers  positifs. 

Considérons  alors  la  fonction  algébrique  x^  dey  définie  par 

(a)  A(a7|,^)  =  o. 

Pour  une  valeur  arbitraire  de  y,  l'expression  F  considérée 
comme  fonction  rationnelle  de  j:  a  un  résidu  relatif  au  pôle  x  =  Xiy 
qui  sera  nécessairement  une  fonction  rationnelle  de  Xt  et  y^  soit 

Les  périodes  de  l'intégrale  abélienne 

•XT.i I  R(a7,,^)c(x 


(')  Otlc  notion  rsl  duc  à  M.  Poincarc  (Acia  mathcmatica,  t.  IX).  J'iii  pré- 
«■rnir  cvtie  tliéoric  sous  une  forme  dilTércnlc  dans  le  Tome  I  de  ma  Théorie  des 
fondions  algébriques  de  deux  variables,  \).  Sa. 


1.14  PliEiMIKRE  PARTIE. 

relative  à  la  courbe  {2)  sont  dites  les  résidus  de  l'intégrale 
double  (1)  relatives  au  continuum  ^1(2?,^)=  o.  Il  y  aura  parcil- 
Icmeut  des  résidus  de  Tinlégrale  double  relativement  aux  conti- 
nuum B  =  o,  . . . ,  L  =  o. 


2.  La  question  que  nous  voulons  traiter  est  la  suivante  : 

Quels  sont  les  caractères  d'une  intégrale  double  de  Jonc- 
tion rationnelle  dont  tous  les  résidus  sont  nuls? 

Une  question  analogue  se  pose  dans  les  éléments  quand,  étant 
considérée  une  fonction  rationnelle  d'une  variable  F(x*),  on 
demande  à  quelles  conditions  les  résidus  de  l'intégrale  simple 


/f(x 


)dx 


sont  nuls.  La  réponse  est  alors  que 

U  élant  une  fonction  rationnelle  de  x. 

Nous  allons  avoir,  pour  notre  problème,  une  réponse  présen- 
tant une  analogie  intéressante  avec  la  question  élémentaire  que  je 
viens  de  rappeler. 

La  condition  nécessaire  et  suffisante  pour  que  tous  les 
résidus  de  V intégrale  double  (1)  soient  nuls  est  que  l'on  ait 

V  et  Q  étant  des  fonctions  rationnelles  de  x  et  y  (*). 

On  aura  ainsi  en  nirnie  temps  une  mani(.TC  élégante  d'exprimer 


(')  r.c  rr^ullal  se  déiliiil  irninrdiatrinciit  k\v  la  llK-orio  j:<^nrralo  des  iiiU*j;r;ilcs 
«loiilih's  lie  scioridc  («^prcr  pour  1rs  surfarcs  alf4cl»ri(|in's,  ((iiiiiiic  on  pcul  I»'  \nir 
«laiis  II-  pirniirr  fa^rimlo  ((lliapitrr  Nil)  du  Toiiu*  II  do  ma  Théorie  fies  fonc- 
fions  (ili;t-hri<fii('s  dr  deux  variabtra.  niais  iri  jr  trailr  «lircrlj-iiicnl  la  (|urslioii 
<aiis  me  rrpmttr  à  aii<un  lln-orriiic  m'iirral  cniicrriiarit  1rs  surfac»"*  alpri>riqurs, 
(Ml  siii\aiit   !•(  iiit'-tliodr  i|in>  j\ii  doiiiirr   irrciiiiiii-iit  daii'*  iimii  Coiii-v. 


MÉLANGIiS. 


i45 


les  coiidîlîons  pour  qu\ine  fonclion  ralionnellc  de  j:  et  jk  puisse 
se  mellre  sous  la  forme  (3). 


3.    Il  est  d^abord  très  aisé  de  montrer  que  la  condition  est  suffi' 
sanle.  Oo  va  voir  en  effet  que  les  résidus  de 


s  M -^9) -'■'y 


sont   nuls,   P  et  Q  représentant  des  fonctions  rationnelles  de  a^ 
el  j'.  La  chose  est  immédiate  pour 


//si''-^^''' 


puisqu'on  doit  prendre  d'abord,  pour  une  valeur  constante  donnée 
à  V,  rinlégrale 


/ 


le  long  d'un  contour  fermé,  ce  qui  donne  :iéro. 

Kn  ce  qui  concerne  la  seconde  intégrale,  soit,  comme  plus  Iiaul^ 


Q=T^ 


M(^,>') 


A«B?...I> 

Cl  désignons  par  X\  la  fonction  algébrique  de  y  con^espondant 
à  A(j?i,j')=±  o.  Le  résidu  de  la  fonction  Q  de  Xy  pour  x^x^^ 
sera  visiblement  une  fonction  rationnelle 


de  dr,  et  j,  cl  le  résidu  de  -—^  pour  x 


;ri,  sera 


-^-9i^x^y)' 


Un  résidu  de  Tinlégrale  double 


//f-.'. 


P*** '•apport  au  conlinuum  A(jri,)')=:o  sera  donc  une  période 
w/.  des  Sciences  matliém.^  a*  série,  t.  XWI.  (Mai  i|jov.)  lu 


j40  PUl^MlËaii:   PAKTIE. 

de  l'intégrale  abélienue 

c'est-à-dire  zéro, 

\,  Passons  à  la  réciproque.  Il  s'agît  de  démontrer  que 
Si  tous  les  résidus  de  V intégrale  double 


II' 


^{x,y)dxdy 
sont  nuls  y  on  aura 

V{x,y)  = h  -r-» 

•^  Ox         dy 

V  et  W  étant  rationnelles  en  x  et  y. 
En  posant  comme  plus  haut 

on  peut  tout  d'abord,  d'après  les  éléments  de  la  théorie  des  frac- 
tions rationnelles  d'une  variable,  mettre  F  sous  la  forme 

les  -  étant  des  polynômes  en  a:  à  coefficients  rationnels  en  y  et 
y  une  fonction  rationnelle  de  x  et  y.  Les  résidus  de  F  relatifs  au 
conlinuum  \{x^  r)  =  o  sont  les  périodes  de  l'intégrale  abélienne 


.1  ^^  r 


relative  à  la  courbe  algébrique  A(x,r)  =  o.  D'après  les  hypo- 
llièses  fuites,  l'intégrale  précédente  est  une  fonction  ralioniielle 
de  X  et  r,  et  l'on  peut  par  suite  écrire 


rr.xix.  y  )  flv       -.  . 

/  {.   —-    ^ll{x,y\ 


11  étant  un  |K)lynoine  en  x^  à  coenîcienls  rationnels  en  jj'. 


MÉLANGKS.  M; 

De  la  résulte  que  l'on  a 

"^ii^ty)        ^H  dx       dU        dy  àx        d.r  dy 
Ax  àx  dy        dy  d\ 

dx 

Celle  idenlilé  a  d'ailleurs  lieu  en  vertu  de  la  relation  A(a:,/)  =  o. 
On  peut  dire  par  conséquent  que  le  polynôme  en  x 


est  divisible,  quel  que  soit  j',  pai*  A(^,j^),  et  nous  pouvons  écrire 
ridentité  en  x  et^ 

C  étant  un  polynôme  en  x,  à  coefficients  rationnels  en  y. 
Ceci  posé,  envisageons  l'expression 


""  âx  ày\\)       dy  Ox\/^) 


nui   est  de  la  forme  -r h  -r^>   comme   tout   déterminant   fonc- 

■  âx         ôy 

lionnel.  D'ailleurs 


U 


^  cm  _  c)A.  (m 

__  àx  ôy        à  y    àx 


ous   reirancnuns    %j    ue    r,    ic    terme 
remplacé  par 


Si    donc   nous  retranchons  U  de  F,   le  terme  -.-  se  trouvera 

A. 


,   /-.  I  •  •         I      I      r  àP  àO 

OU  c  est  un  polynôme  en  x,  qui  est  par  suite  de  la  forme 1 — p» 

Nous  avons  donc  ainsi  fait  disparaître,  par  une  soustraction  d'un 
terme  de  la  forme  voulue,  Texprcssion  '**  •  On  fera  le  même  calcul 

pour  ^9  •••>  J-'  et  finalement  nous  trouvons  bien 

F(.r,  y)  = j-    Y    , 

'  "  '       Ox  ày 


j4H  PUExMiËUK  PAUTIË. 

V  et  W  étant  rationnel/es  en  x  et  y^  comme  nous  voulions 
rétablir. 

5.  La  recherche  des  conditions,  pour  qu'une  fonction  ration- 
nelle F(x,y)  soit  de  la  forme  précédente,  se  trouve  donc  ra- 
menée à  la  recherche  des  conditions  |)Our  qu\ine  înté<;rale  abé- 
lienne  soit  algébrique;  c'est  un  problème  classique,  sur  lequel 
nous  n'avons  pas  à  insister.  Le  problème  proposé  se  trouve  alors 
très  élégamment  résolu. 

On  |)ourrait  traiter  la  question  relative  à  la  fonction  F  d\inc 
manière  plus  élémentaire^  sans  se  reporter  à  la  théorie  des  résidus 
des  intégrales  doubles.  Le  |)rablème  paraît  en  cdet  tout  élémen- 
taire; sa  solution  directe  est  cependant  moins  immédiate  c|u'oii 
pourrait  d'abord  le  penser,  C'est  cette  solution  directe  que  nous 
allons  maintenant  exposer. 

Tout  d'abord,  comme  nous  Tavons  dit  plus  haut,  F  peut  être 
supposé  de  la  forme 

AH...L' 

M  étant  un  polynôme  en  t,  rationnel  en  y  y  et  A,  B,  .  . .,  L  des 
polynômes  en  oc  et  i',  irréductibles  et  renfermant  x*  Soit  donc 

^  *^  AH...L  "^  i)x  "^  ùy'' 

V  et  (^  doivent  devenir  infinies  pour  A  =  o,  pour  \\  ==  o,  ...,  L  =•  o 
et  pcMivent  aussi  devenir  infinies  pour  d*auli*os  courbes  A|  •-=.  o, 
n,  _—  o,  .  , .,  .N,  r^  o, 

Je  dis  d'abord  qu'on  peut  suppc»ser  que  P  et  Q  renferment  seu- 
leuKMit  à  la   première  puissance  A,   1^    ...,!-.  et,  s'ils  existent, 

A..  H,,  ....N.. 

Suppo'îons  en  elVel  (|uo  (^)  renferme  A*  (a  >>  0  au  dénomina- 
teur: ou  peut,  d'après  les  éléments,  trouver  une  fraction  ration- 
nelle 

..  =  '■-;■-. 

y  èl.iMl  iiu  p<)l\n<Mue  eu  ./'.  nitiounel  ru  r,  de  telle  sorte  «pie 

'Il 


MÉLANGES. 


Mo 


cof»  lionne   seulement   duns    son   dénoininalcur  A  à    la  premiùrc 
nce.  Or  on  peut  écrire  le  second  membre  de  (4)  sous  la 


pu  ISS 

form* 


s(- 


CI>x-k    a  alors  une  expression  de  la  forme 


âx         Oy 


OU 

Le 

teu 


«  et  par  suîle  P|  deviennent  seulement  infinies  comme  -r-* 

^me  raisonnement  s^applique  à  tous  les  autres  dénomina- 
•  Nous  pouvons  donc  supposer  que  notre  identité  a  la  forme 

^  -r\B...L        0.V  LAB...LA,Bi...IN,J        Oy  |  AB. .  .LAiB,. .  .N,  J  ' 

H  et.  K  sont  des  polvnomes  en  x^  rationnels  en  y.  Les  poljnomes 
au  dénominateur  sont  irréductibles,  distincts  et  renferment  x. 
Nous  ne  savons  rien  des  polj^nomes  A|,  13|,  . . .,  N|,  mais  on  peut 
heureusement,  comme  nous  Talions  voir,  les  faire  disparaître,  et 
ces!    là  le  point  essentiel  dans  la  recherche  que  nous  effec-    , 

SSoit  (xo,^'o)  u"  point  arbitraire  de  la  courbe 

l^c  premier. membre  de  (5)  est  une  fonction  bolomorplie  des 
deux  variables  indépendantes  :r  et  jk  dans  le  voisinajje  de(j:o,^'o); 
nous   pouvons,  dans  le  voisinage  de  celte  vnleur,  l'écrire  sous  la 

forme  ^,  en  désignant  par  o  une  fonction  holomorpbe  autour 

de  (jTo)  Jo)«  Nous  aurons  donc 

^  I  II \        ^)  /  K  \ 

da:VAB...LA,...INi       "^  )  "^  6>>^  \  AB. .  .LA». . .  (S,/       "* 

clnvisageons  alors  l'intégrale  de  différentielle  totale 

J  AB...LA|...i\,^*^~VÂlJ...LA,...N,  ~'^)^^'' 

<^^l  une  intégrale  de  différentielle  lotale  possédant,  dans  le  voisi- 
">8e  (le  (to,  Vo),  toutes  les  propriétés  d*unc  intégrale  de  différcu- 


l'io  n(i«:.MiEHi<:  pautik. 

lirilc  toiiilc  (ic  (onctions  rationnelles.  En  parliciilier,  les  périodes 
de  rinU'f^nile  de  fonction  rationnelle  de  x 

^  ^.  r K ^^ 

^    An...  LA  I ...  ^  1 

ne  dé/tendent  pas  du  paramètre  y.  C'est  là  pour  nous  un  poini 
rapilul;  nous  en  concluons  que  Fexpression 

K 


AB...L1±1b,...N| 


(|ui,  |>our  ./•  racine  de  ré<|ua(ion  A|(jr,  j^)=o,  reprcscnlc  une 
prriotle  «le  rinlrj^rule  (()),  ne  dépend  pas  àe y.  On  a  donc 


AH...L  — B,...\, 


=  ï. 


Y  «'«lanl  un<»  constante  convenable,  et  x  eiy  étant  liées  par  la  rela- 
tion A|  (j:,  )•)  =  o;  on  peut  encore  dire  que  le  poljnonic  en  x 


•  i)x 


est  divisilde  |)ar  X^ix^y).  Knvisageons  alors  le  second  membre 
d(*  (T))  mis  sous  la  forme 

Ox  I  AB...I.A1.  ..\,'  "^'^  ~~Jy     J  "^  t/>L^^I^-    -l-^i-'-^i        ''      ^^      J' 

on  voit  de  suile,  d'après  cv  <|ui  précrde,  que  la  fraction  ration- 
nelle sous  le  sl;rne  —  ne  renferme  plus  Ai  au  dénominateur,  et  il 

en  rst  par  suile  de  même  de  la  fraction  rationnelle  sous  le  sii^nc  — • 
'  Ojc 

On  |)eut  ainsi  faire  disparaître  tous  les  dénominateurs  A|, 
r>,,  ...^  N,  cl,  par  suile,  nous  pouvons  admettre  que,  dans  le 
>econd  nn'uihre  de  (  5"),  les  polynômes  connus  A,  H,  ...,  L 
/ii'urent  srttls  (tu  dcnominateur, 

r>.    Lu   «pio-lion    |>rt>po«»éi'    m'    ré"»oudra    nitiinteuant    ai>énient. 


3 


MÊLANGKS.  i  m 

l>t-sî<j;^nons  par  P  le  protluil  AB. .  .L;  nous  avons  ridenlilt' 

M(>,  r)         d   rn(.r,  v)~|         0   \K{x,y) 


*  i)x  L        P    "   J         ày  L~      P" 


OÙ  y\^  H  cl  K  sont  des  polynômes  en  x.  Soil  v  le  dej;ré  de  Pcn  .r  ; 
on   sait  que^  d'une  fraclion  rationnelle  en  x 

P 

on  peut  relranclierune  expression  —  (V  étant  un  polynôme  en  .r, 
îcî  ralionnel  en^)  de  telle  sorte  que,  en  posant 

V  i)x  V        ' 

le  degré  de  K|  en  x  soit  au  plus  v  —  i.  D'ailleurs,  par  une  sous- 
traclion  analogue,  nous  pouvons  supposer  cpie  M  est  en  x  de 
degré  v  —  i  au  plus.  Par  suite,  dans  Tidentité  (-),  nous  pouvons 
supposer  que  la  fonction  donnée  M,  polynôme  en  x  et  rationnelle 
en  ^',  est  de  degré  v  —  i  en  j:,  et  (ju'il  en  est  de  même  pour  les 
deux  rendions  inconnues  II  et  R. 

L»es  inconnues  dans  l'idenlilé  (7)  sont  alors  les  coefficienis  des 
diverses  puissances  de  x  dans  H  et  R.  Si  le  problème  est  possible, 
on  devra  pouvoir  choisir  pour  ces  coefficients  des  fondions  ration- 
nelles de  j'. 

Or  comptons  le  nombre  des  inconnues  et  le  nombre  des  condi- 
tions. Nous  avons  dans  H  et  R  un  nombre  de  coefiicients  égal 
à  -a  V-   On  doit  égaler  le  second  membre  de  (7)  à 

M  M  P 

I..es  numérateurs  sont  de  part  et  d'autre  des  polynômes  de 
degré  av  —  i;  on  a  donc  à  idenlifier  deux  polynômes  de  degré 
5tv I»  ce  qui  donne  2V  relations  entre  les  :>.v  fonctions  ration- 
nelles inconnues  de  y.  Ces  relations  constituent  un  système 
d^'éqtialîoDS  dilTérenti elles  linéaires,  car  les  dérivées  premières 
des  V  fondions  de  j^  se  trouvant  dans  R  figurent  dans  ces  relations. 
On  est  donc  ramené,  en  dernière  analyse ,  à  reconnaître  si  une 
équniion  différentielle  linéaire  à  coefficients  rationnels  en  y 


iV/  m i«:m  11:111*:  PAKTii!:. 

(iflinct  comme  solution  une  fonction  rationnelle  de  y,  CTesi  li 
lin  |)rol)lriiic  c|iic  Wmx  sait  irsotidre. 

On  voit  qui;  la  solution  de  la  <|ucsh()n  proposée  prend  une  loot 
antre  forme,  en  snivant  celle  voie  Jireele«  qiravec  la  méthode 
<rahor(l  indiquée  où  Ton  envisa«;eait  les  résidiiJi  d'une  intégrale  • 
double  ;  renoncé  des  conditions  se  présente  sous  une  forme  beau»  ] 
coup  moins  éléj^anle. 

7.  Il  est  intéressant  de  se  rendre  compte  du  degré  d*!ndéter»  , 
mination  de  la  solution  (II,  K)  de  fidentité  (^),  quand  elle  est 
snsceptil)le  de  solution,  e/?  su|)posant  toujours,  comme  ci-dessus,  ' 
(pie  II  et  K  sont  de  de|;;ré  v  —  1  en  .r.  Avec  deux  solutions  dilFé-  ■ 
renies,  on  peut  former  une  solution,  non  identiquement  nulle,  de 
l'identité 

Alors  Tin  té*;  raie 
iS,  /       d,v--ity 

est  une  inlr^rale  de  dillerenlielle  totale.  Va\  posant,  comme  plus 
haut, 

1*==  AR...L. 

elle  est  nécessairement  de  la  lornie 

a,  [j,  ...,  A  étant  des  constantes.  Inversement,  en  metlani  l'ex- 
pres*iion  précédente  sous  l'orme  d'intégrale  (8),  on  aura  des 
valeurs  a<lmissil)l<*s  de  H  et  K. 

Il  résulte  (le  là  iiuc  si  Tidentité  (')  a  une  solution,  celte  solu- 
lion  renft^rmtr  les  constantes  arbitraires  a,  |j,  •••,  À  en  nombre 
l'i^^al  à  celui  des  f.ieleurs  irréductibles  de  P. 

1 

1 


TABLK  DiKS  1 


PruBti    l* 

mIIo  lltlEll 

'""-■ 

■  "-  "■"'""-■  -' 

H»Ta«  an  pobh 

iu*ra|>lk4    n-i 

i.tti« 

Hftuniîo»'  - 

I,  matb*n»UqiiN!| 


LIHflArHIH  tiAUTIIIBH-VlUtA 


ABBOOSfC  ).M< 

-  Lcçaoi  «ur  I:^  ' 
gfionio'trUiuw  ilii 


^^F^    [tlLLKTIN 

-«^^^^^^^^H 

K&irrsMvriiËMATigiËS, 

i.^^^^^H 

^^^Bï<                                     HT 

^^1 

^^^^^^^^^■a                                               Baula* 

iH 

^^^^^^^^^fti 

tl 

i'^^^^H 

^^^    ^-■^: 

^^^^^^Hi 

^H 

^^^^^^^BT 1 1 .  1 

i^^^^i 

^^n 

î^^^H 

H' 

^^^^1 

COMPTES  UIÎNBCS  KT  ANALYSES. 


COMriKS   ULNDLS   ET  ANALYSES. 


BOBEL  'E.i.  —  I,K<;iiNS  nm  liî:»  skrika  \  Ti;nui:s  ■•omtiF'',  I'Iuikicsskks  m- 
lUiLLKuii:  itR  Fii\m:k.  Rcciii'illii-ri  et  rrilii^iii-s  )>iir  Jt.  if.lMJmtir.  i  v<il.  iji-S"; 
VI-91  pa^cs.  Paris,  Ujulliicr-Villarâ;  njin. 

Le  petil  Livre  que  M.  Bord  nous  ilonne  celte  aniicc  s<;  riiiiporle 
i  la  tliûone  ild.s  s^-ries  à  lermcs  |)0:^iu^s  il  ù  i|iii-l(|iic!i  sujets  eun- 
□excs,  en  particulier  ù  la  lln'oric  do  lu  eroissniicc.  Il  csl  inutile 
de  dire  au  lecteur  qu'il  troiivei'ii.  dum  ce  nouveau  \  uluiiic,  lu 
niémc  inlértït  que  dans  le<  préeédents. 

L'atileur  s'occu|in  d'aboid  des  séries  di)nt  les  termes  sonl  roii- 
SlanlS.  cl<Jesrrilères  (de  convergence)  de  prcniirro  espèce,  e'esl- 
i-dirc  qui  ne  font  intervenir  qu'un  Icrnie.  Les  crilcres  de  llirrlrand 
sont  raltacliés  de  la  façon  la  plus  simple  au  lliéiin' me  de  Cnuclij' 
sur  1g  caractère  des  deux  séries 

V,,.,  y„.„ >.,,, 

qui,  lorsque  les  tonnes  jinsitiTs  r/„  vont  en  décroissant,  conver;^cnl 
OH  divcr^enl  en  nii>me  temps.  Ajirès  avoir  montré  eoinnicnt,  de 
CCS  critères  (le  prcniière  espèce,  on  |>t>ul  déduire  des  erilères  de 
seconde  espèce  cuncernaut  le  rapport  -'"-,  M.  linrcl  cxpliipic 
U  beondont  intervient,  dans  rapplie;itioudeserilèresde  Itertrand 
à  une  série  donnée,  et  pour  une  eertiiinc  snile  cpi'il  appn-nd  à 
furmer.  tei  /i/ii^  ^rnii-f.-  ilfx  Umilt-x  de  ei-lle  suite,  e'csi-j-dire  la 
linile  supérieure  de  IVnsi'mlle  de  ses  jiuints  ira>-i'nmnlalii>n. 
P»ildu  Ilois-Uevniond  et  M.  ir<daniard  oui  montré  l'imporlance 
Je  cptic  notion,  qui  reuiunie  à  Cuuchv.  On  doit  iiussi  ^i  ces  ;;éii- 
■^res  d'intéressantes  proposiriun-,  dont  le  priuc-ipe  apparricnt  à 
AM.  sur  la  dédneti.m  de  .éri.^>  .lout  la  eoiuer^en.  e  ou  U  dlver- 
SeiMcslde  plus  en  plus  lenle.  el  surd.s  snjils  \..islns  :  M.  lionl 
"Wnire,  en  parlienlier,  que  l'on  peut  olileuir  de-,  séri.s  pour  les- 
luellesles  critères  de  llertrau.l  >.<nl  toujours  .ippllciiliies  et  lon- 

joarsen  délaiil.  l'arallèle ol  :.  l'élude  .le  l^i  rcuver^.nce  el  de  Li 

■iivergeuce  des  séries,  il  e-l  naliircl  ili'  haili-rde  la  <'<>nter^enei' i:t 

ll«ll.,Ui  SiUneet  i,„ilh.i„..  ,    •■t\-.  i.  \\M.   i  l.i.ii  1..       j  11 


i54  PUEMIÈUE  PARTIE. 

de  la  divergence  des  inirégrales  dont  la  limite  supérieore  est 
infinie.  La  proposition  de  Paul  du  Bois-Rcymond  sur  la  possibilité 
de  trouver  une  fonction  ^(x)  qui  croisse  plus  vite  que  les  fonc- 
tions <pi(j;),  Oi{x)^  •..,  <p/<(^),  •..  dont  on  suppose  que  cha- 
cune croisse  plus  vite  que  les  précédentes,  montre  bien  Pidentité 
des  deux  questions  :  le  théorème  de  du  Bois-Rejmond  est,  d'ail- 
leurs, dans  un  certain  sens,  complété  par  celui  de  M.  Poincaré, 
sur  la  possibililé  de  trouver  une  fonction  entière  E(â;)qui  croisse 
plus  vite  qu'une  fonction  croissante  donnée  ^(^x). 

Toutes  ces  questions  se  rattachent  à  la  théorie  de  la  crois- 
sance des  fonctions,  théorie  que  l'auteur  élucide  sur  quelques 
points  très  importants,  de  façon  à  parvenir  à  la  notion  de  crois^ 
sance  régulière. 

Après  avoir  montré  nettement  la  nécessité  qu'il  y  a  de  préciser 
celle  notion,  en  construisant  une  fonction  entière  à  croissance 
très  irrégulière,  qui,  pour  certaines  valeurs  de  j:,est  comparable  à 

et,  pour  d'autres,  à 

il  s'attache  à  l'étude  des  ordres  d^injinitude.  Cette  notion  est 
bien  élémentaire  lorsqu'il  s'agit  de  fonctions  comparables  à  x^ 
xf{p^  q  >>  o),  cl  Ton  voit  de  suite  que  le  produit  de  ces  deux  fonc- 
tions est  de  degré  />  -+- 7,  q"e  la  fonction  obtenue  en  substituant 
la  première,  à  la  place  de  or,  dans  la  seconde  est  de  degré  pq.  Ces 
simples  remarques  conduiront,  par  une  voie  logique,  à  la  notion 
de  l'addition  et  de  la  multiplication  des  degrés  dans  des  cas  plus 
compliqués;  le  degré  de  la  fonction  e^  est  représenté  par  le  sym- 
bole (o  qui  sera,  si  Ton  veut,  le  symbole  de  M.  G.  Cantor,  sans 
que,  toutefois,  on  ait  besoin  de  la  théorie  des  nombres  transfinis; 
le  degré  de  logx  sera  re[)n'senlé  par  w~*,  le  degré  du  produit  de 
deux  fonctions  étant,  par  définilion,  la  somme  de  leurs  degrés  : 
l(î  de;,^rè  de  la  fonction /ff(jr)]  sera  un  produit  dont  le  premier 
iiioUuir  sera  le  dcf;ré  do  /,  el  le  second  le  dej^ré  de  '^;  ces  défini- 
lions  pcrnieUent  d'abord  d(î  faire  la  lliéorie  de  l'addition  ou  de 
la  innljiplicalion  dos  nombres  positifs  finis  et  des  symboles  co, 
(.)"■'  :  rathlilion  es!  coinniutatlve  ;  la  multiplication  est  associative 
v\  \\v>\  pii"?,  en  L;('ii(r.il,  conunutalive :  la  nnilliplicalion  a  droite 


COMPTES  RENDUS  ET  ANALYSES.  i5S 

est  dislributîve  par  rapport  à  Taddition  ;  la  muIlipHcalion  à  gauche 
ne  Test  pas,  en  général.  Dès  lors,  tout  polj^nome  tel  que 

i  =  ab  -h  c  de  -f-/^, 

a^  bjCj  •  -  •ig  étant  des  nombres  positifs  ou  l^un  des  symboles  co, 
«1»'*,  dé6nit  une  fonction  croissante  de  degré  i.  Cette  notion 
s^élend  notablement  en  introduisant  une  considération  analogue 
à  celle  que  Ton  doit  à  Cauchy  pour  les  infiniment  petits;  en  dési- 
rant, par  exemple,  par  F(x\b)  la  fonction  croissante  de  degré 

i=  ab-\-  cde  -\-fg^ 

use  fonction  ^(j?)  telle  que,  £  étant  un  nombre  positif  aussi  petit 
que  Ton  veut,  on  ait 


I 

X 

I 

X 


«»n  I  -,,  -^  \ I  ==«, 


sera  dite  de  degré 


y  =  a(ô)H-cé/tf-h/^. 


Les  fonctions  simples,  que  Ton  rencontre  naturellement,  ont 
OD  degré  de  la  forme  i  ou  j;  les  fonctions  à  croissance  régulière 
seront  celles  que  Ton  peut  comparer  à  ces  fonctions  simples.  Je 
me  suis  borné  à  esquisser  le  point  de  vue  auquel  se  place  M.  Borel; 
la  nou-distributivité  de  la  multiplication  à  gauche  laisse  soup- 
çonner dans  cette  théorie  diverses  difficultés  que  Tauteur  met  en 
lumière  :  il  termine  cet  intéressant  Chapitre  en  faisant  un  retour 
sur  les  critères  de  Bertrand,  afin  d*introduire  la  notion  de  la  fonc- 
tioo  idéale  de  Paul  du  Bois-Reymond. 

Après  s^étre  arrêté  un  instant  sur  les  séries  à  entrée  multiple 
pour  faire  ressortir  Tinfluence  du  groupement  des  termes,  et  sur 
les  intégrales  multiples,  qui  donnent  lieu  à  des  observations  ana- 
logues, il  traite,  en  supposant  toujours  positifs  les  coefficients  et 
la  variable,  des  séries  de  la  forme 


lîG  PUBMIÈKË  PAUTIE. 

Signalons  la  remarque  relative  à  la  sërîe 


2 


„.,  (p>»). 


n 


OÙ  il  y  a  un  terme  qui  l'emporte  sur  tous  les  autres,  et  le  théo- 
rème qui  s'en  déduit  : 


SI,  en  posant 


la  fonction  ^(n)  est  croissante  et  de  degré  p{p>  o)^  lafonc* 
lion  f{x)  sera  de  degré  lo  f  -  J • 

Après  avoir  reproduit  une  Note  du  Bulletin  de  la  Société  ma- 
thématique (iSqH,  p.  i86)  où  M.  Iladamard  a  donné,  au  mojen 
de  considérations  géométriques  fort  simples,  quelques  indications 
précieuses  sur  les  relations  entre  le  mode  de  croissance  d'une 
fonction  entière  et  la  nature  des  coefficients  de  la  série  qui  la 
définit,  M.  Borel  s'occupe  du  cas  où  le  rayon  de  convergence  est 
(lui,  établit  une  proposition  de  M.  Appelle  dont  M.  Cesàro  a  su 
montrer  la  portée,  sur  la  limite,  pour  x=  i,  du  rapport  de  deux 
fonctions 

n  —0  n  =  0 

définies  par  des  séries  convergentes  pour  |  j?  |  <  i ,  divergentes 

pour  X  =  i^  lorsque  le  rapport  j-^  des  coefficients  correspondants, 

(|uc  l'on  suppose  positifs,  tend  vers  une  limite  pour /i  infini;  il 
montre  enfin  comment,  dans  diverses  séries  constituées  comme  les 
précédentes,  il  arrive,  lorsque  x  tend  vers  un  par  des  valeurs 
croissantes,  qu-///i  terme  devient  très  grand  par  rapport  aux 
iuilres,  et  comment  on  peut  déterminer  le  degré  de  croissance  : 
c'est  la  nïèine  circonslancc  cpie  roii  a  signalée  plus  haut  pour  les 
foiulions  onlièrcs.  M.  Borel  compare  les  résultats  auxquels  on 
parvient  ainsi  à   ceux  (|ue   M,  Le  Uoy  a  publiés   ici  même  (*).  Il 

(  '   I     T.    WIN  .    l'i'»».    p.    .»  j  ":. 


COMPTES  RENDUS  ET  ANALYSES.         157 

analyse,  en  lerminant  ce  Chapitre,  une  partie  des  belles  recherches 
de  M.  Iladamard  sur  la  façon  dont  se  comporte  une  série  sur  la 
circonférence  de  son  cercle  de  convergence,  pour  faire  ressortir 
rimportance  de  Thypothèse  relative  à  la  croissance  régulière  des 
coefficients  de  la  série. 

Lie  dernier  Chapitre  est  consacré  aux  séries  à  deux  variables,  de 
la  forme 

1  auteur  s'occupe  d'abord  des  séries  entières  (dans  le  sens  de  fonc- 
tions entières).  Pour  ces  séries,  il  y  a  lieu  de  considérer  Vordre 
totale  que  l'auteur  avait  déjà  introduit  dans  son  Livre  sur  Ics/onc- 
tians  entières,  et  Tordre  de  la  fonction  d'une  variable  que  l'on 
outient  en  donnant  à  l'autre  variable  une  valeur  constante.  Ces 
notions  donnent  lieu  à  des  relations  intéressantes.  M.  Borel  analyse 
ensuite  les  résultats  publiés  dans  le  Bulletin  par  M.  Lemalre  (*), 
et  rappelle  les  remarques  de  Cauchy  sur  les  diverses  régions  de 
convergence  de  la  série  obtenue  en  développant 


i  —  x—y 


(^j  y  réels),  suivant  que  l'on  groupe  les  ternies  d'une  façon  ou 

<ï'une  autre.  Cet  exemple  si  simple  met  bien  en  évidence  la  nature 

<les   difficultés  que    présente  la  théorie   des  séries   de   plusieurs 

variables,  et  fait  prévoir  les  ressources  qu'un  géomètre  habile  peut 

tirer  du  groupement  des  termes.  C'est  eu  faisant  allusion  aux 

récents  travaux  de  M.  MIttag-Leffler  que  M.  Borel  termine  son 

Livre. 


LEIIOINE  (E.).  —  GÉOMÊTROGRAPIIIE  ou  ART  DES  CONSTRUCTIONS  GÉOMÉ- 
TRIQUES. 1  vol.  in-8%  87  pages,  de  la  Collection  Scientia,  Paris,  Naud; 
190a. 

V-*  est  pour  le  promeneur  une  joie  très  vive  que  de  découvrir 
tin  site  nouveau  dans  un  pays  bien  connu,  pour  lequel  les  cartes, 


i58  PREMIÈRE    PARTIE. 

les  piansy  les  guides  abondent  :  il  se  hâte  d'y  conduire  ses  a 
el  même  de  se  faire  de  nouveaux  amis  aGn  de  les  y  conduire 
jouit  de  son  paysage,  qui  était  tout  près  et  que  Ton  n'avait 
soupçonné. 

Les  gens  qui  aiment  la  Science  sans  en  faire  leur  métier, 

s.y  promènent,  et  se  proposent  surtout  d'en  jouir,  peuvent  c 

naître  cette  joie-là  et  être  ainsi  récompensés  d'avoir  bien  placé  I 

affection  :  il  ne  faudrait  pas  croire,  toutefois,  que  leurs  déc 

vertes  sont  le  résultat  d'une  bonne  chance  ;  leur  chance  est  en  ( 

dans  leur  activité,  dans  leur  curiosité  d'esprit,  dans  leur  aptit 

à  l'effort,  dans  le  goût  qu'ils  ont  à  suivre  leurs  idées,  à  grinc 

obstinément  le  sentier  non  frayé,  malgré  les  obstacles  qui  Terni 

rassent;   ils  mentent  à  eux-mêmes   et  aux  autres   quand  ili 

traitent  de  flâneurs  :  ce  sont  des  gens  qui  n'arment  pas  les  grai 

routes.  Tel  est  le  cas  de  M.  Lemoine  qui,  à  plusieurs  reprises 

Mathématiques,  et  ailleurs  encore,  a  montré  ce  que  pouvait 

initiative  intelligente  et  suivie,  en  dehors  des  chemins  battus. 

Celte  «  Géométrographie  »  qu'on  lui  doit  a  pris  corps;  elle  a 

nétré   dans    quelques   livres    et  dans    quelques    enseigneme 

M.  Lemoine  vient  d'en  publier,  pour  la  collection  Scientia 

petit  Traité  qui    contient,   outre  une  exposition  très  claire 

principes,  une  étude,  au  point  de  vue  «  géoméirographique», 

constructions  classiques  de  la  Géométrie  élémentaire;  il  pré 

pour  la  maison  Teubner  un  Livre  sur  le  même  sujet,  qui  n'est  | 

aujourd'hui,  une  simple  vue  de  Tesprit,  mais  bien  quelque  c 

d'organisé  et  de  précis.  C'est  qu'il  y  a  au  fond  de  la  «  Géomètre 

phie  »  une  idée  qui  ne  manque  ni  de  finesse,  ni  même  de  profond 

Il  est  vrai,  comme  Ta  observé  M.  Lemoine,  que  les  géomètre 

surtout  les  Grecs,  se  sont  préoccupés  essentiellement  de  la  sii 

cité  des  déductions,  de  la  façon  dont  s'enchaînent,  non  les 

structions,  mais  les  raisonnements.  Je  crois  bien  que  cette  p 

cupation  restera  la  principale,  mais  ce  n'est  pas  une  raison 

qu'elle  su[)prime  toutes  les  autres  :  au  point  de  vue  pratiqi 

Ton  réalisait  les  constructions,  il  est  clair  que  leur  simplici 

leur  exactitude  importeraient   singulièrement;    elles   impo 

peut-être  au  point  de  vue  théorique  plus  qu'on  n'est  dispos< 

croire  tout  d'abord;  cette  disproportion  entre  la  simplicité 

constructions  el  la  simj)licité  des  raisonnements,  que  les  reche 


COMPTES  RENDUS  ET  ANALYSES.  iSq 

^^   M.  Lemoine  ont  mise  ea  évidence,  parfois  d^une  façon  si  inal- 
K^nduCi  n'est  peut-être,  au  moins  dans  certains  cas,  qu^une  appa- 
ce;  elle  peut  tenir  à  des  raisons  profondes  qu'on  n'aurail  pas 
^séà  chercher,  si  M.  Lemoine  n^avait  pas,  tout  d'abord,  donné  le 
tjreo  de  la  reconnaître,  et  il  est  permis  d'espérer  que  la  critique 
laGéométrie,  au  point  de  vue  «  géométrographique  »,  conduira  à 
perfectionner  renseignement.  Il  faut  donc  savoir  gré  à  l'auteur 
L^oir  donné  à  ces  mois  simplicité,  exactitude  un  sens  net,  qui 
remette  une  évaluation  numérique,  et,  par  là-niéme,  unecompa- 
^M>n  précise.  Les  lecteurs  se  convaincront  qu'il  suffit,  comme 
'^       ^it  M.  Lemoine,    de    quelques  minutes   pour  s'assimiler  les 
JDcipes  de  la  méthode,  principes  qui  tiennent  en  deux  ou  trois 
îs.  Quant  à  l'art  de  manier  ces  principes,  d'obtenir  rapide- 
m t  les  coefficients  numériques  qui  sont  la  mesure  de  la  simpli- 
on  de  l'exactitude  d'une  construction  donnée,  c'est  afiaire 
ftmabitude,  et  les  nombreux  exemples  que  fournit  M.  Lemoine 
^rmettront  d'acquérir  facilement  cette  habitude;   pour  ce  qui 
&^   de   l'art  plus  subtil  de  parvenir  à   la  construction  la  plus 
iple  possible,  il  est  sans  doute  plus  difficile  à  acquérir,  mais  la 
(session  d'un  instrument  de  comparaison  y  est  sans  doute  sin- 
S^lièrement  précieux. 


■^03IMERELL  (Karl).  —  Dib  Krummung  der  zweidimensionalen  Gebilde 
i^siEKKN  Raum  von  vier  dimensionen.  loaugural-Dissertulion,  53  pages. 
Tmbagen;  1897. 

Parmi  les  figures  qui  se  présentent  dans  un  espace  à  n  dimen- 
**Oiis,  ce  sont  principalement  celles  à  1  et  à  (/?  —  i)  dimensions 
1**i  ont  été  étudiées  jusqu'ici.  On  peut  renvoyer,  à  ce  sujet,  au 
■^ïitt  Livre  de  M.  Killing  :  Nicliteuclidische  Raumfornien  in  ana- 
^y^ùcher  Behandlung,  où  l'on  trouvera  de  nombreux  renseigne- 
ments bibliographiques.    On   a   très   peu  écrit  sur  les  figures  à 
v^  —  a)  dimensions.  L'aulcur  a  choisi  comme  sujet  de  thèse  le 
^*  particulier  n  —  2  =  2.   Ce  cas  spécial  est  caractrrisé  par  ce 
l**l  qu'il  renferme  aussi  les  surfaces  de  noire  espace  et  qu'en  même 
•^inps  Tes^istence  simultanée  de  deux  équations  entre  les  coordon- 


i6o  PIIEMIÈHE   PAHTIB. 

nées  d*un  point  d^une  surface  permet  de  poursuivre  très  loin  l'ani 
logie  avec  les  courbes  dans  l'espace. 

M.  Kommerell  s'est  surtout  proposé  le  problème  de  transportei^  ' 
les  lliéorèmcs  les  plus  importants  relatifs  aux  surfaces  de  l'espace^ 
à  3  dimensions,  aux  surfaces  de  Tespace  plan  à  4  dimensions^ 
(figures  k  n  —  'a  =:  2  dimensions  dans  un  espace  à  /i  =  4  dîmen-  - 
sions).  Il  montre  que  certaines  propriétés  se  présentent  de  nou- 
veau, tandis  que  d'autres  disparaissent.  Ainsi  une  surface  dans 
Tespace  à  4  dimensions  possède  en  chacun  de  ses  points  4  rayons 
de  courbure  principaux,  et  Ton  peut  de  même  tracer  sur  la  surface 
un  système  quadruplement  infini  de  lignes  de  courbure.  Si  Ton 
passe  aux  surfaces  de  l'espace  à  3  dimensions,  deux  des  rayons 
de  courbure  principaux  deviennent  infiniment  grands,  et  au  sys- 
tème 00*  des  lignes  de  courbure  correspond  le  système  des  lignes 
de  courbure  et  des  lignes  asymplotiques  de  ces  surfaces  de  notre 
espace. 

L'analyse  de  toutes  ces  nombreuses  analogies  nous  conduirait 
trop  loin.  Conlentons-nous  dédire  que  l'auteur  généralise  la  notion 
d'indicatrice  et  se  sert  de  cette  généralisation  pour  caractériser  la 
courbure.  11  donne  aussi  une  élégante  extension  du  théorème  de 
Meusnicr  et  fait  aussi  l'application  au  cas  n  —  2=2  des  théo- 
rèmes de  M.  Killing  sur  les  formes  non  euclidiennes  de  Tespace. 
M.  Kommerell  était  d'autant  plus  compétent  pour  écrire  ce  nou- 
veau Chapitre  delà  Théorie  des  surfaces  que  ^  dès  i8()3,  il  avait, 
en  collaboration  avec  M.  Stalil,  publié  un  excellent  Ouvrage 
d'enseignement  sur  celte  branche  de  la  Science  :  Die  Grundfor- 
nieln  der  allgemeinen  Flachentkeorie,  (vi-i  14  pages.  Leipzig, 
Teubner.)  L.  Laugel. 


HKIDKIil  (PviL).     -   Ukbi-h  KHKisTKiMN(;s<;LEi(:iirN(;EX   von   Primzaiilgrad 
P  ~-  /^7'  /^i*  •  •  *  /^a'*  -h  I  (  ;x  >  I).  Inaugural-Disjortalion.  Greiswald;  1899. 

On  sait  que  la  méthode  eélèhrc  de  dauss,  pour  la  résolution 
des  écpialions  biiiomosde  (h'i;ré/>,  revient  en  principe  à  résoudre 
suc(csNi\<'ineiit  uih'  suite  d\'M|nalions  dont  la  première  seulea  des 
coeflicicnls  rationnels. 


COMPTAS  KBNDUS  ET  ANALYSES.  i6i 

]L«orsque  le  nombre  p  —  i  renferme  plusieurs  facteurs  premiers 
dislincls,  au  nombre  de  [x  par  exemple,  la  mélhode  de  Gauss  est 
susoeplible  d^une  simplification  dont  on  trouvera  Texposition  dans 
FOu  vrage  si  connu  de  M.  Bachmann  :  Die  Lehre  von  der  Kreis- 
t/9,^£iung,  ou  encore  dans  le  Traité  d^ Algèbre  Ae  M.  Webcr.  En 
a|>|>Iiquanl  en  effet  les  théories  de  Galois,  on  peut  alors  ramener 
Isà  x*^solution  de  l'équation  binôme  en  question  à  celle  de  [x  éqùa- 
tioK^sà  coefficients  entiers. 

Si  Ton  désigne  par  p^^  la  puissance  la  plus  élevée  du  facteur 
preniier />A  par  laquelle  est  divisible  p  —  i ,  ce  nombre  />J*  sera  le 
de^ré  d'une  des  équations  auxiliaires  de  Gauss  précitées.  Gauss 
résout  cette  équation  en  résolvant  successivement  tc;^  équations  de 
deg'ré/^A}  dont  la  première  seule  a  des  coefficients  rationnels. 

I^orsque  toutes  les  [x  équations  sont  ainsi  résolues,  on  peut  ex- 
primer rationnellement  au  moyen  de  leurs  solutions  les  racines 
de  l'équation  binôme.  Le  principe  de  cette  mélhode  a  étécommu- 
niqoé  à  Tauteur  par  M.  Studj. 

l^Vxposé  de  ce  procédé  et  son  application,   qui  semble   plus 
aisée  pour  le  calcul  que  la  méthode  primitive  de  Gauss,  fontTobjet 
de  la  thèse  de  M.  Geck.  L'auteur  donne  les  calculs  avec  tous  leurs 
priocipaux  détails  dans  les  cas /?  =  7,  11,  i3,  19,29,31. 

Les  calculs,  véritablement  trop  pénibles  dans  le  cas  /?  =  23 
(p  — 1  =  2.11)  n'ont  pas  été  poursuivis  dans  tous  ces  détails. 

Pour  effectuer  les  très  longues  multiplications,  Tauteur  de  cette 
intéressante  et  consciencieuse  contribution  à  la  théorie  de  la  Kreis* 
^neilung  a  employé  une  machine  à  calculer  faisant  partie  du 
cabinet  de  Physique  de  l'Université  de  Greiswald.  Il  eût  été  inté- 
ï'essani  de  savoir  laquelle.  L.  Laugel. 


^"tlR  (!.)•  —  Ueber  eine  Klasse  von  Matrizen  die  sicii  einer  gegebenen 
^'^''■^ix  zuoRDNEM  LASSEN.  laaugural-Disscrtation,  75  pages.  Berlin;  1901. 

^^  travail,  dont  le  sujet  a  été  probablement  choisi  par  Tauteur 

Us    l 'inspiration  des  savantes  recherches  de  M.  Frobenius,  est 

'*o   nature  très  abstraite  et  ne  se  prête  guère  à  une  analyse  dé- 

*^^.  Nous  essayerons  néanmoins,  à  cause  de  l'importance  et 


i62  PREMIÈRE  PARTIE. 

de  la  nouveauté  des  résultais,  d^en  esquisser  les  grandes  lignes»  en 
renvoyant  le  lecteur,  pour  les  détails,  au  Mémoire  origioaL 
Soient 

deux  matrices  d'ordre  m  dont  les  éléments  sont  des  variables  indé- 
pendantes; soit 

C=(c/it)  =  AB 

la  matrice  composée  au  moyen  des  deux  premières;  on  a 

L'auteur  considère  dans  sa  thèse  les  matrices  T(A)  d'ordre 
premier  r,  et  qui  jouissent  des  propriétés  suivantes  : 

i"*  Les /'^éléments  de  la  matrice  T(  A)  sont  des  fonctions  ration- 
nelles entières  des  m^  variables  a/^; 

2^  Si  la  matrice  T(A)  est  transformée  respectivement  en  T(B) 
ou  T(C)  quand  on  remplace  aik  par  bik  ou  c/a»  l'équation 

T(A)T(B)  =  T(C) 
devra  être  vérifiée. 

Une  telle  matrice  T(A)  est  désignée  par  M.  Schur  sous  le  nom 
de  forme  ou  matrice  invariante  formée  avec  A  ou  tout  simple- 
ment de  forme  invariante  de  A.  La  formation  d'une  telle  matrice 
est  dite  une  opération  invariante. 

En  particulier,  si  tous  les  éléments  de  T(A)  sont  des  fonctions 
homogènes  de  degré  n  des  variables  a/Ai  l'opération  sera  dite  homo^ 
gène  et  de  degré  n. 

Pour  reconnaître  qu'il  existe  cflectivement  de  telles  opérations 
invariantes,  il  suffit  de  faire  T(A)  égal  à  A  ou  égal  au  détermi- 
nant I  A  I  de  la  matrice  A. 

Quand  Ï(A)  est  une  forme  invariante  de  A,  si  Ton  désigne  par 
P  une  matrice  constante  quelconque,  de  mt^me  degré  que  T(A) 
et  dont  le  déterminant  n'csl  pas  nul,  la  matrice  P"'T(A)  P  pos- 
sédera les  propriétés  définies  précédemment  dans  les  n"*  1  et  2, 
et  par  suite  sera  aussi  une  forme  invariante  de  A.  Deux  pareilles 
formes  sont  dites  éf/tiivatentcs. 

Si  T(A)  Cbt  dcconiposable  en  deux  matrices  T|(A)  et  Ta(A), 


COMPTES  RENDUS  ET  ANALYSES.  i63 

et  si  l^on  a  par  suite 

on  voîl  immédiatement  que  T|(A)  et  T2(A)  sont  aussi  des  formes 
in  vaa  riantes  de  A.  Toute  forme  invariante  équivalente  aune  forme 
déoosnposable  sera  dite  une/orme  décomposable  ou  réductible. 
Si  T  ^ A)  est  décomposable  en  les  formes  T|  (A)  et T2(A),  Tauteur 
désig^ne  T|(A)  etTi(A)  sous  les  noms  de  diviseurs  de  T(A); 
il  clit,  encore  qu'ils  sont  contenus  en  T(A).  Une  forme  invariante 
qui  1:2 ^est égale  à  aucune  forme  décomposable  est  dite  irréductible 
ou  j^rimitive. 

^^oici  maintenant  le  rôle  des  opérations  invariantes  :  Soit  G 
^"^  g^rt>upe  abstrait  (fini  ou  infini),  et  soient  A,  B,  F,  .  .  .  ses  élé- 
B'^nt^;  si  l'on  fait  alors  correspondre  à  Télément  A  la  matrice  A, 
^  l^^lément  B  la  matrice  B,  à  l'élément  F  la  matrice  G,  . . .,  et 
^^K'si  de  suite,  en  sorte  qu'à  Télément  AB  corresponde  la  ma- 
^^^e  AB,  . . .,  on  dira  que  les  matrices  A,  B,  G,  .  .  .  représentent 
^^  groupe  G  (  «  ). 

^ette  représentation  sera  dite  propre  ou  impropre^  selon  que 

■^s  déterminants  des  matrices  A,  B,  (],...  sont  tous  différents  de 

*^*^  ou  non.  Gela  posé,  si  T(A)  est  une  opération  invariante  et  si 

1  On  fait  subir  cette  opération  aux  matrices  A,  B,  G,  ...  qui  repré* 

^^ï^tenlle  groupe,  les  matrices 

T(A),    T(B),    T(C),     ... 

■OQrniront  une  nouvelle  représentation  du  groupe  G. 

On  peut  encore  exprimer  ce  fait  comme  il  suit  :  les  ma- 
^ces  T(A),  quand  on  remplace  A  par  toutes  les  matrices  de 
^^rë  nij  forment  un  groupe  isomorphe  au  groupe  linéaire  Homo- 
S^i^e  général  à  m  variables. 

Ces  préliminaires  nécessaires  posés,  le  but  principal  du  savant 
travail  de  M.  Schur  est  la  démonstration  et  Télude  des  proposi- 
(lODs  suivantes  :  Deux  formes  invariantes  T(A)  et  T|(A)  sont 
^uivalentes  lorsque   leurs   traces  (^)  (Spuren),  c'est-à-dire  la 


(*)  Comparer  M.  Frobbnics,  t'eber  die  Darstellung  der  endlichen  Grupptn 
^'"^hlineare  Substiiuiionen  {Berlin  Sitzungsberichte,  1897,  p.  994). 
(*)  Comftarer  II.  Wkdkr,  Lehrbuchder  Algebra,  1. 1,  V*  cdilioo,p.  461. 


i64  PUBMIÈUE  PARTIE. 

somme  des  termes  de  leur  diagonale  principale,  sont  égales,  et  c*est 
là  le  seul  cas  dVquivalence.  Le  nombre  des  opérations  primitives 
homogènes  d'ordre  n  distinctes  (non  équivalentes)  est  un  nombre 
fini.  Ce  nombre  est  égal  au  nombre  k  des  décompositions  de  ren- 
tier n  en  sommes  formées  au  plus  de  m  termes  égaux  ou  différents. 
M.  Schur  est  aussi  parvenu  à  déterminer  les  degrés  et  les  traces 
des  formes  invariantes. 

La  démonstration  et  la  découverte  de  ces  nouveaux  résultats 
reposent  sur  la  proposition  fondamentale  suivante  également 
trouvée  et  démontrée  par  M.  Schur  :  Toute  opération  invariante 
homogène  d'ordre  n  fournit,  au  moyen  de  substitutions  linéaires, 
une  représentation  du  groupe  symétrique  d'ordre  n,  et,  récipro- 
quement, à  toute  pareille  représentation  correspond  une  opéra- 
tion invariante  et  une  seule,  si  l'on  regarde  les  opérations  équiva- 
lentes comme  n'étant  pas  distinctes. 

Nous  pensons  en  avoir  dit  assez  pour  démontrer  le  mérite  du 
beau  Travail  de  M.  Schur  et  pour  faire  voir  qu'il  a  réalisé  un  pro- 
grès considérable  dans  ces  théories  si  difficiles  et  abstraites. 

En  effet,  avant  lui  la  détermination  complète  des  opérations 
invariantes  T(A)  n'avait  été  effectuée  que  dans  les  deux  cas  sui- 
vants : 

1°  Lorsque  T(A)  est  du  premier  degré,  et  fonction  par  consé- 
quent des  variables  Ui^]  en  ce  cas  T(A)  est  égal  à  une  puissance 
du  déterminant  de  A,  résultat  dû  à  M.  Hurwilz  (  *  ). 

2"  Lorsque  les  éléments  de  la  matrice  T(A)  sont  des  fonctions 
linéaires  homogènes  des  <2/a,  le  déterminant  |T(A)|  n'étant  pas 
identiquement  nul;  M.  Frobenius(^)  a  démontré  qu'alors  la  ma- 
trice T(A)  est  une  matrice  de  la  forme 


L.  L 


AUGEL. 


(')  Zur  Invarianlen-Theorie  {Math.  Annalen,  t.  ^5,  P-  38i-4o4»  §5). 
(')  Vfber  die  Darstellun^  der  endlichen  Gruppen  durch  lineare  Substitu- 
tionen.  (Second  Mémoire.)  {Berlin.  Sitzungsberichte,  1899,  p.  4^2). 


COMPTES  RENDUS  ET  ANALYSES.         i65 


&IÂTTER  (D"  Karl).  —  Die  den  BERNOULLfscnBN  Zaiilen  analogen  Zahlen 
m  KoRPER  DER  drittenEiniieitswurzëln.  Inaugural-Dissortalion,  Sg  pages. 
Zurich,  1900. 

Dans  un  beau  Mémoire  publié  dans  le  Tome  LI  des  Math, 
Annaleîiy  M.  Hurwitz  (*)  a  fait  une  étude  approfondie  des  coef- 
ficients du  développement  de  la  fonction  lemniscatique.  Dans  ces 
coefficients  entrent  des  nombres  E„,  que  l'on  peut  nommer 
nombres  de  Ilunvitz,  et  qui  jouent  dans  ce  développement  un 
rôle  analogue  à  celui  des  nombres  de  Bernoulli  B,,  dans  le  déve- 
loppement de  la  cotangenle. 

M.  K.  Malter  s'est  proposé  d'étudier,  au  point  de  vue  analogue, 
le  développement  de   la  fonction  p[u\  o,  ^)    de    Weierstrass 

iSt  =  o,  ^,  =  4  ). 

On  sait  que  cette  fonction  doublement  périodique  a  un  rap- 
port intime  avec  les  nombres  a  +  6p  du  corps  des  racines  cubi- 
ques de  l'unilé  ('),  p  désignant  une  racine  cubique  de  l'unité 
définie  par  l'équation 

p' 4-  p  4- 1  =  o. 
Le  parallélogramme  des  périodes  de  la  fonction  précitée  est  un 

pco  ^ oa+pci> 


losange  et  la  figure  ci-jointe  en  donnera  l'intuition  complète.  Si 
l'on  désigne  par  tù  une  période  primitive,  l'autre  période  sera  pco. 


(')  Ueber  die  Entwickelungskoefficienten  der  lemniscatichen  Functionen 
{Maih.  Ânnaleriy  t.  LI,  p.  196). 

(')  M.  Bachmann  a  consacré  tout  un  Chapitre  de  son  Livre  bien  connu  sur  la 
KreUiheilung  à  l'étude  des  nombres  a  +  6p. 


i66  PRB&IIÈRB  PARTIE. 

Tandis  que  les  nombres  de  BernouUi  peuvent  être  déGnis  pars 
la  formule 

r 

la  somme  devant  être  étendue  à  tous  les  nombres  entiers  réels 
positifs  et  négatifs  à  Texception  de  zéro  (ce  qui  est  indiqué  par  la 
virgule  attachée  au  signe  somme,  notation  de  Weierstrass),  et  où 
le  nombre  tc  peut  être  regardé  comme  la  valeur  de  l'intégrale 


/•*      dx 


ar« 


les  nombres  de  Hurwitz  qui  entrent  dans  le  développement  de  la 
fonction  lemniscatique  sont  définis  par  Téquation 

2'  [(r +'«)»»]  =  T^  ^»         («=i,2,3,  .,.). 

OÙ  la  somme  doit  être  étendue  à  tous  les  entiers  complexes  r  +  si 
du  corps  quadratique  à  Texception  de  zéro,  et  où  le  nombre  ci> 
désigne  la  valeur  de  l'intégrale 


eu 


De  même,  dans  le  développement  de  la  fontion  p{u;  o,  4))  les 
nombres  F{ ,  F2)  . .  • ,  ^nj  analogues  aux  nombres  de  BernouUi  et 
de  Hurwitz,  sonl  déGnis  par  Téqualion 

la  somme  doit  s'étendre  à  tous  les  entiers  complexes  r-f-5p,  à 
l'exception  de  zéro,  p  désignant  la  racine  cubique  de  l'unité 

—  I  -h  t  /î 
P  = ~> 

et  le  nombre  w  la  valeur  de  Tintégralc 

dx 


^'Ivi 


x^ 


COMPTES  RENDUS  ET  ANALYSES.  167 

La  substitution  j;  =  --=  rend,  d'ailleurs,  à  Tintëgrale  la  forme 
ie  Weierslrass,  à  savoir 

dy 


"  =  "/' 


•4r'-4 


Le  but  principal  de  Tintéressant  travail  de  M.  Matter  est  Féiude 

de  la  formation  et  de  la  représentation  des  nombres  F^.  Ces 

oonobres  obéissent  à  une  loi  fondamentale  tout  à  fait  analogue  à 

celle  exprimée  par  le  théorème  de  v.  Staudt-Clausen  relatif  aux 

nombres  de  BernouUi;  les  principaux  résultats  de  l'intéressant  et 

consciencieux  travail  de  M.  Matter  peuvent  être  résumés  ainsi  : 

Si  Ton  développe  la  fonction  p(/7  ;  o,  4)  &u^  invariants ^2  =  o, 


racine 


g%  =  4>  et  aux  périodes  primitives  co  et  pco  |  p  désignant  la  raci 

cubique  de  l'unité  et  co  la  valeur  de  l'intégrale  co=  /  ^      )> 

suivant  les  puissances  de  c/,  les  coefficients  F,i  du  développement 
peuvent  être  rois  sous  la  forme  suivante 


6it 


F»_G,+  — ^+2(— 7 

Dans  cette  formule  Otn  désigne  un  nombre  entier.  La  somme  ^ 

^oîi  être  étendue  aux  nombres  premiers/?  de  forme  6 A:  4-  1  pour 
lesquels/?  —  i  est  un  diviseur  de  6/i. 

Quant  au  nombre  «lU  qui  correspond  à  chacun  des  nombres 
P^'cmiers  précités,  c'est  le  nombre  JU  qui  entre  dans  la  décompo- 
sition 

^e  nombre  doit  être  pris  avec  le  signe  requis  pour  que  la  con- 
S^uence 

X  =  (— I)    «  (mod  3) 

*-**auieur  donne  à  la  fin  de  celte  intéressante  Thèse  deux  Tables  ; 
**^»  la  première  se  trouvent  les  décompositions  de />  en  ses  fac- 


i68  PREMIÈRE  PâRTIK. 

leurs  primaires  m  et  m\ 

m  =  a  -h  bp,        m'  =  a  -4-  ô p*, 
b^o    (mod  3),        a^  — i, 

jiisqu^à/7  =  73,  ainsi  que  les  valeurs  corresponda nies  de  JU. 

Dans  la  deuxième  Table,  il  donne  la  décomposilion  précitée  ^©^ 
nombres  ¥„  en  leur  partie  entière  e(  fractionnaire  jusqu'à  n  =  *  ^' 
La  partie  entière  de  ces  nombres  croît  avec  une  rapidité  tout  à 
extraordinaire.  Le  nombre  G5  a  déjà  i3  chifTres.  Au  delà  de 
nombre  G5,  M*  Matter  s'est  borné  à  calculer  la  partie  fraclit 
naire  de  F/,,  carie  calcul  de  G  devient  insurmontable;  la  se  «■-»»€ 
recherche  du  nombre  approximatif  de  chiffres  de  la  pac""*-^^ 
entière  de 

„  3".  5»».  ii«. 17*.  23».  9.9^4 1.47. 53. 59. 467  880692001 

2*. 7. i3. 19.37.7J 

exigerait  déjà  un  long  et  pénible  calcul.  L.  Ladgbl. 


«1- 


EPSTEEN  (D'  Saul).  —  UxTERSUCIIUNGEN  URRER  LINEARE  DlFPERENTIALGm:^*^'' 

CHUNGEN  4-  Ohdxung  und  DIE  zuGEiiORiGEN  Gruppen.  Inaugural-Diss^ -K^*-^* 

tion,  5G  pages.  Zurich,  1901. 

On  sait  que  Sophus  Lie  a  fait  Tapplicalion  de  sa  théorie  <i^^ 
groupes  de  transformations,  et  tout  particulièrement  celle  €i^^ 
groupes  finis  (dont  les  transformations  ne  dépendent  que  i''»-*'^ 
nombre  fini  de  paramètres),  à  l'intégration  des  équations  différa *^" 
tielles. 

L'illustre  géomètre  norvégien  démontra  que,  dans  presque  tc^*^^ 
les  cas  où  l'on  était  parvenu  à  abaisser  l'ordre  d'une  équation  d-'*" 
férentielle  ordinaire,  la  raison  en  est  l'existence  de  transforcï*  ^" 
tions   à   nombre   fini   de   paramètres  pour   lesquelles  l'équa 
précitée  reste  invariante.  Ces  transformations  forment  nécessaî 
ment  un  groupe.  A  chaque  groupe  de  transformations,  défini  J^ 
ses  transformations  infinitésimales,  Sophus  Lie  fait  correspoa^ 
certaines  fonctions,  dont  l'importance  était,  d'ailleurs,  déjà  c^^^^' 
nue  avant  lui;  ce  sont  les  invariants  différentiels  qui  restent  ii».'^''  ^' 


COMPTES  RENDUS   ET  ANALVSES.  1C9 

rî^  Sjles  pour  toutes  les  transformations  du  groupe,  et  pour  celles-là 
se  «-K  lement.  A  Pexception  de  certains  cas  très  particuliers,  toute 
écr  «jsalion  qui  reste  invariable  pour  toutes  les  transformations  du 
gr^:^  upe  est  une  relation  entre  les  invariants  diiTérentiels  précités. 
^CDr,  quelles  que  soient  la  fécondité  et  la  portée  des  méthodes 
dm.  ^rand  géomètre,  elles  ont  quelque  chose  d'incomplet,  car  une 
éq  «JKation  différentielle  ordinaire  quelconque  d*ordre  supérieur 


(n 


•>^(^-^'^î"--)=° 


oe      areste  pas,  en  général,  invariante  vis-à-vis  d'un  groupe  au  sens 
de      K^^ie. 

M  lest  vrai  que  Téquation  aux  dérivées  partielles 

df  àf  àf 

et  les  systèmes  complets  étudiés  par  Lie  restent  invariants  vis-à-vis 
A  tin  groupe  formé  par  un  certain  nombre  de  paramètres  et  par 
\cs  /14-  I  variables  x,  x^ ,  ^^2,   . . . ,  X//. 

Mais  de  tels  systèmes  sont  d'une  nature  très  particulière. 

Si  Ton  compare  à  ceci  la  perfection  de  la  théorie  de  Galois  des 
^uations  algébriques,  on  se  rendra  mieux  compte  de  ce  qui 
iDsnque  à  la  théorie  de  Lie  en  remarquant  les  deux  faits  suivants; 
<l abord,  étant  donnée  une  équation  dilTéreiiticlle,  on  ne  peut  pas 
toujours  afiirmer  que  la  réduction  opérée  au  moyen  du  groupe 
^tt  la  seule  possible;  et,  ensuite,  certaines  équations,  par 
exemple  l'équation  différentielle  des  lignes  géodésiques  des  sur- 
faces du  second  ordre,  peuvent  être  intégrées,  quoiqu'elles  n'ad- 
"ïettent  aucune  transformation  en  elles-mêmes. 

C'est  M.  Picard  qui,  le  premier,  a  indiqué  la  voie  à  suivre  pour 
S^oéralîser  les  méthodes  de  Lie  dans  le  sens  de  la  théorie  de 
Wois  [Comptes  rendus  y  i883;  Annales  de  Toulouse,  i8()^). 
L>exposilion  des  belles  recherches  de  M.  Picard,  aujourd'hui 
dassiques,  fit  ensuite  le  sujet  de  la  Thèse  bien  connue  de 
M.  Vessiot  (Paris,  188:4,  et  Annales  de  V Ecole  Normale  supé- 
^^Urt),  Dans  ce  beau  Mémoire,  W.  Vessiot  étudia  en  particulier 
■^Qation  différentielle  du  second  ordre,  et  (|uelques  cas  parti- 
culiers de  celle  du  troisième. 

^li.  des  Sciences  maihém.,  2*  sût  ie,  l.  XWI.  (Juin  njo-2.  )  u 


I70 


PKEMIÈKE   PAIiTIB. 


C'est  l'élude  de  l'équation  differenlielle  linéaire  du  qualrièK:ï\^ 
ordre  dont  les  coefficients  sont  des  fonctions  de  x 


(3) 


d\Y  ..-^  d^y 


^^«S-<^»È-^*^ 


=  o. 


dont  s'occupe  M.  Epsteen  dans  sa  remarquable  dissertalion  io: 
gurale.  Ce  domaine  de  recherches  très  étendu  n'a  été  jusqa 
que  très  peu  étudié,  et  l'auteur  n'a  pu  qu'eftieurer  un  suje 
vaste. 

Sa  Thèse  est  divisée  en  trois  Chapitres  ou  Sections.  En  v 
la  Table  des  matières  : 


-a- 

•  • 

ICI 

si 


ICI 


Introduction. 


Chapitre  1.  —  De  V intégration  rationnelle  des  équations  diffé 
tielles  linéaires  du  quatrième  ordre. 

1.  De  rintégration  rationnelle.  Énoncé  du  problème.  Domaine  de  i 
nalilc. 

Invariants  formels  et  numériques. 

Groupe  des  fonctions  invariantes. 

Equations  transformées. 

Résolvantes. 

Un  théorème  analogue  au  théorème  de  Lagrange. 

Groupe  de  rationalité  (groupe  de  transformations). 

Type  caractéristique  invariant. 

Résumé. 
â.   Subdivision  du  problème. 

Groupes  intégrables. 

Condition  d'inlégrabiliié. 

Chapitre  II.  —  Des  groupes  dans  R4. 

3.   Groupes  homogènes  linéaires  dans  H4. 

Groupes  connus  dans  R^. 

Groupes  projectifs  dans  R.^. 

Groupes  dans  R^. 

Résumé. 

Remarques. 
\.   Sous-groupes  à  trois  termes. 

Mélhotlc  pour  les  déterminer. 

Méthode  des  groupes  dérivés. 

Combinaison  dos  deux  méthodes. 
3.   Intégrabiliié  des  i:roupes. 


'tf/i- 


itio- 


COMPTES   UENDUS  ET   ANALYSES.  171 

6.  Démonstration  que  les  groupes  sont  algébriques. 
Première  méthode. 

Deuxième  méthode. 

7.  Sous-groupes  invariants. 

Chapitre  III.  —  Applications. 

8.  Première  réduction  au  moyen  du  groupe  spécial  linéaire. 
Equation  dilTérentielle  d'ordre  n. 

Équation  dilTérentielle  du  quatrième  ordre. 

9.  Deuxième  réduction.  Relation  cubique  entre  les  intégrales. 

10.  Troisième  réduction.  Bclation  quadratique  entre  les  intégrales. 

11.  Réduction  au  moyen  de  résolvantes  assignées. 

La  résolvante  est  l'équation  diiïérentieile  du  cylindre  elliptique,  c*est- 

à-dire  -7-^  -4-  (^' -H  271  cosaa:)^  =  o. 

La  résolvante  est  l'équation  de  Lamé. 
La  résolvante  est  l'équation  de  Lagrange. 
I^  résolvante  est  l'équation  de  Legendre. 
La  résolvante  est  l'équation  de  Bessel. 

« 

Co^CLCSION. 

Les  sept  premiers  paragraphes  renferment  Télude  préliminaire 
du  sujet,  cl  celle  étude  est  faite  aussi  complrlemcnl  qu'elle  peut 
l'être  en  une  trentaine  de  pages.  Le  n**  1  est  un  aperçu  des  théo- 
ries de  MM.  Picard  et  Vessiot,  ap[)liquées  à  Téquation  (3).  Ce 
résumé  est  nécessaire  aux  déveioppemeuls  qui  suivent,  et  présente 
un  intérêt  tout  particulier,  car  il  éclaircit  sur  un  exemple  spécial 
une  théorie  peut-être  assez  difficile  à  saisir  au  premier  abord  dans 
toute  sa  généralité.  Les  n"'*  2  et  7  sont  consacrés  aux  problèmes 
soulevés  dans  le  n"  1  ;  le  Chapitre  III  est  consacré  aux  applica- 
tions, el  dans  le  n°  H  est  examinée  rintéressante  question  inverse  : 
Étant  donnée  une  résolvante,  retrouver  Téquation  primitive. 

En  résumé,  la  méthode  de  M.  Ëpsleen  consiste  à  déterminer  le 
plus  grand  nombre  possible  des  groupes  de  K4  el  à  faire  la 
recherche  des  réductions  correspondantes,  en  supposant  successi- 
vement que  chaque  gt^oupe  est  celui  de  Téquation  différentielle. 
Le  proyême  reviendrait  ainsi  tout  naturellement  à  la  détermina- 
tion de  tous  les  groupes  de  R|. 

L'auteur  détermine  un  certain  nombre  de  ces  groupes,  pour  la 
plupart  primitifs,  et  il  y  choisit  les  termes  linéaires  homogènes. 


172  PREMIÈRC  PAKTIE. 

Mais  ceci  ne  suffit  pas.  11  est,  en  effet,  possible  que  queiques-uni 
des  termes  laissés  de  côté  soient  transformables  en  la  forme  linéair' 
homogène,  el,  par  suite,  pour  résoudre  complètement  le  problèm» 
il  faut  encore  examiner  ces  cas.  Les  termes  linéaires  homogènes 
considérés  par  l'auteur,  forment  encore  un  groupe. 

Pour    distinguer    si    les    groupes    sont    intégrables    ou    non,   ^ 

M.  Epsteen  applique  les  théories  de  Lie-Engei  (n**  2)  et  la  mé 

thode  des  groupes  dérivés.   Il  considère  i4  groupes,  qu'il  serai 
trop  long  d'énumérer,  et  le  seul  intégrable  est  celui  qui  lai 
invariante  la  surface  de  Cavley 

4xiiPjX3 — x^xl  —  îia?f  =  o. 

Les  résultats  de  Tauteur  semblent  donc  indiquer  que,  si  quelques 
groupes  sont  intégrables,  le  plus  grand  nombre  ne  Test  pas.  Ceci 
montre  qu'en  général  l'équation  proposée  (3)  ne  peut  être  résolue 
au  moyen  de  l'intégration  d'un  certain  nombre  d'équations 
linéaires  du  premier  ordre,  mais  que  le  problème  de  l'intégration 
peut  être  ramené  à  l'intégration  d'une  ou  plusieurs  équations  dif- 
férentielles d'ordre  inférieur  au  quatrième. 

M.  Epsteen  démontre  aussi  que  tous  les  groupes,  comme  on 
pouvait  s'y  attendre,  sont  algébriques  (n**  1,  I;  n®  2). 

Comme  les  groupes  du  n**  3  laissent  invariante  une  relation,  soit 
cubique,  soit  quadratique,  entre  les  intégrales,  on  a  à  résoudre 
le  problème  qui  consiste  à  opérer  les  réductions  correspondantes. 
Dans  les  n***  9  et  10,  l'auteur  donne  plusieurs  exemples  de  ces 
réductions. 

Enfin,  au  n^  il  sont  déterminées  les  équations  du  quatrième 
ordre  dont  les  intégrales  peuvent  être  représentées  au  moyen  de 
certaines  fonctions  connues  d'ordre  moins  élevé. 

11  reste  encore  un  problème  à  traiter,  beaucoup  plus  difficile 
d'ailleurs  (n®  1,  IV),  à  savoir  :  Déterminer  le  groupe  d'une 
équation  différentielle  donnée. 

L'auteur,  estimant  que  cette  question  dépassait  beaucoup  le 
cadre  de  sa  Thèse,  l'a  réservée  pour  une  autre  occasion. 

L.  Laugel. 


COMPTIiS  KENOUS  ET  ANALYSES.  173 


BOUVIER  (E.)-  —  L'V  MÉTiioBB  mathématique  en  Économie  politique. 

I  vol.  in-8°;  j45  pages.  Paris,  Larosc;  1901. 


Livre  de  M.  Bouvier,  professeur  à  la  Faculté  de  droit  de 

l'Uxiiversité   de  Lyon,  est  un  plaidoyer  modéré   et   modeste   en 

laveur  de  Tinlroduction  des  méthodes  mathématiques  en  Écono- 

¥ni^  politique.  L'auteur  risque  de  passer  pour  un  esprit  singulier 

et    dangereux.   Comment!   il  fait  attention  à  ce  qui  se  dit  dans 

oet.Le  Université    de    Lausanne,   où   M.   Walras   a    enseigné,   où 

M.     Paréto  enseigne  à  son  tour,  lui  qui  est  professeur  à  Lyon,  en 

uce,  et  professeur  de  droit?  Ignore-t-il  que,  dans  notre  pays, 

ne  peut  «  faire  »  son  droit  ou  sa  médecine  qu'après  des  études 

lusivement  littéraires?  Serait-il  capable  de  penser  que,  dans 

noire  société  moderne,  les  avocats  et  les  juges   peuvent  avoir  à 

^-r^îterdes  affaires  où  les  sciences  interviennent,  et  des  cas  qui  ne 

soQi  point  prévus  dans  le  Digeste?  Est-il  possible  qu'il  regrette 

de    ne  pas  savoir  les  Mathématiques?  En  tout  cas,  c'est  un  homme 

>niesté  par    l'esprit   philosophique,   qui   parle    de   l'unité  de   la 

Science,  du    mutuel   appui    que   ses   diverses  parties   doivent   se 

pï'^ler,    qui    cite    non    seulement    M.    Boutroux,    mais    encore 

"*•    Poincaré,  qui  ne  rejette  pas  ce  qu'il  ne  connaît  point,  qui 

*«che  même  de  s'en  rendre  compte,  qui  trouve  des  raisons  pour 

*^*uler  les  arguments  de  ceux  qui  ne  veulent  point  entendre  parler, 

®n  Economie  politique,  d'équations,  d'inconnues,  de  courbes  ou 

intégrales. 

A  vrai  dire,    ces  arguments  sont  fort   amusants.  On  soutient 

S^e  les  Mathématiques  n'ont  rien  à  faire  ici,  parce  qu'il  s'agit  de 

phénomènes  variables,  et  non  de  constantes,  ou  bien  parce  que 

*®*  Mathématiques  sont  une  science  exacte,  et  que  les  phénomènes 

^économiques  ne  peuvent  être  connus  qu'approximalivcment,  ou 

encore  parce   qu'il  est  arrivé  à  quelques  mathématiciens  de   se 

**'Oniper,  et  que  leur  science  est  assurément  inutile  dès  qu'elle  n'est 

pas  infaillible,  ou  enfin  parce  que  les  Mathématiques  sont  bien 

obscures  pour  ceux  qui   ne  les   savent  pas.   A   la    vérité    cette 

l         dernière  assertion  est  assez  exacte.  Mais,  à  la  lecture  de  pareils 

k        ^''g^'meQts,  un  mathématicien   ne   peut    s'empêcher    de   devenir 


174  PlUilMlÈKE  PAKTIË. 

modesle,  en  pensant  à  ce  qu'il  risquerait  de  dire  s*il  se  mêlait  de 
parler  d'Économie  politique.  Un  autre  argument,  sur  lequel  on 
peut  s'arrêter  un  instant,  est  que  les  mathématiciens  négligent 
volontiers  ce  qui  les  gêne;  voici,  par  exemple,  M.  Walras,  qui 
spécule  sur  un  milieu  économique  qui  est  purement  idéal.  Le 
reproche  vaudrait  contre  les  conséquences  de  ces  spéculations,  si 
Ton  prétendait  les  appliquer  de  suite  à  la  réalité  :  il  a  à  peu  près  la 
même  portée  que  celui  qu'on  adresserait  à  un  physicien,  parce 
qu'il  étudie  la  chute  des  corps  dans  le  vide,  et  non  dans  l'air  où 
ils  sont  plongés  :  il  manifeste  simplement  l'ignorance  de  la 
méthode  de  ces  sciences  expéfimentales,  où  l'on  s'efforce  d'isoler 
les  causes,  de  les  étudier  dans  des  conditions  simples,  quitte  à 
superposer  au  contraire  leurs  effets  pour  expliquer  la  réalité. 
M.  Walras  n'a  sans  doute  pas  la  prétention  d'avoir  mis  en  formules 
toute  l'Économie  politique. 

Que  les  Mathématiques  puissent  intervenir  utilement  en  Écono- 
mie politique,  soit  pour  élaborer  les  résultats  de  la  statistique  et 
ses  tableaux  de  nombres,  soit  pour  éclairer  certains  points  de  la 
théorie  des  échanges,  c'est  ce  qui,  théoriquement,  n'est  pas 
douteux.  Au  point  de  vue  pratique,  la  complication  des  phéno- 
mènes sociaux  constitue  assurément  une  grande  difficulté.  La  mise 
en  équation  des  problèmes  réels  est  toujours  difficile.  On  y  pense 
avec  découragement  tant  qu'elle  n'est  pas  réalisée,  avec  étonnement 
lorsque  quelqu'un  y  a  réussi .  M.  Walras  s'est  efforcé  d'avoir  toujours 
autant  d'équations  que  d'inconnues  :  cela  est  fort  bien;  on  peut 
regreller  que,  dans  ses  équations,  il  reste  parfois  plus  d'une ybnc- 
tion  inconnue;  il  ne  faut  pas  le  lui  reprocher,  ni  en  conclure  que 
les  Mathématiques  n'ont  rien  à  faire  avec  l'Économie  politique.  Les 
problèmes  de  la  Météorologie  sont  des  problèmes  déterminés  qui,  en 
fin  de  compte,  sont  du  ressort  des  Mathématiques  :  on  est  loin,  à 
coup  sur,  de  posséder  une  formule  qui  permette  la  prévision  du 
temps.  Il  n'est  pas  sûr  que  les  phénomènes  économiques  soient  plus 
simples  (|uc  ceux  de  la  Métoorologie.  Est-ce  une  raison  pour  ne 
pas  étudier  les  données  numériques  de  l'une  ou  l'autre  science,  el 
de  tirer  mallu'inati<|uemcnt  des  lois  (|ue  l'on  connaît,  ou  de.* 
hypothèses  (ju'on  peut  faire,  les  conséquences  qu'elles  comportent' 
Aussurcinenl  la  |)()s.sibililc  de  pr(»grès  importants,  dans  cette  voie, 
ne  sera  clémonlrre  (juo  par  la  rcalisalion  même  de  ces  progrès  : 


COMPTES  KKNDUS  ET  ANALYSES.  175 

est-ce     une    raison    pour    dédaigner    et    railler    ceux    qui    s'y 
cffbrcenl?  M.  Bouvier  a  raison  :  le  dédain  que  Ton  aRecte  pour 
ua  ordre  de  recherches  est  presque  toujours  la  marque  de  l'inca- 
pacité où  l'on  est  d'entreprendre  ces  recherches  et  même  de  les 
comprendre,  c'est  un  moyen  court  et  facile  de  cacher  auK  autres 
et  à  soi-même  cette  incapacité;  mieux  vaudrait  faire,  tout  simple- 
ment, ce  dont  on  est  capable.  M.  Bouvier  termine  son  Livre  en 
insistant  sur  la  nécessité  de  donner  aux  jeunes  gens  une  instruc- 
tion générale  :  Eh!  quoi?  11  y  a  maintenant,  dans  notre  pays,  des 
gens  qui  parlent  d'une  «  instruction  générale  »  d'où  les  Sciences 
De  seraient  pas  exclues?  Que  cela  est  nouveau  et  audacieux! 

J.  T. 


DASSEN  (C.-C.)-  —  Metapisica  de  los  conceptos  matemàticos  fundambn- 
TALKs  (espacio,  tempo,  cantidad,  limite)  y  del  analysis  llamado  infini- 
TEsinAL.  Tesis  para  optar  al  tilulo  de  Doctor  en  ciencias  fisico-matemalicas. 
I  vol.  in-8**;  i83  pages.  Buenos-Airos,  Tailbade  et  Rosselli;  1901. 

1^    thèse  de  M.  Dassen  représente  un  travail  notable  de  lecture 

ctde    x*éOexion.  Les  <(  informations  »  de  l'auteur  sont  nombreuses; 

»a  f>iiisé  à  des  sources  fort  diverses  et  il   a  su   tirer  parti    de 

Irav^i^x  récents.  L'eflTort  de  pensée   nécessaire   pour  embrasser, 

comnne  a  voulu   le  faire  M.  Dassen,    l'ensemble  des  principaux 

concepts  mathématiques  est  d'ailleurs  considérable,  et  le  sujet  est 

**^asie  qu'on  serait  malvenu  de  reprocher  à  l'auteur  de  ne  pas  en 

avoir   approfondi  toutes  les  parties.  Celui-ci  s'occupe  d'abord,  au 

po*i*t   de  vue    philosophique,  de    divers   concepts   qui,    comme 

1  espace,  le  temps,  la  quantité,  sont  fondamentaux  en  Mathéma- 

'*1** es.  Peut-être  accepte-t-il  bien  rapidenient  Topinion,  d^ailleurs 

^^ïïteiîue  par  des  mathématiciens   éminents,  que   la    théorie   de 

^^ni  sur  l'espace,  comme  forme  a  priori  de  la  sensibilité,  est 

'^^"née  par  le  développement  de  la  Métagéométrie.    Assurément 

•^^ot  n'a  ni  connu  ni  prévu  les  diverses  géométries,  et,  quoiqu'il 

^^  faille  s'étonner  de   rien  dans  ces   matières,  je  ne   crois   pas 

V^  aucun  de  ses  disciples  trouve  dans  la  possibilité  des  diverses 

Séomélrics    une   confirmation    de    la    théorie   kantienne;    on    se 


176  PREMIÈRE  PARTIE. 

contentera,  si  cela  n^est  déjà  fait,  de  plaider  la  conciliation;  mais 
je  me  figure  que  Kant,  s'il  avait  connu  les  spéculalions  inoderDes 
sur  l'espace,  n'aurait  pas,  pour  si  peu,  changé  sa  pensée  fonda- 
mentale :  tout  au  plus  en  aurait-il  modifié  l'expression  et  aurait-il 
atténué  quelques  arguments;  cela  est  aujourd'hui  l'affaire  de  ceux 
qui  se  réclament  de  lui  ;  les  savants  vont  bien  vite  en  besognequand 
ils  s'imaginent  qu'un  argument  de  fait  renverse  une  doctrine 
philosophique  :  l'importance  philosophique  de  la  Science  consiste 
bien  plutôt  dans  les  changements,  d'ailleurs  très  lents,  qu'elle 
apporte  dans  la  façon  de  penser  de  quelques-uns. 

Pour  la  partie  plus  mathématique  de  son  travail,  c'est  à  P.  do 
Bois-Rejmond    et   à   son   Allgemeine  Funclionentheorie  que 
M.  Dassen  se  réfère  le  plus  souvent  :  nous  retrouvons  chez  lui 
cet  idéaliste  et  cet   empiriste  qui  exposent  tour  à  tour,  chez  le 
penseur  germanique,  leurs  différentes  conceptions.  Renan  a  écnt 
jadis  des  Dialogues  philosophiques  dont  les  personnages  sont, 
dit-il,  les  lobes  de  son  cerveau.  Peut-être  P.  du  Bois-Rejroond 
avail-il  un  lobe  idéaliste  et  un  lobe  empiriste;  même  dans  1*^4 W- 
gemeine  Funclionentheorie,  ces  deux  personnages  sont  un  p^^ 
fatigants,  et  je  crois  qu'il  est  permis  de  les  ^  laisser.  ToulefoiSi 
en  s'adressant,  pour  en  discuter  et  en  développer  les  idées,  à  un 
penseur  et    à  un    mathématicien    tel   que    P.  du   Bois-Reymond, 
M.  Dassen  s'adressait  très  bien.  Outre  les  contributions  impor- 
tantes  qu'il   a  apportées  à    l'ensemble   des   faits  malhémaliqu^^^ 
P.  du  Bois-Rcvniond  a  eu  des  idées  originales  et  fécondes  dont 
on   a    fail,   à    plusieurs  reprises,   ressortir   la   grande  portée,  ^^' 
quoiqu'il  ail  un  peu  abusé  de  son  empirisme  et  de  son  idéalisii^^' 
])ersonne  ne  s'avisera  sans  doule,  d'ici  longtemps,  d'écrire  su^ 
philosophie  de  l'Anal jse  inalhémalique  sans  avair  lu  son  Al^S^' 
meine  Functionenthcoric,  Il  semble,  par  contre,  que  M.  Das*^ 
se  soit,  d'une  pari,  trop  atlaché  à  développer  les  idées  d'aut^^'^ 
dont  les  écrits  sont  singulièrement  moins  importants,  et  qu'il  ** 

'•été  suffisamment  sur  quelques  hommes  qui,  coiï*^ 

M.  G.  Cantor,  et  les  logiciens  de  l'école  italien^^^ 

însée  des  mathématiciens  modernes  une  influ^^^ 

es  quelques  lignes  consacrées  à  la  nolion  d'  «  ^" 

■ilier,  sont  bien  courtes.  Dans  un  Livre  où  *  ^ 

C]ue  de  Weierslrass  d'une  fonction  conl"'"^ 


MÉLANGES. 


1 


// 


c|ui  n'admet  poinl  de  dérivée,  il  était  sans  doute  intéressant  de 
sig-naler,  au  point  de  vue  historique,  le  raisonnement  par  lequel 
Duhamel  prétend  établir  l'existence  d'une  dérivée  pour  une  fonc- 
tîoxm  continue  et  croissante  dans  un  intervalle;  mais  il  convenait 
d ^accompagner  ce  raisonnement  de  quelques  lignes  critiques; 
pimisque,  aussi  bien,  ce  raisonnement  a  trompé  Duhamel,  qui,  de 
temps,  a  été  admiré  pour  sa  clarté  et  sa  rigueur,  il  pourrait 
t.-élre  tromper  encore  quelque  lecteur  inexpérimenté  qui 
iB  ^ «Brait  pas  bien  compris  le  reste  du  Livre  de  M.  Dassen.  Puis,  si 
'  c>Mi  ne  peut  passer  sous  silence  les  arguments  de  Zenon  d'Élée, 
l'^a  montrent,  sous  une  forme  singulièrement  ingénieuse,  le 
'■"'•^^jble  que  1'  «  infini  mathématique  »  a  jeté  dans  l'esprit  des 
P^^^seurs  grecs,  à  quoi  bon  s'arrêter  si  longtemps  sur  les  absur- 
"■•►^s  que  l'on  obtient  en  raisonnant  sur  les  séries  ou  les  limites 
^^^**^ine  il  ne  faut  pas  raisonner? 

ï^asse   encore  pour  les   raisonnements    qui,  comme    celui    de 

■-^ •charnel  auquel  je  faisais   allusion    tout  à  Theure,  ou  certains 

^^^*ïiples  classiques,  ont  un  intérêt  historique;  mais  il  ne  faut  pas, 

*^^**s  prétexte  de  philosophie,  multiplier  les   exemples   de  cette 

'^^•-^reeten  forgera  plaisir.  Enfin,  pour  en  finir  avec  les  critiques, 

^^**t.3ines  citations  sont  par  trop  écourtées  :  à  lire  les  dernières 

Ï^^S^s  de  M.  Dassen,  on  pourrait  s'imaginer  que  Cauchy ,  M.  Prings- 

*^^îtii  et  M.  Borel  n'ont  aucun  souci  de  la  rigueur. 

Itf .  Dassen  serait  sans  doute  désolé  que    cette  opinion-là    se 
*^pandît  à  Buenos-Aires. 


l 


MÉLANGES. 

tua   LES  CALCULiTEURS  CINÉMATIQUES  DES  FONCTIONS  ELLIPTIQUES; 

Par  m.  N.  DELAUNAY. 

"308  la  présente  Note  je  donne  une  description  d'un  méca- 
nisme dans  lequel  une  roulette  décrit  un  angle  o  =  anu/  chaque 
lois  qu'on  tourne  une  roue  d'un  angle  it.  On  verra,  de  plus,  qu'on 


1-8 


PREMIÈRE  PARTIE. 


peut  prendre  facilement,  à  Taide  d'un  compas,  les  longueurs  snii, 
cnuy  mdnu  sur  ce  mécanisme  pour  chaque  argument  u  donnée 
qu'on  peut  construire  un  instrument  pour  le  calcul  de  l'inlégral 
elliptique  de  seconde  espèce. 

i.  Soit  AB  {/ig-  i)  une  bielle  dont  le  point  A  glisse  sur 
cercle  décrit  avec  un  rayon  (manivelle)  OA,  tandis  qu'un  sài 

Fig.  I. 


point  B  de  la  bielle  glisse  sur  la  droite  OB  menée  par  le  cent 
Posons 


a 


AB  =  //i,         OA  =  a,         —  =  A,         A0B  =  9,        ABO  =  0. 

ni  ^ 

On  aperçoit  facilement  qu'entre  les  angles  o  et  0  existe    * 
relation 

sinO  =  A:  sino. 

Lorsqu'on  conçoit  o  comme  l'amplilude  d'un  argument  u,  o' 


(1) 


(•Jt) 


cosO  =  y/i  —  A*  siii^cp  =  A^  =  dn  m, 
r/çp 


it  = 


du  = 


cosO 


MÉLANGES. 


179 


ans  notre  mécanisme,  le  syslème  bielle  et  manivelle  est  posé 
me  charretle  {fig*  i)  d'une  telle  manière  que  la  charnière  O 
îxée  sur  la  charrette  et  que  la  règle  OB,  aj^ant  une  rainure, 
pivoter  autour  du  point  O.  La  bielle  AB  porte  au  point  B  une 
ière  qui  conduit  le  point  B  suivant  la  règle  OB.  Le  point  P  du 
3Dgement  de  la  bielle  porte  une  charnière  par  laquelle  la 
e  est  liée  avec  la  tige  LP  pivotant  autour  de  la  charnière  L 
:  sur  la  charretle.  Cette  disposition  maintient  le  parallélisme 
î  la  bielle  AB  et  les  roues  de  la  charrette.  La  règle  OB  porte 
hâssis  MN  {Jig'  2)  perpendiculaire  à  OB.  Le  châssis  porte 

Fig.  2. 
^   .0  A 


M 


'<fV 


Ir* 


î  d'une  roulette  pq^  de  sorte  que  cette  roulette  reste  toujours 
»le  plan  vertical  passant  par  le  point  O.  Dans  ces  conditions, 
miette /?5r  fait  toujours  l'angle  variable  6  avec  la  bielle  et  avec 
eues  de  la  charrette  dont  les  rayons  sont  égaux  à  l'unité  de 
ueiir. 

la  charrette  parcourt  un  chemin  du  dans  la  direction  /z/i,  ses 
s  tournent  d^m  angle  du,  La  projection  de  ce  mouvement 
a  normale  du  plan  de  Ja  roulette  ne  produit  aucune  rotation 

roulette.  La  projection  du  mouvement  du  sur  le  plan  de  la 
tte  tourne  celle-ci  d'un  angle  rfwcosO  lorsque  la  roulette 

sur  une  table,  comme  dans  l'instrument  d'Amslcr  mesurant 
►ment  d'inertie. 

nsle  châssis  MN  se  trouve  un  engrenage  {Jig-  2)  tel  que  la 
*^elle  OA  tourne  du  même  angle  que  la  roulette  pq.  Dans  ces 

Uons,  la  manivelle  OA  tourne  d'un  angle  du  cosO  pour  chaque 
lation  du  de  la  charrette,  et  la  relation  (2)  se  trouve  remplie. 
la  posé,  admettons  que  la   charrette   parcourt   un   chemin 

j  du;  alors  l'angle  que  la  manivelle  OA  fait  avec  la  règle  OB 

Dt  égal  à  y,  qui  est  lié  avec  u  par  la  relation  (i),  et  l'on 


i8o  PREMIËKE   PARTIE, 

aura 

^  =  amu,        ÂD=sna,        OD  =  cnu,        BD  =  mdnff, 

si  l'on  prend  OA  =  a  pour  l'unité  de  longueur. 

OA  fait  des  tours  complets,  OB  oscille  autour  du  point  0. 

La  position  initiale  de  la  règle  OB  doit  être  parallèle  aux  ro 
de  la  charrette;  il  faut  donc  qu'elle  soit  marquée  par  un  index  s 
la  charrette  pour  l'ajustage  initial  du  mécanisme.  Toutes  les  tig 
se  rangent,  dans  )a  position  initiale,  sur  la  droite  parallèle  a 
roues  et  passant  par  le  milieu  de  la  charrette. 

2.  Je  voulais  transformer  ce  mécanisme  pour  le  calcul  de  Tin-  ^ 

tégralc  elliptique  de  seconde  espèce  E  =  /    L-^d^^  qui  donne  1^  ' 

relation  rfE  =  d^  cosO,  lorsqu'un  de  mes  élèves,  Tétudianl  de  l'In^  * 
stilut  polytechnique  de  Varsovie  M.  Lipetz,  a  inventé  un  méca— ^ — 

nisme  calculant  celte  intégrale.  M.  Lipetz  s'est  servi  de  mon  ellip 

sographc  dont  la  description  se  trouve  dans  le  Bulletin  des^^ 
Sciences  mathématiques,  2*série,  t.  XIX.  Dans  cet  eliipsographe  - 
il  y  a  une  tige  pB  pivotant  autour  d'un  point  fixe  ^,  et,  lorsqu'on 
tourne  cette  tige,  un  point  D  de  l'ellipsographe  décrit  une  ellipse 
qui  est  une  projection  orthogonale  du  cercle  décrit  parle  point  B. 
On  voit  bien  que  l'angle  que  fait  la  tige/?B  avec  le  petit  axe  de 
l'ellipse  est  égal  au  complément  o  de  l'anomalie  excentrique. 
Après  avoir  fait  celle  remarque  et  sachant  qu'entre  le  complé- 
ment o  de  l'anomalie  excentrique  cl  la  longueur  s  de  l'arc  de  l'el- 

lipse  il  y  a  une  relation  s  =  a  1     A'^  rfy,  M.   Lipetz  ajoute  une 

roulette  au  point  D  de  l'ellipsographe.  Il  faut  que  l'axe  de  celle 
roulette  puisse  tourner  autour  de  l'axe  vertical  passant  par  le 
point  D.  On  met  le  mécanisme  dans  une  telle  position  que  D  est 
au  bout  du  petit  axe  de  Tellipsc.  Dans  cette  position  initiale,  l'axe 
de  la  roulette  doit  être  mis  parallèlement  à  la  lige/>B  pour  que  le 
|>lan  de  la  roulellc  passe  par  la  tangente  à  l'ellipse.  La  position 
initiale  étant  ainsi  réglée,  on  tourne  la  lige  pK  d'un  angle  »,  ce 
(jiii  l'ail  parcourir  à  la  roulellc  le  chemin  s  égal  à  l'arc  de  l'ellipse, 

et  la  roulette  tourne  d'un  angle  proportionnel  à    1     A»rf;p. 


0 

N.  Dllaukay. 


MÉLANGES.  i8i 


SUR  UN  THÉORÈME  RELATIF  A  DES  MOTENNES; 

Par  m.  André   DURAND, 
Professeur  à  Besançon. 


Soient  ai,  a2,  . .  .,  a/i,  n  nombres  positifs  qui  ne  sont  pas  tous 
ëgaux.  Soit  S^  la  somme  des  produits  p  k  p  de  ces  n  quantités, 

n  I 

el  Cg  =  —q — -^- — -j  le  nombre  de  ces  produits.  ^Lppelons  moyenne 

ef  ordre  pet  désignons  par  My,la  quantité  i/r.J,  (M|  est  alors  la 

moj'enne   arithmétique  — '  '  "  ' -y    M^    est    la    moyenne 

géométrique  {/^ai,  «2,  .  .  .,  a„j  • 

Je  dis  que  Tordre  des  grandeurs  de  ces  quantités  est 


M,  >  M,  >  M3,        >  M,,  >  Mp^i  > . . .  >  M«. 

Deux  de  ces  moyennes  ne  pouvant  être  égales  que  si  tous  les 
nombres  ^i,  ^2,  .  .  .,  a,,  sont  égaux,  dans  ce  cas  ces  moyennes 
soQi  toutes  égales  entre  elles. 

Démonstration,  —  Je  dis  que  My,>>My,^i.  Je  considère  un 
système  de  valeurs  des  nombres  a,  tel  que  ces  nombres  ne  soient 
pas  tous  égaux.  Soit  co  la  valeur  de  M^,;  parmi  les  nombres  a,  il 
J  en  a  qui  sont  supérieurs  à  co,  et  d'autres  qui  sont  inférieurs  à  (o 
(s  ils  étaient  tous  supérieurs  à  eu ,  on  aurait  S{J>>C^(o/', 
<loncM^>co). 

''e  considère  alors  deux  nombres,  pris  parmi  les  nombres  a,  l'un 
^''périeur  à  w,  l'autre  inférieur, 

a,  =  co-f-a,         a,=  co— p,         (a>o,     P>o). 
Je  puis  écrire  : 

Sg     =H -»- K  (ûTi-herj)-!- L  aiaj, 
SS-^>  =  J-hH(a,-+-a5)-i-  Krt,a,. 

■**'S*^e  la  somme  des  produits/;  —  a  à  p —  2  des  lellrcs  r/, 
*'»«'".  et  «,. 


i82  PKBMIÈRE  PÂRTIB. 

K.  désigne  la  somme  des  produits  p  —  i  à  />  —  i  des  lellrcs  a, 

sauf  ay  et  aj. 
H  désigne  la  somme  des  produits /?  à />  des  lettres  a,  sauf  a\  et  a^. 
J  désigne  la  somme   des  produits /> -h  i  à /> -|- i  des  lettres  cr, 

sauf  a\  et  a^. 

Je  remplace  a\  et  a^  respectivement  par  o>  et  o)  4-  e,  e  étant  un 
nombre,  positif  ou  négatif,  tel  que  S^  ne  change  pas  de  valeur:  il 
faut  que  e  satisfasse  à  Téquation 

(i)  A(SS)  =  (K-f.La))0  — a-4-e)-^La?  =  o. 

SJ"^*  varie;  sa  variation  est 

A(S;;^«  )  =  (H  -+-  Kco)(?  —  a-h  e)  -h  Kap, 

en  remplaçant  fi  —  a  -i-  s  par  la  \aleur  tirée  de  la  première  équa- 
tion 

MSr')  =  K«?-j^?-[II^-K.]=j.--^[K'-HL]. 

Je  dis  que  cette  quantité  est  positii^e,  donc  que  SjJ'^'  a 
auf^metit(\  ()uand  1rs  n  nombres  auront  clé  rendus  égaux  à  co, 
SjJ*^*  aura  augnionlé  à  cbacune  i\o.  ces  opérations,  et  sera  devenu 
égal  à  CJJ^*  (o/*"^',  M/i^.!  sera  devenu  égal  à  lo,  et  par  suile  à  My,; 
donc  (|uand  les  nombres  a  n'étaient  pas  tous  égaux  à  o>,  on 
avait  M^i^  M/i-i-i' 

Il  n'es!  pas  dinîcile  do  vérifier  (juc  R^ — HL>>o,  c'esl-à-dîre 
que  le  carré  de  la  somme  des  produits  k  à  /*  de  m  nombres  posi- 
tifs est  supérieur  au  produit  de  la  somme  des  produits  A*  —  i  à  Â'  —  i 
par  la  somme  des  j^roduits  k  ~t  i  à  A*  -+-  i . 

i"  K-  contient  d*abord  la  somme  des  carrés  des  produits  A* à  A'; 
ces  l(»rmes  ne  liguront  pas  dans  IIL. 

•».'*  (les  termes  mis  à  pari,  un  terme  quelconque  du  carré  K' 
ligure  tians  h»  produit  Lll,  et  réoi|>roi|uemeiit,  mais  le  coeflîcient 
nun)éri(|ur  est  toujtuns  plus  grand  dans  le  déxeloppement  de  K' 
que  d.in>  colui  de  IIL. 

Le  *'0(»flîiiont  di*  tt\  f/j  .  .  .  r/;  tt,^^  .  .  .  </ja_i  dans  K  x  R  est  le 


MÉLANGES.  i83 

nombre  des  combinaisons  de  2  (A*  —  l)  lettres  différentes,  k  —  / 
à  Ar  —  /,  soit 

Le  coefficient  du  même  terme,  dans  HL,  est  le  nombre  de  com- 
binaisons de  2  (k  —  i)  lettres  différentes,  k  —  i  —  i  k  k  —  i  —  i 
(ou  A"  —  I -H  I  à  A- —  «  H-  i),  soit 

R_  [Mk-ini 

On  a  bien  A  >  B,  car  cette  inégalité  revient  à 


k  —  *  H-  I        k  —  i 

application  :  une  équation  du  degré  n,  qui  admet  n  racines 
positives,  peut  être  écrite  ainsi  : 

n  ,       n(n  —  i)    , 

or* a* a?«-*  H aï  x*»-* -^ . . . 

I  1.2         * 

Elle  ne  peat  avoir  toutes  ses  racines  réelles  et  positives  que  si 

«1  >  «î  >  «3  >•.•>««>  o- 
Mais  ces  conditions  nécessaires  ne  sont  pas  suffisantes. 


NOTE  RELATIVE  A  L'ARTICLE  PRÉCÉDENT. 

L^éléganle  proposition  établie  par  M.  André  Durand  peut  se 
démontrer  aussi  de  la  manière  suivante  : 
Considérons  Téquation  algébrique 

(i)       iF" M|ar«-*^H ^^ — ^ — ^IVI|  :f«-«j*  — ...-h(— i)«M2  =0 

écrile  sous  forme  homogène.  Si  cette  équation  a  toutes  ses  racines 
réelles  positives  et  distinctes,  il  est  évident  qu'il  en  est  de  même 


i8i  PUËMIËItlî  PARTIE, 

de  loulcs  les  éqtialions  du  second  degré, 


(•>) 


i  M  M  X»  -  a  M  i:  ry  -  mJ:!  y*  =  o, 


1 


qui  ne  sont  autres  que  les  dérivées  <I*ordre  n — a  prises,  soit  ptr 
rapport  à  x,  soit  par  rapport  à  y^  de  réquatîon  (i).  On  aura  donc 

Mî-Mi>o, 
Mî-M,MJ>o, 


tA 


A-i  mA-^1 


Mr-Mî::îMî::i>o. 


On  déduit  de  ces  iné^^alilcs 


et  par  conséquent 


M,<M,. 

M» 

M  s  <r  _1  <-  '  M  ^ 


M3<Mî. 


Kn  continuant  de  la  mémo  manière  on  aura 


C.Q.F.D. 


On  \('rra  l'ucilcmrnl  (|uc>  Ir   nii^^onncMntMit   s'appli(|ue   toutes  les 
fois  que  les  n  racines  d(?  iéijuahun  (i  )  ne  sont  pas  conTondues. 

(.1.  Darboux. 


H 


<  1  m  tM  ippKcjitloiu  en  Mam^- 


BULLETIN 


INCESMATliÉMATlULES, 

t  l'An  ««,  (i,  K^nitoix.  t-  rii.Aiir>  et  j.  t-ïSmîhv. 


■irtlOJi  d«  la  CfliDBlAiigii  iên  Banlsi  tlodai 


■  UIKTorin  M.  fi.ltHMIt  KTIHMKI, 


Mil 


t-ftllB    XI  VI      -    JUILLET    iSttl- 


i 


^isTissiâ, 


l'AlUs. 


i.iniiAiiK^ 


LiimAïKii:  r.Auriiiitiivitf 
L'IM'KKMËDIAIUE 

mathématicieI 

fOMltt  HH  IM(  rAll  C-A.  t.\l5AM  tT  l_  LliUkli 


PnlilîeaUini  baaor«»  d'aa«  MituarlpUun  àa  Mina 
de  llnatraetion  publi^u». 


rnxK  \\  _  \sstv  mmw 


VM,L,thtiilril.*m.i. 


i: 


CUUPTKiS  KENUUS  liT  ANAIVSKS. 


COMPTES    KEMIUS    ET   ANALYSES. 


KLEIN  (F.).  —  AMveMiiM;  der  DiFi'KnE>TiAi.-  vmi  [xtecsii 
Geomethib.  El^R  IIevision-  iieh  Phincipien.  Vnm.Esixc  (;kii\lte>  waiihkmi 
DES  Soxmeusexcïteiis  1901. von  K.  Klnin,  .4Hsgeai-lie'fit-t  von  Conrad MûUer, 
I  vol.  in-S";  Jti8  yia'^a  IJlliugr.,  Liepiijj.  Teubnvr;  igoi. 

Plus  (l'un  lecteur  IVançiiis.  t-n  li->aiil  les  levons  {u-ofossi-cs  |iar 

M.  Klein  pcnJaiit  le  senu'slrc  ilV'lc  de  l'anni-e  (lerniiTc,  {;;i>i\lera 

an  double  plai&ir:  iiasiirémenl,  il  prendra  un  vif  iiiléri^l  au  siijci 

et  à  la  façon  dont  tl  eitt  truild*;  il  se  plniru  aioâi  à  connuilrr'  une 

forme  d'enseignement  très  diDVronle  de  eeile  dotil    iintis  nvniis 

l'habitude:  la  pitrcdr  dti  ininlre  est  là  toute  vivante:  elle  a  élé  sté- 

DUgraphiée  atec  inti-lii^eiiec.  On  n'a  devant  les  yens  ni  nn  livre, 

ni  un  méniuii-e.  niai>  det  ffçnnx:  des  lei;ons  <{iii,  sans  diiMlr.  ont 

été  longuement  élalxirée-.  dont  on  eounait.  |ini'  les  antrei  |iii]ili- 

calion-i  de  l'aiileni.  la  (vluparl  lii-s  idées,  mais  oô  l'on  M-iit  liien 

«jne  l'on  a  airaire  à  nn  |ni'fi-isenr.  non  à  un  iVrixain,  où  la  parole 

à  une  couleur,   une  spniilanéilé.  nit'-tnc  une  eertaine  fantaisie  que 

l'on  ne  se  permet    pa>  d'Iialiitiide  en  écrivant.    Il  >ciiddc  même, 

tint  l'impression  de  la  lerinre  est  nette,  ipie  l'on  lasse  coonais- 

MBce  avec    les  auditeurs,   ipn-   l'on   devine    ee   qui   les  attire  et 

n  t|ui   les    relient    anjuV-s  du    maître,    ee    <pi'ils    vont    elirivlier 

<^'>«z  lui;  on  son)ii;onne.  aux  explieation>  ipi'il  donne,  à  la  Utom 

••ont  il  insiste,  ee  <|iie  savent  on  ee  i|n'i^ri(.ret.i  s.-s  élèves. 

Tout  d'ubord  le  leeleur  sera  frapp.'  de  la  liherlé  d'.ilh.iv  il.'  erl 
enseignement,  eoupé  par  des  digressions,  des  rélK'\ioii>  pliilosn- 
l>l<it(  .us.  des  ind;eati<His.lrleetnr.'>àl'airr.  passant.. pi<.i.]ii.' l'unité 
'i' lu  pensée  suit  visiUl.-.  .l'un  Mijel  à  l'autiv.  .  l'tl.-uiant  reiui-.-i, 
■PI>r«rondiss.-.nl  eelnidà  .laus  l.>'|.<-tits  .létaiU:  i,..ns  n.-  .  .ninai- 
»"s  iTuère  .ette  lil..-i  t.-l..  :  >aMS  .|.mt<-.  nn.-  I.d  .-ne.nv  ré.-.nt.>  lu 

^^tw  ans  prnlessfnrs  .|.-s  l  niveisilés  iV ..i-e-:  ell.'   n'.sr  pa- 

«c.rcenlréf  dan,  les  m.eurs;  l.s  mis.  -n  rai-n  peut-être  .lune 
*w^e-si\c  modestie,  n'ont  pas  .i-é  la  preiiilre;  d'antres  .mt  .lisant 
In  yeu\  un  linl  trop  préei-.  ils  ii>l>  nt  tr<>|>  l.i  l.ui^^ii.'ur  Ai\  l'Ii.'igiiii 

f-II.Je,  Srii-Hro  ni'Hl<.m..    ■■ -,   1     \\\t       luill.l   ..,..■..  i; 


i86  PKËMiÊUË   PARTIE. 

quMl  leur  faul  parcourir  pour  s^en  écarter,  et  prendre  le  teni 
de  faire  admirer  à  leurs  auditeurs  les  sites  qu^ils  rencontre 
C'est  là  une  satisfaction  dont  M.  Klein  ne  se  prive  pas,  et,  i 
vérité,  il  excelle  à  exciter  Tadmiration.  Au  reste,  s'il  entend  b 
que  ses  élèves  emportent  de  son  cours  un  certain  nombre  de  C 
précis,  choisis  parmi  ceux  qui  sont  les  plus  importants,  il  enU 
surtout  les  faire  rélléchir,  exciter  leur  initiative,  leur  inspire 
goût  de  la  recherche  personnelle  ;  je  m'imagine  que,  au  besoii 
ne  lui  déplairait  pas  de  les  scandaliser  un  peu,  il  s'efforce, 
moins,  de  leur  inspirer  le  mépris  de  la  science  purement  livresq 
de  ce  qu'il  appelle  le  savoir  scolaslique,  des  choses  que  I 
a  apprises  et  que  Ton  n'a  point  faites  siennes,  que  l'on  ré( 
parce  qu'on  les  a  apprises,  sans  les  avoir  soumises  à  une  crili 
personnelle. 

L'idée  maîtresse  qui  domine  tout  le  cours  est  la  dislincl 
entre  ce  que  M.  Klein  appelle  les  MaUiémaliques  de précisio 
les  Mat héjnatiq lies  d'approximation.  {Pràcisions-  undAppn 
mationsniathematik,)  C'est  une  distinction  sur' laquelle  il 
revenu  à  plusieurs  reprises,  et  qu'il  a  posée  avec  une  entière  cl 
dans  ses  Lectures  de  Chicago.  A  cette  distinction  se  rattache 
vérité  philosophique  assez  {grosse  de  conséquences.  Cette  ve 
philosophique,  pour  ceux  qui  y  ont  réfléchi,  fait  Teffet  d' 
naïveté  :  personne,  sans  doute,  noscrait  la  contester,  mais  I 
peu  de  gens  la  regardent  en  face;  plus  rares  encore  sont  ceux 
prennent  le  parti  de  s'y  résigner  franciiement  :  elle  consiste  e 
que  toutes  nos  mesures  sont  approchées;  aucune  mesure  i 
exacte;  Tobscrvalion  ne  nous  apprend  jamais  autre  chose 
ceci  :  telle  (piantité  est  comprise  entre  telles  ou  telles  limites.  C 
sans  doute,  n'est  pas  nouveau.  On  ne  commence  guère  à  exp 
une  science  d'ohservation,  sans  le  dire;  puis,  niailre  et  élève 
hâtent  de  l'oublitT.  Je  crois  bien  que  les  auditeurs  de  M.  Klei 
l'oublieront  pas,  et  (ju'ils  resteront,  d'ici  longtemps,  troublé 
celle  vérité  si  simple;  jamais  elle  n*a  été  mise  en  lunnèrc  ; 
plus  de  lorce  et  de  irancliise,  ni  répétée  sous  des  formes  | 
diverses,  ni  mieux  poursuivie  dans  ses  consé(juences.  Parce 
nous  connaissons  (et  dans  des  ca^  lies  rares)  six  ou  sept  décini 
d  un  nombre,  nous  ne  pouvons  rien  aHirmer  sur  celles  qui  • 
vent.  Nous  ne  pouvons  pas  aKirnier  que  la  niasse  d'un  corps 


COMPTES  RENDUS  ET  ANALYSES.         187 

coBsUnte,  mais  seulement  que  celle  masse,  si  elle  varie,  varie  en  ire 
des  limites  très  rapprochées.  La  loi  de  la  chute  des  corps,  la  loi  de 
rtttractioD  universelle  sont  l'objet  d'une  critique  serrée,  qui  met 
en  évidence  le  degré  d'approximation  avec  lequel  on  peut  dire 
qoe  ces  lois  sont  vraies,  et  l'auteur  prend  quelque  plaisir  à 
ncoDter  comment,  d'après  M.  Hall,  les  irrégularités  du  mouve- 
ment de  Mercure  seraient  mieux  représentées  en  remplaçant  la  loi 
de  Newton  par  la  formule. 

kmm' 


/= 


/•t,ooofoei67« 


Ailleurs,  il  insistera  sur  l'impossibilité  de  définir  d'une  façon 
précise  (disons  même  de  penser) j  au  point  de  vue  mathématique, 
les  quantités  qui  entrent  dans  les  formules,  par  exemple,  en  res- 
tant dans  le  domaine  de  l'attraction,  le  potentiel  de  la  Terre.  Si 
je  l'ai  bien  compris,  il  ne  recule  pas  devant  l'idée  que  cette  impos- 
sibilité est  radicale,  et  s'étend  à  tout   ce  que  nous  prétendons 
mesurer.  Et  en  eflel,  la  quantité  même  à  mesurer  s'évanouit  quand 
on  vent  la  préciser.    Qu'est-ce   que   le   volume  d'un  corps,  son 
poids? Où  ce  corps  est-il  terminé?  Qu'est-ce  qui  est  lui,  et  qu'est-ce 
qui  n'est  pas  lui?  Assurément,  nous  ne  pouvons  jamais  répondre 
complètement  à  ces  questions;  mais  y  a-t-il  une  réponse?  D'une 
P^rt,  il  est  certain  que  notre  connaissance  du  monde  extérieur  est 
^  limitée  et  sera  toujours  très  limitée,  que  notre  représentation 
mathématique  de  ce  monde  extérieur  sera  toujours  une  représen- 
^tion  approximative;  d'autre  part,  il  n'est  pas  sûr,  lors  même  que 
Ion  fait  abstraction  de  Timperfeclion  de  nos  organes  et  de  la  fai- 
Messe  de  notre  intelligence,  qu'une  représentation  mathématique 
oe  l'Univers  soit  possible  en  soi.  Pour  Leibniz  (*),  la  contin^ 
j^eAce  résulta  il  de  l'impossibilité  de  connaître  Tinfinité  des  chiffres 
<pi  constituent  la  représentation  décimale  des  nombres  qui  corres- 
pondent aux  choses  ;  mais  est-il  vrai  qu'il  y  ait  des  nombres  exacts 
attachés  aux  choses?  Nous  n'en  savons  rien,  et  nous  n'en  saurons 
jtmaisrien. 
On  pourra  toujours  soutenir  que  la   prétendue  connaissance 


\  )  Voir  CouTURAT,  La  logique  de  Leibniz  d'après  des  documents  inédits. 
P- su  et /wwiin.  Paris,  1901. 


s 


i88  PREMIÈRE  PARTIE. 

mathémalique  de  l'Univers  ne  sera  jamais  qu'une  sorte  de  sta.  K.m- 
slique,  comportant  des  lois  numériques  approchées^  relatives  ^ 
des  moyennes,  et  dont  la  précision  absolue  est  impossible.  Lil:^  r< 
à  d  autres,  au  contraire,  de  regarder  notre  science  comme  «jl  ^r&e 
sorte  de  science  asjmptotique,  susceptible  d'être  toujours  pous^^  ^^ 
plus  loin,  de  puiser  dans  notre  connaissance  de  cinq  ou  six  cbiffi 
pour  quelques  nombres,  une  pleine  confiance  dans  la  détermi 
tion  de  l'infinité  des  chifi'res  qui  suivent,  et  de  triompher  cha 
fois  qu'on  fixera  une  décimale  de  plus. 

C'est  aff'aire  de  goût  ou  de  croyance,  mais  V agnosticisme        ^^sl 
ici  fort  raisonnable.  Tout  ce  qu'une  induction  valable,  tirée  ^" 

succès  de  la  Science,  permet  de  croire,  c'est  qu'il  est  possm  V-->'^ 
d'aller  plus  loin  que  le  point  où  nous  sommes  parvenus. 

Non  seulement  nous  ne  mesurons  les  choses  qu'imparfailem^?^  ^c^^% 
mais  même,  d'après  M.  Klein,  nous  ne  pouvons  imaginer 
objets  mêmes  de  la  Géométrie,  tels  qu'ils  sont  définis  rationne  ■  ^  ^' 
ment.  Chacun  sait  fort  bien  que  la  ligne  qu'il  dessine  n'est   gs:^^^ 
une  ligne,  qu'elle  a  une  certaine  épaisseur,  mais  quelque  épaiss^^  ^^ 
subsitcrait  même  dans  la  ligne  que  nous  imaginons.  Nous  t 
chions  tout  à  Theure  à  la  Métaphysique,  nous  voici  dans  la  Psjc 
logie.  Le  logicien  peut  bien  répondre  que  cette  épaisseur, 
détcnninée,  n'importe  pas,  puisqu'on  n'y  pense  pas,  et  il  est  \r' 
que  rintuilion  et  la  pure  raison  se  pénètrent  assez  pour  qu'il  ^ 
parfois  bien  difficile  de  les  distinguer  :  le  fait  signalé  par  M.  Kl 
n'en  a  pus  moins  son  importance;  au   surplus,  personne,  s 
doute,  ne  lui  prêtera  cette  opiuion  qu'il  soit  impossible,  en 
tant    dans   la   pure  Géométrie,    de  raisonner    avec  une    enti< 
rigueur:  c'est  sur  notre  impuissance  à  imaginer  les  choses  qi 
insiste. 

TiKite  cette  philosophie  n'est  pas  sans  conséquences  au  po 
de  \ue  des  Mathémutiques.  D'après  M.  Klein,  celles-ci  sont  s 
reptibles  île  deux  directions  bien  distinctes  :  dans  Tune  on  po 
>ni\ra  logiquement  el,  sans  y  rien  faire  intervenir  autre  chose  q 
ilos   lraii>lormalions   lo«:ii|ues,   les   conséquences   des   prémiss 
On  s't'llorcora  d'épuiser  ces  conséquences.  Dans  l'autre  on  s'arr 
lora  à  un  rorlain  ilet^ré  d'aj>proxinialion.  Il  ne  sera  point  questi 
ilo  la  Munmo  d'une  série,  mais  de  la  somme  d'un  certain  nomb 
lie  -«•-  iitiiii«>i.  l  no  courbe  ne  sera  pas  une  lii;ne  proprement  dit 


o- 


COMPTES   UENDUS   KT  ANALYSES.  189 

mais  une  bande  très  élroite,  une  surface  sera  1res  mince.  Une 
tangente  ne  sera  pas  la  limite  d^me  sécante;  elle  sera,  dans  une 
petite  mesure,  indéterminée;  elle  joindradeux  points,  voisins  sans 
doute,  mais  éloignés  relativement  à  Tépaisseur  de  la  bande.  Et  la 
petite  indétermination  qui  subsiste  dans  sa  direction  entraînera 
à  son  tour,  pour  la  courbe  qui  représenterait  la  variation  de  son 
coefficient  angulaire,  une  petite  é))aisseur. 

Une  courbe  de  celte  nature  ne  définira  pas  j/*  comme  une  fonc- 
tion de  X  au  sens  des  Mathémalhiques  exactes,  mais  bien  une 
bande  de  fonctions  dont  les  valeurs  restent  comprises  entre  des 
limites  très  rapprochées,  etc.  Les  Mathématiques  appliquées 
n'ont  affaire  qu'à  des  éléments  de  cette  nature. 

Les  deux  branches   des  Mathématiques,  tout  en  étant  essen- 
tiellement distinctes,  s'aident  mutuellement.  D'une  part,  les  Mathé* 
matiques  exactes,   au   moins  jusqu'ici,   sont   le  fondement   des 
mathématiques  approchées  :  c'est  elles  qui  fournissent  à  celles-ci 
les  formules  et  les  raisonnements  dont  elles  ont  besoin.  C'est  à 
elles  qu'appartient  la  solution  de  ce  problème  difficile  :  évaluer, 
u  après  les  limites  de  l'incertitude   des   données,   les  limites  de 
inexactitude  des  conséquences.  Sans  doute,  il  y  a  des   cas   où 
celle  recherche  ne  paraît  pas  bien  utile  :  M.  Klein  observe,  d'une 
•açon  assez  amusante,  que,  si  l'on  se  place  au  point  de  vue  de  l'art 
<ln  dessin,  il  ne  faut  pas  énoncer  le  théorème  sur  Xhexagramme 
cynique  comme  on  le  fait  d'habitude;  il  faut  dire  :  Lorsque  six 
points  sont  à  peu  près  situés  sur  une  conique,  les  trois  points  qui 
ï^sulient  de  la  construction  de  Pascal,  effectuée  avec  l'exactitude 
^oc  comportent  nos  instruments  de  dessin,  sont  à  peu  près  en 
ligne  droite  :  on  ne  s'avisera  probablement  pas  de  rechercher  la 
"mile  de  cette  incertitude,  quoique  la  question  soit  sans  doute 
incomparablement  plus  facile  que  les  problèmes  analogues  (mais 
•otreraent  intéressants)  qui  se  posent  en  Physique  ou  en  Aslro- 
tiomie.  En  supposant  que  l'incertitude  sur  la  loi  de  l'attraction 
tïniverselle  soit  de  l'ordre  de  grandeur  qui  semble  résulter  de  la 
^tique  des  observations,  pendant  combien  de  siècles  les  consé- 
t|nences  qu'on  en  tire  auront-elles  quelque  valeur?  Voilà  de  beaux 
Problèmes,  qu'on  n'est  pas  près  de  résoudre.  En  attendant,  l'étude 
^«•formules  approchées,  que  l'on  déduit  des  formules  exactes  et 
1^1  peuvent  être  substituées  à  celles-ci  dans  les  calculs  pratiques. 


i()o  PREMIÈRE   PARTIE. 

avec  un  ^rand  avantage  pour  la  rapidité,  ne  doit  pas  être  négligée: 
outre  leur  utilité,  ces  formules  peuvent  avoir  leur  beauté  propre: 
entre  autres  exemples  tirés  de  la  Géodésie,  M.  Klein  signale  U 
formule  donnée  par  Legendre  pour  la  substitution  d'un  triangle 
plan  à  un  petit  triangle  sphérique  tracé  sur  une  sphère  de  grand 
rayon. 

Si  le  développement  des  Mathématiques  exactes  importe  aoi- 
Mathématiques  approchées  et  appliquées,  celles-ci  n'importent 
pas  moins  à  celles-là.  Les  figures  et  les  modèles  donnent  unappvu 
solide  à  la  recherche  scientifique  pure,  et  permettent  de  Torienter; 
M.  Klein  insiste  avec  grande  force  sur  le  parti  qu'on  doit  en  tirer 
dans  la  recherche  et  dans  renseignement  :  les  dernières  leçons  de 
son  cours  sont  consacrées  à  la  description  d'une  suite  de  modèles, 
tirés  de  la  collection  de  M.  Brill. 

Ce  n^est  pas  seulement  ces  modèles  savants  qu'il  faut  étudier, 
il  faut  regarder  autour  de  soi  en  géomètre  et  interpréter  ses  obs^i^ 
valions;  c'est  la  meilleure  façon  de  nous  débarrasser  du  savoir 
scolastique;  certaines  voûlcs  architecturales,  un  vulgaire  para- 
pluie, fournissent  à  M.  Klein  Toccasion  de  montrer  des  surfaces 
quimetlenl  en  évidence  rincxactiludc  de  la  proposition 


Ox  Oy        Oy  ().r 

en  dehors  des  conditions  précises  que  Ton  sait.  D'un  autre  côt  ^j 
il  esl  certain  que  la  plupart  des  idées  qui  se  sont  affinées  et  pr~^' 
cisées  dans  les  Mathématiques  exactes  ont  leur  origine  dans  u 
intuition  plus  ou  moins  grossière  :  tell(.'  esl,  par  exemple,  la  noli 
de  continuité,  que  M.  Iviein  rattache  d'une  façon  ingénieuse  à  ^^ 
propriété  qu'ont  les  images  visuelles  de  s'absorber  et  de  se  co  *^' 
linucr  niuluellcnicut,  si  bien  que  nous  voyons  un  trait  continu  ** 
où  il  n^y  a  qu'une  suite  de  petites  taches  noires,  el  que  le  cinéir»  ^ 
tographe  nous  donne  l'illusion  d'un  mou vement  continu.  L'exemj::^  *' 
du  cinématographe  lui  donne  d'ailleurs  une  belle  occasion  de  je*-  ^ 
le  trouble  dans  l'âme  de  ses  auditeurs  :  la  continuité  des  phérm  o 
mènes  ne  serait-elle,  elle  aussi,  qu'une  apparence?  Après  cela^  ^ 
n'est  assurément  pas  la  peine  d'insister  sur  la  façon  dont  il  accc^  "ï*^ 
mode  la  doctrine  de  ceux  qui  veulent  que  l'Univers  puisse  lt  tr 
représenté  au  mojen  de  fonctions  analytiques,  de  ces  foucli  ^zyti 


COMPTES  RENDUS  KT  ANALYSES.  L91 

qui  soDt  entièrement  déterminées  par  Tun  de  leurs  éléments,  paor 
leors  valeurs  dans  un  intervalle  si  petit  qu'on  voudra,  voire  mène 
par  une  suite  dénombrable  de  nombres. 

Jaî  essayé,  tant  bien  que  mal,  de  caractériser  Tesprit  philoso- 
pbiquequi  domine  le  cours  de  M.  Klein  :  il  me  reste  à  en  résumer 
rapidement  le  contenu  mathématique  et  à  dégager  Tordre  des 
sujets  traités. 

Les    leçons  sont  divisées  en  deux  parties  distinctes  :   les  pre- 
mières se  rapportent  surtout  à  la  théorie  des  fonctions  de  variables 
réelles  et  à  leur  représentation  dans  un  système  de  coordonnées 
rectangulaires  ;  les  antres  ont  un  caractère  nettement  géométrique. 
Après  avoir  exposé,  d'une  part,  les  propositions  élémentaires 
concernant   les   ensembles   de    points,   la   notion    précise  d'une 
(onction  définie  dans  un  ensemble,  la  notion  précise  de  conti- 
nnilé,  des  quatre  dérivées  ;  d'autre  part,  le  caractère  des  courbes 
empiriques,  ce  que  Ton  peut  dire  de  leur  direction  ou  de  leur 
courbure,  il  insiste  avec  grand  détail  sur  le  célèbre  exemple,  dû  à 
Weierstrass,  d'une  fonction  continue  n'admettant  nulle  part  de 
dérivée.  Pour  donner  une  première  idée  de  la  fonction 


Il  =  « 


y  =  \  6*  co5«'»7car         (6  >  o,  a  entier  positif  impair), 


11  =  0 


il  dessine  avec  grand  soin  les  trois  premières  courbes  approchées 

^0=  COSTTX, 

r        . 

I         -  I  - 

^1=  cosrr  H —  rosoTTj:  -h  jCOsa'STrr, 

«lion  voit  ainsi  comment,  en  passant  de  l'une  à  l'autre,  le  trait 
M  complique  et  les  oscillations  se  multiplient.  La  démonstration 
"*l  uniformité  de  la  convergence  et,  par  suite,  de  la  continuité  de 
**  fonction  est  en  quelque  sorte  présentée  d'une  façon  concrète, 
«n  montrant  que  la  courbe  finale 


n  =  m 

cosa^rj: 

n=0 


7=2*" 


192  PUEMIÈUE  PARTIE. 

pourrait  être  enfermée  dans  une  bande  avoisinant  la  m'^*"*  coim  ^^ 
approchée 


n  —  m 


^;„=  2  ^"cosa^iiar, 


n  =  0 


bande  doni  IVpaisseur  serait  si  petite  qu'on  ne  pourrait  la  discer 
ner  avec  nos  plus  puissants  microscopes.  II  distingue  ensuite  les 

*i  IF     I     I 

nœuds  de  la  courbe  finale,  pour  lesquels  x -=  -^ — t{S  entier), 

et  qui  se  Irouvent  tous  siliiés  sur  la  {m  —  iy«"»e  courbe  approchée, 
à  cause  de  la  supposition,  faite  par  Weierslrass,  que  a  est  un  entier 
impair;  les  abscisses  des  nœuds  forment  un  ensemble  dense  par- 
tout. Sur  Taxe  des  x  il  distingue  de  même  les  i^enires,  c'est-à-dire 

les  points  dont  Tabscisse  est  de  la  forme  x  =  -  -  {g  entier)  et  pour 
lesquels  on  a 

le  point  dont  l'abscisse  est  de  la  forme  -^  sera  désigné  dans  ce 

qui  suit  comme  un  m**™''  venire. 

Soit  maintenant  Xq   une  abscisse  quelconque;  considérons  le 

^^iemr  yenlre  dont  Tabscisse  -'"  se  rapproche  le  plus  possible  de  x^^^ 
en  sorte  que  Ton  ait 

I  1 


2 


soient  x' ,  x"  les  abscisses  des  m*'""'*  ventres  qui  comprennent  ce 
dernier  venire,  en  sorte  (jue  Ton  ail,  )>()ur  la  courbe  finale. 


V  -  » 


/    -   y'm    ,--•  — n^'«A"'^/>\ 


V         X 


v"--/;,,  ,  -(- D^-zv^'V  ^*', 


V  ~n 


en  dé.sl^Mianl  par  ^>'^„_,,  }']„  ,  les  ordonnros  des  points  de  la 
{m  —  I  )""'»'  coui'he  approchée  donl  les  abscisses  sont  x\  x".  Si 
Ton   ap})clle  y^   rordonnéc  du   point  de   la    courbe    finale    donl 


COMPTES  liBNDUS  BT  ANALYSES.  198 

i'abscîsse  est  a:©,  et  si  l'on  pt>se,  pour  abréger,  Xm^i  =  a'^Xo  —  a»,, 
on  aura 

n  =  m  —  l 

y — ^0  _      V'     .cosa^fzx' — cosa"TzxQ 
x'  —  J^o  ~      ^  x' — ^0 

n  =  0 
v  =  «» 

(  __  ,  )a«^.  6'«-^v '/'±'  ; 

X  —  Xq 

v  =  o 

le  quotient  des  deux  différences  y' — ^o?  ^' — ^0  ^^l  ainsi  séparé 
en  deux  parties,  qui  se  rapportent,  Tune  à  la  {m  —  i^'^^e  courbe 
approchée,  l'autre  à  la  courbe  résiduelle,  dont  les  ordonnées  sont 
les  différences  entre  les  ordonnées  de  la  courbe  finale  et  de  la 
('W  — iy«"e  courbe  approchée.  En  remplaçant,  dans  la  première 
partie,  la  différence  de  cosinus  par  un  produit  de  sinus,  on  recon- 
^^it  sans  peine  que  cette  première  partie  oscille  entre  les  deux 
quantités 

n  =m —  1 


TT     "V     a»  6"  ; 


n  =  0 


1**^nt  à  la  seconde  parue,  elle  est  le  produit  de  ( —  \Yma^b^  par 
'•  somme  de  la  série  à  termes  positifs 


V=ao 

I  -h  co?'a'*r,x,„^\ 
v=o 


2 


^^^•^t  le  premier  terme  est  supérieur  ou  égal  à  -;  on  peut  donc 

•^'  ""  •^*»  =  (-  I  )^.na"^  b"^  r/  (  l  -4-      '' "" 


x' —  ^0  \3        ab  ^  y 


et 

de 

même 

x"- 

=  (-I)' 


3t...-Hl 


«"'*"'^''(|-^;ïfe) 


^n  n'a  plus  maintenant  qu'à  s'arranger  pour  que  les  parties  qui 
proviennent  de  la  (m  —  ly^^e  courbe  approchée  l'emportent  sur 
tes  parties  qui  proviennent  de  la  courbe  résiduelle  :  en  supposant 


194  PREMIËUË  PARTIE. 

al)>  \  -\-  -Tz,  on  pourra  écrire 

X         Xq 

^-^^"  =(-ir--^'«"'6,«/'™. 

ST  Xy 

P'm  ^^  Pm  <5l2int  des  nombres  positifs,  supérieurs  au  nombre  positif 

•À  ~ 

—  ^-^  ^■^-^^-^"—  • 

3        ab  —  \ 

En  faisant  croître  m  indéfiniment,  l'impossibilité  de  rexislence 
d'une  dérivée  pour  x  =^  Xq  est  évidente. 

Tout  cela,  le  lecteur  ne  Tignore  pas,  n'est  autre  chose  que  la 
démonstration  de  Weierslrass,  et  l'on  peut  estimer  qu'il  était 
inutile  de  reproduire  ici  cette  démonstration.  J'ai  tenu  cependant 
ù  résumer  la  façon  dont  M.  Klein  l'a  présentée,  afin  de  montrer 
comment  le  même  savant,  qui  expose  volontiers  une  théorie  d'une 
façon  très  large,  sait  entrer  dans  le  détail  lorsqu'il  le  veut,  et  faire 
pénétrer  ses  auditeurs  dans  le  fond  d'une  démonstration,  en  en 
éclairant  soigneusement  toutes  les  parties  :  encore  ai-je  dû,  dans 
ce  résumé,  supprimer  bien  des  explications  dont  aucune  n'était 
superflue  :  il  y  a  là  un  module  d'exposition  orale  dont  je  n'ai  pu 
donner,  dans  ce  qui  précrde,  qu'une  réduction  bien  imparfaite;  il 
V  a,  en  même  temps,  une  leron  d'un  autre  ordre;  il  semble  que  le 
maître  dise  à  ses  auditeurs  :  Quand  vous  étudiez  une  démonstration, 
ne  vous  conteniez  pas  de  ce  degré  d'intelligence  où  vous  êtes  forcés 
de  donner  votre  assentiment  à  chaque  partie  de  la  démonstration 
et,  par  suite,  à  la  conclusion  ;  il  faut  que  vous  vous  rendiez  compte 
du  ((  pour(]tioi  )>  de  chaque  partie,  de  la  place  (|u'elle  tient  dans  le 
tout;  Il  ne  suffît  pas  de  vous  assurer  de  la  solidité  de  chaque 
anneau;  il  vous  faut  le  connaître  en  lui-même,  savoir  comment  il 
se  rallache  aux  autres,  comuienl  la  chaîne  est  faite  de  ces  anneaux. 
Quatre  ou  cin(|  fois,  dans  la  suite  de  son  cours,  M.  Klein  s'est 
ainsi  arrêté  sur  des  points  particuliers  en  les  étudiant  à  fond.  Il 
est  clair  (ju'il  n'attache  pas  moins  d'importance  aux  éludes  de  ce 
genre  (ju'aux  idées  et  aux  théories  générales  qu'il  indique  à  grands 
traits;  en  même  temps  qu'il  fournit  à  ses  auditeurs  des  sujets  de 
réflexion  cl  de  travail,  il  leur  montre  comment  il  faul  travailler. 


COMPTES  RENDUS  ET  ANALYSES.  195 

SaDS  parler  du  travail  de  recherche,  il  est  clair  que  la  scieuce 
acquise  ainsi,  dans  les  livres  ou  les  Mémoires,  n'est  point  une 
science  «  livresque  »;  elle  appartient  vraiment  à  celui  qui  Ta 
acquise. 

Je  reviens,  en  m'excusant  de  cette  longue  digression,  à  la  suite 
des  idées  développées  par  M.  Klein. 

Après  avoir  donné,  avec  le  détail  qu'on  vient  de  dire,  l'exemple 
d^une  fonclion  continue  qui  n'admet  point  de  dérivée,  l'auteur 
introduit,  d'après  Jacobi,  l'expression  de  fonclion  raisonnable 
(yernûnftige  Function)  pour  les  fonctions  continues,  n'admet- 
UDt>  dans  un  intervalle  fini,  qu'un  nombre  fini  de  maxima  et  de 
minima,  admettant  enfin  au  moins  des  dérivées  première  et  se- 
conde. Le  problème  de  la  représentation  approchée  soit  d'une 
coarbe  empirique  par  une  fonction  «  raisonnable  »,  soit  d'une 
(onctioD  a  raisonnable  »  par  une  expression  analytique  simple,  lui 
donne  l'occasion  de  traiter  de  Tinlerpolation  soit  au  mojen  de 
polynômes,  soit  par  des  fonctions  trigonométriques;  il  insiste  sur 
la  considération  du  reste. 

La  série  de  Taylor  peut  être  regardée  comme  un  cas  particulier 
lies  formules  d'interpolation,  et  c'est  à  son  occasion  que  M.  Klein 
purle  des  fonctions  analytiques  et  qu'il  en  indique  les  caractères 
^entiels.  L'interpolation  trigonométrique  lui  donne  une  ouver- 
ture pour  parler  de  la  série  de  Fourier  :  il  se  contente  d'indiquer 
le  théorème  de  Lejeune  Dirichlel,  mais  il  insiste  sur  la  propriété 
<|Qale  développement  limité  de  représenter  le  mieux  possible  une 
fonction  donnée,  au  sens  de  la  théorie  des  moindres  carrés,  et  sur 
^  exemples  particuliers  qui  lui  permettent  d'introduire  d'une 
fiçon  claire  et  précise  la  notion  de  convergence  non  uniforme  :  il 
«onne  aussi  la  théorie  de  l'analyseur  de  Coradi.  Les  théories  qu'il 
Vient  de  développer  lui  fournissent  une  occasion  naturelle  de 
l^ler  des  recherches  de  TchebychelT. 
'  si  indiqué  plus  haut  l'étude  de  la  relation 


dx  dy       dy  dx  ' 


je  n  y  reviens  pas,  quoiqu'elle  soit  faite  d'une  façon  détaillée. 
*^  question  de  la  représentation  approchée  d'une  fonction  de 
^ux  variables,  aumoyen  de  fonctions  sphériques,  est  traitée  comme 


190  PHKMIÈUB  PAKTIK. 

une  généralisation  de  la  représentation  trigonométrique,  et  dans  \e 
même  sens  :  c'est-à-dire  que  M.  Klein  ne  développe  pas  les  pro- 
positions bien  connues  de  la  théorie  des  séries  de  fonctions  sphé- 
riques  :  il  s'arrête,  au  contraire,  avec  complaisance  sur  les  fonctions 
des  quatre  premiers  degrés,  de  manière  à  bien  en  faire  ressortir 
les  caractères  essentiels  et  à  faire  saisir  ce  que  les  géomètres 
anglais  appellent  fonctions  sphériques  zonales,  vectorielles  ou 
lessérales.  Il  signale  avec  quelques  détails  la  célèbre  application 
numérique  que  Gauss  a  faite  des  fonctions  sphériques  à  la  théorie 
du  Magnétisme  terrestre. 

Dans  la  seconde  Partie,  Pétude  des  figures  que  Ton  déduit  de 
deux,  trois  ou  quatre  cercles  en  soumettant  ces  cercles  à  une  suite 
d'inversions  par  rapport  à  l'un  ou  à  Tautre  d*entre  eux  et  en  pour- 
suivant indéfiniment  la  composition  des  inversions,  occupe  une 
place  assez  considérable  et  donne  lieu  à  une  suite  de  remarques 
très  instructives  :  on  sait  que  les  études  de  ce  genre  touchent  à  des 
domaines  très  divers;  M.  Klein  ne  manque  pas  de  rappeler,  en 
passant,  le  rôle  qu'elles  tiennent  dans  la  théorie  de  Télectricité.  Le 
cas  de  trois  cercles  qui  ne  se  coupent  pas  lui  fournit,  par  la  consi- 
dération despoints  limites,  un  bel  exemple  d'un  ensemble  de  points 
qui  est  parfaitet  qui  n'est  dense  nulle  part.  Le  cas  de  trois  cercles  doni 
chacun  est  tangent  au  précédent  et  au  suivant  se  rattache,  comme 
on  sait,  à  la  théorie  des  fonctions  modulaires.  Le  cas  de  quatre 
cercles  dont  chacun  est  langent  à  celui  qui  le  précède  et  qui  le 
suit  lui  donne,  dans  Tensemble  des  points  de  contact  des  cercles 
successifs  et  des  points  d'accumulation  de  cet  ensemble,  un  exemple 
d'une  courbe  non  analytique  admettant  une  tangente  en  chaque 
point  (*^,  et  séparant  le  plan  en  deux  parties,  l'une  intérieure, 
Tiiutre  extérieure.  On  voit  combien  la  matière,  qui  appartient 
d'ailleurs,  si  Ton  veut,  à  la  théorie  des  fonctions  automorphes. 
est  riche.  M.  Klein  a  traité  avec  détail  les  points  particu- 
liers dont  il  s'est  occupé,  et  on  lira  avec  un  vif  intérêt  les  pages 
consacrées  à  ce  beau  sujet,  où  il  a  fait  ressortir,  d'une  part,  le 
rôle  que  se  trouvent  jouer  en  lîoomêtrie  des  spéculations  qui  sem- 
blaient,  par  la  fa^^iui  dont  olle>  se  sont   présentées,   ré>ervées  à 


V  ■  '  y  M  dil.  par  erreur,  le  CiMUr.nre.  en  f.usanl  allusion  à  celle  cr-urbe.  lorsque 
j'ui  rendu  vompie.  dans  le  Hulietir».  des  Ledurts  lie  Chiciij:o,  l.  W,  p.  aay. 


COMPTES  RENDUS  ET  ANALYSES.  197 

rAoaljse,  et,  d'autre  part,  Taide  que  la  Géométrie  peut  apporter 
à  ces  spéculations. 

Naturellement  nous  sommes  ici  en  plein  dans  les  Mathéma- 
tiques de  précision;  les  exemples  mêmes  qu'a  signalés  M.  Klein 
montrent  assez  la  nécessité  de  se  défier  des  intuitions  naïves  et  de 
soumettre  les  concepts  de  la  Géométrie,  celui  de  courbe,  en  parti- 
culier,  à  la  critique  d'une  logique  affinée.  L'auteur  développe  la 
notion  de  continuum,  au  sens  de  Weierstrass  :  il  traite  de  la 
courbe  de  M.  Peano,  qui  remplit  tout  un  carré.  Cette  courbe,  qui 
est,  en  quelque  sorte,  un  fouillis  de  points  doubles,  montre  de  la 
façon  la  plus  claire  la  nécessité  d'imposer  aux  fonctions  cp(^),  ^(^) 
une  autre  condition  que  celle  de  la  continuité  pour  pouvoir  dire 
que  l'ensemble  des  points  dont  les  coordonnés  sont  cp(^),  ^{t) 
constitue  quelque  chose  qui  ressemble  à  l'idée  vulgaire  que  l'on 
se  fait  d'une  courbe.  On  doit  à  M.  Jordan  d'avoir  apporté  une 
l'éponse  d'une  nature  positive  à  la  question  ainsi  posée  en  mon- 
trant qu'une  courbe  fermée  sans  point  double  sépare  le  plan  en 
deux  régions,  l'une  intérieure,  l'autre  extérieure  à  la  courbe  :  Une 
telle  courbe  est  définie  comme  l'ensemble   des  points  dont  les 
coordonnées  x^  y  s'expriment  dans   Tintervalle  (a,  b)  par  les 
fonctions   ç(^),  ^(^)  continues   dans   cet  intervalle,   telles   que 
''on  ail 

ç(a)  =  o(6),         ^{a)  =  ^^b), 
et  telles  enfin  que  les  équations 

^^    soient  vérifiées    par    aucun    autre   système   de  valeurs  dis- 
^*ticies/,  /',  appartenant  à  l'intervalle  (a,  6),  que  le  système  (a,  b), 
"I*  Klein  donne  aux  courbes  ainsi  définies  le  nom  de  courbes  de 
^ow^dan,  La  courbe  des  points  de  contact,  dont  il  a  été  question 
plus  haut  dans  la  figure  qui  a  pour  origine  quatre  cercles  dont 
chacun  touche  le  précédent  et  le  suivant,  est  une   courbe  de 
J^ordan.  M.  Klein  expose  ensuite  comment  la  notion  de  courbe  se 
particularise  et  distingue  successivement  les  courbes  régulières, 
c|ui  correspondent  à  peu  près  aux  fonctions  raisonnables  définies 
plus  haut,  les  courbes  analytiques,  algébriques,  rationnelles.  Signa- 
lons la  définition  géométrique  des  courbes  algébriques,  comme 


198  PREMIÈRE  PARTIE. 

pouvant  être   engendrées  par  un   mécanisme  formé  ( 
articulées. 

  ces  considérations  purement  théoriques  s'opposent  e 
sorte  plusieurs  leçons  consacrées  à  la  Géodésie  et  au  dess 
trique.  Le  problème  de  Pothenot  et,  plus  particulièri 
degré  de  précision  que  comporte  sa  solution,  les  lign< 
siques,  la  forme  du  géoïde  sont  l'objet  de  remarques 
ressantes.  L'auteur  rattache  à  quelques  considérations  in 
sur  les  conclusions  que  Ton  peut  tirer  de  la  forme  d*ui 
empirique  sur  la  courbe  idéale  qu'on  cherche  à  lui  sul 
développement  de  ses  belles  recherches  sur  le  nombre 
d'inflexion  réels  et  de  tangentes  doubles  réelles  dans  u 
algébrique  générale  d'ordre  /i.  Si  léger  que  soit  le  lien  qii 
les  deux  sujets,  cette  exposition  détaillée,  où  Ton  voi 
qu'un  géomètre  habile  peut  tirer  de  l'intuition  et  de  la 
continuité  sera  certainement  lue  avec  grand  profit.  Enfin 
termine  ses  leçons  en  parlant  de  l'appui  que  Ton  tr< 
le  dessins  et  les  modèles  pour  les  recherches  théori 
description  de  quelques  modèles  est  l'occasion  d'une 
digression  sur  la  surface  du  troisième  degré,  par  laquelle 
ses  lerons. 


CLAIRIN  (Jean).  —  Sur  les  transformations  de  Baecklund. 
(loclorat  présenléo  à  la  Faculté  des  Sciences  de  Paris.)  ln-4"'  d 
Paris,  Gaulhier-Villars,  1902. 

LVtudc  de  la  célùbre  transformation  de  l^place,  re 
équations  linéaires  du  second  ordre  aux  dérivées  partie 
le  point  de  départ  d'un  grand  nombre  de  recherches 
auteurs  se  sont  proposé  de  rattacher  Tune  à  l'autre,  par 
formations  plus  ou  moins  simples,  Tinlégration  de  d< 
lions  aux  dérivées  partielles  du  second  ordre.  Parmi  I 
récents  de  celte  nature  il  faut  citer  ceux  dus  à  M.  Baeck 

Le  Travail  de  M.  Clairin  a  pour  objet  de  systémaliseï 
théorie   ces    transformations,    l/auteur  commence    par 


COMPTES  KENDUS  ET  ANALYSES.  199 

les  résultais  obtenus  par  M.  Baecklund,  qui  peuvent  s'énoncer 
aiosi  : 

Étant    donnés    deux   systèmes    d^éléments    (x, y^  z^ p^q), 
{J^y^ t  ^\p\  q^)^  entre  lesquels  on  établit  quatre  relations  dis- 
tinctes  ©1=0   («  =  i,2,  3,4)î    quelles  surfaces  faut-il  faire 
décrire  à  l'élément  (Xjy,  z,p^q)  pour  quUl  lui  corresponde 
une  autre  surface  décrite  par  Vêlement  {x^y^  z'^  />',  y')? 

Eq  général,  si  les  relations  données  cp/=:o  sont  quelconques, 
ces  surfaces  sont  données  par  les  intégrales  communes  à  deux  équa- 
tions aux  dérivées  partielles  du  troisième  ordre;  mais,  pour  cer- 
taines formes  des  fonctions  '^0  ce  système  de  deux  équations  est 
remplacé  par  une  équation  unique  du  second  ordre,  de  Monge- 
Ampère. 

M.  Clairin  complète  le  résultat  précédent  en  établissant  qu'une 
équation  de  Monge-Ampère  ne  provient  pas  d'une  transformation 
telle  que  la  précédente. 

Si  les  surfaces  décrites   par  l'élément   {x\y^z\p^,q')    sont 

aussi  les  intégrales  d'une  équation  du  second  ordre,  les  relations 

Çi=o   établissent,  entre  deux  équations  du  second  ordre,  une 

liaison  telle  que  l'intégration  de  Tune  d'elles  entraîne  l'intégration 

deTautre.  L'auteur  est  ainsi  conduite  considérer  trois  classes  de 

transformations  (B|),  (Ba),  (B3)  suivant  que,  à  toute  intégrale  de 

lune  déciles,  correspondent  une  seule  intégrale  de  l'autre  équation 

OQ  une  infinité  d'intégrales.  Après  avoir  donné  des  exemples  des 

trois  catégories,  il  approfondit  la  liaison  entre  les  caractéristiques 

des  deux  équations. 

Les  transformations  (B|)  sont  celles  qui  se  rapprochent  le  plus 
delà  transformation  de  Laplace,  et  leur  étude  offrait  un  intérêt 
parlicnlier.  En  ce  qui  les  concerne,  M.  Clairin  arrive  à  un  résul- 
^^  très  net.  Si,  d'une  équation  (e),  possédant  un  système  de 
caraciéristiquesdu  premier  ordre,  on  peut  déduire,  par  une  trans- 
formation (B|)  correspondant  à  ce  système  de  caractéristiques, 
^ne  équation  (c'),  toutes  les  équations  que  Ton  peut  déduire 
"^  («)  de  la  même  façon  se  ramènent  à  [e')  par  des  transformations 
^c  contact.  Si  l'on  ne  regarde  pas  comme  distinctes  deux  équa- 
"ons  qui  ^^  ramènent  l'une  à  l'autre  par  une  transformation  de 


I 


200  PREMIÈRE   PARTIE. 

conlact,  on  voit  que,  à  tout  système  de  caractéristiques  du  | 
mier  ordre,  correspond  au  plus  une  transformation  (B|),  et 
seules  équations  pouvant  admettre  deux  transformations (B|) 
tinctes  sont  nécessairement  des  équations  de  Monge-Âmpère. 

La  recherche  de  ces  transformations,  pour  une  équation 
Monge-Ampère  donnée,  est  ramenée  à  la  déterminatioo 
quatre  intégrales  d'une  équation  linéaire  du  premier  ordre,  I 
par  deux  relations  d'une  forme  assez  compliquée.  M.  Clairin  poi 
les  calculs  jusqu'au  bout  dans  le  cas  particulier  où  l'un  des 
tèmes  de  caractéristiques  admet  une  combinaison  intégrable 
premier  ordre  qui  se  retrouve  dans  l'équation  transformée 
déduit  enfin  comme  application  toutes  les  équations  de  Moi 
Ampère,  pour  lesquelles  les  équations  difTérentielles  de  l'un 
systèmes  de  caractéristiques  admettent  une  combinaison  intégr 
du  premier  ordre  et  une  du  second  ordre. 

Il  termine  cet  intéressant  travail  par  l'étude  d'une  transfor 
tion  particulière  (B3)  de  M.  Baecklund  qui  a  figuré  dans  ce  1 
letin  (t.  XXIV,  1900,  p.  284).  Un  système  de  deux  élément 
premier  ordre  {x^  y^  5,/>,  </),  (^r',  y\  z'j  /?',  q^)  admet  quatre  ii 
riants  relativement  au  groupe  des  mouvements  dans  l'espace 
égalant  ces  invariants  à  des  constantes,  on  obtient  les  équat 
de  la  transformation  qui  s'applique  à  des  surfaces  parallèles 
des  surfaces  à  courbure  totale  constante,  étudiée  par  M.  Darb< 
M.  Clairin  montre  qu'il  existe  une  transformation  analogue  ( 
la  Géométrie  non  euclidienne.  Il  emploie  pour  cela  une  métJ 
analogue  à  celle  de  M.  Darboux  et  en  profite  pour  rappeler,  ( 
min  faisant,  la  manière  élégante  dont  ce  géomètre  a  démontrt 
théorèmes  trouvés  par  M.  Baecklund.  E.  E. 


MÉLANGES.  aoi 


MÉLANGES. 


TitSES  DE  SCIENCES  MATHfMATIQUES  SOUTENUES  DEVANT  LA  FACULTÉ 
BC8  SCIENCES  DE  PARIS  ET  DEVANT  LES  FACULTÉS  DES  SCIENCES  DES 
DÉPARTEMENTS  DANS  LE  COURANT  DU  XIX*  SIÈCLE. 

Dans  le  numéro  de  février  de  ce  Bulletin,  page  3o,  nous  avons 
signalé  â  nos  lecteurs  une  bibliographie  intéressante,  établie  par 
M.  Eslâ^nave,  ajantpour  titre  :  Revue  décennale  des  Thèses  pré- 
sentées CL  la  Faculté  des  Sciences  de  Paris  du  i^^  janvier  1891 
au  3i  décembre  1900.  Ce  recueil  contient  l'indication  de  347  Mé- 
moires  dont  63  de  Sciences  mathématiques. 

M.  Elstanave  a  bien  voulu  établir  le  relevé  de  thèses  de  Sciences 
mathématiques  que  nous  publions  ci-dessous  et  qui  comprend 
toutes  c^elles  qui  ont  été  soutenues  devant  les  Facultés  des  Sciences 
de  Paris  et  des  départements  pendant  le  xix*  siècle  ('). 

Faculté  des  Sciences  de  Paris. 


1811  (9  mars). 

^CBDON  (P.-L.-M.).  —  Le  mouvement  d'un  corps  solide,  sollicité  par 
<k8  forces  accélératrices  quelconques,  et  assujetti  à  tourner  autour  d'un 
point  fixe. 

"^  Théorie  du  mouvement  elliptique  des  planètes,  suivie  du  principe  de 
la  gravitation  universelle,  et  de  son  application  à  la  détermination  des 
nasses  de  quelques  planètes. 

1811  (23  novembre). 

WKBCRE  DE  FouRCY  (L.-E.).  —  Ëquations  générales  du  mouvement  des 
oïdes  et  application  de  ces  équations  à  la  théorie  du  son. 

~~  Oe  l'attraction  des  sphéroïdes  et  de  la  figure  des  planètes. 

)  PoQr  les  indications  bibliographiques  de  ces  Mémoires,  nous  renvoyons  le 
p  au    Catalogue  de  Thèses  de  M.  Maire  jusqu'en  1890  et  à  la  Revue  en 
*®o  de  M.  Estanave  pour  ceux  postérieurs  à  1890. 

^^s  Sciences  mathéni.,  a*  série,  t.  XXVI.  (Juillet  1902.)  i4 


uo'i  PREMIÈRE  PARTIE. 

1811  (3o  novembre). 

Petit  (A  .-T.).  —  Théorie  mathématique  de  l'action  capillaire. 

—  La  théorie  des  réfractions  atmosphériques. 

1815  (28  juin). 

RoDRiGUES  (B.-O.).  —  De  Tattraction  des  sphéroïdes  servant  de  prélimi- 
naire à  celle  de  la  fîgure  des  planètes. 

—  Mouvement  de  rotation  d'un  corps  de  révolution  pesant. 

1817  (3o  juin). 

Gautier  (J.-A.).  —  Sur  quelques  points  de  la  théorie  de  la  Lune  et  des 
planètes. 

—  Sur  la  variation  des  constantes  arbitraires  dans  le  problème  du  mou- 
vement de  translation  d'un  système  de  corps  pesants,  et  des  planètes  en 
particulier. 

18â3  (26  juillet). 

Zatepllisky  (P.-A.).  —  Des  inégalités  périodiques  des  mouvements  cé- 
lestes. 

—  Du  mouvement  d'un  système  de  corps  soumis  à  leur  attraction 
mutuelle. 

18â4  (.2G  juillet». 

Verron-Vermer  (J.-ll.».  —  De  la  distribution  de  l'électricité  à  la  sur- 
face des  conducteurs. 

—  Figures  des  planèle>. 

18:î;)  I  -il  mai  -. 

l»oiMVKo\v>EY  'V.-J.».  —  Sur  le  mouvement  de  ri»lalioii.  dans  un  milieu 
ri<i^i.iiit.  «l'un  s\^iènie  de  plans  il'une  épaisseur  constante  et  d'un  C(»ntt>iir 
ilrliTMimc,  autour  d'un  a\e  incliné,  par  rapport  à  l'horizon.  —  Oélermi- 
natioii  du  ra\on  vecteur  «lanT»  le  niouxenienl  elliptique  de<  planète^. 

—  ^i■»pa^ali»•n  »le  la  chaleur  ilan<  rintèrieui  Jc^  corp<  soliiles. 


MÉLANGES.  2o3 

18        28  juin). 

Qu^miET  (J.-J.).  —  Traité  analytique  de  l'attraction  des  sphéroïdes  ellip- 
tiqu^j»    homogènes. 

—     .^L.stronomie  nautique.  La  détermination  de  la  position  d'un  observa- 
teur   &    la  mer. 

1829  (17  février). 

i^OT  (A. -A.).  —  Mémoire  sur  le  mouvement  d'un  corps  rigide  sou- 
tenu psr  un  plan  fixe. 

—   De  la  figure  des  corps  célestes. 

1830(25  août). 

0!;iOT  (A.-M.-A.).  —  Sur  la  propagation  de  la  chaleur  dans  l'intérieur 
des  corps  solides. 

--  l-**attraction  des  sphéroïdes  elliptiques. 

"  Sur  la  figure  qui  convient  à  l'équilibre  d'une  masse  (luide  animée 
il'oD  mouvement  de  rotation,  dans  le  seul  sens  de  l'homogénéité. 

1831  (i3  juillet). 

GviBERT  (A.-P.-M.).  —  Propriétés  générales  de  l'équilibre  d'un  système 
de  corps.  Propriétés  générales  du  mouvement  d'un  système  de  corps. 

—  Solution,  par  les  séries,  du  problème  de  Kepler,  et  détermination  des 
coordonnées  d'une  planète,  en  supposant  très  petites  son  excentricité  et 
f'inciioaison  de  son  orbite. 

1831  (26  août). 

DBSKOSiBfis  (E.-L.-G.).  —  Formules  sur  le  mouvement  des  fluides  élas- 
tiques. 

—  Mouvement  d'un  système  de  corps  soumis  à  leurs  attractions  mutuelles 
supposées  proportionnelles  aux  masses  et,  réciproquement,  aux  carrés  des 
distances. 

1832  (i3  août). 

BiGOiTMDAN  (,E.).  —  Équation  de  la  surface  capillaire. 
—  Composition  intérieure  des  fluides. 
— *  Sur  les  éléments  d'un  sphéroïde. 


io4  PREMIÈRE  PARTIE. 

1834  (19  février). 

Duhamel  (J.-M.-G.)-  —  Théorie  mathématique  de  la  chaleur. 

—  De  rinflucncc  du  double  mouvement  des  planètes  sur  les  tempéra- 
turcs  de  leurs  diiïércnts  points. 

1834  (8  août). 

Olivikr(T.).  —  Recherches  géométriques  sur  les  centres  de  courbure  des 
épicycloïdcs  planes  et  sphériques,  et  les  développantes  sphériques;  sur  les 
rayons  de  courbure  des  courbes  et  surfaces  du  second  ordre,  avec  des  appli- 
cations aux  engrenages. 

—  Des  éclipses  de  Soleil.  Constructions  graphiques. 

1836  (i5  janvier). 

LiovviLLE  (J.).  —  Sur  le  développement  des  fonctions  ou  parties  de  fonc- 
tions en  séries  de  sinus  et  de  cosinus,  dont  on  fait  usage  dans  un  grand 
nombre  de  questions  de  Mécanique  et  de  Physique. 

Sur  la  figure  d*une  niasse  tluide  homogène  en  équilibre  et  douée  d'un 
mouvement  de  rotation. 

I83(»  l 'iG  marsk 

Petit  vJ--M.-A.-K.K  —  Calcul  de  Teflet  des  machines  en  mouvement. 
Application  du  principe  des  forces  \i\es. 

—  .Mouvement  de  la  Terre  autour  de  son  centre  de  gravité. 

l«^iT     I  i  .nril  k 

Chevkt  ^V.-M.-F.».  —  Attraclîon  d'un  ellipsoïde  homogène. 

—  Perturbations  ilu  mouvement  elliptique  des  comètes. 

IS:»T     V»  août 

MoiiNS    l  .-T.  ll.~\.  .     -  Sur  le  mv»u\omfiU  «les  corps  dottanis. 
Sur  i.i  fi  cure  ih*  I,»  Ter^e 


MÉLANGES.  2o5 

1838  (24  décembre). 

Lamoqub  (F.-R.-N.).  —  Sur  la  distribution  de  la  chaleur  dans  une  couche 
sphérique  homogène. 

—  Sur  les  réfractions  astronomiques. 

1839  (9  avril). 

Bertrand  (J.-L.-F.).  —  Sur  la  théorie  des  phénomènes   thermo-méca- 
oiques. 

—  Sur  la  distribution  de  Féleclricité  à  la  surface  des  corps. 

—  Sur  l'attraction  des  sphéroïdes. 

1839  (24  juin). 

Blavette  (G. -A.).  —  Sur  les  mouvements  vibratoires  d'une  verge  élas- 
tique. 

—  Mouvement  elliptique  des  planètes  et   altération  de  ce   mouvement 
causé  par  des  forces  perturbatrices. 

1839  (9.  juillet). 

QcBT  (J.-A.).  —  Sur  les  mouvements  oscillatoires  des  corps  flottants. 

—  Sur  le  flux  de  la  mer. 

1839  ('25  septembre). 

Vasnibr  (C.-F.).  —  Attraction  et  figure  des  planètes. 

—  Théorie  des  perturbations  des  mouvements  planétaires. 

1840  (3r  janvier). 

Foi'RESTET  (J.-B.).  —  Sur  la  détermination  des  orbites  des  comètes. 

—  Mouvement  de  la  chaleur  dans  une  sphère  et  application  aux  tempé- 
ratures terrestres. 

18i0  (août). 

So7fXBT(M.-L.-J.-H.).   — Sur  les  vibrations  longitudinales   des  verges 
élastiques. 

—  Sur  le  mouvement  relatif  des  étoiles  doubles. 


!Eo6  PREMIÈRE  PARTIE. 


1840  (2  septembre). 

Vieille  (J.-M.-L.  ).  —  Du  mouvement  de  la  Lune  autour  de  son  centre 
de  gravité. 

—  De  la  variation  des  constantes  arbitraires  dans  les  questions  de  Mé- 
canique. 

1840  (16  septembre). 

BoDRDONNAT-DucLÉsio  (P.-M.).  ~  Sur  la  distribution  de  rélectricîté  à  la 
surface  des  corps  conducteurs. 

—  Règle  pour  reconnaître,  a  priori^  si  une  fonction  d'une  variable  réelle 
ou  imaginaire  peut  se  développer  en  série  convergente,  ordonnée  suivant 
les  puissances  ascendantes  de  cette  variable.  Moyen  d*en  déduire  la  condi- 
tion pour  que  le  rayon  vecteur  de  Torbite  d'une  planète  soit  développable 
en  série  convergente  suivant  les  puissances  ascendantes  de  son  excentricité. 

1840  (20  novembre). 

BoRGNET  (A.-L.-J.).  —  De  l'attraction  d'un  ellipsoïde  homogène  sur 
un  point  matériel,  d'après  la  loi  de  l'action  des  molécules  entre  elles,  en 
raison  inverse  du  carré  de  la  distance. 

1840  (4  décembre). 

Blanchet  (P. -H.).  —  Sur  la  propagation  et  la  polarisation  du  mouve- 
ment dans  un  milieu  élastique  indéfini  cristallisé  d'une  manière  quelconque. 

—  Sur  l'application  de  la  variation  des  constantes  à  la  recherche  des 
équations  diiïérenticlles  des  perturbations  planétaires. 

1841  (i5  avril). 

Catalan  (E.-C).  —  Attraction  d'un  ellipsoïde  homogène  sur  un  point 
extérieur  ou  sur  un  point  intérieur. 

—  Sur  le  mouvement  des  étoiles  doubles. 


1841  (19  avril). 

Dëlaunay  (G.-E.).  —    Distinction  des  maxima  et  des  minima  dans  les 
questions  qui  dépcnrlent  de  la  méthode  des  variations. 

—  Mouvement  de  la  Terre  autour  de  son  centre  de  gravité. 


MÉLANGES.  ^07 


lail  (ai  août). 

Pl'1skux(  V.-A.).  —  Sur  rinvariabilité  des  grands  axes  des  orbites  des 
planètes. 

—  Sur  rintégration  des  équations  du  mouvement  d'un  système  de  points 
matériels. 

1842  (3i  mars). 

Briox  (G.-A.).  —  Sur  le  mouvement  d'un  corps  solide  autour  d'un  point 
fiie. 

—  Mouvement  des  planètes,  en  tenant  compte  des  actions  réciproques 
des  planètes  les  unes  sur  les  autres. 


i8i2(i3  juillet). 

Ghoquet  (C.-A.).  —  Sur  les   variations   séculaires    des    éléments    des 
planètes. 

—    Sur  les  équations  de  l'équilibre  et  des  mouvements  moléculaires  des 
corps  solides  élastiques. 

1843  (i4  février). 

Gasoheau  (G.).  —  Mouvements  relatifs  d'un  système  de  corps. 
"^    Sur  deux  cas  particuliers  du  problème  des  trois  corps. 

1843  (3i  juillet). 

*-*CAi>LAiN  (J.-C.).  —  Sur  la  résistance  de  l'éther  au  mouvement  des  pla- 
nètes. 

'       Sur  l'attraction  des  sphéroïdes. 

1843  (8  août). 

»^OL.tiEH  (G.).  —  Sur  la  figure  permanente  d'une  masse  fluide  homogène, 

•ttinaée  d'un  mouvement  de  rotation  uniforme  autour  d'un  axe  passant  par 

^^  centre  de  gravité,  et  abandonnée  à  l'attraction   newtonicnne    de   ses 

P*tics.  En  particulier,  sur  les  figures  elliptiques  à  3  axes  inégaux  ou  de 

évolution  qui  peuvent  convenir  à  l'équilibre  de  cette  masse. 

Sur  les  réfractions  astronomiques. 


'20S 


PKEMIËRE  PARTIE. 


1843  (a4  août). 
Bouquet  (J.-C).  —  Sur  les  variations  des  intégrales  doubles. 

1843  (i6  novembre). 

GiRAULT  (G. -F.).  —  Sur  les  variations  des  éléments  des  orbites  des 
planètes. 

—  Sur  le  mouvement  de  trois  corps. 

1841  (19  août). 

Peslix  (II.-L.-J.).  —  Attraction  des  corps  quelconques  et  en  cas  parti- 
culier des  ellipsoïdes  homogènes  et  hétérogènes,  et  des  sphéroïdes  qui 
différent  peu  de  la  sphère.  Figure  des  planètes  et  pesanteur  à  leur  surface. 

—  Sur  l'intégration  des  équations  différentielles  de  la  D)^amique. 

1814  (1:3  octobre). 

Banet  (L.-.V.).  —  Mouvement  de  la  chaleur  dans  une  sphère  homogène. 

—  Perturbations  dans  les  mouvements  des  comètes  dues  à  la  résistance 
de  Téther. 

184r>  (10  décembre). 

ViciiiKn  (H. -P.).  —  K\lension  des  principales  formules  de  la  Dynamique 
à  des  équations  différentielles  d'ordre  supérieur  au  second. 

—  Théorie  de  la  variation  des  constantes  arbitraires,  et  indication  de  ses 
usages  pour  le  caleul  (hrs  formules  générales  qui  donnent  les  \ariations 
des  éléments  dt*  rotation  dos  planètes. 


1845  {'2\  décembre). 

Tarmer  (11). -A.).  —  Solution,  par  les  séries,  du  problème  de  Kepler,  et 
déterminai  ion  des  coordonnées  d'une  planète,  en  supposant  très  petites 
son  excentricité  et  Tinclinaison  du  plan  de  son  orbite,  expression  de  Pano- 
malie  excentrique,  du  rayon  vecteur  et  de  l'équation  du  centre,  au  moyen 
(le  séries  ordonnées  suivant  les  sinus  et  les  cosinus  linéaires  des  multiples 
erois>ants  de  l'anomalie  moyenne.  Terme  général  des  coefficients  de  ces 
M''rie>  exprimé  en  fonction  d'une  indéterminée  m  et  de  l'excentricité  e.  Le 
S(deil  e>t  supposé  fixe,  et  la  trajectoire  une  ellipse  rigoureuse. 

—   Sur  la  trajectoire  des  planètes  et  des  comètes  dans  un  milieu  résistant. 


MÉLANGES.  209 


1847  (3  novembre). 

(  J.-A.)*  —  Sur  le  mouvemenl  d'un  point  matériel  attiré  par  deux 
centres  fixes,  en  raison  inverse  du  carré  des  distances. 

—  Sur  la  détermination  de  la  figure  des  corps  célestes. 


1848  (i3  mars). 

Roger  (E.-L.).  —  Sur  les  brachystochrones. 

—  Sur  un  cas  particulier  du  problénve  des  trois  corps. 

1848  n  avril). 

Oesboves  (A.).  —  Sur  le  mouvement  d*un  point  matériel  attiré  en  raison 
inverse  du  carré  des  distances  par  deux  centres  mobiles  suivant  une 
certaine  loi. 

—  Sur  les  perturbations  planétaires. 

1849  (22  mars). 

Phii^ips  (E.).  —  Sur  les  changements  instantanés  de  vitesse  qui  ont  eu 
lieu  dans  un  système  de  points  matériels. 

—  Application  de  la  méthode  de  la  variation  des  constantes  arbitraires 
à  la  détermination  des  perturbations  des  planètes. 

1849  (20  octobre). 

OiEU  (T.-D.).  —  Sur  la  propagation  du  son  dans  un  milieu  indéfini 
homogèoe  dans  Tétat  d'équilibre. 

—  Sur  les  réfractions  astronomiques. 

1849  (24  décembre). 
SoL'FFLET  (J.-M.).  —  Sur  les  surfaces. 

1851  (P'mai). 

FBO?nrBmA  (G.-J.-A.).  —  Sur  une  surface  de  Cauchy. 

—  S nr  l'attraction  des  corps  en  général. 


aïo  PREMIÈRE  PARTIE. 

1852  (3o  mars). 

Alquibr  (F.-G.-A.).  —  Sur  TaUractioD. 

—  Sur  la  distribution  de  réiectricité  sur  deux  sphères  conducCx-i 
mises  en  présence. 

1852  (5  avril). 

TissoT  (N.-A.).  —  Mouvement   d'un  point  matériel    pesant  sur 
sphère. 

—  Sur  la  détermination  des  orbites  des  planètes  et  des  comètes. 

1852  (17  mai). 

BouRGET  (E.-M.-J.).  —  Attraction  des  paraboloïdes  elliptiques. 

—  Variations  des  constantes  arbitraires  dans  les  problèmes  de  la  A^ 
nique  céleste. 

1852  (2  août). 

Bonnet  (P.-O.).  —  Sur  le  développement  des  fonctions  en  séries  0  ri 
nées  suivant  les  fonctions  X»  et  Y^. 

—  Sur  la  théorie  mathématique  des  cartes  géographiques. 

1853  (1 3  juin). 

Lefébure  (A.).  —  Sur  le  mouvement  des  sphères  sur  un  plan. 

—  Sur  le  mouvement  elliptique  des  astres. 

1853  (4  juillet). 

Garlin-Soulandre  (J.).  —  Sur  les  surfaces  isothermes  et  orthogo*^* 

—  Sur  les  mouvements  apparents. 

1853  (8  juillet). 

RoDRiGiES  DE  Passos  (J.-A.).  —  Sur  le  détail  relatif  à  la  découverte 
Newton  (attraction). 

—  Sur  les  séries  par  lesquelles  ont  résout  le  problème  de  Kepler,  < 
consiste  a  trouver  l'anomalie  vraie  ainsi  que  le  rayon  vecteur  de  rorl» 
en  fonction  de  l'anomalie  moyenne. 


MÉLANGES.  211 


Ifôi  (26  juin). 

Lapon  (A. -A.).  —  Sur  rintégration  des  équations  difTérentielles  de  la 
Mécanique. 

—  Sor  la  théorie  du  dernier  multiplicateur  et  le  problème  des  trois 
corps. 

1854  (26  juin). 

Painvin  (L.-F.).  —  Études  sur  les  états  vibratoires  d'une  couche  solide, 
homogène  et  d'élasticité  constante,  comprise  entre  deux  ellipsoïdes  homo- 
focaux. 

—  Différentes  formes  des  équations  difTérentielles  dans  le  problème  des 
trois  corps. 

1854  (10  juillet). 

SoftiviN  (J.).  —  Mouvement,  dans  un  milieu  résistant,  d'un  point  matériel 
attiré  par  un  centre  fixe. 

—  De  la  Ggure  de  l'anneau  de  Saturne. 

18j4  (7  août). 

Valsox  (C.-A.). —  Application  de  la  théorie  des  coordonnées  elliptiques 
à  la  géométrie  de  l'ellipsoïde. 

1855  (4  juin). 

RÉ8AL  (H.-A.).  —  Sur  les  équations  polaires  de  Télasticité  et  leur  appli- 
cation à  l'équilibre  d'une  croûte  planétaire. 

—  Sur  les  oscillations  des  fluides  qui  recouvrent  la  surface  des  planètes. 

1855  (2  juillet). 

Sbxtis  (J.-E.).  —  De  l'emploi  du  principe  général  du  travail  des  forces 
daDS  la  Mécanique  appliquée. 

—  Démonstration  géométrique  de  plusieurs  théorèmes  sur  la  théorie 
des  aarfaces. 

1855  (6  août). 

Simon  (C.-M.-E.-T.).  —  Sur  la  théorie  géométrique  de  la  rotation  de  la 


l 


212  PREMIËRB   PAUTIE. 

1855  (i8  août). 

HoiJEL  (G.-J.).  —  Sur  l'intégration  des  équations  différentielles  dans 
les  problèmes  de  Mécanique. 

—  Application  de  la  méthode  de  M.  Hamilton  au  calcul  des  pertarbations 
de  Jupiter. 

1855  ('3  décembre). 

BouR  (J.-E.-E.).  —  Mémoire  sur  le  problème  des  trois  corps. 

—  Sur  l'attraction  qu'exercerait  une  planète,  si  l'on  supposait  sa  masse 
répartie  sur  chaque  élément  de  son  orbite  proportionnellement  au  temps 
employé  à  la  parcourir. 

1836  (17  mars). 

GuiRAUDET  (A.-P.-E.).  —  Recherches  sur  le  mouvement  d'un  point  libre 
rapporté  à  des  coordonnées  curvilignes. 

—  Aperçu  historique  au  sujet  des  problèmes  auxquels  s'applique  le  calcul 
des  variations,  jusqu'aux  travaux  de  Lagrange. 

1856  (18  août). 

Renard  (N.).  —  Courbure  des  siirfiiccs. 

—  Sur  un  mouveiiiciit  des  planrlcs  dans  le  cas  des  perlurhations. 

ISrJG  (jto  octobre). 

Fav  de  Riiixo  (F.).  Théorie  cle  réliinination. 

—  I)(''volop|)crneiil  do  la  fonction  ]>orturbatricc  et  des  cordonnces  d'une 
planète  dans  son  mouvement  olIi|)liquo. 

ISrj"  (  3o  mars). 

Haton  de  la  Goupilmère  (J.-N.).  —  Sur   une  théorie   nouvelle  de   la 

géométrie  des  masses. 

—  Sur  le  mouvement  d'un  corps  sollicité  par  un  centre  fixe. 

1857  (6  juillet). 

Lespiault  (F.-G.).  —  Théorie  géométrique  de  la  libration  réelle  de  la 
Lune. 


-  -  "■  ■  ■■  -  »■ 


MÉLANGES.  213 


1837  (17  août). 


SAUfT-Lovp  (J.-F.-L.).  -—  Sur  une  nouvelle  méthode  pour  le  calcul  des 
perturbations  du  mouvement  des  planètes. 

—  Sur  les  propriétés  des  lignes  géodcsiques. 


1858  (12  avril). 

Pesun  (H.-F.-L.).  —  Sur  la  figure  de  la  Terre. 

—  Sur  les  axes  principaux  d'inertie. 

1858  (7  juin). 

Gombbsgure(J.-J.-â.-E).  — Sur  la  théorie  analytique  des  formes  homo- 
gènes. 

—  Sur  divers  problèmes  particuliers  relatifs  au  mouvement. 

1858  (12  juillet). 

Galopin-Schaub  (C).  —  Sur  Téquation  de  la  surface  des  ondes  lumi- 
neuses dans  les  milieux  biréfringents. 

1858  (3o  juillet). 

MÉRAT  (H.-C.-R.).  —  Sur  les  propriétés  générales  des  racines  d'équa- 
tions synectiques. 

1858  (8  novembre). 

RouciiÉ  (E.).  —  Sur  le  développement  des  fonctions  en  séries  ordonnées 
suivant  les  dénominateurs  des  réduites  d'une  fraction  continue. 

—  Sur  les  intégrales  communes   à  plusieurs   problèmes   de   Mécanique 
relatifs  au  mouvement  d'un  point  sur  une  surface. 

1859  (i4  février). 

FoRTOUL  (J.-C).  —  Sur  les  oscillations  d'un  mobile  sollicité  par  plusieurs 
centres  d'attraction  fixes. 

—  Sur  les  figures  d'équilibre  des  liquides  planétaires. 


2i{  PHl^MIËUH  PARTIE. 

1859  (28  mars). 

Matuieu  (ë.-L.).  —  Sur  le  nombre  de  valeurs  que  peut  acquérir   une 
fonction  quand  on  y  permute  ses  lettres  de  toutes  les  manières  possibles. 

1859  (19  décembre). 

Serret  (P.)*  —  Théorie  géométrique  des  lignes  à  double  courbure. 

—  Théorie  mécanique  des  lignes  à  double  courbure. 

1860  (i4  janvier). 

Jordan  (M.-E.-C.  ).  —  Sur  le  nombre  des  valeurs  des  fonctions. 

—  Sur  les  périodes  des  fonctions  inverses  des  intégrales  des  différentielles 
algébriques. 

18G1  (lO  août). 

Massieu  (  F.-J.-D.  ).  —  Sur  les  intégrales  algébriques  des  problèmes  de 
Mécanique. 

—  Sur  le  mode  de  propagation  des  ondes  planes  et  la  surface  de  Tonde 
élémentaire  dans  les  cristaux  biréfringents  à  deux  axes. 

18()1  {  \  novembre). 
MiTiiKT  (^J.-O.  ).  —  Sur  les  fonctions  elliptiques. 

18Gi  (  î  août). 

Ai.LK(iRET  (A. -F. -M.  »  —  Sur  le  calcul  des  quaternions  de  M.  Ilamilton. 

—  Sur    les    principulos    iaé^uliU's    du    mouvement    des    satellites    de 
Jupiter. 

I8(»i  yi\  décembre  ). 

Svixr-CiKRMAi.N  [  V.-L.  i)K  I.  —  Sur  les  équations  générales  de  Télasticiié 
l'i  U'^  ^urfaeos  i>0(lynamiqiio<. 

—  >iir  la  liiirée  «les  éolip^os  de^  salollilos  de  Jupiter. 

IS(».'»  -.  I  »  n»'\embre  K 
Vu  \iii      V.  ».        I]s>ai  «l'une  théorie  iîêomêlrique  dos  furfaces. 


MÉLANGES.  vti5 

1864  (20  juillet). 

DcaANDB  (A.).  —  Propriétés  géométriques  des  surfaces  analogues  à  la 
surface  des  ondes. 

—  Déterminations  des  coefGcients  des  termes  périodiques  de  la  fonclion 
perturbatrice. 

1864  (29  juillet). 

Caqub  (J.-H.-J.).  —  Nouvelle  méthode  pour  l'intégration  des  équations 
différentielles  linéaires,  ne  contenant  qu'une  variable  indépendante. 

1864  (24  décembre). 

NicoLAÎoÉs  (N.)  —  Mémoire  sur  la  théorie  générale  des  surfaces. 

—  Théorie  de  la  déformation  des  surfaces  réglées  déduite  du  mouve- 
ment d'un  système  invariable. 

1865  (iSjuin). 

VlLLié  (E.-A.).  —  Sur  la  détermination   de   corps   ayant   un    potentiel 
donné  pour  les  points  qui  leur  sont  extérieurs. 

—  Sur  l'équilibre  d'une  masse  fluide  homogène  animée  d'un  mouvement 
de  rotation  uniforme  autour  d'un  axe  fixe. 

1865  (6  août). 

SouiLLART  (G.-J.).  —  Essai  sur  la  théorie  analytique  des  satellilcs  de 
Jupiter. 

1865  (23  décembre). 

Stkphan  (  J.-M.-E.).  —  Sur  une  classe  d'équations  aux  dérivées  partielles 
du  second  ordre. 

1866  (14  juillet). 
D ARBOUX  (  J.-G.).  —  Sur  les  surfaces  orthogonales. 

1866  (4  août;. 
Lktistal  (A.)  —  Recherches  d'optique  géométrique. 


■MÛ  l'BEHIfiHE  PARTIE. 

18GC  (3  novembre).  J 

Tirni>i'.tK(l..-V.).  —  lt<.'solutiiinnum(;riqiic,ta/Mcliinination,deiéqa«tïoBa 

'  -  Roclirrrhcs  sur  l;i  maliilitc  ilu  tV'quilibre  des  corps  flotunts. 

I8(!7  (ai  ftivriiT). 
l.ih'Y   (M.)-    —  Ks^ni    tliiruriijui^  cl    np|ili(]uù   sur   le    mouvement   des 

-  Sur  une  trnnNrormatiiin    des    o  ion  lu  n  nous   i-urvlligne.s   orthogonales 
er  Mir  li-n  riKirdiinni-cs  rurvili(,'iio!<  ciiniprcnant  une  famille  quelconque  de 

siirfiXT.  <Iii  si-roiid  ordre. 


IliUssiNKSij  (  V.-J.i.  —  Kiuilc  sur  1»  jinipH^aiion  de  la  chaleur  dana  tes 

IKliT  II"  iiDÙn. 
MiiiiiN  I  l'.-J.~r.i.  —  Sur  it-->  |i:iNimi-lr(<s  diirùrenliclM  ih'ï  ronetion». 

IW'.T  (iK  ii..vt-uibrc  I. 
Ck  niiKH  <  l>.-.l.-lt.>.  —  MouM'inerii  .l'un  |irojc.-tile  dnns  l'air. 


ri>>Kinsn  I  i-'.-!'.*.  —  K\|iii!.itii'n.  ir;i|>r(>  k'>  |U'iiiri)ii.-s  de  Jacobi.  de  la 
iii.lli.>.l.'  '»\\u-  |i.ir  W.  1I.I.IIII1J1  .1.111*  -a  llK'.>rk-  du  m»uvoment  ilc  la  lune 
.•»l -.I.-I..   r,rr,-:.-M.>i.M..i.  .iV  l.>  ii..'tli...l,-. 


(ANNALES  DE  MATUÉMATIIJIES 


iniRNM.  nr„s  (.»».iiin\TS 


iininK  rr  **•  lIntmaiL 


l|««  fl/nni-rllet    ln^uilei  lir  Miit/ir'm'iii'im-i  pnrain^iinl  r)iii|iii!  itiitls  et 


Ml  (lai  lin  itit  tulitNiv  iii  ^  ti'  ( 


ir  Hsiir-tt  rfiiti*  !b  letli;. 


jL'iLLKT  rioa 


ttarue  dm  putiiii;a]4ouG  mai-' 
JiiitriMl  (fit  t&i<  ri'iiix  iMil  iiiig(>t\jiii.tlit  M-3i!nti,i 


BILLET IN 

F:NrKSMATUÉMATiaLES,ffl| 

«V  iiAKuoux.  r..  l'iaiiti  ht  j   iannhkv, 

Lll*  la  Cmnaiaaian  de*  Hautes  CtsAva. 


mn 


I  KIMEUIt-LIIIKAllie 


TecHNIOl>«. 


ir#RAfBli 


Asm  lObMn»  v>Hi(iléiE> 
TAOaiieATIOBr  IC-ar... 

(dRDhIi»  do    la    Ul^CKHI  il 


(«t«r<  uitHllinttnM  llnlA.d»  qui  4*)   laiiifhHUi 
«L'nn,!  i..Jr 

fAMBOTIIH     n     ,  M  ■  ir  ■     '.    I    ..  I    M.,       .    ,  1-  I  -■ 


COMPTES  ItEKDUS  ET  ANALYSES. 


COMPTES   IlENIIUS   ET  ANALYSES. 


GOURSAT  (E.),  Professeur  à  In  FhcuIic  (iea  Scionccs  de  Puria.  —  Couns 
d'Anilise  matiiku vTivi'K,  ToTiiu  I.  (iriind  fn-8".  lia»  iia^ips  ;  Paris.  Gaiitliier- 
Yillars,  190'^, 

(^  Livre,  qui  cât  à  )>eii  do  chose  pr/'S  larcproJiicliun  d' tut  Cours 
fut  à  la  Sorbonne,  paraît  avoir  )cs  qiialilOs  d'un  Traité  clas.siquu  : 
ptécîsion  extrême  dans  les  définitions  cl  les  énoncés,  analyse 
pénétrante  et  habile  dans  les  dénionstniliuns,  indications  snhstan- 
lîiUea  sur  l'iinporlance  des  notions  on  des  propositions  foiidamen- 
liles.ll  sera  très  utile  en  particulier  anx  étndianis  qnï  ont  l'In- 
■mion  de  continuer  leurs  études  mathématiques  et  aussi,  je  l'ai 

'prouvé,  à  quelques-uns  de  ceux  qui  sont  chargés  d'enseigner  les 

comiuenceintfnts  de  l'Analyse. 

Cbhitre  1  :  Ih'rU-éi's  el  {liff^ic.iiticlli'x  (pages  i-,{o).  —  Ce 
Qia^itrc  contient  les  défùiitions  relatives  à  la  continuité  pour  les 
■onctions  de  une  on  de  plusieurs  variables,  le»  généralités  rela- 
tives n\  dérivées  et  aux  d i fTé re  11  ti elles,  In  démonstration  du  ihéo- 
'^edeRolle  cl  de  la  formule  des  accroissements  linis,  avec  une 
«"tension  de  cette  formule  faite  d'après  un  Mémoire  do  Stielljcs. 
Un  paragraphe  est  consacré  au  passage  des  difFérences  aux  déri- 
ves. 

Chipithk  11  :  Fonctions  im/'licitcs.  DiUeriiiiiiniKs  function- 
"<6.  Changempnt.i  di:  variaUlas  (pages  .'ju-iuo).  —  Le  Cha- 
pitre II  débute  par  l'étude  des  fonctions  implicites  :  les  conditions 
wni  lesquelles  une  éiguatioii  entre  trois  \ai'i;ihles  j",  )',  :;  permet 
it  délînir  2  comme  i'unctioit  continue  de  ./'  et  de  y  sont  ana- 
\jiia  avec  soin. 

Apr(''S  avoir  défini  un  clément  de  foiictiim  implicite  pour  des 
valeurs  de  x  et  dey  corresjiondunl  à  rintérieni-  d'un  carré,  pour 
étendre  en  dehors  de  ce  domaine  la  définition  de  lu  ronction, 
l'auteur  emploie  un  pmcédé  pur  clic  mi  ne  ment  analogue  â  celui 

ButI-  lie»  ScieHcei  miilli'in.,  ■■■  ■.i-rir.  1.  WVI.  (  \:i,\  Ufi.)  i"i 


2i8  PREMIÈRE  PARTIE. 

dont  on  se  sert  à  propos  des  fonctions  des  variables  corapleies. 
L'existence  de  la  dérivée  d\]ne  fonction  implicite  est  établie  sans 
peine  en  s'appiiyant  sur  les  développements  qui  précédent,  et  des 
procédés  sont  indiqués  pour  le  calcul  des  dérivées  successives.  On 
étudie  ensuite  un  système  d'équations  permettant  de  déCnir  nfonc- 
lions  d'un  nombre  quelconque  de  variables  indépendantes. 

Cette  étude  montre  déjà  l'importance  des  déterminants  fonc- 
tionnels. Le  cas  où  le  déterminant  fonctionnel  de  n  fonctions d' u  n 
nombre  égal  de  variables  est  identiquement  nul  est  traité  en^déldî! 
et  l'utilité  du  théorème  correspondant  est  mise  en  évidence  par 
des  exemples  signiflcatifs.  Les  propriétés  du  jacobien  et  du  hes- 
sien,  relatives  à  un  changement  de  variables,  résultent  presque 
immédiatement  de  la  multiplication  des  déterminants;  on  en  fatt 
l'application  à  la  réduction  d'une  forme  cubique  à  la  forme  cano- 
nique. 

On  passe  ensuite  en  revue  les  problèmes  qui  se  présentent    «^ 
plus  fréquemment  à  propos  des  changements  de  variables  : 

Problème  1.  —  Soit  y  une  fonction  de  la  variable  indépe^^^^ 
dante  x;  on  prend  une  nouvelle  variable  indépendante  ^  ut-'^^ 
à  X  par  X  =.  'f{t).  On  propose  d'exprimer  les  dérivées  succ^^^' 
sives  de  y  par  rapport  à  x  au  moyen  de  t  et  des  dérivées  si.^  ^' 
cessives  de  y  par  rapport  à  t. 


Problème  II.  —  A  toute  relation  entre  x  et  y^  les  fovmu 
de  transformation 

font  correspondre  une  relation  entre  t  et  u.  On  propose  de 
primer  les  dérivées  de  y  par  rapport  à  x  au  moyen  de  /,  u 
des  dérivées  de  u  par  rapport  à  t. 

L'application  de  ces  méthodes  est  faite  à  la  transformation 
courbes  planes  cl  la  notion  de  transformation  de  contact  est  inl 
duite. 

Les  problèmes  1  et  II  se  rapportaient  aux  dérivées  des  foncli 
d  une  variable  ;  deux  problèmes  correspondants  pour  les  foncli 
de  deux  variables  sont  énoncés  et  traités  avec  la  même  précisi 


et 


t 

-4 

f 
I 

] 


COMPTES  UKNDUS  liT  ANALYSES.  219 

onime application,  on  trouve  la  transformation  d'Ampère  et  celle 
?  JLegendre  pour  les  équations  aux  dérivées  partielles,  puisTéqua- 
du  potentiel  en  coordonnées  curvilignes. 


Ihapitre  III  :  Formule  de  Taylor.  Maxima  et  minima 
ft^^es  101-149)*  —  Démonstration  classique  de  la  formule  de 
'lor  pour  une  fonction  d'une  variable,  et  expression  du  reste 
la  forme  de  Lagrange  et  sous  la  forme  de  Caucliy. 
»mme  application  immédiate  aux  courbes  planes,  détermina- 
lorm  de  la  tangente^  du  sens  de  la  concavité,  de  la  parabole  oscu- 
iLfice  ayant  son  axe  parallèle  à  Oy. 

Une  méthode  pour  trouver  les  premiers  termes  du  développe- 
nt nt  d'une  fonction  suivant  les  puissances  positives  et  croissantes 
d'uTie  variable  x,  supposée  positive  et  infiniment  petite,  est  indi- 
quée et  appliquée  à  propos  d'une  fonction  implicite  définie  par 
UQC  équation  entière  en  x  et  y.  L'application  de  la  formule  de 
Taylor  à  la  recherche  des  valeurs  limites  des  expressions  qui  se 
présentent  sous  une  forme  indéterminée  est  indiquée  rapidement 
en    supposant  la  formule   applicable  à  chacun  des  termes  de  la 

traction-^,    "^  .    » 

o(a-H  h) 

Puis  viennent  la  série  de  Taj^lor,  les  développements  en  série 
de  log(i-4-x),  (i-|-ar)",  arc  sinj;  et,  pour  finir,  cette  remarque 
csl  faite  que,  pour  bien  apprécier  l'importance  des  séries  entières, 
il  faut  ne  pas  se  limiter  aux  développements  que  Fon  peut  obtenir 
pour  les  combinaisons  simples  des  fonctions  élémentaires,  mais 
savoir  que  l'on  étudiera  en  elles-mêmes  des  séries  entières  ayant 
une  tout  autre  origine. 

La  série  de  Taylor  pour  les  fonctions  de  plusieurs  variables 
est  obtenue  par  le  procédé  de  Cauchy.  On  en  donne  l'inlerpré- 
toUon  géométrique  et  on  l'applique  en  particulier  à  l'étude  des 
points  singuliers  d'une  courbe /(j?,  y)  =  o,  et  à  la  recherche  des 
maximaetdes  minima.  Dans  cette  recherche,  l'élude  du  cas  ambigu, 
poussée  déjà  assez  loin,  est  faite  de  manière  à  en  montrer  les  diffi- 
cultés dans  le  cas  général  pour  lequel  on  renvoie  à  un  Mémoire 
^cL.  SchelTer  dans  les  Math.  Annalen, 

A  propos  de  la  détermination  des  maxima  des  fonctions  impli- 
^•^s,  la  méthode  des  multiplicateurs  de  Lagrange  est  expliquée. 


220  PUKMIÈUE  PAUTIË. 

Chapitre  IV  :  Intégrales  définies  (pages  i5o-233).  —  A^^ï^è? 
avoir  rappelé  la  mélhude  d'Archîmède  pour  la  quadrature  d^  \ 
parabole,  Tauteur,  admeltanl  provisoirement  la  notion  de  IWm-v 
montre  comment  on  est  conduit  à  considérer  une  somme 

(ari  — a)/(a) -h  (t,  — jri)/(a7i) -f-. .  .-h  (6  —  a7„_,)/(ar„_,), 

et    à  clierclier  sa  limite   lorsque   le   nombre   des    termes  d  ^^ 
suite  aj  Xx^  .  .  .,  Xn__x^  b  augmente  indéCniment,  question  doKZM  t 
solution  est  immédiate  si  Ton  connaît  une  primitive  de  f{x)  ^ 

Mais  il  faut  reprendre  les  mêmes  questions  sans  faire  app>^^l 
rintuition  géométrique. 

A  cet  effet,  les  notions  de  limite  supérieure  et  de  limite  i  armfe 
rieure  d^un  ensemble,  de  fonction  continue  dans  un  intervalle  ^on 
introduites  avec  la  rigueur  et  les  explications  nécessaires. 

On  peut  alors  définir  les  sommes 

M/  étant  la  limite  supérieure,  /?i/  la  limite  inférieure  de /(x)  dans 
l'intervalle  partiel  (^i,  :r/^<),  puis  la  limite  inférieure,!,  ^^^ 
sommes  S  et  la  limite  supérieure,  F,  des  sommes  s,  M.  D^r- 
boux  a  montré  que,  sous  la  seule  condition  quey(a;)  reste  fi«^'^ 
dans  l'intervalle  (a,  6),  les  sommes  S  et  5  tendent  respectivem^"^ 
vers  I  et  F  lorsque  le  nombre  des  intervalles  partiels  augmeïïl^ 
indétiniment  de  façon  que  chacun  d'eux  tende  vers  zéro. 

Une  fonction y"(x)  est  dite  inlégrahle  dans  un  intervalle  (^^    ^' 
si  les  deux  sommes  S  et  5  tendent  vers  une  limite  commune.  \J^^ 
fonction  continue  dans  un  intervalle  est  intégrable  dans  cet  inl^**' 
valle.  Dans  ce  qui  suit,  à  moins  de  mention  expresse,  on  supp^" 
sera  que  les  fonctions  sous  le  signe  d'intégration  sont  contini*^** 

Après    ces    généralités,    viennent   la   première   formule   à^     '^ 
moyenne,  équivalente  à  la  formule  des  accroissements  finis  «y 
seconde  formule  de  la  moyenne  due  à  O.  Bonnet,  une   prenci*^*'* 
indication  sur  la  théorie  des  indices  à  propos  de  l'intégrale 

OÙ  y"(x)  désigne  une  fraction  rationnelle. 


COAIPTIiS  UliNDUS  Kl    ANALYSES.  221 

Mainlenant  que  Ton  possède  la  nolîon  analeptique  d'inlégrale 

définie,  on  peut  revenir  à  la  délerminalion  de  Taire  d^unc  courbe 

pla  ne  el  donner  de  celte  aire  une  définilion  précise^  qui  ne  dérange 

(J*a il  leurs  en  rien  les  idées  communes  sur  celle  question,  idées 

t.1  llanl  d'expériences  nombreuses,  mais  peu  précises. 

signalerai  ici,  comme  exemple  de  la  précision  rigoureuse 
dont,  il  faut  parler  à  chaque  instant  à  propos  de  ce  Traité,  tout  ce 
<|  u  i    se  rapporte  à  la  longueur  d'un  arc  de  courbe. 

Puis  viennent  le  changement  de  variable,  Tintégration  par  par- 
ties el,  à  celte  occasion,  une  démonstration  de  la  transcendance 
àwM.  KBombre  e^  empruntée  à  M.  D.  Hilbert,  qui  sVsl  inspiré  de  la 
n'ftêt.liode  de  Hermile. 

0>n  indique  ensuite  les  extensions  données  à  la  notion  d^inté- 
g^t*^  le  définie,  en  commençant  par  le  cas  où  la  fonction  à  intégrer 
o  ta  l>ieQ  Tune  des  limites  devient  infinie  [Tun  des  exemples  donnés 
apporte  à  la  fonction  r(a)]. 

es  intégrales  curvilignes  sont  introduites  à  ce  moment  :  cela 
P^K"raettra  au  lecteur  de  bien  comprendre  les  formules  qui  donnent 
■  ^î  w«d*une  courbe  fermée  en  coordonnées  reclilignes  ou  encoor- 
^Oi^nées  polaires.  On  explique  en  détail  la  différenliation  sous  le 

^■S«ic  /  9  le  calcul  approché  des  intégrales  définies  (méthodes  des 

^•^^I^iies,  de  Cotes,  de  Gauss,  planimètre  d'AmsIer). 


BAPiTRE  V  :  Intégrales  indéjinics  (pages  234-281).  —  On 

P^ss^  en  revue,  dans  ce  Chapitre,  les  catégories  générales  de  fonc- 

"OUs  ^l^mgjjjgjpgg  dont  les  intégrales  s'expriment  elles-mêmes  à 

'■<icdes  fonctions  élémenlaires  :  fonctions  rationnelles  (avec  la 

"™^t.liode  d'Hermite  pour  déterminer  la  partie  algébrique  de  l'in- 

^ff'^ale),  fonctions  rationnelles  des  coordonnées  d'un  point  variable 

*•  *^c  courbe  unicursale,  diCférentielles  binômes,  qu'il  est  très 

^®**^mode  de  supposer  ramenées  à  la  forme  t^{at  -+-  b)Pdt. 

^^n  étudie  ensuite  la  réduction  des  intégrales  elliptiques  et 
^'^■*a-cllipliques,  les  cas  d'intégration  algébrique,  une  classe  assez 
*^ndue  d'intégrales  pseudo-elliptiques,  enfin  les  intégrales 

/  R(sinx,  cos jr)cfr,      /  K{x)€^'dx,      j  e^-^ fi  s'uix^  cosxjdx, 
^^  R  désigne  une  fonction  rationnelle  et  /  une  fonction  enliùrc. 


i'}'x  PKEMIÈRE  PARTIE. 

Chapitre  VI  :  Intégrales  doubles  (pages  28a-334).  —  Une 
région  Â  du  plan  étant  divisée  en  parties  de  plus  en  plus  pet.it€S 
^1,  a^t  •  •  .,  a/i,  on  considère  les  deux  sommes 


=2cD/M/,        *=2 


tatmiy 


Cl)/  étant  Taire  de  la  partie  a/,  M/  et  /n/  la  limite  supérieure  ^  ^ 
limite  inférieure  de  la  fonction  /{:c,  y)  dans  cette  partie;  s> 
foncliony(;r,  y)  est  continue  dans  la  région  A,  les  deux  somm  ^s 
et  s  tendent  vers  une  limite  commune  I,  et  si  l'on  désigne  pas:*    « 
Tt/  les  coordonnées  d'un  point  quelconque  de  ai,  on  a 

lim^/l;/,  r^i)wi=  I, 

I  est  une  intégrale  double.  Dans  cette  définition,  il  reste  de  Ta 
traire  non  seulement  dans  le  mode  de  décomposition  de  A, 
encore  dans  le  choix  du  point  Ç/ti/  que  Ton  fait  correspond 
Faire  partielle  ai]  l'auteur  en  tirera  souvent  parti  pour  simpli  fi* 
et  pour  préciser  en  même  temps  des  démonstrations,  en  particu  1»^ 
pour  montrer  qu'une  intégrale  double  peut  se  calculer  à  l'aide  <J 
deux  intégrations  successives  et  qu'on  peut  intervertir  l'ordre  ^ 
ces  intégrations. 

Le  changement  de  variables  dans  les  intégrales  doubles  demar»* 
une  élude  approfondie  et  des  explications  préliminaires. 

Les  formules 

X  rr-/(f/,    i.'),  y  =  o(U,   t') 

définissent  une  correspondance  entre  les  points  de  deux  plan 
et  P^.  On  fait  les  hypothèses  suivantes  :  i"  les  foiictionsy(//, 
cp(w,  r)  sont  continues  et  admcllcnl  des  dérivées  continues  qtu 
le  point  (^/,  i')  décrit  une  portion  A|  du  plan  P,,  limitée  par 
contour  (^^  ;  2"  les  formules  précédentes  font  correspondre 
région  A,  du  plan  P|   une  portion   A  du  plan  P  limitée  pai 
contour  il,  et  la  correspondance  est  univoque;  3**  le  détermi 

fonctionnel    A  =  —   -'  •      ne   chancre    pas    de   si^ne   à    l'inté 
de  (li . 

(^uanJ  le  point  (//,  r)  décrit  le  contour  Ci  dans  le  sens  d 
le  point  (x^y)  décrit  le  contour  C  en  se  dé|)hiranl  loujour 


COMPTES  RENDUS  ET  ANALYSES.         223 

terne  sens  :  suivant  que  ce  sens  est  le  sens  direct  ou  le  sens 
i-v^rse,  on  dit  que  la  correspondance  est  directe  ou  inverse, 
^n  obtient  aisément  la  formule 


U(5,  r,) 


-  > 


l  c].ësignant  l'aire  de  A,  ùi  celle  de  A|,  Ç,  r^  les  coordonnées  d'un 
)C>i<^l  de  A|  et  le  signe  étant  -+-  ou  — ,  suivant  que  la  correspon- 
la^Kice  est  directe  ou  inverse. 

Celle  formule  conduit  à  une  première  méthode  pour  obtenir 
\a  régie  relative  au  changement  de  variables  dans  les  intégrales 
doubles,  méthode  suffisamment  indiquée  par  Tégalité 


^F{xi,  yi)u>^i^=^F[/(Ui,  Vi),  Q{^^/,  vt)] 


D(/?) 


Oi 


1  y 


OÙ  ci>^'^  et  Cl)'/*  désignent  des  éléments  correspondants  des  régions  A 
et  A|. 

Une  seconde  méthode  résulte  de  ce  que  la  transformation  géné- 
rale 

s'obtient  en  composant  deux  transformations  dans  chacune  des- 
quelles une  seule  variable  est  changée. 

Laîre  d^une  portion  S  de  surface  courbe  est  définie  sans  faire 
intervenir  la  direction  des  axes  de  coordonnées.  S  étant  décom- 
posée en  portions  plus  petites,  on  projette  l'une  de  ces  petites  por- 
tions sur  le  plan  langent  en  l'un  quelconque  de  ses  points;  la 
somme  des  aires  planes  ainsi  obtenue  par  projection  a  une  limite 
quand  le  nombre  des  petites  portions  augmente  indéfiniment  de 
façon  que  chacune  d'elles  devienne  infiniment  petite  dans  toutes 
ses  dimensions,  pourvu  que  l'on  fasse  des  hypothèses  convenables 
swles  fonctions  que  définissent  les  coordonnées  d'un  point  va- 
nable  de  la  surface.  C'est  cette  limite  que  l'on  nomme  Vaire  de  la 
portion  S  de  la  surface  considérée.  On  retrouve,  en  partant  de 
celte  définition,  la  formule  connue 

S  =  f  fy/ÊG^F~^  du  dv. 
On  étudie  ensuite  les  intégrales  où  le  champ  d'intégration  est 


224  PREMIÈRE  PARTIE. 

infini  ou  bien  la  fonction  discontinue  et,  comme  application,  on 
montre  que  l'intégrale  eulérienne  de  première  espèce  B(/>,  q) 
se  ramène  aux  fonctions  F,  puis  on  définit  les  intégrales  de  surface 
cl  Ton  démontre  la  formule  de  Stokes,  en  la  déduisant  presque 
immédiatement  de  la  formule  de  Green ,  relative  à  une  courbe  plane. 
Le  Chapitre  se  termine  par  des  applications  géométriques  oa 
analytiques  :  calcul  de  volumes,  déterminations  dMntégrales  déG- 
nies,  valeur  asjmptotique  de  logr(/i  -h  i). 

Chapitre  VII  :  Intégrales  multiples.  Intégration  des  diffé- 
rentielles totales  (pages  335-368).  —  Les  définitions  et  les  pro- 
cédés de  calcul  indiqués  pour  les  intégrales  doubles  s'étendent 
presque  immédiatement  aux.  intégrales  triples,  et,  après  quelques 
explications  nécessaires,  aux  intégrales  multiples. 

L'intégration  d'une  différentielle  totale  /  P  rf^r -j- Q  rfy  est  ob- 
tenue d'abord  en  considérant  successivement  les  deux  équations 
aux  dérivées  partielles 

La  question  est  reprise  à  un  autre  point  de  vue  en  cherchant  "^ 
condition  pour  que  l'intégrale,  prise  le  long  d'une  courbe  all^^^ 
d'un  point  Mq  à  un  point  M  du  plan  ^O  r,  dépende  seulement  ^^ 
Torigine  Mq  et  de  rextréniilé  M  du  contour,  mais  non  du  chenr»*" 
d'intégration.  Si  cette  condition  est  remplie,  et  si  Ton  supposa  *^ 
point  Mo  fixe,  Tinlégrale  est  une  fonction  des  coordonnées  x  c^  ^ 
du  point  M  :  on  vérifie  que  ses  dérivées  partielles  sont  V(Xy  ^ 
et  Q(j^O')-  ^^  résultat  obtenu,  on  approfondit  l'élude  de  l'in^^ 
grale  considérée  en  déterminant  ses  périodes  par  un  procédé  ^^ 
lo<|;nc  à  celui  qui  donne  les  périodes  d'une  intégrale  de  fond*^^ 
couiplexe.  • 

Une  application  intéressante  est  faite  à  l'intégrale  /  --  yî_i_  V* 

où  X  et  Y  désignent  des  fonctions  continues  des  variables  j:  ^^  < 
dans  une  région  A  limitée  par  un  contour  fermé  C.  On  obti^' 
une  formule  donnant  le  nombre  exact  des  points  communs    ^^ 

deux  courbes,  pourvu   que  le  déterminant    fonctionnel    t^t^JC^ 


COMPTES  RENDUS  ET  ANALYSES.  2!i3 

^rde  on  signe  constant  à  Tintérieur  de  C.  Pour  compléter  cette 
étMidef  l'auteur  renvoie  à  des  travaux  de  M.  E.  Picard,  et  en 
particulier  au  tome  II  de  son  Traité  d'Analyse. 

On  étend  ensuite  les  résultats  précédents  à  une  intégrale 


/ 


Pdx-hQdy-hRdz, 


et,  l^on  traite,  pour  les  intégrales  de  surface,  des  questions  analogues 
à  oelles  qui  ont  été  résolues  pour  les  intégrales  curvilignes  :  for- 
mule d^Ostrogradsky,  condition  pour  qu^une  intégrale  de  surface 
ét^ei^due  à  une  surface  passant  par  un  contour  C  ne  dépende  que 
du  contour  C. 

CIhapitbe  VIII  :  Développements  en  série  (pages  369-418).  — 
Ce  Ohapitre  débute  par  un  résumé  des  propriétés  élémentaires  des 
séries.  L'auteur  donne  d'abord ,  d'après  Caucliy ,  la  condition  néces- 
saire et  suffisante  pour  qu'une  suite  soit  convergente,  et  il  intro- 
duit en  méine  temps  une  notion  due  également  à  Cauchy,  celle  de 
"^  p/iis  grande  des  limites  des  termes  d'une  suite  infinie.  Mais 
l'établît  directement  les  règles  élémentaires  de  convergence,  en 
s  ^ppuj-ant  sur  un  principe  énoncé  tout  au  commencement  de  l'On- 

*<^Uie  quantité  variable  qui  n'est  jamais  décroissante  et  qui 
reste  i^iférieure  à  une  quantité  constante  L  tend  vers  une 
tuntif»  £  inférieure  ou  égale  à  L. 

luis  viennent  les  critères  logarithmiques  de  Bertrand,  la  nuilli- 
piicaiioij  des  séries,  les  séries  à  termes  imaginaires,  les  st-ries  mul- 
liplcs^  la  règle  de  Cauchy  qui  ramène  l'élude  de  la  convergence 

dune    série  à  celle  d'une  intégrale  dont  les  limites  deviennenl 

infinies, 

»  Our  la  convergence  uniforme,  la  définition  adoptée  est  la  sui- 
vante :  On  dit  qu'une  série 

Wo(ar)-f-  Ui{x)  -^. .  .-T-  Mrt(j:)  -+-.. . 

e»t  Uniformément  convergente  dans  un  intervalle  (a,  b)  si,  à  tout 
nombre  positif  £,  on  peut  faire  correspondre  un  nombre  entier  n 
*^»  que  la  valeur  absolue  du  reste  R„  de  la  série 


226  PREMIÈRE  PARTIE. 

soit  moindre  que  e  pour  toutes  les  valeurs  de  x  comprise! 
l'intervalle  (a,  b). 

Si  une  série  est,  en  ce  sens,  uniformément  convergente  da 
intervalle  (a,  6),  et  si  ses  termes  sont  des  fonctions  coni 
dans  cet  intervalle,  elle  déGnit  une  fonction  continue  ;  de  plus 

et  Xi  sont  deux  valeurs  de  l'intervalle  (o,  6),  l'intégrale   / 

peut  être  rendue  aussi  petite  que  l'on  veut,  à  condition  de  pi 
n  suffisamment  grand. 

On  peut,  en  s'appuyant  sur  la  théorie  des  séries,  trouv( 
conditions  suffisantes  pour  qu'on  ait  le  droit  d'appliquer  la 

de  diffiérentialion  sous  le  signe  /  >  même  lorsqu'une  des  1 

est  infinie.  Ceci  conduit  l'auteur  à  donner  cette  définitioi 
dit  qu'une  intégrale 

est  uniformément  convergente  dans  rinlervallc  (a©,  ai)  si, 
nombre  positifs,  on  peut  faire  correspondre  un  nombre  N  K 
pour  toute  valeur  de  />>  N,  on  ait 

I  r* 

I    /      fi  j\  a  )  (Lr 
quel  (jiie  soit  a  dans  rinlervallc  (a^,  a,  ). 

CnAi'iTiii:  IX  :  Scries  entières.  Séries  trigonométriqu 
On  examine  successivement  la  région  de  convergence,  la 
ntiitc,    les  dérivées   successives   d'une  série  entière.  La  si 
Ttiylor  est  étendue  au  cas  d'une  fonction  définie    par  un< 
entière. 

i^es  fondions  majorantes  sont  définies  de  la  façon  suivar 

Soient y*(x)  une  série  entière 

/(x)  =  ao-^  aix  -^  a^x^-^-. . . 

et  'f  (x)  une  antre  série  entière,  convergente  dans   un  inl( 
convenable 

'i  (  .r  )  =  3to  -f-  2 1  .r  -f-  a2  :r-  -h  . . . , 

dont  tous  les  termes  sont  positifs;  on  dit  que  la  fonction  'f  ( 


COMPTES  RENDUS  ET  ANALYSES.  227 

majorante  pour  la  fonction  f{x)  si  Tun  quelconque  des  coeffi- 
cients au  est  supérieur  à  la  valeur  absolue  du  coefficient  corres- 
pondant de  f{oc).  On  montre  comment  on  peut  prendre  pour 
fonction  majorante  d'une  série  entière  une  progression  géomé- 
trique décroissante. 

Ces  préliminaires  établis,  on  peut  traiter  avec  rigueur  la  substi- 
tution d'une  série  entière  dans  une  autre  série,  et  le  calcul  des 
séries  entières;  enfin,  une  partie  des  propriétés  des  séries  entières 
"Une     variable    est    étendue  aux    séries    entières    de    plusieurs 
variables. 

On   revient  à  l'étude  des   fonctions  implicites,  en  supposant 
niaintenant  que  les  premiers  membres  des  équations  qui  les  défi- 
nissent sont  développables  en  série  entière,  ce  qui  permet  d'obte- 
nir cet  énoncé  précis  : 
^  Soit  un  système  de  p  relations  entre  p  -¥  q  variables 

où  les  fonctions  F^  sont  nulles  pour  Xi=^yk  =  o  et  sont  dévelop- 
pables en  série  entière  dans  le  voisinage;  on  suppose  de  plus  que 

le  déterminant  fonctionnel  ^-      ^' — ?i_i-:  j — pJ  n'est  pas  nul  pour  ces 

valeurs.  Dans  ces  conditions,  les  équations  précédentes  admettent 
un  système  de  solutions,  et  un  seul,  de  la  forme 

0iî®2i   . . . ,  Op  étant  des  séries  entières  en  ^,,  Xj,*.  .  . ,  x^  cjui 
s'annulent  pour  x,  =  0:2  = .  •  •  =  .^^  =  o. 

La  formule  de  Lagrange  est  établie  ici;  puis  on  définit  une  fonc- 
tion analytique,  un  arc  de  courbe  analytique,  une  surface  analy- 
tique, un  point  ordinaire  d'une  courbe  ou  d'une  surface  analytique, 
ba  question  de  savoir  si  une  fonction /(x),  définie  dans  l'inter- 
valle{-«7-^  tc),  est  développable  en  série  trigonométrique,  revient, 
comme  on  sait,  à  trouver  la  limite  d'une  intégrale  de  la  forme 


/ 


'''"'/(^)rfa-. 


OU  a  et  6  sont  des  constantes,  et  où  l'on  suppose  que  n  augmente 
■naelininient.  Cette  étude  est  faite  d'a|)rès  une  mélliode  analogue 


228  PREMIÈRE    PARTIE. 

à  celle  d^Ossian  Bonnet,  et  en  supposant  que  la  fonction  /( 
satisfait  à  des  conditions  énoncées  avec  précision  et  qu^on  appc 
conditions  de  Dirichlet, 

Le  Chapitre  se  termine  par  une  démonstration  très  simple, <j 
à  M.  Lebesgiie,  d^un  théorème  de  Weierstrass  se  rapportant  à  i 
fonction  fix")  continue  dans  un  intervalle  (a,  6)  :  e  étant 
nombre  positif  donné  à  V  avance,  on  peut  déterminer  un  po 
nome  P(^),  tel  que  la  différence  f{x) —  P(^)  soit  infériez 
à  t  en  valeur  absolue  pour  toute  valeur  de  x  dans  Vint 
valle  (a,  b);  et  enfin  par  l'exemple  d'une  fonction  continue 
n'admet  de  dérivée  pour  aucune  valeur  de  la  variable. 

Applications   géométriques    du    calcul    différentiel   et 
CALCUL  INTÉGRAL.  —  Lcs  1 4o  dcmièrcs  pages  du  Volume  leur  s 
consacrées  et  sont  rédigées  avec  le  même  soin  que  les  parties 
rement  analytiques  qui  précèdent.  Les  sujets  traités  sont  les  î 
vants  : 

Courbes  planes,  —  Courbes  enveloppes,  courbure,  contact 
courbes  planes. 

Courbes  gauches.  —  Plan  osculaleur,  surfaces  envelop| 
Courbure  et  torsion  des  courbes  gauches.  Contact  des  cour 
gauches,  des  courbes  et  des  surfaces. 

Surfaces.  —  Courbure  des  courbes  tracées  sur  une  surfi 
Lignes  asymptotiques.  Lignes  de  courbure. 

Notions  sur  les  systèmes  de  droites.  —  Surfaces  réglées,  c 
gruences,  surface  focale,  congruence  de  normales.  Théorème 
Malus.  Com|)lexcs. 

Un  assez  grand  nombre  d'exercices  est  proposé  à  la  fin  de  cha 
Chapitre.  Les  uns  sont  des  applications  directes  des  méthc 
exposées  dans  le  Chapitre;  les  autres,  dit  l'auteur  dans  la  Préf 
sont  un  peu  plus  difficiles  et  sont  le  plus  souvent  empruntés  à 
Mémoires  auxquels  le  lecteur  est  renvoyé.  E.  Lacour. 


*s^ 


COMPTES  IIENDUS  ET  ANALYSES.  229 


A55JiLBS  IXTBBNATI0NALB8  D*HIST0IR8.  CoNGRÉS  DB   PaRIS,   I9OO.  5«  SeCtion  : 

Histoire  des  Sciences,   i    vol.   grand  in-8o,  348  pages.  Paris,   Armand 
Golia  ;  1901 . 

Ce  Volume,  publié  sous  la  direction  de  M.  Paul  Tannery,  prési- 
dent de  la  Section,  comprend  les  Mémoires  suivants  : 

AsvBftB  Lalande.  —   L'interprétation    de   la  nature  dans  le    Valerius 
Terminus  de  Bacon. 

Gaston  Milhavd.  —  Sur  un  point  de  la  philosophie  scientifique  d'Au- 
guste Comte. 

Hkibbrg.  —  Anatolius  sur  les  dix  premiers  nombres  (texte  grec  inédit, 
traduction  française  de  P.  Tannery). 

^DrAftDo  Saavbdra.  —  Note  sur  l'histoire  de  la  résolution  des  équations 
cubiques.  Observations  de  M.  P.  Tannery. 

"o^ixz  Cantor.  —  Beitràge  zur  Lebensgeschichte  von  Cari-Friedrich 
Gaass. 

^^T'oxio  Pavaro.  —  Il  métro  proposto  corne  unità  di  misura  nel  1675. 

'«Aum^g  Gallian.  —  Sur  les  Problèmes  mécaniques  attribués  à  Aristote. 
^^^■"-^•^Uons  de  M.  Paul  Tannery. 


.   ^**oo  Carra  de  Vaux.  —  Note  sur  les  Mécaniques  de  BédI  ez-Zamân 
J^^ari  et  sur  un  appareil  hydraulique  attribué  à  Apollonius  de  Perse. 

^^•^^UND  G'ÛNTHER.  —  Die  Kompromiss-Welt-Systeme  des  XVÎ,  XVII 


w^   XVIII  Jahrhunderts. 

■■Oce  Nicolas  Galitzynb.  —  Les  premières  expériences  de  Montgolfier 
'l^'^^s  des  documents  russes  (avec  quatre  fac-similés  d'aquarelles). 

^^itiSLAS  Meunier.  —  Sur  l'évolution  des  idées  dans  le  domaine  de  la 
^^*^«ic  générale. 

^  ^I.BT.  —  Influence  du  positivisme  sur  le  développement  des  sciences 
^^^^Çiqucs  ea  France. 

Millot-Carpentier.  —  La  Médecine  au  xiii«  siècle. 

A^miiANO  Delpeuch.  —  Le  rachitisme  et  la  Médecine  ancienne. 


23o  PHEMIEIIE  PARTIE. 

D*^  MoDESTiNO  DEL  Gaizo.  —  AIclinc  lînee  ciel  movimento  délia  chiruj 
italiana  nel  secolo  dccinioterzo. 

D*"  Victor  Nicaisk.  —  Noies  sur  Télat  des  sciences  anatomique  cl  p 
siologiquc  à  la  venue  de  Vesale  et  de  Ilarvey,  et   en    particulier  de 
sciences  au  moyen  âge. 

Paul  Meuriot.  —   De  roxpression  diaphragma  dans  l'histoire  d< 
Géographie  ancienne. 

GusTAF  Enestrom.  —  SuT  la  constitution  d'un  répertoire  bibliographie 
de  l'histoire  des  Sciences. 

Paul  Taxnery.  —  \otes  sur  les  manuscrits  français  de  Munich  24" 
252  cl  de  Vienne  7049-7050. 

Paul  Tannkry.  —  Lettres  inédites  adressées  au  P.  Mersenne  (par  ^ 
correspondants  bordelais,  Pierre  Trichet,  J.  Laconibe,  Auberl,  Franç=-  <J 
du  Verdus,  Thomas  Martel;  en  tout  9  lettres). 

Nous  donnons  la  liste  complète  de  ces  Mémoires,  parce  qiiesr 
Congrès  dont  il  s'agit  a  été  la  première  tentative  pour  réunir     J 
savants  qui  s'occupent  de  Phistoire  des  différentes  Sciences  et  p 
revendiquer  la  place  légitime  que  Pensemble  de  leurs  travaux  d 
tenir  dans  Phistoirc  générale  de  la  civilisation.  Eu  égard  à  la  s| 
cialisalion  indispensable  aujourd'liui  pour  les  travaux,  originai- 
on  pouvait  se  demander  si  l'idée  était  viable,  s'il  n'était  pas  p 
férablc,  par  excm[)lc,  de  laisser  les  historiens  des  Matliématiqi 
aux  Congrès  des  nialhémaliciens,  etc.  En  somme,   la  tcntaliv 
réussi,  et  le  Volume  publié  en  est  la  preuve;  pour  ne  pas  par — "  ^ 
de  nos  compatriotes,  les  noms,  bien  connus  de  nos  lecteurs, 
savants  étrangers  qui  ont  collaboré  à  ce  Volume,   la  valeur 
Mémoires  insérés  et  le  choix  des  sujets  assureront  certainem 
à  celle    publication  un   rang  sensiblement    au-dessus  du  niv 
moyen  des  nombreux  recueils  fournis  ou  à  fournir  par  les  Cong 
de  1900.  Et  l'on  doit  remarquer  en  môme  temps  que,  quoique 
général  de  toute  première  main,    les  divers  travaux  de  la  Sect 
d'histoire  des  Sciences  offrent  ce  caractère  de  rester  accessibl 
tout  homnje  instruit  et  de  ne  pas  s'adresser  exclusivement  à 
spécialistes. 

Il  y  a  bien  dans  ce  Volume  une  lacune  sensible;  autant  l'hisl 
de  la  Mathématique   d'une  part,  celle  de  la  Médecine  de  Tau 


4, 


COMPTES  HliNDUS  Eï  ANALYSES.  ah 

chacune  aveS  ses  annexes  naturelles,  se  montrent  vivantes,  autant 
rhîsloîre  de  la  Physique  proprement  dite  et  celle  de  la  Chimie 
seail>lcnt  abandonnées.    En     réalité,    les    travailleurs    dans    ces 
domaines  ne  font  pas  défaut,  et  ce  sont  des  circonstances  acciden- 
telles qui  ont  privé  les  organisateurs  de  la  5*  Section  des  Mémoires 
auxquels  ils  avaient  réservé  leur  place.  Mais  il  est  vrai  de  dire  que 
1  histoire  de  la  Physique  se  présente  aujourd'hui  comme  un  éche- 
veau  tellement  emmêlé  qu'il  s'agit  tout  d'abord  de  bien  détcr- 
miocr  quels  fils  il  faut  suivre  et  quels  nœuds  il  faut  trancher  ou 
débrouiller.  Quant  à  la  Chimie  et  à  ses  annexes,    tandis  que  les 
publications  si  importantes  qui  se  poursuivent  sous  la  direction 
de  IM.  Berthelot  (collections  des  alchimistes,  lapidaires)  réunissent 
des  matériaux  surtout  pour  les  recherches  des  générations  futures, 
»*     Chimie   moderne,    qui,    il    y   a    5o  ans,    n'était    pas    encore 
distincte  de  son  histoire,  commence  à  peine  à  sentir  la  nécessité  de 
■*®  pas  perdre  son  passé  de  vue;  on  ne  peut  donc  nier  qu'en  fait 
■  QÎsioîre  de  la  Physique  et   de  la  Chimie  est  relativement  dans 
*">  état  moins  prospère  que  celle  de  la  Mathématique  pure,  par 
^^Cfiiple.  C'est   une  raison  de  plus  pour  y    appeler   les   bonnes 
Mon  lés. 


^■*^t   présentée  à  la  Faculté  des  Sciences  de  Paris.)  ln-4",   |'a8  pages. 


*'ARD  (JiLEs).  —  Sur  la  surface  des  ondes  de  Fresnel.  (Thèse de  Doc- 
l^^^^t   présentée  à  la  Faculté  d 
■^^t  eau  roux,  P.  Langlois,  1901. 

^—  ^st  en  étudiant  la  propagation  de  la  lumière  dans  un  milieu 
^   *^    isotrope  que  Fresnel  a  été  conduit  à  considérer  la  surface  des 

^*^n  que  l'origine  de  cette  surface  soit  dans  un  phénomène 

P   y^i<jue,  l'étude  de  ses  propriétés  et  de  ses  siugularilés  en  a  fait 

^    ^  €|uestion  dont  l'intérêt  a  depuis  longtemps  le  caractère  mathé- 

***^^ic|ue;  la  transformation  apsidale,  la  théorie  générale  des  corn- 

P  ^^«s  quadratiques,  les  questions  de   Géométrie   infinitésimale 

*^*^l.îves  aux  lignes  asymptotiques  ont  trouvé  tour  à  tour  un  champ 

application  dans  cette  surface. 

M.  Cayley  a  étudié,  sous  le  nom  de  lélraédroïde,  une  surface 
^^^  est  la  transformée  homographique  de  la  surface  des  ondes. 


232  PRËMlÈim  PAiniB. 

Divers  auteurs  ont  trouvé  les  ligues  asymptotiques  de  cette  sur- 
face. 

M.  Darboux  en  a  donné  une  propriété  qui  sert  à  les  caractériser 
géométriquement;  il  a  montré  qu'on  pouvait  construire  la  surface 
par  points  et  a  appliqué  la  Géométrie  cinématique  à  la  recherche 
des  rayons  de  courbure  de  la  surface  des  ondes. 

Cette  surface  possède  un  grand  nombre  de  propriétés  pouvant 
lui  servir  de  définition,  soit  qu'on  la  considère  comme  une  surface 
de  Kummer,  surface  focale  d^une  congruence  du  deuxième  ordre 
et  de  deuxième  classe,  ou  encore  surface  singulière  d'un  complexe 
bien  connu  sous  le  nom  de  complexe  de  Painvin.  Mais,  le  plus 
ordinairement,  on  la  définit  comme  surface  apsidale  d'un  ellip- 
soïde. C'est  cette  définition  qu'adopte  M.  Richard.  Il  montre, 
dans  son  travail,  que  la  surface  se  reproduit  elle-même  par  un 
groupe  de  transformations  qui  sont  les  unes  ponctuelles,  les 
autres  polaires  avec  une  quadrique  comme  base;  d'autres,  au  con- 
traire, polaires,  mais  avec  un  complexe  linéaire  pour  base  de  réci- 
procité. 

La  surface  des  ondes  se  trouve  ainsi  rattachée,  de  la  façon  la 
plus  profitable,  à  cette  théorie  des  groupes  de  transformations  qui 
a  reçu,  par  les  belles  découvertes  de  Lie,  un  essor  si  puissant. 

E.  E. 


MELANGES. 


THÈSES  DE  SCIENCES  MATHÉMATIQUES  SOUTENUES  DEVANT  LA  FACULTÉ 
DES  SCIENCES  DE  PARIS  ET  DEVANT  LES  FACULTÉS  DES  SCIENCES  DES 
DÉPARTEMENTS  DANS  LE  COURANT  DU  XIX«  SIÈCLE. 

{Suite.) 

1868  (10  juillet). 

Gruey  (L.-J.).  —  Sur  le  calcul  numérique  des  perturbations  des  petites 
planètes  au  moyen  de  quadratures. 


f 


MÉLANGES.  %33 


1868  (10  juillet). 

PtJBT  (A.-C).  —  Des  quadratures. 

—  Sur  les  mouvements  simultanés  d'un  système  de  points  matériels  assu- 

■ 

jeltis  à  rester  constamment  dans  un  plan  passant  par  l'origine  des  coor- 
données. 

1868  (6  août). 

DiDON  (F.).  —  Étude  de  certaines  fonctions  analogues  aux  fonctions  X,( 
de  Legendre. 

1870  (24  mars). 

Collet  (J.).  —  Intégration  des  équations  simultanées  aux  dérivées  par- 
tielles du  premier  ordre  d'une  seule  fonction. 

—  Du  facteur  intégrant  pour  les  expressions  différentielles  du  premier 
ordre  renfermant  un  nombre  quelconque  de  variables  indépendantes. 

1870  (2  juillet). 

Le  Cobdibr  (P*)*  —  ^u''  ^^^  aires  sphériques  de  Gauss,  sur  la  périodicité 
qui  caractérise  les  potentiels  des  lignes  fermées,  et  sur  les  surfaces  de 
niveau  correspondantes. 

—  Usages  ies  potentiels  dans  Télectro-dynamique  et  dans  l'élcctro- 
magnétisme. 

1871  (i6  décembre). 

Maillard  (S.-N.).  —  Recherches  des  caractéristiques  des  systèmes  clé- 
mentaires  de  courbes  planes  du  troisième  ordre. 

1874  (28  mars). 

Salvbrt  (M. -A. -F.  de).  —  Étude  sur  le  mouvement  permanent  des 
fluides. 

187-4  (28  novembre). 

Tannbry  (J-)-  —  Propriétés  des  intégrales  des  équations  dtiïércntielles 
linéaires  à  coefficients  variables. 

Buii.  des  Sciences  mathem.^  2*  série,  i.  WVI.  (Août  1901.)  i^i 


2J4  PUHMIÊlUi:  PAIITIË. 


1876  (i5  février). 

LÉAUTÉ  (II.-G.-V.-J.).  —  Étude  géométrique  du  problème  de  intégra- 
tion des  équations  difTérenticUes  partielles  du  premier  ordre  et  à  trois 
variables. 

—  Du  frottement  de  pivotement. 

1876  (21  juin). 

AppELL  (P.-E.).  —  Sur  la  propriété  des  cubiques  gauches  et  le  mouve- 
ment hélicoïdal  d*un  corps  solide. 

1870  (24  juillet). 

Baillaud  (E.-B.).  —  Exposition  de  la  méthode  de  M.  Gyidén  poup  le 
développement  des  perturbations  des  comètes. 

1876  (29  juillet). 

Elliot  (V.-Z.).  —  Détermination  du  nombre  des  intégrales  abéliennes 
de  première  espèce. 

1876(3  août). 

JouBKRT  (C.-J.-E.).  —  Sur  les  équations  qui  se  rencontreot  dans  la 
théorie  de  la  transformation  des  fonctions  elliptiques. 

1877  (25  mars). 

André  (A.-D.).  —  Développement  en  séries  des  fonctions  elliptiques  et 
de  leurs  puissances. 

—  Terme  j^énéral  d'une  série  déterminée  à  la  façon  des  séries  récur- 
rentes. 

1877  (27  mars). 

rÉRiiiALi)  ^E.-L.-A.).  —  Exposé  de  la  méthode  de  Hansen  pour  le  calcul 
de-'i  perturbations  spéciales  des  petites  planètes. 


1877  (16  juin  ). 

ricAiii)  i^C.-K.).  —  Application  de  la  théorie   des   complexes    linéaires  à 
1  éluilc  (h*s  Mirfaces  et  des  courbes  gauches. 


MÉLANGES.  ^Vj 


1877  (29  novembre). 

Laisant   (C.-A.).   —   Applications    mécaniques    du    calcul    des    qua- 
ternions. 

—  Sur  un  nouveau  mode  de  transformation  des  courbes  et  des  surfaces 


1878  (3o  janvier). 

Haretu  (S. -G.)  —  Sur  l'invariabilité  des  grands  axes  des  orbites  pla- 
nétaires. 


1878  (14  mars). 

Pellet  (A.-G.-ë.).  —  Sur  la  théorie  des  équations  algébriques. 
—  Sur  la  théorie  des  surfaces. 

1878  (i3  juin). 

Legoux  (E.-A.).  —  Étude  analytique  et  géométrique  d'une   famille  de 
courbes  représentées  par  une  équation  différentielle  du  premier  ordre. 

1878  (20  juillet). 
Halphe.^i  (G.-H.)  —  Sur  les  invariants  différentiels. 

1879  (6  février). 
Perbotin  (  J.-A.).  —  Théorie  de  Vesta. 

1879  (3  avril). 

Floqukt   (A.-M.-G.)  —   Sur   la    théorie    des    équations    différentielles 
linéaires. 

1879  (8  avril). 

BiEULER  (G.).  —  Sur  les  développements  en  série  des  fonctions  double- 
ment périodiques  de  troisième  espèce. 

-^  Sur  la  théorie  des  équations. 

1879  (5  juillet). 
Emmanuel  (D.).  —  Étude  des  intégrales  abéliennes  de  troisième  espèce. 


'jt3r,  PREMIÈRE  PARTIE. 


1879  (i8  juillet). 

PuiSEUX  (  P.-H.  ).  —  Sur  raccclération  séculaire  du   mouvement  de  la 
lunr. 

1879  (•>3  juillet). 

Maximovitch  (VV.).  —  Nouvelle  méthode  pour  intégrer  les  équations 
simultanées  aux  différentielles  totales. 


1879  (i"  août). 

PoiNCARK  (  J.-II.).  —  Sur  les  propriétés  des  fonctions  définies  par   les 
équations  nu\  diiïércnces  partielles. 

1880  (2a  avril). 

■ 

AsTOH  (.V.-M.).  —  Ktudc  sur  quelques  surfaces. 

1880  (21  mai). 

KscLAiBKs  (^H.-E.  n').  —  Sur  les  applications  des  fonctions  elliptiques  à 
Tétude  des  courbes  de  premier  genre. 

1880  {•?.-;  mai). 

NiEWENGLOWSKi  (  1»  -A.).  —  Exposition  de  la  méthode  de  Ricmaiin  pour 
la  détermination  des  >urfacos  minimn  de  contour  donné. 

1880  (^lo  juinV 

nip«)UT  (1..-11.-J.».  —  Sur  un   modo   particulier  de   représentation   des 
imaginaires. 

ISSO  r.i3  juillet  ». 

r>iui.i.oi  IN  i  l..-M.^.  —  Intégration  de>  équations  diAférenlielles  auxquelles 
roiuluit  l'otuile  des  plienoniènos  d'induetii^n  dan>  Ic'^  circuits  dt*rivés. 

1SS<»  .  i  noxeinliio  . 

v.iivr.M.    I  l'i   1.»  icdiiv'li-Mi  de<  r.^rme*  qvi.idt  atique>  ternaires  posi- 

f.\o>»  lî    !«'  lv''P!  .)p|iii,M(i>»n  aux  irr.ili.MtHilIe"  ilii  tioi^itmo  •Ic'rré. 


MÉLANGES.  23; 


1880  (lo  novembre). 

Lecobnu  (L.-F.-A.).  —  Sur  l'équilibre  des  surfaces  flexibles  et  inex- 
tensibles. 

1880  (la  novembre). 

Callakdreau  (P.-J.-O.).  —  Détermination  des  perturbations  d*une  petite 
planète  par  les  méthodes  de  M.  Gyldén.  Application  à  liera. 

1880  (29  décembre). 

BouRGUET  (J.-P.-L.).  —  Développement  en  séries  des  intégrales  eulé- 
riennes. 

1881  (8  juillet). 

GouRSAT  (E.-J.-B.).  —  Sur  l'équation  différentielle  linéaire  qui  admet 
pour  intégrale  la  série  hypergéométrique. 

1882  (17  janvier). 

Sauvage  (L.-G.).  —  Sur  les  propriétés  des  fonctions  définies  par  un  sys- 
tème d*équations  différentielles  linéaires  et  homogènes  à  une  ou  plusieurs 
variables  indépendantes. 

1882  (7  février). 

GoGOU  (G.).  —  Sur  une  inégalité  lunaire  à  longue  période  due  à  l'action 
perturbatrice  de  Mars. 

1882  (21  mars). 

Sparbe  (M.-L.-M.  de).  —  Sur  le  mouvement  du  pendule  conique  à  la  sur- 
face de  la  terre. 

1882  (23  mars). 

Siii.%RD  (G.-F.-M.-P.).  —  Commentaire  sur  deux  Mémoires  de  Riemann 
relatifs  à  la  théorie  générale  des  fonctions  et  au  principe  de  Dirichlet. 

1882  (28  mars). 

Nicolas  (i.).  —  Étude  des  fonctions  de  Fouricr  (première  et  deuxicrac 
espèce  ). 


:>J8  PREMIÈRE  PARTIE. 


1882  (24  juin). 

Kgenigs  (G.-X.-P.).  —  Sur  les   propriétés  infinitésimales    de  l'espace 

réglé. 

1882  (28  juillet). 

AuTONNE  (L.-C).  —  Recherches  sur  les  intégrales  algébriques  des  équa- 
tions difTcrentielles  linéaires  à  coefficients  rationnels. 


1883  (20  avril). 
Rapfy  (L.).  —  Recherches  algébriques  sur  les  intégrales  abéliennes. 

1883  (4  juillet). 

Brunel  (G.-E.-A.).  —  Étude  sur  les  relations  algébriques  entre  les  fonc- 
tions hyperelliptiques  de  genre  3. 

1883  (i3  novembre). 
GuiciiARD  (G.)*  —  Théorie  des  points  singuliers  essentiels. 

1884  (F7  juillet). 

Obreciit  (J.-A.)  —  Kiude  sur  les  éclipses  des  satellites  de  Jupiter. 

188.i  (ai  juillet). 

MoLK  (G. -F. -G.).  —  Sur  une  notion  qui  comprend  celle  delà  divisibilité 
et  sur  la  tliôorie  gcncralc  de  l'élimination. 

1884  (-25  juillet). 

Stkpiianos  (C.).  —  Sur   la   théorie    des    formes    binaires  et   sur    Téli- 
mination. 


1885  (i5  juin). 
BoQUET  I  F.-J.-G.-J.).  —  Développement  de  la  fonction  perturbatrice. 

1885  (19  juin). 
Dkmartres  (G.-L.).  —  Sur  les  surfaces  à  génératrice  circulaire. 


MÉLANGES.  239 

1885  (7  juillet). 

Dadthbvillb  (B.-F.-S.).  —  Étude  sur  les  séries  entières  par  rapport  à 
plusieurs  variables  imaginaires  indépendantes. 

1885  (18  juillet). 
UuMBERT  (M. -G.).  —  Sur  les  courbes  du  genre  un. 

1885  (28  juillet). 

Fabrt  (G.-E.).  —  Sur  les  intégrales  des  équations  différentielles  linéaires 
â  coefGcients  rationnels. 

1886  («àGmars). 

Bbrlott  (C.-A.-M.-B.).  —  Théorie  des  quantités  complexes  à  n  unités 
principales. 

1886  (2  avril). 

RiQCiER  (G.-E.-A.).  —  Extension  à  Thyperespace  de  la  méthode  de 
M.  Garl  Neumann  pour  la  résolution  de  problèmes  relatifs  aux  fonctions 
de  variables  réelles  qui  vérifîent  Téquation  différentielle  AF  =  o. 

1886(1  G  juin). 

BiGOUROAN  (G.).  —  Sur  l'équation  personnelle  dans  les  mesures  d'étoiles 
doubles. 

1886  (3o  juin). 

Stieltjbs  (T.-J.).  —  Recherches  sur  quelques  séries  semi-convergentes. 

1886  (21  juillet). 

Thbvbnet  (A. -P.).  —  Étude  analytique  du  déplacement  infiniment  petit 
d'an  corps  solide. 

1886  (28  juillet). 

Andoter  (M.-II.).  —  Contribution  à  la  théorie  des  orbites  intermédiaires. 

1887  (10  juin). 

Painlevé  (P.).  —  Sur  les  lignes  singulières  des  fonctions  analytiques. 


24o  PUËMIÈRE  PARTIE. 

1887  (27  juin). 
llAyr  (M.-T.-A.).  —  Étude  sur  la  figure  des  corps  célestes. 

1887  (28  juin). 

Adam  (F.-E.).  —  Sur  les  systèmes  triples  orthogonaux. 

1887  (26  octobre). 
Jamet  (E.-V.).  —  Sur  les  courbes  cl  les  surfaces  lélraédrales. 

1887  (11  novembre). 

Flamme  (D.-J.-B.).  —  Recherche  des  expressions  approchées  des  termes 
très  éloignés  dans  les  développements  du  mouvement  elliptique  des 
planètes. 

1888  (19  juin). 

Petot  (C.-A.).  —  Sur  une  extension  du  théorème  de  Pascal  à  la  Géo- 
métrie de  Tcspace. 

1888  (12  juillet). 

Vautihr.  —  Recherches  expérimentales  sur  la  vitesse  d^écoulement  des 
liquides  par  un  orifice  en  mince  paroi. 

1888  (iG  juillet). 
Stolff  (M.-A.-\.).  —  Sur  la  transformation  des  fonctions  fuchsiennes. 

1888  (i3  novembre). 
Rikmann  (J.).  —  Sur  les  problèmes  de  Dirichlel. 

1888  (27  novembre). 
UiniÈni-:  (  C.-II.).  —  Sur  divers  cas  de  la  tlexion  des  prismes  rectangles. 

1880  (li  mars). 

CossLHVT  (  l'^.-.M.-l'.  ).  —  Sur  \c  cercle  considère  coiiuno  élément  j;éné- 
ratciir  «le  i'opacc. 


MÉLANGES.  241 


1«S89  (22  juillet). 


VoGT  (H.-G.).  —  Sur  les  invariants  fondamentaux  des  équations  diffé- 
rentielles linéaires  du  second  ordre. 


1889  (3o  novembre). 

Zaremba  (S.).  —  Sur  un  problème  concernant  Tétat  calorifique  d'un 
corps  solide  homogène  indéfini. 


1890  (26  février). 

Carvallo  (M.-E.).  —  Influence  du  terme  de  dispersion  de  Briot  sur  les 
lois  de  la  double  réfraction. 

—  Méthode  pratique  pour  la  résolution  numérique  complète  des  équa- 
tions algébriques  ou  transcendantes. 


1890  (23  juin). 

Blutel  (E.-M.).  —  Recherches  sur  les  surfaces  qui  sont  en  même  temps 
lieux  de  coniques  et  enveloppes  de  cùnes  du  second  degré. 

1890  (4  juillet). 

AxDRADE  (J.-F.-G.).  —  Sur  le  mouvement  d'un  corps  soumis  à  Tattrac- 
tion  newtonienne  de  deux  corps  fixes,  et  sur  l'extension  d'une  propriété 
des  mouvements  képlériens. 

1890  (10  juillet). 
Lyon(J.>.  —  Sur  les  courbes  à  torsion  constante. 

1890  (Il  juillet). 

RiVEREAU  (P.-P.).  —  Sur  les  invariants  de  certaines  classes  d'équa- 
tions diflerentielles  homogènes  par  rapport  à  la  fonction  inconnue  et  ù 
ses  dérivées. 

1891  (22  janvier). 
Mangkot  (F.-C.-S.).  —  De  la  symétrie  courbe. 


xU  PKEMIÈUE   PARTIE. 

1891  (i4  avril). 

BouRLET  (G.-E.).  —  Sur  les  équations  aux  dérivées  partielles  simultanées 
qui  contiennent  plusieurs  fonctions  inconnues. 

1891  (23  juillet). 

Tannenberg  (W.  de).  —  Sur  les  équations  aux  dérivées  partielles  du 
premier  ordre  à  deux  variables  indépendantes,  qui  admettent  un  groupe 
continu  de  transformations. 

1891  (!i9  octobre). 
Gels  (J.>J.).  —  Sur  les  équations  différentielles  ordinaires. 

1892  (i6  mars). 

PiCART  (T.-L.).  —  Sur  la  désagrégation  des  essaims  météoriques. 

1892  (3o  mars). 

G0NNE8SIAT  (F.).  —  Recherches  sur  Téquation  personnelle  dans  les 
observations  astronomiques  de  passages. 

1892  (18  avril). 

Padé  (U.'E.).  —  Sur  la  représentation  approchée  d'une  fonction  par  des 
fractions  rationnelles. 

1892  (18  mai). 

IIada!UART>  (J.-S.).  —  Kssai  sur  l'étude  des  fonctions  données  par  le 
développement  de  Taylor. 

1892  (i3  juin). 

Vkïsiot  (K.-I*.-J.).  —  Sur  Tintégralion  des  équations  différentielles 
linéciire*!. 

1892  (;!8  juin). 

IV\u\K  (  A.).  —  Sur  le  problème  «le  Diriehlet  et  son  extension  au  cas  de 
ré«|uatiini  linéaire  ^'énêrale  du  second  ordre. 


MÉLANGES.  243 


1892  (25  novembre). 

Pbrghot  (L.-J.).  —  Sur  les  mouvements  des  nœuds  et  du  périgée  de  la 
lune  et  sur  les  variations  séculaires  des  excentricités  et  des  inclinaisons. 


1892  (6  décembre). 
Gébard  (M.-L.-J.).  —  Sur  la  Géométrie  non  euclidienne. 

1892  (7  décembre). 

Maillet  (£.-T.).  —  Recherches  sur  les  substitutions,  et  en  particulier 
sar  les  groupes  transitifs. 

1892  (i3  décembre). 

BouASSE  (M.-P.-H.).  —  Réflexion  et  réfraction  dans  les  milieux  isotropes, 
transparents  et  absorbants. 

1893  (11  novembre). 

Le  Vavasseuh  (P.-R.).  —  Sur  le  système  d'équations  aux  dérivées 
partielles  simultanées  auxquelles  satisfait  la  série  hypergéométrique  à 
deux  variables. 

1893  (i5  novembre). 
Sautrbaux  (C.-B.).  —  Sur  une  équation  d'Hydrodynamique. 

1893  (3o  novembre). 

Tresse  (A.-M.-L.).  —  Sur  les  invariants  différentiels  des  groupes  conli- 
Diis  de  transformations. 

1893  (14  décembre). 
M*^  Klumpkb(D.).  —  Contribution  à  l'étude  des  anneaux  de  Saturne. 

1893  (f9  décembre). 
p£miBR  (G.-E.).  —  Sur  une  équation  différentielle  du  troisième  ordre. 


1^  PREMIËHË  PARTIE. 


1893  (29  décembre). 


FABnY(L.).  — Étude  sur  la  probabilité  des  comètes  hyperboliques  et 
l'origine  des  comètes. 

1894  (18  janvier). 

Antomari  (F.-X.).  —  Application  de  la  méthode  cinématique  à  Tctudc 
des  surfaces  réglées;  mouvement  d'un  corps  solide  assujetti  à  cinq  con- 
ditions. 

1894  (8  mars). 

Garonnet  (T.-D.).  —  Recherches  sur  les  surfaces  isothermiques  et  les 
surfaces  dont  les  rayons  de  courbures  sont  fonctiqns  Tun  de  Tautre. 

1894  (16  mars). 

Caiien  (E.).  —  Sur  la  fonction  de  Riemann  et  sur  des  fonctions 
analogues. 

1894  (10  avril). 

Grévy  (  A.-C).  —  Ktude  sur  les  équations  fonctionnelles. 

1894  (7  juin). 

Maltézos  (  G. -(].).  —  Los  enveloppes  solides  minces. 
—  Les  cloches. 

1894  («juin). 

Cousin  (P. -A.).  —  Sur  les  fondions  de  n  variables  comple\es. 

1894  (i.i  juin  ). 
BoiiKi-  «  K.-F.-J.^.  —  Sur  ({uciquos  points  de  la  théorie  des  fondions. 

1891  (  77  juin  ). 

Si'iiii  IKR  «A.-.M.-J.  nK  1.  —  Sur  dcMix  formules  fondamentale^  dans  la 
thénrio  dos  formes  (|uadra(i(]urs  cl  Av  la  mul(i|»lii.-atioii  romplo\e  d'aprè> 
KroiHM'krr. 


MÉLANGES.  245 

1894(27  juin). 
L.EL1EWRE  (M.'C).  —  Sur  les  surfaces  à  génératrices  rationnelles. 

1894  (28  juin). 

Cartan   (E.-J.).  —  Sur  la  structure  des  groupes  de  transformations 
finis  et  continus. 

1894  (29  juin). 

Petrowitch  (M.).   —  Sur  les  zéros  et  les  infinis  des  intégrales   des 
équations  différentielles  algébriques. 

1895  (22  janvier). 

L«ACOUR  (V.-L.-E.).  —  Des  fonctions  d'un  point  analytique  à  multiplica- 
teurs exponentiels  ou  à  périodes  rationnelles. 

—  Sur  l'équation  de  la  chaleur. 

1895  (24  janvier). 

Le  Roux  (J.-M.).  —  Sur  les  intégrales  des  équations  linéaires  aux  déri- 
vées du  second  ordre  à  deux  variables  indépendantes. 

1895  (28  mars). 

DEUiSSUS  (E.-M.).  —  Sur  les  équations  linéaires  aux  dérivées  partielles  à 
caractéristiques  réelles. 

1895  (29  mai). 

DELEMEa  (J.-J.-B.).  —  Sur  le  mouvement  varié  de  l'eau  dans  les  tubes 
capillaires  cylindriques,  évasés  à  leur  entrée,  et  sur  rétablissement  du 
ré^me  uniforme  dans  ces  tubes. 

1895  (21  juin). 

Kdi^R  von  Leber  (M.-J.).  —  Interpolation  parabolique  et  hyper- 
bolique. 

—  Convergence  des  séries  algébriques. 


24G  PREMIÈRE  PARTIE. 


1895  (5  novembre). 

GoccLESCU  (N.).  —  Sur  les  expressions  approchées  des  termes  de  l'ordre 
élevé  dans  le  développement  de  la  fonction  perturbatrice. 

1896  (28  février). 

RouGiER  (G.-J.-M.)  —  Sur  quelques  sous-groapes  de  la    1 1*  classe  du 

groupe  modulaire. 

1890  (27  mai). 

Beudon  (J.-A.-E.).  —  Sur  les  systèmes  d*équations  aux  dérivées  par- 
tielles dont  les  caractéristiques  dépendent  d'un  nombre  fini  de  para- 
mètres. 

1896  (8  juin). 

IIaure  (J.-M.-T.).  —  Recherches  sur  les  points  de  Weicrstrass  d'une 
courbe  plane  algébrique. 

1897  (5  mars). 

TiivBAi  T  (  A.-L.).  —  Sur  la  déformation  d*un  paraboloïde  et  sur  quelques 
problèmes  qui  s'y  rattachent. 

1897  (-23  mars). 

FÉRAUD  (A. -A.).  —  Sur  la  valeur  approchée  des  coefficients  d'ordre 
élevé  dans  les  développements  en  séries. 

1897  (24  mars). 
Simonin  (L.-M.-K.).  —  Sur  l'orbite  de  (ÎS)  Hécube. 

1897  (2  avril). 

Leau  (\j.).  —  Etude  sur  les  équations  fonctionnelles  à  une  ou  plusieurs 
variables. 

1897  (10  juin). 

Mascart  (J.-M.).  —  Contribution  à  l'étude  des  planètes  télescopiqucs. 


MÉLANGES.  247 

1897  (II  juin). 

SucHAR  {J.)«   —  Sur  le  problème   général    de  l'inversion  et  sur  une 
classe  de  fonctions  qui  se  ramènent  à  des  fonctions  à  multiplicateurs. 

1897  (21  juin). 

Boulanger  (A.-U.-L.).  —  Contribution  à  l'étude  des  équations  diiïé- 
rentielles  linéaires  et  homogènes  intégrables  algébriquement. 

1897  (22  juin). 

Lebeup  (A.-V.).  —  Sur   une    nouvelle    démonstration    des   polynômes 
Hansen-Tisserand .  Applications. 

—  Table  pour  le  calcul  des  perturbations  de  Jupiter  sur  les   petites 
planètes. 

1897  (i3  novembre). 

DBSAl^T  (L.-A.-J.).  —  Sur  quelques  points  de  la  théorie  des  fonctions. 

1897  (24  novembre). 
Nau  (F.-N.).  —  Formation  et  extinction  du  clapotis. 

1898  (21  janvier). 

BouRGET  (C.-E.-H.).  —  Sur  une  classe  particulière  des  groupes  hypcr- 
abéliens. 

1898  (22  avril). 

Le  Rot  (E.-L.-E.-J.).  —  Sur  l'intégration  des  équations  de  la  chaleur. 

1898  (24  juin). 

Drach  (J.-i.).  —  Essai  sur  une  théorie  générale  de  l'intégration  et  sur 
une  classification  des  transcendantes. 

1898  (24  juin). 

Marotte  (F.-A.).  —  Les  équations  diiïérenticlles  linéaires  et  la  théorie 
ries  groupes. 


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ïllf-  l'f-  I.  l'.i  "i.r:  iii;s  m  i  1 1>  i:iiii>i.< 

ENCES  MATHÉMATIQUES, 

|BUIG6  rvM  MU.  a.  uAitmmx,  t.  riti^vui)  et  j.  taxhbiit, 

^rvetloi  liQ  1b  Oonmicston  d«fl  Hantes  Ëtvdse. 
,,-  -.    — ,.  ^,  ii.o»iiiwi»nJ.oiH»i, 

'iiiinrK,/.  nnuKi.r.T  i.  taKKkvi         J  a   "  âfl 

L>tliaol'«   KT  I.  T.1NKBIIT.  =   I    i  *3i 


OEOxre.vf;  .'HittfE. 

TOME     :    .  .  :  -rTÊMBRB    l»02- 


^%flB^ 


PARIS. 

'tl'RiMEUIt-LIKUAiltE 

t'trffLll    rul.tlIiUUfl'IOllK. 


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I,]  Il  il  A  i  lu  i:  i;  A  I  rii  i  tii   v  1 1  i  \\ 


iCAvaus  au« 


M  ds  nbttaC-unluiuii 


tOAOcBy  ^  Auf.  ;<    —   aàiii 


COMPTKS  UKNDUS  KT  ANALYSLS.  7(9 


COxMPTKS   KKNIXIS   Kl    ANALYSES. 


UILIIERT,  Profossoiir  à  ITriivcrsilo  do  GiHliniîon.  —  Lks  roxDKMENTs  nn  i.a 
Gêohétrie  (Grundlagrn  dkr  (ikomkthik).  iMSlsf^lirifl  ziir  Foicr  dor  Enlliiil- 
lu¥ig  des  Gauss-Wcbor-Dcnkmnis. 

Quels  sont  les  principes  fonrliinienlaiix  de  la  (n'oinélrie;  quelle 
en  est  l'origine,  la  nalnre  et  la  porjcc?  (^e  sont  là  des  questions 
flut  onl  de  loul  lemps  préoccupé  les  nicilliéinciti(!iciis  cl  les  pen- 
seurs, mais  qui,  il  y  a  un  siècle  en\iroii,  oui  pris  pour  ainsi  dire 
une  figure  loule  nouvelle!,  j;rî\c»î  aux  idées  de  Lohalchev.ski  cl  de 
Boijai. 

On  s'ol  lonj^lcmps  cn*orc<*  de  lïf'monlrcr  la  proposition  connue 
sous  le  nom  de  posiuialitni  flf'siirlidr,  on  a  con^laninicnl  échoué; 
nous  connaissons  maintenant  la  raistm  de  «N's  ét-hccs.  Lolialchevski 
est  parvenu  à  construire  un  édilici'  lo:;lque,  aussi  c<diérent  (puî  la 
vJéotnélrie  d'Kuclidc»,  mais  où  !«•  céléhrc  poslulatuni  (»sl  su|)))Osé 
*^^ix,cl  où  la  soniuie  des  anj;l(»s  d'un  triaugle  est  toujours  plus 
peiite  que  deux  droits.  Jlicuiann  a  imaginé  un  autn?  sxslcme 
•Ogîcjiic,  également  exempt  de*  coulr.idiclinu,  cl  où  cctl<!  somme 
est  au  contraire  toujours  plus  grande  i\uv  deux  droits.  (!('.s  deux 
gCoinêlrirs,  celle  de  Lid)at(diev>ki  cl  celle  de  liicmaun,  sonl  (te 
<|u  on  appelle  les  :*rnntr  frics  notirurlitlienfics. 

Le  poslulatum   d'ICuclide  ne  peut  donc  clr«'  dcmoulré,  et  celle 

impossibilité  csl  au>si  ahsnliiment  cerlaiue  qu»?  nimpcuh'  cpielhî 

verilé    niathémali(|uc.    («c    «pii    n'cm])éclie    |)a>    T  Vcadémie    des 

î^Cienccs    de    rcc(îV(»ir    chaque    année    plusieurs    démou>lrahons 

nouvelles  aux(pn.dles    v.Wr.   reluse  nalurelIcmiMit   Thospitalilé   thîs 

Comptes  rendus, 

"n  a  déjà  hcancoup  éeril  sur  \c.<  géoméiries  noii-cuclidicnncs  ; 

1      ^f^^  avoir  crié*  au  scantlale,  on  s*e.«,i  hahiluf*  à  ee  (iiTclles  ont  de; 

P*'*a(/i>xn|;  plusieurs  per-^ounes  soûl  allé-e*  juMpTà  iloiih-r  du  pos- 

'^'ïifiij   à  se  demander  si  r«*>paec  réel  e^l  plan,  commi'  le  sup|)o- 

(llticlide,  ou  s'il   n(;  présciih'  pas  une  légère  rnurhitn*.  Klles 

jaiont  même  que  Texpérieiue  pouv.iiL  leur  donuer  une  rt'pon^e 

•    ^^^*s  ScivnCfx  nuitiuiti..   •    -«lir,  1.  \\\l    t  <»j.ii  miiir  i-,"'.;  17 


25o  PKËxMlËHB  PAKTIii:. 

à  cette  question.  Inutile  d'ajouter  que  c'était  là  méconn 
complètement  la  nature  de  la  Géométrie,  qui  n'est  pas  une  sci 
expérimentale. 

Mais  pourquoi,  parmi  tous  les  axiomes  de  la  Géomélri 
postulatum  serait-il  le  seul  qu'on  pût  nier  sans  dommage 
la  Logique?  D'où  tiendrait-il  ce  privilège?  On  ne  le  voit  pas 
bien  et,  à  ce  compte,  bien  d'autres  conceptions  sont  possibK 

Cependant  beaucoup  de  géomètres  contemporains  ne  seml 
pas  penser  ainsi.  En  accordant  le  droit  de  cité  aux  deux  géomé 
nouvelles,  ils  croient  sans  doute  avoir  été  jusqu'au  bout  des 
cessions  possibles.  C'est  pourquoi  ils  ont  imaginé  ce  c 
appellent  la  Géométrie  générale j  qui  comprend  comme  cas 
ticuliers  les  trois  systèmes  d'Euclide,  de  Lobatchevski  et  de 
mann,ctqni  n'en  comprend  pas  d'autres.  Et  cetteépithètede^ 
raie  signifie  évidemment,  dans  leur  esprit,  qu'aucune  ! 
géométrie  n'est  concevable. 

Ils  perdront  celte  illusion  s*ils  lisent  l'Ouvrage  de  M.  Hil 
Ils  y  verront  éclater  de  toutes  parts  les  cadres  dans  lesque 
avaient  voulu  nous  enfermer. 

Pour  bien  comprendre  cette  tentative  nouvelle,  il  faut  se 
peler  quelle  a  été  depuis  cent  ans  l'évolution  de  la  pensée  m 
nialique,  non  seulement  en  Géomélrie,  mais  en  Arilhmétiqi 
en  Analyse.  I^a  notion  de  nombre  s'est  éclaircie  et  précisée 
même  lemps  elle  a  reçu  des  généralisations  diverses.  La  plus 
cieuse  pour  les  analystes  est  celle  qui  résulte  de  Tintrodu 
des  imaginaires  dont  les  mathématiciens  modernes  ne  [ 
raient  plus  se  passer;  mais  on  ne  s'est  pas  arrêté  là  et  l'on  a 
entrer  dans  la  Science  d'autres  généralisations  du  nombre 
comme  on  dit,  d'autres  catégories  de  nombres  complexes. 

Les  opérations  de  l'Arithmétique  ont  été  de  leur  côté  sour 
à  la  crititjue,  et  les  quatcrnions  de  Hamilton  nous  ont  montr 
exemple  d'une  opération  qui  présente  une  analogie  presque 
faite  avec  la  multiplication,  que  Ton  peut  appeler  du  même  n 
et  qui  pourtant  n'est  pas  commutative,  c'est-à-dire  dont  le  pro< 
change  quand  on  intervertit  l'ordre  des  facteurs.  C'était  là, 
Arithmétique  une  révolution  toute  pareille  à  celle  qu'avait  f 
Lobatchevski  en  Géométrie. 

Notre    façon   de    concevoir   l'Infini    s'est    également    modif 


COMPTES  RENDUS  ET  ANALYSES.         i5i 

M.  G.  Cantor  nous  a  appris  à  dislingncr  des  degrés  dans  rinfini 
lui-même  (qui  n^ont  d'ailleurs  rien  de  commun  avecles  infiniment 
peliis  des  diflférents  ordres  créés  par  Leibniz  en  vue  du  calcul 
infinitésimal  ordinaire).  La  notion  du  continu,  longtemps  regar- 
dée comme  primitive,  a  été  anal^^sée  et  réduite  à  ses  éléments. 

Menti  on  nerai-je  également  les  travaux  des  Italiens  qui  se  sont 
efforcés  de  créer  un  symbolisme  logique  universel  et  de  réduire  le 
raisonnement  mathématique  à  des  règles  purement  mécaniques? 

Il  faut  se  rappeler  tout  cela  si  Fon  veut  comprendre  comment 
des  conceptions,  qui  auraient  fait  bondir  Lobatchevski  lui-même, 
loat  révolutionnaire  qu'il  fût,  nous  semblent  aujourd'hui  presque 
naturelles  et  ont  pu  être  proposées  par  M.  Hilbert  avec  une  par- 
faite tranquillité. 

L^  LISTE  DES  AXIOMES.  —  La  première  chose  à  faire  était  d'énu- 
mérer  tous  les  axiomes  de  la  Géométrie.  Ce  n'était  pas  si  facile 
quon  pourrait  le  croire;  il  y  a  les  axiomes  que  l'on  voit  et  ceux 
quon  ne  voit  pas,  ceux  qu'on  introduit  inconsciemment  et  sans 
s  en  apercevoir.  Euclide  lui-même,  que  Ton  croit  un  logicien 
impeccable,  en  ap|)lique  souvent  qu'il  n*énonce  pas. 

1^  liste  de  M.  Hilbert  est-elle  définitive?  Il  est  permis  de  le 
croire,  car  elle  semble  avoir  été  dressée  avec  soin.  Le  savant  Pro- 
icsseur  répartit  les  axiomes  en  cinq  groupes  : 

^'  Axiome  der  Verknûpfung(je  traduirai  par  axiomes projecti/s 
^  "^u  de  chercher  une  traduction  littérale,  comme  par  exemple 

^^^'^^^les  de  la  connection,  nui  ne  saurait  être  satisfaisante). 

Il  •  • 

•     Axiome  der  Anordnung  (axiomes  de  Tordre). 

■'•  Aiiome  d'Euclide. 

•  •  Axiomes  de  la  congruence  ou  axiomes  niétri(|ues. 
^  •    Axiome  d'Arcbimède. 

*  ^rmi  les  axiomes  projectifs,  nous  distinj^uerons  ceux  du  plan 
c^  Ceux  de  l'espace  ;  les  premiers  sont  ceux  (]iii  dérivent  de  la  pro- 
P*^^*lion  bien  connue  :  par  deux  points  passe  une  droite  et  une 

^^^le;  mais  je  préfrie  traduire    littéralement  afin  de  bien  faire 

^"ïprendre  la  pensée  de  M.  Hilbert. 

^<  Imaginons  trois  sjrstèmes  d'objets  que  nous  appcllerons/;o//}/5y 


252  «    PKEMIÈKE  PARTIE. 

droites  el  plans.  Imaginons  que  ces  points,  droites  et  plans  suien 
lies  par  certaines  relations  que  nous  exprimerons  par  les  mots 
être  situé  sur,  entre,  etc. 

»  I.  —  1.  Deux  points  diflfërents  A  et  B  déterminent  toujours 
une  droite  a;  ce  que  nous  écrirons 

AB  =  a        ou        BA  =  a. 

)>  Au  lieu  du  mot  déterminent  nous  emploierons  également 
d'autres  tournures  de  phrase  qui  seront  synonymes;  nous  dirons  : 
A  est  situé  sur  a,  A  est  un  point  de  a,  a  passe  par  A,  a  joint  A 
à  B,  etc. 

»  I.  —  2.  Deux  points  quelconques  d'une  droite  déterminent 
celte  droite,  c'est-à-dire  que  si  AB  :=  a  et  que  AC  =  a,  et  si  B  est 
diflérent  de  C,  on  a  aussi  BC  :=  a.  » 

Voici  les  réflexions  que  doivent  nous  inspirer  ces  énoncés  :  les 
expressions,  être  situé  sur,  passer  par,  etc.,  ne  sont  pas  destinées 
à  évoquer  des  images;  elles  sont  simplement  des  synonymes  du 
mot  déterminer.  Les  mots  point,  droite  et  plan  eux-mêmes  ne 
doivent  provoquer  dans  Tesprit  aucune  représentation  sensible. 
Ils  pourraient  indiiïeremment  désigner  des  objets  d'une  nature 
<juelcon(|ue,  pourvu  qu'on  pûl  établir  entre  ces  objets  une  corres- 
pondance telle  qu'à  tout  système  de  deux  des  objets  appelés 
points  correspondît  un  dos  objets  appelés  droites,  et  un  seul.  Et 
c'est  |)ourquoi  il  devient  nécessaire  d'ajouter  (1,  2)  que,  si  la  droite 
(jui  correspond  au  système  des  deux  points  A  et  B  est  la  même 
que  celle  (|ui  correspi^nd  au  système  des  deux  points  B  et  C,  c'est 
aussi  la  même  qui  correspond  au  système  des  deux  points  A  etC. 

Ainsi  M.  Hîlhert  a,  pour  ainsi  dire,  cherché  à  mettre  les  axiomes 
sous  une  forme  telle  qu'ils  puissent  être  appliqués  par  quelqu'un 
qui  n'en  comprendrait  pas  le  sens  parce  qu'il  n'aurait  jamais  vu  ni 
point,  ni  droite,  ni  plan.  Les  raisonnements  doivent  pouvoir, 
d'après  lui,  se  ramoner  à  dos  rèj^los  puromonl  mécaniques,  et  il 
suffit,  paur  faire  la  (looniélrio,  d'appliquer  sorvilomenl  ces  règles 
aux  axiomes,  saiis  saNoir  ce  cpiils  veulent  dire.  On  pourra  ainsi 
oonsh'uiro  louti*  la  (lèoinèlrio,  jt'  no  dirai  pas  {)rèoisonionl  sans  y 
rioii   oonipromiro,    puisqu'on    sai'^ira    ronohaiiioniont    logique   des 


COMPTES  RENDUS  ET  ANALYSES.         253 

positions,  mais  tout  au  moins  sans  y  rien  voir.  On  pourrait 
;oofier  les  axiomes  à  une  machine  à  raisonner,  par  exemple  au 
pietf^o  raisonneur  de  Stanley  Jevons,  et  Ton  en  verrait  sortir  toute 
la  Géométrie. 

0^€sl  la  même    préoccupation   qui  a  inspiré   certains    savants 
îlalienSy  tels  que  MM.  Peano  et  Padoa,  qui  se  sont  efforcés  de 
créer  une  pasigraphie,    c'est-à-dire   une   sorte  d'Algèbre  uni- 
verselle où  tous  les  raisonnements  sont  remplacés  par  des  sym- 
boles ou  des  formules. 

Cette  préoccupation  peut  sembler  artificielle  et  puérile;  et  il 
est  inutile  de  faire  observer  combien  elle  serait  funeste  dans  l'en- 
seignement et  nuisible*  au  développement  des  esprits;  combien 
elle   serait  desséchante   pour  les  chercheurs,   dont  elle    tarirait 
promptement  l'originalité.  Mais,  chez  M.  Hilberl,  elle  s'explique 
et  se  jiislifîe,  si  l'on   se  rappelle  le  but  poursuivi.  La  liste  des 
axiomes  est-elle  complète,  ou  en  avons-nous  laissé  échapper  quel- 
ques-uns que   nous  appliquons  inconsciemment?  Voilà  ce  qu'il 
faut  savoir.  Pour  cela  nous  avons  un  critère,  et  nous  n'en  avons 
qu'un.  Il  faut  chercher  si  la  Géométrie  est  une  conséquence  logique 
des  axiomes  explicitement  énoncés,  c'est-à-dire  si  ces  axiomes 
confiés  à  la  machine  à  raisonner  peuvent  en  faire  sortir  toute  la 
«uite  des  propositions. 

Si  oui,  on  sera  certain  de  n'avoir  rien  oublié.  Car  notre  machine 
^^  peut  fonctionner  que  conformément  aux  règles  de  la  Logique 
pour  lesquelles  elle  a  été  construite;  elle  ignore  ce  vague  instinct 
9°e  nous  appelons  intuition. 

••c  ne  m*étendrai  pas  sur  les  axiomes  projeclifs  de  l'espace  que 
'auteur  numérote  I,  3,  4,  5,6.  Rien  n'est  changé  aux  énoncés 
habituels. 

Un  mot  seulement  sur  l'axiome  I,  7,  qui  se  formule  ainsi  : 

**  Sur  toute  droite  il  y  a  au  moins  deux  points;  sur  tout  plan, 
^y  a  au  moins  trois  points  non  en  ligne  droite;  dans  l'espace  il  y 
^u  moins  quatre  points  qui  ne  sont  pas  dans  un  même  plan.  » 

^  ^t  énoncé  est  caractéristique.  Quiconque  aurait  laissé  àl'intui- 
^û  une  place,  si  petite  qu'elle  fui,  n'aurait  pas  songé  à  dire  que 
^r  toute  .droite  il  y  a  au  moins  deux  points,  ou  bien  il  aurait 
jouté  tout  de  suite  qu'il  y  en  a  une  infinité;  car  l'intuition  de  la 


254  PREMIÈRE  PAKTIK. 

droite  lui  aurait  révélé  immédiatement  et  simultanémeat  ces  deai 
vérités. 

Passons  au  second  groupe,  celui  des  axiomes  de  Tordre.  Voici 
l'énoncé  des  deux  premiers  : 

«  Si  trois  points  sont  sur  une  même  droite,  il  y  aentreeaxane 
certaine  relation  que  nous  exprimons  en  disant  que  l'un  des  points, 
et  un  seulement,  est  entre  les  deux  autres.  Si  C  est  entre  A  et  6, 
et  si  D  est  entre  A  et  C,  D  sera  aussi  entre  A  et  B,  etc.  » 

Ici  encore  nous  ne  faisons  pas  intervenir  Tintuition;  nous  ne 
cherchons  pas  à  approfondir  ce  que  signifie  le  mot  entre,  tonte 
relation  satisfaisant  aux  axiomes  pourrait  être  désignée  psr 
le  même  mol.  Voilà  qui  est  bien  propre  à  nous  éclairer  sur  la 
nature  purement  formelle  des  définitions  mathématiques;  mais  je 
n'insiste  pas,  car  je  n'aurais  qu'à  répéter  ce  que  j'ai  dit  à  propos 
du  premier  groupe. 

Mais  une  autre  réflexion  s'impose.  Les  axiomes  de  l'ordre  sont 
présentés  comme  dépendant  des  axiomes  projectifs,  et  ils  n'auraient 
plus  aucun  sens  si  l'on  n'admettait  pas  ces  derniers,  puisqu'on  ne 
saurait  ce  que  c'est  que  trois  points  en  ligne  droite.  Et  cependant 
il  existe  une  géométrie  particulière,  purement  qualitative,  et  qu» 
est  absolument  indépendante  de  la  Géométrie  projective,  qui  ne 
suppose  connues  ni  la  notion  de  droite,  ni  celle  de  plan,  mais  seule- 
ment celles  de  ligne  et  de  surface;  c'est  ce  qu'on  appelle  YAnd- 
lysis  silifs.  Ne  serait-il  pas  préférable  de  donner  aux  axiomes  au 
deuxième  groupe  une  forme  qui  les  affranchît  de  cette  dépen- 
dance  et  les  séparai  complètement  du  premier  groupe?  11  reste  a 
savoir  si  cela  serait  possible,  en  conservant  à  ces  axiomes  leur 
caractère  purement  logique,  c'est-à-dire  en  fermant  complètement 
la  porte  à  toute  intuition. 

Le  troisième  groupe  ne  contient  qu\in  seul  axiome,  qui  est  1^ 
célèbre  postulalum  d'Euclide;  je  remarquerai  seulement  q^^» 
contrairement  à  l'usage  ordinaire,  il  est  présenté  avant  les  axioiï*^^ 
uiè  triques. 

Ces  derniers  forment  le  quatrième  groupe.  Nous  y  disting"^^' 
roiis   trois   sous-groupes.    Les  propositions  IV,  1,  2,  3  sont    ^^^ 
îixiomes  métriques  des  segments  :  ces  axiomes  servent  à  défi '^ 
les  loniru(Mirs.  On  conviendra  de  dire  qu'un  segment  pris  sur  t* 


COMPTES  RENDUS  ET  ANALYSES.         255 

droite  peut  être  congruent  (égal)  à  un  segment  pris  sur  une  autre 
droite;  c'est  Taxiome  IV,  1;  mais  cetle  convenlion  n'est  pas  tout 
à  fait  arbitraire;  elle  doit  élre  faite  de  façon  que  deux  segmenls 
cong'ruents  à  un  même  troisième  soient  congruents  entre  eux 
(IV^  2);  on  définit  ensuite  par  une  convention  nouvelle  l'addition 
des  segments,  et  cette  convention,  à  son  tour,  doit  être  faite  de 
façon  qu'en  additionnant  des  segments  égaux  on  trouve  des  sommes 
%ales;  et  c'est  là  l'axiome  IV,  3. 

Les  propositions  IV,  4,  5  sont  les  axiomes  correspondants  pour 
les  angles.  Mais  cela  ne  suffit  pas  encore  :  aux  deux  sous-groupes 
des  axiomes  métriques  des  segmenls  et  des  angles  il  faut  adjoindre 
l'axiome  métrique  des  triangles  (que  M.  Hilbert  numérote  IV,  6); 
SI  deux  triangles  ont  un  angle  égal  compris  entre  côtés  égaux,  les 
autres  angles  de  ces  deux  triangles  sont  égaux  chacun  à  chacun. 
Od  retrouve  là  l'un  des  cas  connus  de  l'égalité  des  triangles, 
que   l'on  démontre  d'ordinaire  par  surpcrposition,  et  qu'on  doit 
poser  en  postulat  si  l'on  veut  éviter  de  faire  appel  à  Tinluition. 
Quand  d'ailleurs  on  se  servait  de  l'intuition,  c'est-à-dire  de  la 
superposition,  on  vovait  du  même  coup  que  les  troisièmes  côtés 
étaient  égaux  dans  les  deux  triangles,  et  les  deux  propositions 
étaient  unies  pour  ainsi  dire  dans  une  même  apcrception;  ici,  au 
^^•ï traire,  nous  les  séparons;  de  l'une  d'elles  nous  faisons  un  pos- 
tulat, mais  nous  n'érigeons  pas  l'autre  en  postulat,  parce  qu'elle 
P^ut  se  déduire  logiquement  de  la  première. 

-A^utre  remarque  :  M.  Hilbert  dit  bien  que  le  segment  AB  est 

covigruent  à  lui-même,  mais  (et  de  même  pour  les  angles)  il  devrait, 

^^'^Ijle-t-il,  ajouter  qu'il  est  congruent  au  segment  inverse  BA. 

^et  axiome  (qui  implique  la  symétrie  de  l'espace)  n'est  pas  iden- 

*S^e  à  ceux  qui  sont  explicitement  énoncés.  Je  ne  sais  s'il  pour- 

'^•^  s'en  déduire  logiquement;  je  crois  que  oui,  mais,  étant  donnée 

'Marche  des  raisonnements  de  M.  Hilbert,  il  me  semble  que  ce 

P^siiilaj  esi  appliqué  sans  être  énoncé  (page  17,  ligne  18). 

•■e  regretterai  aussi  que,  dans  cet  exposé  des  axiomes  métriques, 

**  ne  reste  plus  aucune  trace  d'une  notion  dont  Helmhoitz  avait,  le 

t^^mier,  compris  l'importance  :  je  veux  parler  du  déplacement 

^  **ne  figure  invariable.  On  aurait  pu  conserver  à  celle  notion  son 

^<"e  naturel,  sans  sacrifier  le  caractère  logi(|ue  des  axiomes.  On 

*^rait  pu  dire,    par   exemple  :   Je  définis    enlre    les  figures  une 


256  PREMIÈRE  PARTIE. 

certaine  relation  que  j'appelle   congruence,  etc.;  deux  figeasses 
congrucntes  à  une  même  troisième  sont  congruentes  entre  eil^s; 
deux  figures  congruentes  sont  identiques  quand  trois  points     de 
l'une,  non  en  ligne  droite,  sont  identiques  aux  trois  points  oox^- 
rcspondants  de  Tautre,  etc.  On  aurait  évité  ainsi  l'introdact-ioii 
artificielle  de  cet  axiome  IV,  6,  et  les  postulats  auraient  été  x*at- 
tachés  à  leur  véritable  origine  psychologique. 

Le  cinquième  groupe  ne  comprend  qu'un  seul  axiome,  celai 
d'Archimède. 

Soient  deux  points  quelconques  A  et  B  sur  une  droite  D;  soil  a 
un  segment  quelconque;  construisons  sur  D,  à  partir  du  point  A, 
et  dans  la  direction  AB,  une  série  de  segments  tous  égaux  eotre 
eux  et  égaux  à  a  :  AA|,  Ai  A2,  .  -  -,  A«_i  A«;  on  pourra  toujours 
prendre  n  assez  grand  pour  que  le  point  B  se  trouve  sur  l'an  de 
ces  segments. 

C'est-à-dire  que,  si  Ton  se  donne  deux  longueurs  quelcon- 
ques /  et  L,  on  peut  toujours  trouver  un  nombre  entier  n  asseï 
grand  pour  que,  en  ajoutant  n  fois  à  elle-même  la  longueur  /,  on 
obtienne  une  longueur  totale  plus  grande  que  L. 

Indépendance  des  axiomes.  —  La  liste  des  axiomes   une    fois 
dressée,  il  faut  voir  si  elle  est  exemple  de  contradictions.  No^i* 
savons  bien  que  oui,  puisque  la  Géométrie  existe;  et  M.  IIill>^'^ 
répond  oui  également,  en  construisant  une  géométrie.  Mais,cliC>^c 
étrange,  celle  géométrie  n'csl  pas  loul  à  fait  la  nôtre,  son  esp»^^ 
n'est  pas  le  ncilre,  ou  du  moins  ce  n'en  est  qu'une  partie.  O^^^ 
l'espace  de  M.  Ililbcrt,  il  n'j  a  pas  tous  les  points  qui  sontd^*'^ 
le   nôtre,  mais  ceux  seulement  qu'on  peut,   en  partant  de  d^^^ 
points  donnés,  construire  par  le  moyen  de  la  règle  et  du  comp^*^' 
Dans  cet  espace,  par  exemple,  il  n'existerait  pas,  en  général  9    ""^^ 
angle  qui  serait  le  tiers  d'un  angle  donné. 

Je   crois    bien   que    celle   conception  aurait   été   regardée     J>*^ 
Euclide    comme    plus  raisonnable  que  la  nôtre.  Toujours  {^^^'^ 
que  ce  n'esl  pas  le  nôtre.  Pour  retrouver  notre  géométrie,  il   C^^' 
drail  ajouler  un  axiome. 


4m-  '^ 


«  Si,surune  droilCjil  va  une  double  infinilé  de  pointsAijAs  * 
A^,  . . .,  B,,  B2,  . . .,  ll,is  . . .,  tels  que  B^  soit  compris  entre  S^^»  ^ 


COMPTES  RENDUS  ET  ANALYSES.         267 

Bf., ,  et  Kp  entre  B^  et  Ap_,,  quels  que  soient/?  et  q^  il  y  aura  sur 
cette  droite  au  moins  un  point  C  qui  sera  entre  A^  et  B^,  quels 
qae  soient />  et  q,  » 

On  doit  se  demander  ensuite  si  les  axiomes  sont  indépendants, 
c  est-à-dire  si  Ton  peut  sacrifier  Tun  des  cinq  groupes  en  conser- 
vant les  quatre  autres  et  obtenir  néanmoins  une  géométrie  cohé- 
rente. C^est  ainsi  qu'en  supprimant  le  groupe  111  (postulatum 
d'Euclide)  on  obtient  la  géométrie  non-euclidienne  de  Lobat- 
schevski. 

On  peut  également  supprimer  le  groupe  IV.  M.  Hilbert  a  réussi 
à  conserver  les  groupes  1,  II,  III  et  V,  ainsi  que  les  deux  sous- 
groupes  des  axiomes  métriques  des  segments  et  des  angles,  tout 
en  rejetant  Taxiome  métrique  des  triangles,  c'est-à-dire  la  propo- 
sition IV,  6. 

'Oici  comment  il  y  parvient  :  considérons,  pour  simplifier,  une 

Wométrie  plane  et  soit  P  le  plan  dans  lequel  nous  opérons;  nous 

conserverons  aux  mots  points  et  droites  leur  sens  habituel;  de 

^|*ïe  nous  conserverons  aux  angles  leurs  mesures  habituelles; 

^'^   il  n'en  sera  pas  de  même  pour  les  longueurs.  Une  longueur 

''^     mesurée />a/*  définition  par  sa  projection  sur  un  plan  Q 

«erent  de  P,  cette  projection  conservant  elle-même  sa  mesure 

f^^t-uelle.  Il  est  clair  que  tous  les  axiomes  subsisteront,  sauf  les 

^^ïties  métriques.  Les  axiomes  métriques  des  angles  subsisteront 

o^lement,  puisque  nous  ne  changeons  rien  à  la  mesure  des  angles; 

^^  des  segments  sont  vrais  également,  puisque,  chaque  segment 

plan  P  est  mesuré  par  un  autre  segment  qui  est  sa  projection 

**  1^  plan  Q,  et  que  ce  dernier  segment  est  mesuré  à  la  manière 

*^>l.iiellc.  Au  contraire,  les  théorèmes  sur  l'égalité  des  triangles, 

**  C|ae  l'axiome  IV,  6,  ne  sont  plus  vrais.  Cette  solution  ne  me 

^sfait  qu'à  moitié;  les  angles  ont  été  définis  indépendamment 

^*   longueurs,  sans  qu'on  se  soit  préoccupé  de  mettre  les  deux 

^fiïiîtions  d'accord  (ou  plutôt  en  les  mettant  en  désaccord  à  des- 

*^*^).  Il  suffirait  de   changer    Yune  des    deux   définitions   pour 

^^mber  sur  la  Géométrie  classique.  Je  préférerais  qu'on  donnât 

^**  longueurs   une  définition  telle    qu'il   devînt  impossible    de 

^^Uver  une  définition  des  angles  satisfaisant  aux  axiomes  métriques 

^^*  angles  et  des  triangles.  Cela  ne  serait  d'ailleurs  pas  difficile. 


\ 


258  PRE&IIÈHE   PAKTIË. 

Il  aurait  été  facile  à  M.  Ililbert  de  créer  une  géométrie  otk      les 
axiomes  de  l'ordre  seraient  abandonnés,  tandis  que  tous  les  au.  tt: v^s 
seraient  conservés.    Ou  plutôt  cette  Géométrie  existe  déjà,        ou 
plutôt  encore  il  en  existe  déjà  deux.  Il  y  a  celle  de  Riemann,  po  iir 
laquelle,   il  est  vrai,    le  postulatum  d'Euclide  (groupe  III)      ^s( 
abandonné  également,  puisque  la  somme  des  angles  d^un  triang^le 
est  plus  grande  que  deux  droits.  Pour  bien  faire  comprendre   usa 
pensée,  je  me  bornerai  à  considérer  une  géométrie  à  deux  dîme  li- 
sions. La  Géométrie  de  Riemann  à  deux  dimensions  n^esl  au  Ire 
chose  que  la  Géométrie  sphérique,  à  une  condition  toutefois  :  c*esl 
que  l'on  ne  regarde  pas  comme  distincts  deux  points  diamétrale- 
ment opposés  sur  la  sphère.  Les  éléments  de  cette  Géométrie 
seront  donc  les  diflTcrcnts  diamètres  de  cette  sphère.  Or,  si    Pon 
envisage  trois  diamètres  d'une  même  sphère  situés  dans  un  mérwe 
plan   diamétral,  on  n'a  aucune  raison   de  dire  que  l'un  d'eux    est 
entre  les  deux  autres.  Le  mol  entre  n'a  plus  de  sens,  et  les  axioi"«^es 
de  Tordre  tombent  d'eux-mêmes. 

Si  nous  voulons  maintenant  une  Géométrie  où  les  axiomes     àt 
de  l'ordre  ne  subsisteront  pas,  et  où  l'on  conservera  le  postulatum 
d'Euclide  avec  les  autres,  nous  n'avons  qu'à  prendre  pour  Clé- 
ments les  points  elles  droites  imaginaires  de  l'espace  ordinal  re. 
11  est  clair  que  les  points  imaginaires  de  l'espace  ne  nous   s<3nl 
pas  donnés  comme  ranges  dans  un  ordre  déterminé.  Mais  il    J'^ 
plus  :  on  peut  se  demander  s'ils  sont  susceptibles  d'être  ainsi  r^an- 
gés;  cela  serait  sans  doute  possible,  comme  Ta  montré  G.  Cait^^*'' 
.    (à  la  coiidilion,  bien   entendu,  de  ne  pas  toujours  ranger  dans  ie 
voisinage  l'un  de   Taulrc  des  points  que  nous  regardons  con^'^^ 
infiniment  voisins,   de  rompre  par  conséquent  la  continuité     Q^ 
Tespace).  On  pourrait  bien,  dis-je,  les  ranger,  mais  cela  ne  pour- 
rait pas  se  faire  de  telle  façon  que  cet  ordre  ne  soit  pas  altéré  p^^ 
les  diverses  opérations  de  la  (jéomélrie  (perspective,  translalK'*"» 
rotation,  etc.).  Les  axiomes  de  Tordre  ne  sont  donc  pas  applicabif^ 
à  celle  Géométrie. 

La  (jkométiue  ^on  AiicuiMiî:niEN>E.    —  Mais  la   conception      ** 
plus  originale  de  M.  Hilbert,  c'est  celle  de  la  Géométrie  nonarr»^*' 
niédienne,  où  Ions   les  axiomes  restent  vrais,    sauf  celui  d'Arci"**' 
méde.    Pour   cela    il    fallait    d'abord   construire    un    système    ^ 


COMPTES  KENDUS  ET  ANALYSES.  259 

nombres  non  archimédiens,  c'est-à-dire  un  système  d'éléments 
entre  lesquels  on  pût  concevoir  des  relations  d^égalité  et  d^inéga- 
liiê  et  auxquels  on  pût  appliquer  des  opérations  correspondant  à 
Taiclclition  et  à  la  multiplication  arithmétiques,  et  cela  de  façon  à 
saiiisfaire  aux  conditions  suivantes  : 

1^  Les  règles  arithmétiques  de  l'addition  et  de  la  multiplication 
(commutativité,  associativité,  distributivité,  etc.;  Aritmetische 
-Ajciame  der  Verknupfung)  subsistent  sans  changement. 

a**  Les  règles  du  calcul  et  de  la  transformation  des  inégalités 
{yi r-itmetiscke  Axiome  der  Anordnung)  subsistent  également. 

3**   L*axiome  d'Archimède  n'est  pas  vrai. 

On  peut  arriver  à  ce  résultat  en  choisissant  pour  élément  des 
séries  de  la  £orme  suivante  : 

Ao/'"-h  Ai<'»->  -f-  Ajfw-'H-  ..., 

où  9n,  est  un  entier  positif  ou  négatif  et  où  les  coefficients  A  sont 
r<5els,  et  en  convenant  d'appliquer  à  ces  séries  les  règles  ordinaires 
<ie  l^addition  et  de  la  multiplication.  Il  faut  ensuite  définir  les  con- 
alitions  d'inégalité  de  ces  séries,  de  façon  à  ranger  nos  éléments 
dans  un  ordre  déterminé.  Nous  y  arriverons  par  la  convention  sui- 
vante :  nous  attribuerons  à  notre  série  le  signe  de  Aq  et  nous 
dirons  qu'une  série  est  plus  petite  qu'une  autre  quand,  retranchée 
de  celle-ci,  elle  donne  une  différence  positive. 

H  €st  clair  qu'avec  cette  convention,  les  règles  du  calcul  des 
inégalités  subsistent;  mais  l'axiome  d'Archimède  n'est  plus  vrai; 
*^<»  oti  effet,  si  nous  prenons  les  deux  éléments  1  et  ^;  le  premier, 
*ddi lionne  à  lui-même  autant  de  fois  qu'on  le  voudra,  restera 
^"jours  plus  petit  que  le  second.  On  aura  toujours  />•/?,  quel  que 
*^'^  l'entier /i,  puisque  la  différence  t  —  n  sera  toujours  positive, 
le  Coefficient  du  premier  terme  /,  qui,  par  définition,  donne  son 
^'Ç'^e,  restant  toujours  égal  à  1 . 

Nos  nombres  vulgaires  rentrent  comme  cas  particuliers  parmi 

^^*    inombres  non  archimédiens.  Les  nouveaux  nombres   vien- 

ncï^l.  s'intercaler   pour  ainsi  dire  dans  la  série   de  nos  nombres 

^^^Igaires,  de  telle  façon  qu'il  y  ait,  par  exemple,  une  infinité  de 

uonibres  nouveaux  plus  petits  qu'un  nombre  vulgaire  donné  A  et 

plus  grands  que  tous  les  nombres  vulgaires  inférieurs  à  A. 


26o  PREMIÈRE  PARTIE. 

Cela  pose,  imaginons  un  espace  à  trois  dimensions  où  les  cc^  or- 
données d'un  point  seraient  mesurées,  non  pas  par  des  noroSz»  res 
vulgaires,  mais  par  des  nombres  non  arcliimédienSy  mais  oui  les 
équations  habituelles  de  la  droite  et  du  plan  subsisteraient  ^  de 
même  que  les  expressions  analytiques  des  angles  etdes  longue  es  ts. 
Il  est  clair  que  dans  cet  espace  tous  les  axiomes  resteraient  vxtsk  is, 
sauf  celui  d'Arcliimède. 

Sur  une  droite  quelconque,  entre  nos  points  vulgaires,  vien- 
draient s'intercaler  des  points  nouveaux.  Si,  par  exemple,  Do    ^st 
une  droite  vulgaire,  D|  la  droite  non  archimédienne  correspoo- 
danle;  si  P  est  un  point  vulgaire  quelconque  de  Dq,  et  si  ce  point 
partage  Dq  en  deux  demi-droites  S  et  S'  (j'ajoute,  pour  préciser, 
que  je  considère  P  comme  ne  faisant  partie  ni  de  S  ni  de  S'),   il? 
aura  sur  D|   une  infinité  de  points  nouveaux  tant  çntre  P  et  S 
qu'entre  P  et  S'.  Il  y  aura  également  sur  D|  une  infinité  de  points 
nouveaux  qui  seront  à  droite  de  tous  les  points  vulgaires  de    TD$. 
En  résumé,  notre  espace  vulgaire  n'est  qu'une  partie  de  l'espace 
non  archimédien. 

Au  premier  abord,  Tesprit  se  révolte  contre  de  pareilles  concep- 
tions. C'est  que,  par  une  vieille  babilude,  il  cherche  une  rep*^" 
scntation  sensible.  Il  faut  qu'il  se  débarrasse  de  cette  préoccupa  1. 1  on 
s'il  veut  arriver  à  comprendre,  et  cela  est  encore  plus  nécessaire 
que  pour  la  (iconirlrie  non  euclidienne.  M.  Ililbert  ne  s'est  |>**o- 
posé  qu'une  cliosc  :  construire  un  système  d'éléments  susceplîl^ '*^* 
de  certaines  relations  logiques,  et  il  lui  suffit  de  montrer  que  ^^^ 
relations  n'impliquent  pas  de  contradiction  interne. 

Qu'on  rcruar(|ue  cependant  ceci  :  la  Géométrie  non  euclidîc**^"^ 
respectait  pour  ainsi  dire  noire  conception  qualitative  du  conï  '"" 
géométrique  tout  en  bouleversant  nos  idées  sur  la  mesure  d^  ^^ 
continu.  LaOromètrie  non  archimédienne  détruit  cette  concept*  ^°» 
elle  dissèque  le  continu  pour  y  introduire  des  éléments  nouvel»  *■'*• 

Quoi  (|u'il  en  soit,  M.  Ililbert  poursuit  les  conséquences  de  ^^^ 
prémisses  et  il  cherche  comment  on  pourrait  refaire  la  Géomé'-"^ 
sans  se  servir  de  l'axiome  d'Archimède.  Pas  de  difficulté  en  ce  fl"' 
concerne  les  Chapitres  que  les  écoliers  appellent  le  premier  e^  '^ 
deuxicnie  Livre.  Cet  axiome  n'y  intervient  nulle  part. 

Le  troisième    Livre   traite  des  proportions  et  de  la  simili H'^^* 
Voici,  en  substance,  la  marche  que  suit  M.  Hilbert  pour  lercco"- 


COMPTES  RENDUS  ET  ANALYSES.         261 

5Lmt,i.»crsans  avoir  recours  à  Taxiome  d'Archimède.  II  prend  la  con- 

stwiAcslîon  habituelle  de  la  qualrième  proportionnelle  comme  défi- 

nît^îon  de  la  proportion,  mais  une  pareille  définition  a  besoin  d'être 

JtâsCîfiée;  il  faut  montrer  d'abord  que  le  résultat  est  le  même, 

(l^^elles  que  soient  les  lignes  auxiliaires  employées  dans  la  construc- 

tioKi  y  et  ensuite  que  les  règles  ordinaires  du  calcul  s'appliquent  aux 

p*x>portions  ainsi  déGnies.  C'est  cette  justification  que  M.  Hilbert 

nous  donne  d'une  façon  satisfaisante. 

I^*e  quatrième  Livre  traite  de  la  mesure  des  aires  planes;  si 
c^tte  mesure  peut  s'établir  facilement  sans  le  secours  du  principe 
à  A^rchimède,  c'est  parce  que  deux  polygones  équivalents  ou  bien 
peu  ventétre  décomposés  en  triangles  de  tellefaçon  queles  triangles 
élémentaires  de  l'un  et  ceux  de  l'autre  soient  égaux  chacun  à  chacun 
(ou,  en  d'autres  termes,  peuvent  êlre  ramenés  l'un  à  l'autre  par  le 
P^'ocëdé  du  casse-téte  chinois),  ou  bien  peuvent  être  regardés 
<^oinnie  des  différences  de  polygones  susceptibles  de  ce  mode  de 
décomposition  (c'est  toujours  le  même  procédé,  en  admettant 
'^on  seulement  des  triangles  additifs,  mais  encore  des  triangles 
*o  us  trac  tifs).  Mais  nous  devons  observer  qu'une  circonstance 
*ïialogue  ne  paraît  pas  se  retrouver  pour  deux  polyèdres  équiva- 
'^ïils,  de  sorte  qu'on  peut  se  demander  si  l'on  peut  déterminer,  par 
^^emple  le  volume  de  la  pyramide  sans  un  appel  plusoumoinsdéguisé 
^^  Calcul  infinitésimal.  Il  n'est  donc  pas  certain  qu'on  pourrait  se 
Passer  aussi  facilement  de  l'axiome  d'Archimède  dans  la  mesure 
^cs  volumes  que  dans  celle  des  aires  planes.  M.  Hilbert  ne  l'a 
^  ailleurs  pas  tenté. 

vJne  question  restait  à  traiter  toutefois  ;  étant  donné  un  poly- 

Çone,  est-il  possible  de  le  décomposer  en  triangles  et  d'enlever 

•ïO  des  morceaux  de  façon  que  le  polygone  restant  soit  équiva- 

^^ot  au  polygone  donné,  c'est-à-dire  de  façon  qu'en  transformant 

^^  polygone  restant  par  le  procédé  du  casse-tête  chinois,  on  puisse 

'^^omber  sur  le  polygone  primitif.  D'ordinaire,  on  se  borne  à  dire 

^î'^^   cela  est  impossible  parce  que  le  tout  est  plus  grand  que  la 

P^^'iîe.  C'est  là  invoquer  un  axiome  nouveau,  et,  quelque  évident 

^  >1  nous  paraisse,  le  logicien  serait  plus  satisfait  si  l'on  pouvait 

'cviier.  M.  Schur  a  trouvé  la  démonstration,  il  est  vrai,  mais  en 

*  appuyant  sur  l'axiome  d'Archimède;  M.  Hilbert  voulait  y  arriver 

***^5  se  servir  de  cet  axiome.  Voici  par  quel  artifice  il  y  par- 


262  PHEMIÈIIE  PARTIE. 

vient;  il  admet  que  la  surface  du  triangle  est  par  définition 
demi-produit  de  sa  base  par  sa  hauteur,  et  il  justifie  cette  défi 
tion  en  montrant  que  deux  triangles  équivalents  (au  point  de  v 
du  casse-tétc  chinois)  ont  même  surface  (au  sens  de  la  no 
velle  définition)  et  que  la  surface  d'un  triangle  décomposa 
en   plusieurs  autres   est  la   somme  des  surfaces  des   triangle 
composants.  Une  fois  celte  justification  terminée,  tout  le  res 
suit  sans  difficulté.  C^cst  donc  toujours  la  même  marche.  Po 
éviter  d'incessants  appels  à  l'intuition,  qui  nous  fournirait  sa 
cesse  de  nouveaux  axiomes,  on  transforme  ces  axiomes  en  défi 
tions,   et  l'on  justifie  après   coup  ces  définitions  en   monln 
qu'elles  sont  exemptes  de  contradictions. 

La  GéoMÉTRiE  NON  ARGui^isiENNE.  —  Lc  théorùmc  fondamcntj^^^ 
de  la  Géométrie  projectivc  est  le  théorème  de  Desargues.  Deurr 
triangles  sont  dits  homologues  lorsque  les  droites  qui  joignen   ^ 
chacun   à  chacun  les  sommets  correspondants  se  coupent  en  u 
même  |)oint.  Desargues  a  démontré  que  les  points  d'intersectioïc 
des  côtés  correspondants  de  deux  triangles  homologues  sont  su 
une  même  ligne  droite;  la  réciproque  est  également  vraie. 

Le  théorème  de  Desargues  peut  s'établir  de  deux  manières  : 

1°  En  se  servant  des  axiomes  projectifs  du  plan  et  des  axiomes 
métriques  du  plan  ; 

2**  En  se  servant  des  axiomes  projectifs  du  plan  et  de  ceux  de 
l'espace. 

Le  ihéorrnie  pourrait  donc  être  découvert  par  un  animal  à  deux 
dimensions,  à  qui  une  troisième  dimension  paraîtrait  aussi  incon- 
cevable qu'à  nous  une  quatrième,  (|ui  par  conséquent  ignorerait 
les  axiomes  projectifs  de  l'espace,  mais  (|ui  aurait  vu  se  déplacer, 
dans  le  plan  qu'il  habile,  des  figures  invariables  analogues  à  nos 
corps  solides,  et  qui,  par  conséquent,  connaîtrait  les  axiomes 
métriques.  Le  théorème  pourrait  être  découvert  égah^ment  par  un 
animal  à  trois  dimensions  qui  connaîtrait  les  axiomes  projectifs 
(le  Tespace,  mais  qui,  n'avant  jamais  vu  se  déplacer  de  corps 
solides,  ignorerait  les  axiomes  métriques. 

Mais  pourrait-on  établir  le  théorème  de  Desargues  sans  se  serxir 
jii  des  axiomes  projcelifs  de  Tespace,  ni  des  axiomes  niétriiiues. 


COMPTES  RENDUS  ET  ANALYSES.         263 

mais  seulement  des  axiomes  projeclifs  du  plan?  On  pensait  que 
non  ^  mais  on  n'en  élail  pas  sûr.  M.  Hilbert  a  tranché  la  question 
eo    oonslruisanl  une  géométrie  non  arguésienne,  qui  esl,  bien 
entendu,  une  géométrie  plane.  Considérons  une  ellipse  E.  A  l'ex- 
térieur de  cette  ellipse,  le  mot  droite  conserve  son  sens  habituel; 
il  Kinlérieur  le  mot  droite  prend  un  sens  différent  et  il  s'applique 
il  un  arc  de  cercle  qui,  prolongé,  irait  passer  par  un  point  fixe  P 
extérieur  à  Tellipse.  Une  droite  qui  traverse  l'ellipse  E  se  compo- 
sera donc  de  deux  parties  rectilignes,  au  sens  ordinaire  du  mot, 
raccordées  à  l'intérieur  de  l'ellipse  par  un  arc  de  cercle;  tel  un 
■^jron  lumineux  qui  serait  dévié  de  sa  trajectoire  rectiligne  en 
traversant  un  corps  réfringent. 

Les  axiomes  projectifs  du  plan  seront  encore  vrais  si  l'on  sup- 
pose le  point  P  assez  éloigné  de  l'ellipse  E. 

Plaçons  maintenant  deux   triangles  homologues  en  dehors  de 

l^ellîpse  E,  et  de  telle  façon  que  leurs  côtés  ne  rencontrent  pas  E  ; 

les  trois  droites  qui  joignent  deux  à  deux  les  sommets  correspon- 

^^anis,   si  on  les  entend  au  sens  ordinaire  du   mot,  iront  se 

couper  en  un  même  point  Q  d'après  le  théorème  de  Desargues; 

supposons  que  ce  point  Q  soit  à  l'intérieur  de  E.  Si  maintenant 

'^o^s  entendons  le  mot  droite  au  sens  nouveau,  les  trois  droites 

î**î  joignent  les  sommets  correspondants  seront  déviées  en  péné- 

*»*aQ  t  à  l'intérieur  de  l'ellipse.  Elles  n'iront  donc  plus  passer  en  Q, 

elles  ne  seront  plus  concourantes.  Le  théorème  de  Desargues  n'est 

plus  vrai  dans  notre  nouvelle  géométrie,  c'est  une  géométrie  non 

^'^Ruésienne. 


Géométrie  non   pascaliennc.    —    M.  Hilbert  ne  s'arrête 

P^s     là    et    il  introduit    encore    une    nouvelle   conception.    Pour 

^^en  la  comprendre,   il  nous  faut  d'abord  retourner  un  instant 

^^tis  le  domaine   de  l'Arithmétique.   Nous   avons  vu  plus  haut 

^élargir  la  notion   de  nombre,  par  l'introduction  des  nombres 

ton  archimédiens.  Il  nous  faut  une  classilicalion  de  ces  nombres 

ïïouveaux,  et  pour  l'obtenir  nous  allons  classer  d'abord  les  axiomes 

^*  l'Arithmétique  en  quatre  groupes  qui  seront  : 

i*"  Les  lois  d'associativité  et  de  commutalivité  de  Taddition,  la 
\oi  d'associativité  de  la  multiplication,  les  deux  lois  de  distributi- 


264  PREMIÈRE  PARTIE. 

^ité  de  la  multiplication;  ou  en  résumé  toutes  les  rè^es  de  Tad 
tion  et  de  la  multiplication,  sauf  la  loi  de  commatativité  de 
multiplication  ; 

2**  Les  axiomes  de  Tordre,  c'est-à-dire  les  règles  da  calcal  dF  '^ 
inégalités; 

3^  La  loi  de  commutativité  de  la  muItipUcatioD,  d*api 
laquelle  on  peut  intervertir  Tordre  des  facteurs  sans  changer 
produit; 

4^  L'axiome  d'Archimède. 

Les  nombres  qui  admettront  les  axiomes  des  deux  premier^ 
groupes  seront  dits  arguésiens;  ils  pourront  être /losca/ie/is  o 
non  pascaliens  selon  qu'ils  satisferont  ou  ne  satisferont  pas 
l'axiome  du  troisième  groupe,  ils  seront  archimédiens  ou  no 
archimédiens,  suivant  qu'ils  satisferont  ou  non  à  l'axiome  d 
quatrième  groupe.  Nous  ne  tarderons  pas  à  voir  la  raison  de  ce0 
dénominations. 

Les  nombres  ordinaires  sont  à  la  fois  arguésiens,  pascaliens  et. 
archimédiens.  On  peut  démontrer  la  loi  de  commutativité  en  par- 
tant des  axiomes  des  deux  premiers  groupes  et  de  l'axiome  d'Ar^ 
chimède;  il  n'y  a  donc  pas  de  nombres  arguésiens,  archimédiens 
et  non  pascaliens. 

En  revanche,  nous  avons  cité  plus  haut  un  exemple  de  nombres 
arguésiens,  pascaliens  et  non  archimédiens;  c'est  ce  que  j'appel- 
lerai les  nombres  du  système^  y  et  je  rappelle  qu'à  chacun  de  ces 
nombres  correspond  une  série  de  la  forme 

où  les  A  sont  des  nombres  réels  ordinaires. 

II  est  aisé  de  former,  par  un  procédé  analogue,  un  système  de 
nombres  arguésiens,  non  pascaliens  et  non  archimédiens.  Les 
éléments  de  ce  système  seront  des  séries  de  la  forme 

S  =To5«-+-T,5'«-« -+-..., 

oii  5  est  un  symbole  analogue  à  /,  /i  un  entier  positif  ou  négatif, 
et  To,  Ï4 ,  ...  des  nombres  du  système  T;  si  donc  on  remplaçait 
les  coenicienls  To,  T|,  ...  par  les  séries  en  /correspondantes, 
on  aurait  une  série  dépendant  ù  la  fois  de  t  et  de  5.  On  addition- 


COMPTES  HBNDUS  ET  ANALYSES.         2O') 

n«?  mr^L  les  séries  S  d'après  les  règles  ordinaires,  el  de  même  pour  la 
m  ui  1  ILiplication  de  ces  séries  on  admettra  les  règles  de  distributi- 
vilL€^     et  d'associalivité,  mais  on  admettra  que  la  loi  de  commuta- 
it %-î  t.^  n'est  pas  vraie  et  qu'au  contraire  st  =z  —  ts. 

Il     reste  à  ranger  les  séries  dans  un  ordre  déterminé,  pour 
saLisfaire  aux  axiomes  de  Tordre.  Pour  cela,  on  attribuera  à  la 
s^^ri^S  le  signe  du  premier  coefficient  Tq;  on  dira  qu'une  série  est 
plus  petite  qu'une  autre,  quand,  retranchée  de  celle-ci,  elle  don- 
nera, une  différence  positive.  C'est  donc  toujours  la  même  règle  : 
<     es»t  regardé  comme  très  grand  par  rapport  à  un  nombre  réel 
ordinaire  quelconque,  et 5  est  regardé  comme  très  grand  par  rap- 
port à  un  nombre  quelconque  du  système  T. 

La  loi  de  commutativité  n*étant  pas  vraie,  ce  sont  bien  des 
i^otnbres  non  pascaliens. 

-X^'ant  d'aller  plus  loin,  je  rappelle  que  Hamilton  a  depuis  long- 
tetiips  introduit  un  système  de  nombres  complexes  011  la  multi- 
plication n'est  pas  commutative  ;  ce  sont  les  quaternions,  dont  les 
Angolais  font  un  si  fréquent  usage  en  Physique  mathématique. 
Mais,  pour  les  quaternions,  les  axiomes  de  l'ordre  ne  sont  pas 
^■"aîs;  ce  qu'il  y  a  donc  d'original  dans  la  conception  de  M.  Hil- 
fc><ïi*t,  c'est  que  ses  nouveaux  nombres  satisfont  aux  axiomes  de 
l^ordre  sans  satisfaire  à  la  règle  de  commutativité. 

l\evenons  à  la  Géométrie.  A.dmettons  les  axiomes  des  trois  pre- 

**^îers  groupes,  c'est-à-dire  les  axiomes  projeclifs  du  plan  et  de 

■espace,  les  axiomes  de  l'ordre  et  le  postulat  d'Euclide;  le  théo- 

**èm€  de  Desargues  s'en  déduira,  puisqu'il  est  une  conséquence 

^^s  axiomes  projeclifs  de  l'espace. 

^ous  voulons  constituer  notre  géométrie  sans  nous  servir  des 
^^^'^mes  métriques;  le  mot  de  longueur  n'a  donc  encore  pour  nous 
''ucun  sens;  nous  n'avons  pas  le  droit  de  nous  servir  du  compas; 
<?n  t^cvanche,  nous  pouvons  nous  servir  de  la  règle,  puisque  nous 
^"■^'à étions  que  par  deux  points  on  peut  faire  passer  une  droite, 
^"  'Vertu  de  l'un  des  axiomes  projeclifs;  nous  savons  également 
'"^Kmer  par  un  point  une  parallèle  à  une  droite  donnée,  puisque 
itot^s  admettons  le  postulatum  d'Euclide.  Voyons  ce  que  nous 
V^^'vons  faire  avec  ces  ressoures. 

^ous  pouvons   définir    l'homothétie   de    deux   figures;    deux 
^^^Qgles  seront  dits   homoihé tiques  quand    leurs    côtés  seront 
OuU.det  Sciences  mathém.,  a*  série,  t.  XXVI.  (Septembre  1902.)  is 


a66  PREMIÈRE  PARTIE. 

parallèles  deux  à  deux,  et  nous  en  condarons  (par  la  théotème 
de  Desargues  que  nous  admettons)  que  les  droites  qui  joignent  les 
sommets  correspondants  sont  concourantes.  Nous  nous  servirons 
ensuite  de  Thomothétie  pour  définir  les  proportions*  Noas  pou- 
vons aussi  définir  Tégalité  dans  une  certaine  mesure» 

Les  deux  côtés  opposés  d'un  parallélogramme  seront  égnnx/Mir 
définition;  nous  savons  ainsi  reconnaître  si  deux  segments  sont 
égaux  entre  eux,  pourvu  qu41s  soient  parallèles. 

Grâce  à  ces  conventions,  nous  sommes  maintenant  en  mesure 
de  comparer  les  longueurs  de  deux  segments  ;  mais  pourvu  que 
ces  segments  soient  parallèles.  La  comparaison  de  deux  Ion«> 
gueurs  dont  la  direction  est  différente  n'a  aucun  sens,  et  il 
faudrait  pour  ainsi  dire  une  unité  de  longueur  difliérente  pour 
chaque  direction.  Inutile  d'ajouter  que  le  mot  angle  n'a  aucun 
sens. 

Les  longueurs  seront  ainsi  exprimées  par  des  nombres;  mais  ce 
ne  seront  pas  forcément  des  nombres  ordinaires.  Tout  ce  quie 
nous  pouvons  dire,  c'est  que,  si  le  théorème  de  Desargues  est  vrai 
comme  nous  l'admettons,  ces  nombres  appartiendront  à  un  sys* 
tème  satisfaisant  aux  axiomes  arithmétiques  des  deux  premiers 
groupes,  c'est-à-dire  à  un  système  arguésien.  Inversement,  étant 
donné  un  système  quelconque  S  de  nombres  arguésiens,  on  peut 
construire  une  géométrie  telle  que  les  longueurs  des  segments 
d'une  droite  soient  justement  exprimées  par  ces  nombres. 

Voici  comment  peut  se  faire  cette  construction  :  un  point  de 
ce  nouvel  espace  sera  défini  par  trois  nombres  x,  y^  z  du  sys- 
tème S  qui  s'appelleront  les  coordonnées  Ae  ce  point.  Si  aux  trois 
coordonnées  des  divers  points  d'rfne  figure  on  ajoute  trois  con- 
stantes (qui  sont,  bien  entendu,  des  nombres  arguésiens  du  sys- 
tème S),  on  obtient  une  autre  figure  transformée  de  la  première, 
et  de  telle  façon  qu'à  un  segment  quelconque  de  l'une  des  figures 
corresponde  dans  l'autre  un  segment  égal  et  parallèle  (au  sens 
donné  pins  haut  à  ce  mot).  Cette  transformation  est  donc  une 
translation,  de  sorte  que  ces  trois  constantes  définissent  une  trans- 
lation. Si  maintenant  nous  multiplions  les  trois  coordonnées  de 
tous  les  points  d'une  même  figure  par  une  même  constante,  nous 
obtiendrons  une  seconde  figure  qui  sera  homothélique  de  la  pre- 
mière. 


COMPTES   IlENDUS  ET  ANALYSES.  267 

iMquatîon  du  pian  sera  une  équation  linéaire  connue  dans  la  Géo- 
TÎe  analytique  ordinaire  ;  mais,  comme  dans  le  système  S  la  mul- 
tif>l  mcatioo  ne  sera  pas  commutative  en  général,  il  importe  de  faire 
ULKM-^s  distinction  et  de  dire  que  dans  chacun  des  termes  de  cette 
éc]  «jm  ation  linéaire  ce  sera  la  coordonnée  qui  jouera  le  rôle  de  mul- 
ti|>lmcande,  et  le  coefficient  constant  qui  jouera  le  rôle  de  multi- 
plier ^teur. 

^c^insi,  à  chaque  système  de  nombres  arguésiens  correspondra 

i^ri^  géométrie  nouvelle  satisfaisant  aux  axiomes  projectifs,  à  ceux 

d^     l^ordre,  au  théorème  de  Desargues  et  au  postulalum  d'Euclide. 

C^i^^Ue  est  maintenant  la  signification  géométrique  de  Taxiome 

*rm.^liinétique  du  troisième  groupe,  c'est-à-dire  de  la  règle  de  com- 

■^■^•-M-ativité  de  la  multiplication?  La  traduction  géométrique  de 

^^^^e  règle,  c'est  le  théorème  de  Pascal;  je  veux  parler  du 

^H^orème  sur  l'hexagone  inscrit  dans  une  conique,  en  supposant 

^**^  cette  conique  se  réduit  à  deux  droites. 

-Ainsi,  le  théorème  de  Pascal  sera  vrai  ou  faux,  selon  que  le 
^yst.ème  S  sera  pascalien  ou  non  pascalien;  et,  comme  il  y  a  des 
systèmes  non  pascaliens,  il  y  aura  également  des  géométries 
pascaliennes. 

€  théorème   de    Pascal   peut  se   démontrer  en   partant  des 
ornes  métriques;  il  sera  donc  vrai,  si  Ton  admet  que  les  figures 
peuvent  se  transformer  non  seulement  par  homothétie  et  trans- 
■^lion,  comme  nous  venons  de  le  faire,  mais  encore  par  rotation. 
H^  théorème  de  Pascal  peut  également  se  déduire  de  l'axiome 
"-A-rchimède,  puisque  nous  venons  de  voir  que  tout  système  de 
^^«^ibres  arguésiens  et  archimédiens  est  en  même  temps  pasca- 
ls «^  ;  toute  géométrie  non  pascalienne  est  donc  en  même  temps 
'^^^^  archimédienne. 


Streckenilbertràger,  —  Citons  encore  une  autre  concep- 

^*^^b:i  de  Hilbert.  Il  étudie  les  constructions  que  Ton  pourrait  faire, 

^^  ^x  pas  à  l'aide  de  la  règle  et  du  compas,  mais  par  le  moyen  de  la 

^^S'eeld'un  instrument  particulier  qu'il  appelle  Streckenûber-- 

^^^^ger,  et  qui  permettrait  de  porter  sur  une  droite  un  segment 

^S^l  à  un  autre  segment  pris  sur  une  autre  droite.  Le  Streckenii- 

ocr^tràger  n'est  pas  l'équivalent  du  compas  ;  ce  dernier  instrument 

permettrait  de  construire  l'intersection  de  deux  cercles  ou  d'un 


268  PREMIÈRE  PARTIE. 

cercle  el  d'une  droite  quelconque;  le  Streckenûbertrâger  jmrM  ous 
donnerait   seulement  l'intersection  d'un  cercle  et  d'une  dmr^^Dite 
passant  par  le  centre  de  ce  cercle.  M.   Hilberl  cherche  <:M^^nc 
quelles  sont  les  constructions  qui  seront  possibles  avec  ces  cJ^uï 
instruments,  et  il  arrive  a  une  conclusion  bien  remarquable. 

Les  constructions  qui  peuvent  se  faire  parla  règle  et  le  comj->^  * 
peuvent  se  faire  également  par  la  règle  et  le  S treckeniibertràg^ ^ ^ 
si  ces  constructions  sont  telles  que  le  résultat  en  soit  toujot^  ^^^ 
réel.  Il  est  clair,  en  effet,  que  cette  condition  est  nécessaire;  cr  ^^-^ 
un  cercle  est  toujours  coupé  en  deux  points  réels  par  une  droE 
menée  par  son  centre.  Mais  il  était  difficile  de  prévoir  queceL 
condition  serait  également  suffisante. 

Géomctries  diverses.  —  Je  voudrais,  avant  de  terminer,  v 
quelle  place  occupent  dans    la   classilication    de  M.   Hilbert  I 
diverses  gromotries  proposées  jusqu'ici.   Et  d'abord  les  géom 
tries  de  Ilieniann  ;  je    ne   veux  |)as  parler    de    la  géométrie 
Riemann  que  j'ai  signalée  plus  haut  et  qui  est  Topposé  de  celle 
Lobatchevski  ;  je  veux  parler  des  géomctries  relatives  aux  espac 
à  courbure  variable  envisagés  par  Riemann  dans  sa  célèbre  Ha 
litationsschrift . 

Dans  celle  conception,  on  attribue  par  définilion  une  longue 
à  une  courbe  quelconque,  et  c'est  sur  cette  définition  que  lo 
repose.  Le  rôle  dcii  droites  est  joue  par  lesgéodésiques,  c'est-à-di 
par  les  lii^ncs  de  longueur  niinima  menées  d'un  point  à  un  aut 
Les  axiomes  [)rojectifs  ne  sont  plus  vi-ais,  el  il  n'y  a  aucune  raiso 
par  exeinj)le,   pour  que  deux  points  ne  puissent  être  joints  q 
par  une  seule  géodési([ue.  Le  postulat  d'Luclide  ne  peut  plus  év 
dcmnient  avoir  aucun   sens.    L'axiome   d'Arcliimède    reste  vn 
ainsi  que  les  axiomes   de  Tordre    mutatis  mu  tandis;  Ricmai 
n'envisage,  en  effet,  que  les  systèmes  de  nombres  ordinaires, 
ce  qui  concerne  les  axiomes  métriques,  on  voit  aisément  que  cei 
des  segments  el  ceux  des  angles  reslent  vrais,  tandis  que  l'axioii 
mélricpie  des  triangles  (IV,  0)  est  évidemment  faux. 

El  ici  nous  retrouvons  l'objection  qu'on  a  le  plus  souvent  fai 
à  Riemann. 

Vous  parlez  de  longueur,  lui   a-t-on  dit;  or  longueur  suppo 
mesure,  el,  pour  mesurer,  il  faut  pouvoir  transporter  un  instruniei 


c 
c 


ir 

II 


3, 

le 


21 

11 
I.  ^ 


COMPTES  IlENDCS  ET  ANALYSES.  269 

d^e-  Knesure  qui  doit  demeurer  invariable;  d'ailleurs,  vous  le  recon- 
rm^  M  ^sez  vous-même.  Il  faut  donc  que  Tespace  soit  partout  égal  à 
I  **  »  —  même,  qu'il  soit  homogène  pour  que  la  congruence  y  soit  pos- 
sît^le.  Or,  votre  espace  ne  Test  pas,  puisque  sa  courbure  est 
^"^wîable;  il  ne  peut  donc  y  être  question  ni  de  mesure,  ni  de  lon- 
S*»  ^  ur. 

Ib^iemann  n'aurait  pas  eu  de  peine  à  répondre.  Supposons  une 

S^'c:^  inétrie  à  deux  dimensions  pour  simplifier;  nous  pourrons  alors 

»^c>  ^j» s  représenter  l'espace  de  Ricmann  comme  une  surface  dans 

l    0'î^j)ace  ordinaire.   Nous  pourrions  mesurer  des   longueurs   sur 

^'^^ï-^e  surface  à  Faide  d'une  ficelle,  et  cependant  une  figure  ne 

K^^^  u.  rrait  pas  se  déplacer  en  restant  appliquée  sur  cette  surface  et 

*-*^    Caçon  que  les  longueurs  de  tous  ses  éléments  demeurent  inva- 

***^  t^les.  Gir  la  surface  n'est  pas,  en  général,  applicable  sur  elle- 

"^^me. 

CU'esl  ce  que  M.  Ililbert  traduirait  en  disant  que  les  axiomes 
^^^triques  des  segments  sont  vrais,  et  que  celui  des  triangles  ne 
■  ^si  pas.  Les  premiers  sont  concrétisés  pour  ainsi  dire  dans  notre 
■*oo|le;  celui  des  triangles  supposerait  le  déplacement  d'une  figure 
^ont  tous  les  éléments  auraient  une  longueur  constante. 

Cruelle  sera  la  place  d'une  autre  géométrie  que  j'ai  proposée 

*^t.fefois  et  qui  rentre  pour  ainsi  dire  dans  la  même  famille  que 

^^Ilcde  Lobatchevski  et  celle  de  Riemann?J'ai  montré  qu'on  peut 

^''^siginer  trois  géométries  à  deux  dimensions,  qui  correspondent 

•'cspectivement   aux    trois   sortes  de  surfaces  du    second  degré, 

■ellipsoïde,  l'hvperboloïdc  à  deux  nappes  et  riivperboloïde  à  une 

'^^ppe;  la  première  est  celle  de  Riemann,  la  seconde  est  celle  de 

1-ofc^atchevski,  et  la  troisième  est  la  géométrie  nouvelle.  On  trou- 

^^**^îl  de  même  quatre  géométries  à  trois  dimensions. 

^^ù  viendrait  se  ranger  cette  géométrie  nouvelle  dans  la  classi- 
"^^tion  de  M.  Hilbert?  Il  est  aisé  de  s*en  rendre  compte.  Comme 
P^^^  réelle  de  Riemann,  tous  les  axiomes  subsistent,  sauf  ceux  de 
'o»^re  et  celui  d'Ëuclide;  mais,  tandis  que  dans  la  géométrie  de 
*^*^«iiann,  les  axiomes  sont  faux  sur  toutes  les  droites,  au  con- 
^^irc,  dans  la  géométrie  nouvelle,  les  droites  se  répartissent  en 
^^^iL  classes,  les  unes  sur  lesquelles  les  axiomes  de  l'ordre  sont 
^t^is,  les  autres  sur  lesquelles  ils  sont  faux. 


270  PRExMÏÈRE  PARTIE. 

• 

Conclusions.  —  Mais  ce   qui  est  le  plus  important,  c'esf  de 
nous   rendre    compte    de   la  place   qu'occupent  les  concepti^'os 
nouvelles  de  M.  Ililbert  dans  Thistoire  de  nos  idées  sur  la  phiio' 
Sophie  des  Mathématiques. 

Après  une  première  période  de  naïve  confiance  où  l'on  no**'* 
rissait  l'espoir  de  tout  démontrer,  est  venu  Lobatchevski,l'inv^^'' 
teur  des  géométries  non  euclidiennes. 

Mais  le  véritable  sens  de  cette  invention  n'a  pas  été  péné*^*"* 
tout  de  suite;  Hclmhollz  a  montré  d'abord  que  les  proposilic^ '■^ * 
de  la  géométrie  euclidienne  n'étaient  autre  chose  que  les  loisc^  ^* 
mouvements  des  corps  solides,  tandis  que  celles  des  autres  g& 
métries  étaient  les  lois  que  pourraient  suivre  d'autres  corps  a 
logues  aux  corps  solides,  qui  sans  doute  n'existent  pas,  mais  d 
l'existence  pourrait  être  conçue  sans  (]u'il  en  résultât  la  moin 
contradiction,  des  corps  que  l'on  pourrait  fabriquer  si  on  le  v 
lait.  Ces  lois  ne  pouvaient,  toutefois,  être  regardées  comme  exp:  *  ^" 
rimenlales,  puisque  les  solides  naturels  ne  les  suivent  ([  '•-^^ 
grossièrement  et,  d'ailleurs,  puisque  les  corps  fictifs  de  la  géoit  "■  ^' 
trie  non  euclidienne,  n'existant  pas,  ne  peuvent  être  accessib  ^  ^* 
à  l'expérience.  Ilelmholtz,  toutefois,  ne  s'est  jamais  explic^^  •^^ 
sur  ce  point  avec  «me  parfaite  netteté. 

Lie  a  poussé    Taualyse    beaucoup  plus  loin.   11  a  cherché  ^ 

quelle  manirr<»  j>euvent  se  combiner  hîs  divers  mouvements  |) 
sibles  d\in  système  qu(îIcon<nie,  on  plus  généralement  les  divcr 
transformations  possibles  d'une  figure.  Si  l'on  envisage  un  c- 
tain  nombre  de  tninsformalions  cl  qu'on  les  combine  en^^uile 
toutes  les  manières  possibles,  l'ensemble  de  toutes  ces  conibin 
sons  formera  ce  qu'il  appelle   un  <j[roupc,  A  cha([ue  groupe  c< 
respond  une  j;èomélrie,  et  la  noire,  ([ui  correspond  au  groupe 
«léplacemenls  «Tun  corps  solide,  n'est  qu'un  cas  très  particuli^ 
Mais   tous  les  groupes  que  Ton  peut  imaginer  posséderont  c< 
taines  propriiUés  communes,  et  ce  sont  précisément  ces  propriél    ^ 
communes  (pii  linjilent  le  caprice  des  inventeurs  de  géométries?^ 
ce  sont  elles,  (railleurs,   que  Lie  a  étudiées  toute  sa  vie. 

Il  n'élJiit  [)onrlanL  pas  entièrement  satisfait  de  son  œuvre.  1^ 
avait,  disail-il,  toujours  envisagé  l'espace  comme  une  Za hic n ma R' 
nigfalti^koit.   Il   s'était  borné   à   l'élude  des  groupes    continus 


COMPTES  RENDUS  ET  ANALYSES.         271 

proprement  dits  auxquels  s'appliquent  les  règles  de  FÂnalysc  infi- 
ni E^^âimale  ordinaire.  Ne  s'élait-il  pas  ainsi  artificiellement  res- 
tr^i  Kit?  N'avait-il  pas  ainsi  négligé  un  des  axiomes  indispensables 
d^  Jâ  Géométrie  (.c'est  en  somme  de  Taxiome  d'Archimède  qu'il 
s^sàg^-il)?  Je  ne  sais  si  l'on  trouverait  trace  de  cette  préoccupation 
dl^Kms  ses  (£uvres  imprimées,  mais  dans  sa  correspondance,  ou 
<la«:B  s  sa  conversation,  il  exprimait  sans  cesse  ce  même  regret. 

Test  précisément  la  lacune  qu'a  comblée  M.  Hilbert;  les  géo- 

t.riesde  Lie  restaient  toutes  assujetties  aux  formes  de  l'Analyse 

^^    de  l'Arithmétique   qui  semblaient  intangibles.  M.   Hilbert  a 

t^ri»^  ces  formes  ou,  si  l'on  aime  mieux,  il  les  a  élargies.  Ses 

^sj>dces  ne  sont  plus  des  Zahlenmannigfaltigkeiten. 

I-^s  objets  qu'il  appelle  point,  droite  on  plan  deviennent  ainsi 
™^s  êtres  purement  logiques  qu'il  est  impossible  de  se  représenter. 
^*^  ne  saurait  s'imaginer,  sous  une  forme  sensible^  ces  points  qui 
**^  sont  que  des  systèmes  de  trois  séries.  Peu  lui  importe,  11  lui 
*^fïît  que  ce  soient  des  individus  et  qu'il  ait  des  règles  sûres 
poiax  distinguer  ces  individus  les  uns  des  autres,  pour  établir  con- 
^^x^^onnellement  entre  eux  des  relations  d'égalité  ou  d'inégalité 
^^  pour  les  transformer. 

U^ne  autre  remarque  :  les  groupes  de  transformations  au  sens 

^^    I-ie  ne  semblent  plus  jouer  qu'un  rôle  secondaire.   C'est  du 

"^^^^iiis  ce  qu'il  semble  quand  on  lit  le  texte  même  de  M.  Hilbert. 

^"^^îs,  si  l'on  y  regardait  de  plus  près,  on  verrait  que  chacune  de 

*^s  géométries  est  encore  l'étude  d'un  groupe.  Sa  géométrie  non 

'^^^himédienne  est  celle  d'un  groupe  qui  contient  toutes  les  trans- 

**^**tïïa lions  du  groupe  euclidien,  correspondant  aux  divers  dépla- 

^^ïiaents  d'un  solide,  mais  qui  en  contient  encore  d'autres  suscep- 

*^oIç5  de  se  combiner  aux  premières  d'après  des  lois  simples. 

l'Obalchevski  et  Riemann  rejetaient  le  postulatum  d'Ëuclide, 

''^^is  ils  conservaient  les  axiomes  métriques;  dans  la  plupart  de 

*^  géométries,  M.  Hilbert  fait  l'inverse.  Cela  revient  à  mettre  au 

P^mier  rang  un  groupe  formé   des  transformations  de  l'espace 

P^v*  homothélie  et  par  translation  ;  et  à  la  base  de  sa  géométrie 

ûoo  pascalienne,  c'est  un  groupe  analogue  que  nous  retrouvons, 

^iQprenant  non  seulement  les  homothéties  et  les  translations  de 

1  espace  ordinaire,   mais  d'autres   transformations    analogues   se 

combinant  aux  premières  d'après  des  lois  simples. 


272  PREMIÈRE  PARTIE. 

M.  Hilbert  semble  plutôt  dissimuler  ces  rapprochements,  je  ne 
sais  pourquoi.  Le  point  de  vue  logique  parait  seul  l'intéresser. 
Étant  donnée  une  suite  de  propositions,  il  constate  que  toutes  se 
déduisent  logiquement  de  la  première.  Quel  est  le  fondement  de 
cette  première  proposition,  quelle  en  est  l'origine  psychologique, 
il  ne  s'en  occupe  pas.  Et  même  si  nous  avons,  par  exemple,  trois 
propositions  A,  B,  C,  et  si  la  logique  permet,  en  partant  de 
Tune  quelconque  d'entre  elles,  d'en  déduire  les  deux  autres,  il  lui 
sera  indifférent  de  regarder  A  comme  un  axiome  et  d'en  tirer  B 
et  C,  ou  bien,  au  contraire,  de  regarder  C  comme  un  axiome,  et 
d*en  tirer  A  et  B.  Les  axiomes  sont  posés,  on  ne  sait  pas  d'où  ils 
sortent,  il  est  donc  aussi  facile  de  poser  A  que  C. 

Son  œuvre  est  donc  incomplète;  mais  ce  n'est  pas  une  critique 
que  je  lui  adresse.  Incomplet,  il  faut  bien  se  résigner  à  l'être.  Il 
suffit  qu'il  ait  fait  faire  à  la  philosophie  des  Mathématiques  un 
progrès  considérable,  comparable  à  ceux  que  l'on  devait  à  Lobat- 
chevski,  à  Riemann,  à  Helmhoitz  et  à  Lie. 

H.   POINCARÉ. 


MÉLANGES. 


THÈSES  DE  SCIENCES  MATHÉMATIQUES  SOUTENUES  DEVANT  LA  FACULTÉ 
DES  SCIENCES  DE  PARIS  ET  DEVANT  LES  FACULTES  DES  SCIENCES  DES 
DÉPARTEMENTS  DANS  LE  COURANT  DU  XIX"  SIÈCLE. 

{Suite  et  Jin.) 
Faculté  des  Sciences  de  Besançon. 


1870  {'11  janvier). 

GiiEViLLiET  (J.-I.).  —  Sur  l'équilibre  d'élasticité  du  cylindre  droit  à 
base  quelconque  et  de  la  sphère,  soumis  à  l'action  de  la  pesanteur  et 
comprimés  entre  deux  plans  horizontaux. 

—  Sur  le  problème  inverse  des  perturbations. 


MÉLANGES.  273 


Faoultô  des  Sciences  de  Bordeaux. 


1840  (21  aoûi). 

Chenou  (J.-L.).  —  Mouvement  des  corps  célestes  dans  le  vide.  Leur 
mouvement  dans  un  milieu  résistant. 

—  Intégration  des  équations  diiïérentielles  pour  le  cas  d'une  excentri- 
cité quelconque. 

—  Inégalités  périodiques  et  séculaires  du  mouvement  des  planètes. 

—  Mouvement  des  étoiles  multiples  et  en  particulier  des  étoiles  doubles. 


Faculté  des  Sciences  de  Caen. 


1829  (M  juillet). 

BoNNAiRE.  —  Mouvement  de  deux  masses  liées  par  une  ligne  inflexible 
et  inextensible,  lorsque  l'une  d'elles  est  assujettie  à  se  mouvoir  sur  une 
ligne  droite. 

—  Mouvement  des  planètes  et  formules  servant  à  les  déterminer. 


1829  (6  novembre). 

Cacii.  —  Théorie  des  pompes  et  considérations  sur  les  lois  de  l'équi- 
libre des  fluides  pesants. 

—  Théorie  du  flux  et  reflux,  précédée  de  quelques  considérations  sur 
le  problème  des  trois  corps. 

1832  (21  avril). 

Toussaint  (Ch.).  —  Sur  le  mouvement  du  pendule  en  tenant  compte 
de  la  rotation  de  la  Terre. 

—  Mouvement  des  planètes  dans  le  cas  des  perturbations. 


274  PREMIÈRE  PARTIE. 


Faculté  des  Sciences  de  D^on. 


1834  (3  juillet). 

Artvr.  —  Mémoire  sur  la  loi  relative  à  la  densité  des  couches  inté- 
rieures de  la  Terre  et  sur  son  aplatissements 

—  Mémoire  sur  la  détermination  de  deux  points  d*où  partent  les  droites 
par  rapport  auxquelles  tous  les  moments  d'inertie  de  la  Terre  sont  égaux 
entre  eux. 

1835  (27  février). 

CiRODDE  (P.-L.).  —  Du  mouvement  de  la  chaleur  dans  un  cylindre  droit, 
solide,  homogène. 

—  De  la  détermination  de  l'orbite  des  comètes. 

1838  (6  mars). 

Perret  (A.).  —  Théorie  du  mouvement  d'un  corps  solide  autour  d'un 
point  fixe. 

—  Sur  la  détermination  de  l'orbite  des  étoiles  doubles. 


Faculté  des  Sciences  de  Grenoble. 


18:29  {'ig  avril). 

Gouré  (E.-G.).  —  Questions  de  Mathématiques. 

—  Questions  d'Astronomie. 

183G  (i3  janvier). 

Dumoulin  (H.-J.).  —  Des  équations  générales  du  mouvement  d'un  fluide 

sollicité  par  des  forces  quelconques. 

—  De  l'Hydrodynamique. 

1837  (28  août). 
Lebesgue(V.-A.).  —  Sur  deux  transformations  des  fonctions  homogènes 


MÉLANGES.  275 

du  second  degré  à  trois  variables.  Applications  à  la  Mécanique  et  à  FAstro- 
nomie. 

1893  (8  juillet). 

AvRlc  (A.).  —  Les  équations  linéaires  et  leurs  applications. 


Faculté  des  Sciences  de  Lyon. 


1837  (5  octobre). 

Bravais  (A.).  —  Des  méthodes  employées  dans  les  levées  sous  voiles. 
—  Sur  réquilibre  des  corps  flottants. 


Faculté  des  Sciences  de  Metz. 


1813  (2  août). 
Lesage.  —  Questions  de  Mécanique  et  d'Astronomie. 

Faculté  des  Sciences  de  Montpellier. 


1821  (1"'  février). 

Sarrus  (F.).  —  Essai  sur  la  théorie  du  son. 

—  Essai  sur  le  mouvement  des  planètes  autour  du  Soleil. 

1850  (20  août). 

EsTOCQUOlS  (T.  d').  —  Sur  la  convergence  des  séries. 

—  Sur  les  perturbations  du  mouvement  des  planètes. 

1844  (il  juin). 

Roche  (E.-A.).  —  Sur  la  distribution  de  la  chaleur  dans  une  sphère. 

—  Snr  la  figure  des  planètes. 


276  PREMIÈRE  PARTIE. 


iSil  (II  juin). 

Aoust(B.).  —  Sur  les  intégrales  d'un  système  d'équations  aux  diffé- 
rences partielles  d'une  certaine  classe. 

—  Sur  les  oscillations  des  cordes  pesantes,  flexibles  et  élastiques. 


18ii  (G  août). 

Bergeron  (J.-P.-A.).  —  Sur  la  rotation  de  la  Terre. 

—  Sur  la  résistance  des  solides  élastiques. 

ia44  ((>  août). 

Sabatiër  (A.).  —  Des  courbes  enveloppes. 

—  De  la  transmission  du  travail  dans  les  machines  en  mouvement. 

1847  (7  septembre). 

GiscLARD.  —  Sur  l'attraction  des  ellipsoïdes. 

—  Sur  la  mL-lhodc  de  la  variation  des  constantes  arbitraires. 

1882  (novembre). 

RouQUET  (V.i.  —  Kiude  géom«*irique  des  surfaces  dont  les   lignes  de 
courbure  d'un  svstème  sont  plan<'s. 


Faculté  des  Sciences  de  Nancy. 


18G4  (3o  juillet). 
Reuss  (G.-E.).  —  Sur  le  calcul  des  éclipses  de  Soleil  et  de  Lune. 

1865  {'?.•;  janvier). 

Laurent  (P  -M. -II.).  —  Continuité  des  fonctions  imaginaires   et  des 
séries  en  pariiculier. 


MÉLANGES.  277 


Faculté  des  Sciences  de  Rennes. 


1848  (10  janvier). 

Paignon.  —  De  la  courbe  décrite  par  un  point  mat-ériel,  attiré  par  un 
centre  fixe. 

—  Détermination  de  l'aplatissement  de  la  Terre  par  les  inégalités  du 
mouvement  de  la  Lune. 


1874  (mai). 

Vincent.  —  Sur  les  analogies  entre  les  équations  diiïcrentielles  linéaires 
«t  les  équations  algébriques. 

—  Sur  un  problème  relatif  au  mouvement  d'un  point  matériel. 


Faculté  des  Sciences  de  Strasbourg. 


1827  (i3  et  14  août). 

Delcambre  (C.-F.-J.).  —  De  la  force  d'attraction  considérée  particu- 
lièrement comme  force  motrice  des  planètes. 

—  Du  mouvement  elliptique  des  planètes. 


1828  (25-28  octobre). 

Regneaclt  (E.-E.).  —  Scolics  sur  la  nature  des  vitesses  virtuelles, 
suivies  de  quelques  réflexions  sur  la  métaphysique  du  calcul  difi'ércntiel  et 
intégral. 

—  Discussion  sur  les  mouvements  propres  des  étoiles. 


1829  (18  juin-25  juillet). 

FiNCK  (P.-J.-E.).  —  Considérations  sur  les  machines  en  mouvement. 
—  Essai  sur  les  formules  du  mouvement  de  l'équateur  terrestre. 


278  PREMIÈRE  PARTIE. 

1829  (23  juillet). 

Kramp  (Cu.-Th.).  —  Application  de  la  théorie  générale  des  petites  oscil- 
lations. 

1829  (19  novembre),  1830  (3o  décembre). 

QuATREFAGES  (J.-F.-L.-A.  DE).  —  Théorie  d'un  coup  de  canon. 

—  Du  mouvement  des  aérolithes  considérés  comme  des  masses  dissé- 
minées dans  l'espace  par  l'action  des  valeurs  lunaires. 

1830  (Si  octobre  et  4  novembre). 

Renaudin  (L.-F.-E.)*  —  Des  oscillations  du  pendule  simple  dans  le  vide. 

—  Lois  de  Kepler. 

1833  (12  et  19  décembre). 

Rameaux  (J.-F.).  —  Théorie  du  mouvement  des  corps  dans  un  milieu 
résistant. 

—  Des  occultations  et  des  éclipses. 

1840  {21  mai;. 

Crebessac-Vkrnkt  {  P.-A.-B.;.  —  Recherches  sur  le  mouvement  d'un 
s>slème  de  |)oints  libres  liés  entre  eux  et  sollicités  par  des  forces  accélé- 
ratrices quelconques. 

—  Calcul  des  variations  des  constantes  arbitraires  qui  entrent  dans  les 
formules  du  niouvenienl  elliptique  des  planètes  autour  du  Soleil. 

1813  (4  cl  i3  mai). 

Reuss  (G.-C).  —  Du  mouvement  des  planètes. 

—  Sur  l'équilibre  d'un  fil  flexible  et  inextensible. 

1814  (18  juillet  et  '28  novembre). 

DosTOR  (J.-C).  —  Du  mouvement  des  comètes. 

—  Du  mouvement  de  rotation  d'un  corps  solide  autour  d'un  point  fixe. 


MÉLANGES.  279 

1845  ((2  juin). 

Reuss  (G.-E.).  —  Du  mouvement  d'un  corps  attiré  par  un  autre  qui  se 
meut  uniformément  sur  une  droite. 

1850  (18  juillet). 

Plarr  (G.).  —  Essai  d'une  théorie  de  la  figure  de  la  Terre  basée  sur  le 
calcul  de  l'attraction  des  sphéroïdes  hétérogènes. 

1851  (i5  janvier). 

Mahistre  (A.).  —  Calcul  de  l'attraction  d'un  cône  droit  homogène  sur 
011  point  de  son  axe.  Calcul  de  l'attraction  d'une  couche  sphérique  homo- 
gène interceptée  sur  deux  sphères  concentriques  par  un  cône  qui  aurait 
son  sommet  au  centre  commun,  le  point  attiré  étant  supposé  placé  su  r 
l'axe  du  cône. 

—  Théorie  des  perturbations  planétaires. 

1857  (a6  décembre). 

Bach  (X.-D.).  —  Recherches  sur  quelques  formules  d'Analyse  et  en  par- 
ticulier sur  les  formules  d'Euler  et  de  Stirling. 

1863  (  28  mai  ) . 

HOPPÊ  (J.-F.).    —   Détermination  de  l'orbite    d'une  comète   par  trois 
observations. 

—  Attraction  des  ellipsoïdes  homogènes. 

1864  (12  août). 

Stoffel  (E.).  —  De  l'intégration  dos  équations  différentielles  partielles 
du  premier  ordre. 

—  Étude  sur  les  étoiles  doubles. 


Faculté  des  Sciences  de  Toulouse. 


1838  ('21  février  et  27  mars). 

Sawicki  (S.).  —  Sur  les  pressions  des  liquides  homogènes. 
—  Détermination  du  mouvement  des  planètes. 


PKEMlËltU    PARTIE. 


IKjK  ir>  Lt  Kl  août). 


EtrRGIï  (,A.-V.i.  —  Sur  IViguililin;  il'uD  lil  dont  tous  les  poÎDls  sont  sol- 
li>'Lii'<  |i,ir  ili*!!  fiirci::i  (]ut.■lcuIll|lll:^. 

-  im  (iroMome  Uc  KOpler. 

IKil   i'>7  I.-I   II  uuûli. 
l>i:srEiHiirâlTii.;.  —  Miitliuili:  <Ii:  ilihiTniiDulion  (fes  orbites  des  coiiiétuï. 
Tlii'<>i'ii:  lie  li<  i<iri.ilir.>ii  i\,:>  ri>ii-l.iril<-s  iirbitriiirts. 


I'iii:m:t  iJ.-K.j.  —  Sur  \e>  f'iiiriiiii)-<  i|iii  suivent  ù  (litermiiiiir  l'attrar- 

Siir  i|iirii|iu's  |iri>|ii-ii'rOs  ^.'■iiiTiili','  ili'  i-oiirbts  ù  double  courbuiv. 


IKlill  HT  iioùli. 


liMii.iK  ,i;..  Il.i.  --  Kliiil.' 


l'mi'iil  de  \;i  fiinrli<iii  [n'itui 

,o,M.-N..nlsi.knaaire-. 

,.i;inair..d..,.nsC.ucb>. 


Ill'LLKTlN     rillM.IOCIt  \1'I11(JI:E. 


il-.   \^irH,>i.iE.iiiii.>.>ii.  c;.-.   iii-N'uMvj-.  Il-,  li.HiH. 


WiiH.     i\,..     .-     ni,-     so-ii„-lri..tl..-      h,l.r,.r.-l.iti..,.     .I.r     l.l.-irhuuf- 
■     .      :■,■.., ni  hn-'in-aif.i'-t/..  ■„:  liS'  /:;■  '.-ri,,,.//-!!.:.,  hi.-M'H.M-.l.  i„-v'. 


,  !■■  1.         Ilhl..',:-  .1,- I:    rinK'-i,,.-  ■!   ,1.    I.,    ri.iwf   .l./.uis    Us 


\i\\    V  I  l!  I  1^    C   \  |i  1   II  I  I    11  .   \   1  i    I     Hl< 


1. —  Thiorin  iW«  flinnn  biMutna.  Iii'h;  iH-fi.     iri  (r . 


>  VbUaHi|>lil*    dM 


R»Tao  des  pnbUiiatioiia  oilbaniAliitVMiJ 


Juiirua]  fUt  (Ud  reiofi  ami  tn/mi-ni  ' 
JuuriMl  titt  t'Eoote  l'uiytechjitquf 


LiltHAIRlE   GAI   r  Hlhll-V  |  LLAIU 


GODBrHOT  mm 


SAMSOKASFF.  -  BSMhada  pmr  la  ré»IaUaf>  tMilok  4 


iiULLETliN 


[ENCESMATHËMAT1ULES,;;Hj 


fUMli 


PAU  MM.  ti.  hahdoux,  k.  l'l^.,\n^  et  i.  lANSEitr,  =î  |?i 


i  1 9 1 1 

I  U  dkreoUDn  4o  la  CuiDinIsaiaD  dut  Saut»*  tlnd»«.  ^  ^  -Il 

'il 


.  >  <  r.O  FiN  «n  (.  IVIRMlit  KTI.  UVLtt, 


T0«C    XXVI.    -    ÛQTOBRB    l»U2 


yc(î.| 


tniEii 

y  »  il       »  »  3 


U-LlIIltAlMi 

<  I      l-OI.VTKCtlKI«L'K, 


lACÇOTtm  l'Eii 


fJORDAN    Cl 

Tm«I.-'- 

TitM*  m.   —  CaUfl  Migrai  IfiftialMM  Ai/l«rCHt»>frd| 


fOOtIBCRT  (IB  V.;,  Pr»ri>M<«r  i  l'Cci)-  &tiBL>-r.»n»jW.  - 
lliia*  qui  M  rcBoOBUeitl  dana  la  lb4otta  do  la  tiasarufs 
IMm  iiltlptk|HCi    ln..f,  ld;lt..     ....    .     , 


tJOVBJMAI.  SE  MATaÉMATIQirES  FVBJ»  EX  J 

fUcucil  tUEiuuBl  lia  KtiBi/4n>  MirlH  <ll««nMp«rtia«dM  Mal£ 


COMPTKS  HENDUS  HT  ANALYSES 


COMPTKS    ItENDUS   Kl    ANALYSES. 


BOCVAttT  et  RATISET.  —  Nm  vi;i.i.hk  Taiii.ks  m:  ijh:aiiitiiui:s  a  i;iso  w.u- 
VkLEs.  Division  centkî'iuvi.k.  i  vd!.  in-S',  nliloii}:,  la;  [w^cs.  l'aris, 
Hachclto,  ittoi. 

L'usage  <lc  la  division  ccnti'-siiiit)!?,  ^ràf:c  à  l'iiiiliaLive  du  Mi- 
nistre de  la  Guerre,  va  se  répandre  dans  rcnsei^'nemrnl  i-Ii-inon- 
taire.  Il  faut  saisir  les  rares  occasions  où  les  |irograiiiincs  servent 
la  cause  du  progn'-s.  (ielui-lâ  esl  dil,  à  coup  sur,  a»  Service  géo- 
graphique de  l'Armée,  où  l'on  ne  se  serl  pins  (]iie  de  la  division 
ceoicsimale  du  quadrant,  cl  «pii  a  publié  d'admirables  Tables,  à 
l>uit  décimales  (  *  ),  itn  peu  encombrantes  sans  doute,  mais  dont  la 
belle  impression  est  une  joie  pour  ceux  rpii  ont  les  veux  fatigués, 
et  dont  l'étendue  permet  d'atleimlre  une  grande  précision  dans 
'es  calculs  (*).  Imposé  par  le  Minisire  de  la  (luerre,  l'usage  de  la 
division  ccnlésiinale  se  ré|iandra  assurénieiil  ailleurs.  Les  gens 
qui  n'ont  à  faire  que  des  calenls  théoriipios  sont  tout  naturelle- 
ment acquis  à  celte  réforme.  On  peut  craindre,  sans  doute, 
quelque  résistance  du  fiW  de  la  Marine;  celte  résis(ant;c  se 
trouvera  peul-t^trc  moins  iibslinée  ipi'nn  ne  s'v  attend.  l/.(«- 
Mitiirr  lin  littietiii  ilrs  L<in<:iliidi'x  pour  miou  coiitieiil  en  elVet 
«ne  intéressante  Nuliec  de  M,  le  eonimaiidanl  Guvoii  :  Hur 
^applkatinn  de  la  divisirm  di-ciniitlc  tlii  quart  ilf  rfii'/i-  à  fit 
pratique  de  la  iniii^'tilioii.  <pii  relate  des  e\pi'iiriui ■^  faites  ré- 
cemnient  sur  cette  upjilie.-ition.  et  dont  les  résultais  |>iii-iiis-:enl 
concluants  : 

"     l*-i   navires  désif;nés  jimir  ces  expéiiviiee^  i>iit  l'ii:  rlmisis 


t*'  •!<■(-, 

-i«„..  i. 

..NT 

'•)  U 

(«-».l.i. 

«na*  cn, 

■lidit*  j 

.„,, 

tuli. 

des  Sci 

,■',.■- 

0.82  PUEMIKKK  PARTIE. 

parmi  ceux  qui  devaient  ^Irc  appelés  à  une  navigalîon  parliculiè- 
remcnl  active  pendant  la  pt'riodc  qui  avait  été  Gxéc. 

»  Chacun  d'eux  reçut  les  instruments  et  documenls  cî-après  : 

)>  Un  chronomètre  décimal; 

»  Un  Recueil  d'éphémérides  et  de  Tables  nautiques; 

»  Un  exemplaire  des  Tables  à  cinq  décimales  du  Service  géo- 
graphique de  FArmée; 

»  Une  collection  de  Cartes  portant  une  graduation  décimale 
supplémentaire,  à  Tcncre  rouge; 

»   Vue  rose  de  compas  graduée  en  grades; 

»   Un  sextant  décimal. 

»  Pendant  toute  la  durée  de  ces  expériences,  plusieurs  officiers, 
sur  chaque  navire,  ont  effectué,  en  rade  et  à  la  mer,  avec  les 
instruments  décimaux,  les  éphémérides  et  les  Tables  décimales, 
toutes  les  observations  et  tous  les  calculs  nécessaires  à  la  condaite 
du  navire.  Les  cahiers  sur  lesquels  ont  été  faits  ces  calculs,  ainsi 
(|ue  les  rapports  dans  lesquels  les  officiers  expérimentateurs  ont 
résumé  leurs  opinions,  ont  été  recueillis  dans  les  Archives  du 
Rureau  des  Longitudes. 

»  P»)nr  donner  la  mesure  de  l'expérience  qu'ont  pu  acquérir 
ces  officiers,  et  par  suite  du  degré  de  confiance  que  niuritenl  leurs 
rapports,  il  suffira  de  dire  qu'ils  ont  calculé  220  fois  le  point  par 
deux,  trois,  (pialre  et  même  cinq  lieux  géométriques  isolés,  et 
eflcctué  3v>  réglages  du  tropouu''tre  (')  par  les  observations  astro- 
nomie pies .  .  . . 

»  ...  Les  olïiciers  expérimentateurs  sont  à  peu  près  unanimes 
à  reconnaître  (|ue  les  unités  nouvelles  pourront  être  mises  en  pra- 
tique, sans  période  de  transition  et  sans  risque  sérieux  de  con- 
fusion, drs  (pie  Ton  pourra  mettre  à  la  disposition  des  marins  les 
instruments  et  les  documents  nécessaires  à  leur  application.  » 

(^es  résultats  sont  assurément  très  encourageants  et  permettent 
(le  penser  (pie  robjeetion  tirée  de  la  solidarité  des  unités  de  temps 


(')  ('.Ol  le   i)f>rii  (loiuio  aii\  clnonoiiirlrcs  décimaux,  lunn  dcsliiié  à  rappeler 
«lue  <<  rrlcinnit  ([iiiK  mcsinviil  ("it  r;in;;l('  (|r»ni  \v  cercle  \\nru\rv  ilii  Soleil  irn»vfii 

tniinir  r('liili\(iin'iil  à  un  iiu'iidieFi  Lt'rri>lre  »». 


COMPTES  UENDUS   KT  ANALYSES.  283 

et  d^angle  n'a  qu'une  force  apparente  :  M.  le  commandant  Guyou 
dévoile  d'ailleurs  la  faiblesse  de  cette  objection  en  montrant  com- 
ment les  problèmes  de  Navigation,  et  en  particulier  le  plus  impor- 
tant de  tous,  le  problème  du  point,  sont  des  problèmes  de  Géo- 
métrie pure,  dans  lesquels  n'interviennent  en  réalité  que  des 
grandeurs  angulaires,  (c  Lorsque  les  problèmes  nautiques  sont 
envisagés  sous  cet  aspect,  les  notions  de  temps  disparaissent  com- 
plètement, et  la  réforme  devient  possible  par  le  seul  changement 
de  la  mesure  des  arcs.  » 

On  peut  donc  croire  que  nous  approchons  d'un  moment  où  la 
i"éfornie  sera  pratiquement  réalisée  et  entrera  dans  les  mœurs.  Il 
se  peut  que,  pour  ce  qui  les  regarde,  les  astronomes  s'y  refusent, 
et  iU  donneront  peut-être  de  leur  refus  d'excellentes  raisons, 
dont  ils  sont  les  meilleurs  juges.  Que  cherchent  les  uns  et  les 
autres?  Simplement  une  économie  de  temp^  :  ceux  auxquels  la 
réforme  de  la  division  du  quadrant  ne  procurera  pas  cette  éco- 
nomie, en  raison  des  documents  dont  ils  sont  obligés  de  se  servir, 
ne  l'adopteront  sans  doute  pas.  INlais  l'existence  de  quelques  sa- 
vants constituant  une  classe  fermée  n'est  pas  un  obstacle  à  une 
réforme  générale.  Au  reste,  il  est  bien  évident,  à  cause  des  instru- 
ments existants,  que  les  deux  modes  de  division  continueront 
d'être  employés  concurremment  pendant  longtemps,  et,  pour  cette 
raison,  les  Tables  a  cinq  décimales  du  Service  géographique  de 
l'Armée,  qui  donnent  les  lignes  trigonométriques  dans  les  deux 
systèmes  de  division,  sont  éminemment  pratiques. 

I^s  Tables  de  MM.  Bouvart  et  Ratinct,  que  nous  annonçons, 
sont  un  Livre  purement  scolaire  et  ne  comportent  que  la  division 
décimale.  L'impression  en  est  nette  et  agréable  à  l'œil  :  on  sait 
assez  que  cela  n'est  pas  sans  importance,  et  qu'il  faut  ménager  les 
jeux  des  écoliers.  Chaque  page  contient  5o  lignes.  Les  Tables  de 
logarithmes,  qui  vont  de  i  à  loooo,  sont  à  double  entrée.  Les 
Tables  trigonométriques  vont  de  grade  en  grade.  Les  logarithmes 

de et  de  — ^^—  sont  donnes  pour  les  trois  premiers  grades. 

Outre  une  petite  Table  à  sept  décimales  pour  les  calculs  relatifs 
aux  intérêts  composés,  les  auteurs  ont  donné  des  Tables  pour  la 
conversion  des  divisions  sexagésimales  eu  divisions  décimales,  et 
réciproquement. 


v84  PREMIÈRE   PARTIE, 

Leur  Livre  ne  contient  ni  instruction  préliminaire,  ni  Tables 
auxiliaires  autres  que  celles  dont  je  viens  de  parler,  ni  Recaeil 
de  formules  ou  de  nombres  importants. 

L^absence  d'instruction  préliminaire  est  sans  doute  justifiée.  Il 
va  de  soi  que  ce  n'est  pas  dans  nne  Table  de  logarithmes  qu'on  n 
chcrcber  la  tbéorie  des  logarithmes.  Seules  quelques  règles  pn- 
(iques  peuvent  trouver  leur  place  dans  une  Tahle  :  les  régiei 
usuelles  sont  trop  connues  pour  qu'il  y  ait  lieu  de  les  rappeler; 
les  règles  un  peu  plus  compliquées,  relatives  à  la  meilleure  aùl\- 
salion  possible  des  Tables,  dans  lesquelles  on  indique  si  la  der- 
nière décimale  est  prise  par  excès  ou  par  défaut  n'avaient  pas  leur 
place  ici. 

Il  me  semble  qu'on  devrait  familiariser,  même  de  bonne  heurt, 
les  écoliers  avec  l'usage  des  Tables  de  logarithmes  et  d'anliloga- 
rithmes  avec  quatre  décimales,  pour  les  mille  premiers  noml3re5 
C'est  l'affaire  de  quatre  pages  :  des  Tables  trigonométriquess,  o' 
décigrade  en  décigrade,  à  quatre  décimales  encore,  tiendr^îcn 
dans  dix.  pages,  dans  vingt  si  l'on  donnait  en  outre  les  vald" 
naturelles.  Ces  Tables-là  sufTiraient,  et  au  delà,  pour  la  plaJp** 
des  besoins  pratiques.  Il  est  inutile  d'insister  sur  leur  comraod'^ 

Quant  aux  formules  et  au  Recueil  de  nombres  usuels,  qu'i/  ^* 
bien  naturel  de  faire   figurer  dans  une  Table  de  logarilhno^^ 
Tusage  des  écoliers,  leur  suppression  résulte  de  nécessités  c(p*^ 
merciales,  qui  sont  elles-mêmes  la  conséquence  des  programma" 
d'examen.  Dans  ces  examens,  eu  effet,  les  candidats  doivent  f^ 
servir  de  Tables  qui  ne  contiennent  aucune  formule. 

C'est  là,  scmble-t-il,  une   exigence  fâcbeuse.   Il   y  a,  dans  les 
examens,  assex  d'épreuves  où  il  est  facile  de  constater  que  les 
candidats  savent  ou  ne  savent  pas  telle  ou  telle  formule.  D'ordi- 
naire, ils  savent  beaucoup  plus  de  formules  qu'il  ne  faudrait.  Les 
épreuves  pratiques,  ainsi  que  je   l'ai  entendu  exposer,   avec  les 
meilleures  raisons,   par   M.   le  commandant   Guvou,   sont    faites 
pour  reconnaître  si  les  candidats  sont,  ou  non,  capables,  dans  un 
temps  donné,  de  réduire  une  formule  en  nombre,  s'ils  sont  assez 
rompus  au  mélier  pour  ne  pas  se  laisser  arrêter  par  ces  petites  dif- 
ficultés prati([ues  auxquelles   ceux  qui  n'ont  pas   Thabitude  du 
calcul  perdent  leur  temps  :  il   est  facile  de  poser  des   questions 
variées  qui,  à  cet  égard,  servent  de  pierre  de  louche.  Il  n'y  a  aucun 


COMPTES  RENDUS  ET  ANALYSES.         ?H5 

înoonvénient  à  donner  les  formules  nithnes  que  les  candidats  au- 
raient à  réduire  en  nombres;  peu  importeraient  alors  les  autres 
Foranules  qui  se  trouveraient  ou  ne  se  trouveraient  pas  dans  leurs 
l>les  :  ce  procédé  vaudrait  mieux  que  de  leur  imposer,  à  peu 
tous  les  ans,  la  même  résolution  de  triangle.  Quand  il  n^aurait 
f>ais  d'autre  avantage  que  de  ne  pas  forcer  les  éditeurs  a  supprimer 
de  leurs  Livres  des  pages  éminemment  utiles,  cela  suffirait  ample- 
nnent  à  le  recommander.  Une  Table  à  cinq  décimales  est  déjà  un 
instrument  théorique  :  il  n'jr  aura  jamais  à  en  avoir  besoin  (sauf 
ur  les  examens)  que  les  gens  (|ui  ont  une  culture  mathématique 
sex  élevée.  Comprend-on,  par  exemple,  qu'une  telle  Table  ne 
tienne  même  pas  le  nombre  qui  permet  de  passer  des  loga- 
t'ithines  vulgaires  aux  logarithmes  népériens,  et  faut-il  savoir  ce 
nombre-là  par  cœur? 


APPELL.  —  Cours  de  Mécanique  a  l'usage  des  candidats  a  l'École  cen- 
T'KALB  DES  Arts  et  Manufactures,  i  vol.  îm-H;  271  pages.  Paris.  Gaiilliier- 
Villars,  190-2. 


programme  des  examens  d^entrée  à  l'Ecole  centrale  a  été, 

'^xs  dernier,  profondément  modifié  ou   plutôt  renouvelé.   11  ne 

'  ^^it  pas,  cette  fois,  de  Tintroduction  ou  de  la  suppression  de 

H^^cslque  alinéa,  sur  laquelle  les  membres  d^une  commission  ont 

^'^culé  longuement  autour  d'un  tapis  vert  et  qui  a  été  décidée,  au 

"•-«ard  du  vole,  d'après  une  majorité  qui,  le  lendemain,  ne  se 

•^■^aît  pas  retrouvée  la  même,  et  qui  penche  tantôt  dans  un  sens, 

^^^^tôt  dans  un  autre,  tantôt  à  cause  du  goût  de  certains  membres 

P^^  tir  quelque  petite  théorie  qui  réveille  en  eux  d'agréables  souve- 

^*>^s  de  jeunesse,  tantôt  à  cause  de  l'autorité  ou  de  l'âge  de  celui 

^**i  vient  de  parler  et  que  l'on  n'ose  pas  contredire.  Cette  fois, 

^  ^stTesprit  qui  a  soufflé,  et  le  vent  a  emporté  beaucoup  de  fétus 

^^  paille,  apporté  quelques  germes  nouveaux.  Souhaitons  que  ccït 

finîmes  poussent.  Les  gens  qui  ont  rédige  ce  programme  ont  eti 

*  idée  vraiment  neuve  et  originale  de  se  préoccuper  des  besoins 

^c  TËcolc  dont  il  est  le  seuil,   de  renseignement  (^uc  Ton  doit 


286  PUËMIÈKE   PARTIE. 

donner  dans  celle  Ecole,  du  mdlier  que  doivent  faire  un  jour 
qui  en  sorlironl.  I^cul-tHre  ces  gens- Là  avaient-ils  conscieoc 
ces  besoins  et  celle  Iiypollirse  cxplique-t-elle   leur  origina 
Sans  doute,  quelques  paragraphes,  qu'il  serait  d'ailleurs  ais' 
reloucher  en  restant  dans  le  même  esprit,  prélent  à  la  crilii 
mais  il  me  semble  bien  que  la  tendance  générale  doit  être  lo^ 
sans  réserve. 

Il  ne  suffit  pas  de  faire  un  bon  et  beau  programme,  non  p^^    *^* 
qu'un  bon  sermon  :  il  faut  prêcher  d^exemple.  M.  Appell  s'jr  "^^^ 

dévoué  et  a  écrit  un  petit  Livre  qui  fixera  le  sens  dans  lequel  c^B.  oïl 
être  enseignée  la  Mécanique  aux  futurs  ingénieurs  de  Ttc^  ^^l* 
centrale,  à  des  gens  qui  n'auront  a  faire  ni  de  la  Métaphystc]^  -^^e, 
ni  delà  pure  Géométrie,  ni  de  la  pure  Analyse,  mais  bien  à  me*^ —  trc 
en  équation  des  problèmes  réels. 

Son  Livre  s'ouvre  par  un  Chapitre  où  sont  établies  les  prop-^ ^si- 

lions  forulamcnlalcsde  la  théorie  des  vecteurs.  Disons  de  suite  c^      ^c, 
dans  le  Chapitre  suivant,  la  vitesse  et  raccélération  seront  ne  K_     te- 
ment  définies  comme  des  dérivées  géométriques.  On  est  un    ^~:»eu 
étonné  eu  pensant  que  cela  est  presque  une  nouveauté  dan^         un 
Livre  élémentaire.    Dans  k   Cinémati(|ue   du   point,  l'étude       ^dlc> 
mouvements  vibratoires  est  faite  avec  détail  :  Tauteur  a  sans  dci>  »J/f 
pensé  (|irellr  pn'senlait  quelque  utilité  pour  renseignement  ci  ^ir  /^ 
Physique.  Si^^ualons  aussi   le  parajifraphe  relatif  aux  diagrain  «iies 
du  mouvement  (graphique  des  crhemins  de  fer,  etc.) 

L'espace  îibsohi  est  défini  |)ar  un  trièdre  Irirectanglc  invari»  !>'*'" 
ment  lié  aux  étoiles  fixes  :  dans  la  phiparl  des  problèmes  praticj  ti<^> 
il  n'y  a  pas  d'ineonvénient  à  regarder  le  trièdre  fixe  comme  i  ii  va- 
riableincnt  lié  à  la  Terre.  La  masse  m  d'un  point  matériel  est-    *'•* 
coefficient  nuniéri(|ue  lié  à  ce  point  :  on  apprendra  tout  à  Th*"**^'^^ 
comnienl    ou    mesure  effeetiveuient   ee   nombre,  au  moven  ci*-'    ''* 
balance.  Si  un  point  matériel  est  placé  dans  un  champ  de  foi*^^^' 
il   prend  un<»  a  eeé  lé  rai  ion  y  ^^  1^  force  qui  agit  sur  lui  est.      !>•** 
définition,  le  veeieur  m^',  La  pesanteur  conduit,  par  voie  exi"»*-'*^*' 
mentale,  à  la  notion  de  /joi(/s  absolu,  La  pression  exercée  p»  *'   ** 
poids  sur  la  ninin  inii  le  soutient  donne  l'idée  d'une  compari*  •  =^** 
grossière  entre  les  poids  absolus    (\c9>  corps  par   la   sensation* 
Teffort  rnusenlaire  pour  les  (Mnpéeher  de  tomber.   Les  dvnr*  *"*^ 
mètres   peiinellent    de  préciser   eelle  comparaison.  Sans   d<:>  *  * 


COMPTIiS  RENDUS  KT  ANALYSES.  9.87 

iout  cela  est  grossier,  et  Ton  criera,  si  l'on  veut,  au  cercle  vicieux, 
quand  il  sera  question  de  mesurer  la  masse  par  la  balance  :  la 
balance  est  une  machine  dont  il  faudrait  avoir  fait  la  théorie  pour 
savoir  ce  qu'elle  donne.  Le  vrai  cercle  vicieux  est  celui  qu'on  ne 
voit  pas,  celui  où  l'on  s'enferme  sans  le  savoir.  Celui-ci  crève  les 
jeux  et  n'a  donc  aucun  inconvénient.  Il  n'y  a  pas  de  science  du 
réel  sans  cercle  vicieux.  Pascal  a  démontré  cela  surabondamment 
ci  je  crois  bien  qu'Ânaxagore  l'avait  fait  longtemps  avant  lui  :  ce 
û  est  pas  là  une  découverte  moderne.  Et,  cependant,  il  est  vrai 
qu'il  y  a  une  science  du  réel,  une  Physique,  qui  nous  permet  de 
prévoir  des  phénomènes  que  nous  observons,   des  machines  qui 
marchent,  cpiî  exécutent  des  travaux,  et  que  l'on  calcule.  L'im- 
portant ici  est  de  ne  pas  se  tromper,  et  de  ne  pas  substituer  dans 
'es  équations  des  nombres  inexacts.  Eh  bien  !  c'est  eflcctivement 
avec  une  balance  qu'on   mesure  les  masses,  c'est  des  nombres 
obtenus  au  moyen  de  cet  instrument  que  l'on  se  sert,  et  c'est  ce 
9*'''l  importe  de  savoir  :  il  importe  aussi  de  ne  pas  se  tromper 
<iuand  on  change  d'unités,  et  l'on  ne  s'étonnera  pas  du  soin  avec 
'^quel  M.  Âppell   a   développé  tout  ce  qui  touche  a  ce   sujet. 
"  donne  ensuite  les  notions  essentielles  relatives  aux  champs  de 
force,  et  traite  divers  exemples  du  mouvement  d'un  point  malé- 
"^d  libre,  choisis  en  vue  des  applications,  et  de  manière  à  n'exiger 
9**c  des  connaissances  très  restreintes  en  Calcul  intégral. 

t*our  ce  qui  est  du  mouvement  d'un  point  qui  n'est  pas  libre, 

*  •uieur  se  borne  à  étudier  le  mouvement  d'un  point  sur  un  plan, 

''^^is  de  manière  à  introduire  la  notion  du  frottement.  Les  lois  du 

irott^uient  sont  expliquées  pour  le  cas  de  l'équilibre  et  pour  le  cas 

^    lïiouvement  :    il  en  est  fait  une  application  détaillée  au  cas 

^n   point  assujetti  à  se  mouvoir  sur   un   plan    horizontal   sous 

^^iîon  d'une  force  horizontale  constante.  Le  problème  du  mou- 

^ Strient  d'un  point  pesant  sur  un  |)lan  incliné  est  déjà   trop  com- 

P  '^lué  pour  le  lecteur  chez  lequel  on  ne  suppose  aucune  connais- 

*^*^Ce  concernant  le  maniement  des  équations  différentielles,  et 

^  ^si  traité  que  dans  le  cas  on  il  n'y  a  pas  de  frottement  :  il  eut 

^^^  tout  au  plus  possible  de  lui  expli(|ucr  commient  le  problème  se 

"^^t-iaiten  équation.  Quoi  qu'il  on  soit,  si  incomplètes  que  soient 

^*  connaissances  ac(|uises  par  ce  lecteur,  au  moins  son  esprit  ne 

i-t-il  pas  faussé. 


288  PRËMIÈKE  PÂliTiE. 

La  ihéorle  de  réquilibre  d^un  corps  solide  est  précédée  des 
notions  essentielles  concernant  le  moment  d'uo  vecteur  par 
rapport  à  un  point  ou  à  un  axe  et  l'axe  d'un  couple  de  vecteurs. 
Après  avoir  observé  l'invariance  de  la  somme  géométrique  el  du 
moment  résultant  d'un  système  de  vecteurs  quand  ou  fait  sur  ce 
système  les  transformations  dont  on  admet  en  Statique  qu'elles  ne 
troublent  pas  l'état  du  corps,  on  établit  les  couditions  néces- 
saires et  suffisantes  pour  l'équilibre  d'un  corps  solide  en  montrant 
d'abord  que  le  système  de  forces  peut  être  réduit  à  deux  forces^ 
et  en  admettant  que  ces  deux  forces  doivent  être  égales,  opposées 
et  portées  par  la  même  droite.  De  la  règle  générale  on  déduit 
ens^^ite  les  règles  concernant  les  forces  parallèles. 

L'auteur  étudie  enfin  les  conditions  d*équilibre  de  quelques 
machines  simples  (levier,  treuil,  balance  ordinaire,  romaine; 
balance  de  Quinlenz,  poulies,  moufles,  etc.)  Il  n'est  question  du 
frottement  que  pour  la  poulie,  en  vue  du  calcul  du  rapport  qu'il 
doit  y  avoir  entre  la  puissance  et  la  résistance,  supposées  verti- 
cales, pour  que  la  poulie  commence  à  se  mouvoir.  Ce  calcul, 
d'ailleurs  très  simplement  et  très  clairement  présenté,  aurait  peut- 
être  gagné  à  être  précédé  de  quelques  courtes  explications  sur  ce 
qu'il  faut  entendre  par  !'<(  angle  de  frottement  de  l'œil  sur  l'axe  », 
d'autant  qu'il  n'a  été  question,  jusqu'ici,  de  cet  angle  de  frotte- 
ment que  pour  le  cas  d'un  point  matériel  qui  glisse  sur  un  plan. 
Quelques  pages  substantielles  relatives  au  cas  où  les  machines 
sont  mises  en  mouvement,  les  forces  étant  supposées  en  équilibre 
à  chaque  instant,  terminent  cet  intéressant  petit  Livre.  Les  candi- 
dats et  les  professeurs  seront  certainement  reconnaissants  à  celui 
qui  a  bien  voulu  récrire,  J.  T. 


CAPELLI  (A.)-  —  Leziom  sli.la  Teoria  dëlle  forme  algebrische. 

I  vol.  in-S",  autographié,  ^yj  pages.  Napics,  IMlcrauo,  ic)o-2. 

Le  lecteur  trouvera  dans  ce  Volume  la  reproduction  du  cours 
fait  par  M.  Capelli  à  TUniversité  de  Naples,  sur  les  points  essen- 
tiels de  la  théorie  générale  des  formes  algébriques,  théorie  qui, 


COMlTIiS  RENDUS  ET  ANALYSES.  289 

si  elle  a  été  Tobjet  de  nombreux  et  importants  Mémoires,  n'a 
guère  été  traitée  d'une  façon  didactique  :  le  Livre  de  M.  Capelli 
apportera  de  grandes  facilités  de  travail  à  ceux  qui  veulent  s'ini- 
tier à  cette  théorie. 

Il  est  divisé  en  deux  Chapitres  :  le  premier  contient  les  notions, 
définitions  et  propriétés  fondamentales  :  la  théorie  des  substitu- 
tions linéaires,  des  formes  polaires,  la  définition  des  invariants  et 
covariants,  l'introduction  des  covariants  de  Cayley  et  de  l'opéra- 
tion û,  etc.  Le  second  Chapitre  est  consacré  à  l'ctudc  des  divers 
procédés  de  formation,  des  représentations  symboliques,  des  équa- 
tions diflerentielles  que  vérifient  les  covariants,  etc.;  il  se  termine 
par  la  démonstration  du  théorème  de  M.  Hilbert. 

Enfin,  dans  un  Appendice  d'une  vingtaine  de  pages,  l'auteur  a 
résumé  les  propositions  essentielles  concernant  les  formes  bi- 
naires. 


GAUSS  (K.-F.).  —  Gkxeral  i.\vestig\tions  of  curved  surfaces  of  1827 

AND   1825.  TrANSLATED  WITU  NOTES  AND  A  RIULIOCRAIMIY  RY  J.-C ,  MorellCod 

AJiD  A.-M,  HUtebeiteL  The  Prixcetox  Umvewsity  Lirrary.  In-4"i  ^'"i- 
ittG  pages.  Princeton,  1902. 

Le  célèbre  Mémoire  de  Gauss  :  Discjuisiliones  générales  circa 
superficies  curvas,  présenté  vers  la  fin  de  1827  à  la  Société 
royale  de  Gœttingue,  a  une  telle  importance  au  point  de  vue  du 
développement  de  la  Géométrie  infinitésimale,  qu'il  a  été  fré- 
quemment reproduit.  Liouville,  le  premier,  l'a  ajouté  à  l'édition 
qu*il  a  donnée  de  V Application  de  ^ Analyse  à  la  Géométrie  de 
Monge.  11  a  été  traduit  deux  fois  au  moins  en  français  et  en  alle- 
mand. Il  fait  partie  notamment  de  la  Collection  des  Classiques 
scientifiques  publiée  par  Ostwald.  Les  auteurs  de  la  présente  publi- 
cation ont  eu  l'idée  à  leur  tour  de  le  traduire  en  anglais,  de  ma- 
nière à  étendre  encore  le  cercle  d'une  action  qui  ne  paraît  pas  près 
d'être  épuisée.  Gauss  n'a  jamais  livré  à  l'impression  aucun  de  ses 
travaux  sans  avoir  profondément  médité  sur  la  matière  qu'il  avait 
choisie.  Ses  moindres  phrases  méritent  d'être  étudiées  avec  soin; 
elles  peuvent  nous  mettre  sur  la  voie  de  notions  importantes  que 


790  IMIKMIÈUË    PARTIE. 

Gaiiss  a  gardées  pour  lui  ou  qu^Il  n^a  pas  eu  le  temps  de  publier. 
Les  auteurs  de  la  nouvelle  traduction  Tont  bien  compris,  et  ils  se 
sont  attachés  à  la  rendre  aussi  irréprodhable  et  aussi  fidèle  que 
possible. 

Mais  ils  ne  se  sont  pas  contentés  de  nous  donner  le  l^lémoire 
fondamental  de  Gauss.  Ils  y  ont  joint  Tanaljse  que  Gauss  en  a 
faite  lui-même  dans  les  Mémoires  de  Gœttingiie ;  ils  onl  éclairé 
le  texte  par  des  notes  abondantes. 

Enfin  ils  ont  reproduit  une  première  ébauche  du  Mémoire  qui 
a  paru  récemment  dans  le  tome  VIII  des  Œuvres  de  Gauss,  cl  sur 
laquelle  nous  avions  déjà  appelé  Tatlcntion. 

Nous  nous  demandons  pourquoi  les  auteurs  n*ont  pas  cru  devoir 
joindre  à  leur  travail  le  Mémoire  sur  les  Cartes  géographiques  qui 
semblait  en  faire  naturellement  partie. 

Quoi  qu^il  en  soit,  une  bibliographie  abondante  termine  le 
nouvel  Ouvrage,  qui  est  certainement  appelé  à  avoir  le  plus  grand 
succès  et  la  plus  grande  iniluence  dans  tous  les  pays  de  langue 
anglaise  et  en  particulier  dans  les  Universités  américaines. 

G.  D. 


SKLLI']NTIIIN  (  M.).  —  M\TiiKM\Tisriii:u  Li:iTF\ni;N  mit  iiKsoMiKiiKn  Hkhkk- 
siciiTKii  N(;  DKK  Navi(;\tion.  I  vol.  111-8*;  XI-4J0  pages.  Leipzig  et  Uciiin. 

Tcubner,  n.)(»>. 

L'auloura  réuni,  dans  les  4'><^  pages  qui  constituent  ce  Volume, 
les    connaissnnccs    (rArillnnétiquc,    de    Géométrie    élémcnlairr, 
dWli^èbrc,  i\v  Cosinograpiiic,  de  Trii^onométrie  plane   et  s[)lit'- 
ri(|ue  qui  sont  in(lis|)cn.sables  aux  jeunes  gens  qui  se  préparent  .i 
la  Mariiio  :  son  Livre  e**t  fait  pour  servir  de  base  à  renseignement 
malhénialiquo    <lans    les    établissements    suivants    :    Kaiserlic/ic 
l)c(  kofli/.iorscluile,  Sockadeltcn-Schuischifle,  Kaiserliche  Marine- 
soluilo.  1/auleur  s'est  limité  strictement  à  ce  qui  est  nécessaireL 
il  a  d'ailleurs  multiplié  les  exercices  en  les  choisissant  exclusive^^ 
ment  parmi  les  (juestions  qui  se  présentent  dans  la  navigation  ^ 
Son  Livre  est,  au  fond,  un  Traité  de  Mathématiques  élémentairf5?i 
destiné  à  do  futurs  marins.  Ce  n'est  iruère  Jhabitude.  eu  France* 


COMPTES  RENDUS  ET  ANALYSES.         991 

que  de  donner  iin  enseignement  élémentaire  en  vue  d'une  pro- 
fession déterminée,  et  les  raisons  que  Ton  peut  donner  de  nos 
habitudes  demeureraient  excellentes,  s^'l  était  possible  d'allonger 
la  durée  de  la  vie  humaine.  On  n*évite  point  d'ailleurs  les  spécia- 
lisations dans  nos  lycées;  seulement,  elles  se  font  non  en  vue  des 
professions,  mais  en  vue  des  examens  qui  mènent  à  ces  profes- 
sions. Quoi  qu'il  en  soit,  il  est  intéressant  de  noter,  ailleurs  que 
chez  nous,  celte  tendance  à  renoncer  franchement  aux  bénéfices 
évidents  de  l'instruction  générale  et  des  connaissances  spécula- 
tives pour  les  jeunes  gens  qui  se  destinent  aux  carrières  pratiques. 
Pour  ceux  même  qui  n'entendent  nullement  renoncer  à  ces  béné- 
fices, le  Livre  de  M.  Scllenlhin  n'en  sera  pas  moins  utile  à 
consulter  en  lui-même  et  comme  document,  et  aussi  en  raison  du 
très  grand  nombre  d'exemples  qu'il  contient.  Il  est  bon  assuré- 
ment de  montrer  aux  élèves  comment  et  à  quoi  les  Mathématiques 
peuvent  servir,  et  de  leur  parler  quelquefois  des  réalités. 


HAMMEH  (E.). —  Seciistelligk  Tafel  deu  Wkrtk  lo»:— —  fir  jeden 
Wert  des  Arguments  log.r  vox  3, 0-10  bis  9,99000-10  l\oii  Argument 

9,99000-10  AN  DIS  9, 999700- lOSlIu/ DIE  lo}; ^  NUR    NOCII    FLNFSTELLIG 

ANGKGEREN   VON  DORT  AN  VIERSTKI.LIG  j .    I    VOl.    in-4",    IV-j]    pagCS.    Lcipzi};, 

Tcubner,  190a. 

W.  F.-W.  Rex  avait  publié  en  1 884  des  Tables  à  cinq  décimales 
donnant  pour  les  diverses  valeurs  du  logarithme  vulgaire  de  x 
(•^<Ci),  les  valeurs  correspondantes  du  logarithme  vulgaire  de 

TlirrC);   M.   Hammer,  qui  a  eu  à  sa  disposition  les  calculs  de 

"*•  Hex,  a  construit,  par  la  méthode  des  diflTérencrs,  une  Table  à 
9  décimales  d'où  il  a  tiré  la  présente  Table  à  (5  décimales.  Les  cas 


^*)  Une  petite  Table  de  celte  nature  se  trouve  dans  rcxrellent  liecueil  de  for- 
^^Itt  et  de  Tables  numériques  de  J.  IloUel;  mais  les  dimensions  de  la  Table  ne 
P^f Dallent  pas  une  interpolation  sûre. 


792  IMlEMlÊUli  PAirrili. 

douteux  ont  élé  résolus  directement  soit  au  moyen  des  Tables  à 
8  décimales  du  Service  géographique  de  l'Armée,  soit,  quand  Si  a 
été  nécessaire,  au  moyen  du  Thésaurus  logarithmoruni  k  lo  dé- 
cimales (Florence,  1889). 

La  disposition  de  la  Table  de  M.  Hammer  est,  en  général,  la  sui- 
vante : 

La  Table  est  à  double  entrée. 

Chaque  page  contient  5 1  valeurs  de  l'argument,  dont  la  dernière 
est  répétée  à  la  page  suivante.  De  10  en  10,  les  valeurs  sont  impri- 
mées en  caractères  gras  et  enfermées,  ainsi  que  les  nombres  cor- 
respondants, entre  deux  traits  fins;  de  trois  lignes  en  trois  lignes, 
il  y  a  une  ligne  de  blanc.  Les  parties  proportionnelles  sont  calcu- 
lées. Le  fait  que  le  dernier  chilTre  est  forcé  n'est  indiqué  que  s'il 
est  un  5. 

L'impression  est  très  nette  et  la  recherche  commode. 

Les  intervalles  entre  les  arguments  successifs  sont  déterminés 
parla  condition  que  l'interpolation  linéaire  soit  permise  :  ils  sont 

successivement  de  —  »  — :>  — r?  — r»  — ;  pour  les  valeurs  de  Tarçu- 

10    10*    10'    10*    10*  *  ^ 

ment  comprises  entre  7,0  et  4,0,   entre  /\^q  et  3,3,   entre  3,3 
et  2,5,  entre  2,5  et  1  ,9,  entre  i  ,9  et  1  ,996;  à  partir  de  la  valeur 

1,99  ^^  Targumenl,  les  valeurs  de  log ne  comportent  plus 

que  cinq  décimales;  pour  les  valeurs  de  l'argument  qui  vont  de 

I  ,990  à  1 ,9999,  l'intervalle  est  de  — ^>  et  les  valeurs  de  log 

ne  comportent  plus  que  quatre  décimales  à  partir  de  1  ,9997.  Dans 
la  Table,  tous  les  arguments  sont  augmentés  de  10. 

Il  est  inutile  d'insister  ici  sur  le  genre  de  services  que  peut 
rendre  cette  Table  aux  calculateurs. 


X 
X 


*^* 


MÉLANGES.  293 


MELANGES. 


SUR  UN  PROBLÈME  DE  MÉCANIQUE  RATIONNELLE; 

Pau  m.  ANDOVKH. 


Je  n'ai  trouvé,  dans  les  Traités  classiques  de  Mécanique  ration- 
nelle, aucune  donnée  sur  le  problème  suivant,  que  je  me  propose 
de  résoudre  : 

Deux  courbes  quelconques  sont  assujetties  y  par  une  liaison 
sans  frottement,  à  rester  constamment  tangentes  entre  elles. 
Quels  sont,  à  un  instant  donné,  les  déplacements  virtuels  com- 
patibles  avec  la  liaison  et  quelles  sont  les  forces  de  liaison,  ou 
réactions,  qui  s^ exercent  entre  les  deux  courbes? 

Il  est  bien  clair  que,  si  Ton  veut  étudier  le  mouvement  des  deux 
courbes  sous  l'action  de  forces  données,  on  peut  traiter  sans  peine 
la  question  à  l'aide  des  équations  de  Lagrange;  mais  si  l'on  veut 
connaître  en  outre  les  réactions  qui  s'exercent  entre  les  deux 
courbes,  c'est-à-dire  traiter  le  problème  complètement,  on  est 
amené  à  se  poser  précisément  la  question  que  nous  allons  ré- 
soudre. 

Prenons  pour  axes  de  coordonnées  rectangulaires  : 

1"  La  tangente  commune  Ox  aux  deux  courbes  données  C 
et  C,  en  leur  point  de  contact  O,  à  l'instant  donné; 

2**  La  normale  principale  Oy  à  l'une  des  courbes,  C,  dirigée 
vers  le  centre  de  courbure; 

3**  La  binormalc  0:ï  à  C. 

Si  s  désigne  l'arc  de  la  courbe  C  compté  à  partir  de  O  dans  le 
sens  Ox^  R  le  ra^^on  de  courbure  de  C  en  un  point  M  correspon- 
dant à  l'arc  5,  ï  le  rajon  de  torsion  de  C  en  M,  on  peut  déve- 
lopper en  séries  les  coordonm'es  du  point  M  de  la  façon  sui- 


•>94 
vanle  : 


PREMIÈRE  PARTIE. 


X  =  s  — 


6KÎ 


y 


s^ 


(iKoTo 


,<i) 


»  pour5  =  o, 


Ro,  Tq,   (  tt  )    représentant  les  valeurs  de  11,  T        , 

c'est-à-dire  au  point  O. 

llappelons  d'ailleurs,  afin  de  lever  toute  ambiguïté  sur  le  signe 
de  T,  que  Ton  a  la  relation 


't^ 


Kȕ 


(fv       dz 
ils        (Is 


dx 

in 

d'-x  d^y  d^-z 

777î'  da^  lis* 

ff^x  d^y  d^z 

ds^  ds^  ds^ 


=  o. 


La  normale  principale  Oj'  à  la  courbe  O,  dans  le  plan  OyZj 
fait  avec  Taxe  dcsj^'  un  angle  a,  compté  de  0>'  vers  Oj?;  la  binor- 
maie  Oz'  fait  le  même  angle  avec  O:;.  Si  donc  s'  désigne  l'arc 
do  (7  compte  à  partir  de  O  dans  le  sens  O x,  W  et  T' les  rayons  de 
courbure  et  de  torsion  de  (7  en  un  point  M'  correspondant  à 
Tare  5',  on  aura  pour  les  coordonnées  du  point  M'  les  formules 
suivantes,  où  les  nolalions  s'entendent  (rellcs-mèmes 


s 


'^ 


:r  TTz  S"  —  —       -  - 1- 


-. . .  j  cosa. 


ïr 


1\ 


sin  a 


<»KuT'o 


Supposons  la  courhc  (]  fixe  et  donnons  a  C  un  déplacement 
virtuel  défini  par  une  translalion  de  composantes  <7,  6,  c  cl  une 
rotation  autour  du  point  O  de  c()m|)Osantes/?,  q,  r.  Pour  la  svmé- 
Iric,  nous  inhoduirons  aussi  les  composantes  <y' et  r' de  celte  rota- 
tion suivant  Or'  et  O:;',  de  sorte  que 


/y  —       fj  cosa  --  r  SI  11  a, 
/•'  =  —  7  si  II  a  —  /'  00s  a. 


MÉLANGES.  29^ 

Après  un  temps  infinîmeat  pelît  3^,  la  courbe  iJ  a  pris  une 
nouvelle  position  et  les  coordonnées  de  M'  sont  devenues,  en 
nég;ligeant  le  quatrième  ordre  par  rapport  à  .v,  5',  5/, 


jc  =z  ait  -\-  s'—     .^,^  -^q  sina--rT7-  0^  —  rcosa  j-rp- 0/  -h. . ., 


cosa 


^  =  c  O^-h 


Kcrivons  que  le  point  M'  dans  sa  nouvelle  position  coïncide 
avec  le  point  M  et  que  la  tangente  en  M'  à  C  dans  sa  nouvelle 
posilion  coïncide  avec  la  tangente  en  M  à  C;  on  obtient  les  rela- 

lions 

6  =  0,         c  =  o, 


s' 
,  cosa-^ 

-'-'~K' 

s'     . 
-.     sina 

"0 

-  got  =  0. 

■^I- 


éliminant  5,  5',  0/  entre  les  trois  dernières  relations,  on  voit 
que  les  déplacements  virtuels  de  C  relativement  à  C,  compatibles 
avec  la  liaison,  sont  définis  par  les  relulions 

^  —  o,        c  =  o, 
as'ina  -ï-  q  W'q  —  ( q  cosa  -h  /•  sina)Ho=  o; 

la  dernière  de  ces  conditions  peut  d'ailleurs  s'écrire 

rt  sina  -T-  ^  Hy  —  y'Ug  =  ^j 

sous  une  forme  plus  sj' m  étriqué. 

Si  la  courbe  C  est  une  ligne  droite,  on  a  simplement 

0  =  0,        c  =  o,        q  =  o. 
Si  Ton  assujettit  les  courbes  C  et  ('/  à  de  nouvelles  liaisons,  on 


oqCi  PUEMIÈRE  partie. 

aura  de  nouvelles   conditions.   Voici   quelques  cas   parllculic: 
simples  : 

a.  On  suppose  (|u'il  y  a  roulement  de  C  sur  C 
Alors  s  —  s' y  et  par  suite  on  a 

a  =  ^  =  c  =  o,        <j  H'^  —  ly'  Rq  =  o. 

h.  On  suppose  qu'il  y  a  glissement  de  C  sur  C. 
Alors  5'=  o  et  l'on  obtient 

b  =  c  =  f/  =  o^        a  —  Ror  =  o. 

r.  De  même,  s'il  y  a  glissement  de  C  sur  (^,  de  sorte  que  5  =  0, 

on  aurait 

h  TTz  c  =  q'=  o,        a  —  ïi'^  r  =  o. 

d.  Imaginons  maintenant  que  les  courbes  C  et  C  soient  assu- 
jetties à  se  déplacer  de  façon  que  l'angle  de  leurs  normales  prin- 
cipales reste  constamment  égal  a  a. 

Pour  exprimer  celte  condition,  il  faut  tenir  compte  des  termes 
du  troisième  ordre,  non  utilisés  jusqu'à  présent,  dans  les  expres- 
sions des  coordonnées  de  M  et  de  M',  et  Ton  trouve  sans  peine  la 
nouvelle  relation 

'r'      -  />  Of  —  ,_  , 

*  0  *  0 

on  en  lire  une  nouvelle  condition  qui  peut  s'écrire  sous  la  forme 

r;,       ,  R« 

Toutolois,  il  peut  arriver  que  cette  condition  ne  soit  pas  dis- 
tincte de  celles  déjà  établies;  dans  tous  les  cas,  on  aura  les  rela- 
tions (|ui  définissent  le  dé|)la('ojnenl  virtuel,  en  faisant  h  =  €==  o^ 
et  aninilnnt  tous  les  délerniinants  du  troisième  ordre  tirés  de  la 

niatri('(^ 

.:  ft        r  */  p        1 

.  '    il;,      "      ■  ■  t;  '. 

.  '     h;,"    "    h;,     "    T- 


MÉLANGES.  297 

On  pourra  ensuite  combiner  ce  cas  particulier  avec  l'un  des 
précédents  sans  difficulté. 

Passons  maintenant  à  la  détermination  des  réactions  qui  s'exer- 
cent entre  les  deux  courbes  C  et  C  et  supposons  à  cet  eiTet  que 
ces  réactions  forment  un  système  de  forces  réductible  à  une  résul- 
tante générale  appliquée  en  O  de  composantes  X,  Y,  Z  et  à  un 
couple  dont  Taxe  a  pour  projections  L,  M,  N  sur  les  axes  0:r, 
O^',  O^;  nous  introduirons  aussi  d'ailleurs  les  projections  de 
Taxe  de  ce  couple  sur  Oy  et  Oz',  soit 

M'=      Mcosa -4- N  sin  a, 
N'  =  --  M  siii  a -h  Ncosa. 

Puisque  la  liaison  qui  existe  entre  C  et  G'  est  sans  frottement, 
la  somme  des  travaux  virtuels  des  forces  de  liaison  doit  ôtre  nulle 
ei^  par  suite,  on  doit  avoir,  comme  on  sait, 

aX-hbY -^cZ^-pL-hqM  -4- rN  =  o 

pour  tout  déplacement  compatible  avec  les  liaisons. 

Dans  le  cas  général  examiné  en  premier  lieu,  on  aura  donc 

L  =  o  X    ^  M  ^    —  N 

'  sina        Wq  —  Rocosa  ~~  Ro^inat 

OU  mieux 

^=-r;=-"rî'     ^  =  ''' 

les  composantes  Y,  Z  ne  sont  soumises  à  aucune  relation. 
Si  la  courbe  G  est  une  droite,  on  aura 

X  =  L  =  N  =  o. 

Dans  le  cas  particulier  (a),  on  a 

N        N' 

^  =  "^       r;  =  rî- 

Dans  le  cas  (6),  il  vient 

Ko 

et  dans  le  cas  (c) 

N' 
L  =  o,        X=— =-. 

ffulL  de»  Sciences  mathém,,  3*  scric,  t.  XWI.  (Octobre  190a.)  20 


«8  l'IlEMIJCRK  l'ABTlE. 

Dans  le  cas  {d),  on  trouve 


S'il  V  avait  en  ouïr 


einenl,  on  aurait  sculcmcul 


SGR  VU  THÉORÈME  DE  H.  JENSEN^ 
[■ui  M.  E'^.  (iUl'llSVl. 

On  doit  à  M.  Jc'iistn  un  bcnn  lliéorîme  (')  concernai) l  les  siéro* 
et  les  pôles  d'une  l'onction  luéromorjiite,  qui  parnfl  susceplîhlr  ilti 
nombreuses  applicHilon^.  Je  me  propose  de  monlrer  ici  comment 
ce  théorème  pcui  se  déduire  très  simplement  du  théorème  fonda- 
mental de  Cuuclij,  cl  se  rattache  ainsi  à  la  tliéorîe  générale  des 
fonctions. 

Soit  /(z)  une  fonction  méromorphe  à  l'intérieur  d'un  contour 
fermé  C  comprenant  l'origine  à  son  intérieur,  et  holomorphe  sur 
ce  contour;  nous  désignerons  para, ,  ai,  ..  ..a»  lesiéros  dey(s) 
intérieurs  au  contour  C  et  différents  de  l'origine,  chacun  d'eux 
étant  compté  avec  son  degré  de  multiplicité,  par  bt,  b^,  . . .,  6b, 
les  pûies  lie  /(z),  autres  que  l'origine,  intérieurs  au  contour  C, 
chacun  d'eux  étant  compté  aussi  avec  son  degré  de  multiplicité. 
Nous  nous  [iroposons  d'évaluer  l'intégrale 


,=f^los/(.,^. 


prise  le  long  du  contour  C  dans  le  sens  direct.  Pour  achever  de 
préciser   le  sens   de   cette  intégrale,   nous  conviendrons  (|ue  la 


mporlant  théori-me  de  la  théorie 


MÉLANGES.  xjO 

variable  part  d'un  point  A  d'abscisse  r  >►  o  où  le  contour  G  ren- 
contre Taxe  réel,  l'argument  de  f{z)  ajrant  une  valeur  initiale 
déterminée.  En  intégrant  par  parties  la  formule  (i),  on  peut 
encore  écrire 


(^) 


la    première  partie  du  second  membre  représentant  l'accroisse- 
ment du  produit 

lorsque  la  variable  z  décrit  le  contour  G.  On  a  pour  valeur  ini- 
tiale de  ce  produit 

logrlog[/(r)], 

et   nous  conviendrons  de  prendre  pour  logr  la  valeur  réelle;  la 
valeur  finale  du  même  produit  est 

(Iogr-f-27:0îIog[/(r)]-h2Kîr«;, 

K.  étant  un  nombre  entier  qui  dépend  du  nombre  des  pôles  et  des 
zéros  de/'(z)  à  l'intérieur  de  G.  Il  vient  donc 


(3) 


[Iog5  log/(5)lc  =  art;  logr/(  r)]  -f-  K  logr|  -  4  Kt:». 


Pour  évaluer  l'intégrale    /    lo 


<r 


./'(  =  )^. 


*-'[€.] 


/(*) 


rfj,  il  suffit  de  considérer 


le  contour  fermé  F,  formé  de  la  courbe  G,  de  la  circonférence  c 
de  rayon  e  ayant  pour  centre  l'origine  et  des  deux  segments  do 


(4) 


3oo  IMII^MIÈIIE   PARTIE. 

droite  infiniment  voisins  ba^  U a! ^  traces  de  part  et  d^autre  de 
l'axe  réel.  Nous  admettrons,  pour  fixer  les  idées,  que  la  fonc- 
tion fi^z)  n'admet  ni  pôle  ni  zéro  sur  cette  portion  de  Taxe  réel. 
Dans  le  cas  contraire,  on  remplacerait  les  droites  ha^  Va!  par 
deux  droites  faisant  un  angle  infiniment  petit  avec  Taxe  réel.  La 

fonction  log^'^.,    /  est  méroraorphe  à  rinlérieurdu  contour  F,  et, 

en  lui  appliquant  le  théorème  de  Cauchj,  nous  obtenons  la  rela- 
tion 

Ç'\ozz'Q^dz-^   f  \o^zî^dz 

on  en  lire 

=  7.1:/ lofJl  ,— ,— — ,      \-\-iT.i  I     ^ dz—  I     loir 3-^-: dz. 

Supposons  d'abord  que  l'origine  ne  soit  ni  un  polc,  ni  un  zéro 
pour  y(3);  lorsque  t  tend  vers  zéro,  l'intégrale 

•    M"  I  •'  ' 

est  infinimeni  pelilc  cl  la  formule  préct'dcnlc  devient  à   la  liniilc 

/'(  =  ) 
(5) 


/     h)f:z'^~^  '  (fz 

C) 


"'/(^) 


/     =  '^'^^^^'''^(jj-^^^-l^^   -i--^.-no-/(/-)  — 7.-n<>-/<o). 


La  formule  (-2)  devient  doue 


(0)  I  =  '2-/ 


Ki.,„.-.io,/,o)-i,.,(«;;;^^;^)]-4K..; 


les  déterniinalions  des  logarithmes  qu'il  faut  prendre  dans  h" 
second  membre  résultent  des  conventions  déjà  faites.  Pour 
obtenir  la  formule  de  M.  Jensen,  supposons  que  le  contour  C  sr 


MÉLANGES.  3oi 

réduise  au  cercle  de  ravon  i\  Le  long  de  ce  cercle  on  peut  poser 

dz 


e 


i  r 


on  a 


z  =  re'?,  dz  =  ire*9  d^y  -^  =  tVcp, 


Égalons  maînlenant  les  coefncients  de  /dans  les  deux  membres 
de  la  formule  (6),  en  observant  que  dans  le  cas  actuel  on  a 

K  =  n  —  m, 


cl  nous  arrivons  à  ia  formule  de  M.  Jensen 


(7)       -^    f      log|/(/-e'?)|^?  =  log|/(o)| 


log 


pft  —  m 


b\  bf  .  ^b 


m 


aia|. .  .(ifi 


OÙ  ne  fîgurent  plus  que  des  logarithmes  ordinaires. 

L.orsque  la  fonction  y(5)'est  holomorphe  à  Tintérieur  du  cercle 
de  rayon  r,  la  formule  se  simplifie,  et  il  reste 


r« 


(1  \  o>^  •  • .  Clfi 


£n  égalant  de  même  les  parties  réelles  dans  les  deux  membres 
de  la  formule  (6),  on  obtient  la  relation  suivante  qui  complète  le 
théorème  de  M.  Jensen  : 

.      J  —    /       *t/çp  =  jirg/(o)-harg^>i-4-arg^2-+-...-+-arg6,„ 

f  — argai— ... —  arga,,-!- '2(n  —  ni)T^\ 

dans  celte  relation,  <I>  représente  l'argument  de /(z)  le  long  du 
cercle  C,  et  il  est  aisé  de  voir  comment  on  doit  choisir  les  diflTé- 
rents  arguments  qui  figurent  dans  le  second  membre^  d'après  la 
façon  même  dont  on  parvient  à  cette  formule. 

Si  l'origine  z=o  est  un  pôle  ou  un  zéro  de  f{z)^  on  peut 
écrire 

p  étant  «n  nombre  entier  positif  ou  négatif  et  ^{z)  une  fonction 
dont  l'origine  n'est  ni  un  pôle  ni  un  zéro,  qui  admet  les  racines 
€t%j   c^'it    •••»  (In  et  les  pôles  t|,   ^21    •••>   ^m  à    l'intéricur  du 


3o7  PHKMIËUE   PAKTIli. 

cercle  C.  On  a  daus  ce  cas 

log|/(/-e'?)|  =log|çp(re'?)|-f-/>logr; 

on  peut  appliquer  la  formule  (i)  à  la  fonction  7(2),  et  il  reste 


6|6t..  ,Ôm 


1  /•  I  M%    n 

(>")    —   /       Io-|/(r)e'?|rf?  =  log|?(o)|-+-log  r'-'w-Hi,^^!!^ 

Ce  résultat  pourrait  aussi  se  déduire  de  la  formule  (4)^"  ^^ 
cherchant  la  limite,  pour  e  infiniment  petit,  de  l'expression 

2 t:  t   /     —-^v  ^-  -     /    l<>o  -  'V —  ^-* 


SUR  LA  PREMIÈRE  LETTRE  ARITHMÉTIQUE  D'HERMITE  A  JACOBI  ; 

Pau  m.  Xavier  STOtFF. 


Soient 


r-n 

I  —  n 


/(•^1>  •''i J'n)  =    Z^^iJ^iJTj  (  »/y=  rtyï) 


/-.  1 
/      I 


une  forme  <|uaclrali<|iie  délinic,  I)  sou  ilrtcrniinant, 


son  a<lji>inlr,  rn  iMilcndanl  par  Oij  \c.  mineur  de  l)  relatif  à  Tclé- 
nu'ul  (tij.  j\ous  (lirons  (pic  /  est  réduile,  si  .ri  étant  celle  de> 
indélerminées  dont  le  cai  iv  a  \c  plus  pelil  coeflicienl,  on  a 


1 

n  -  i 


M)  ^'M--(.,    )  \'l^  I''l/I<-'^1  (/  ~  -2,    3.    ..  .,    71  ►, 


el  si  i,'^(n,   ).,,   r,,    ...,  >'„  )  (^-^t  aussi  une   forme   n'-duiie.    De   la 
llit'oiir  ('xpost'c'  dans  la  premièie  Lellre  arilliméli(pie  ^  '  )il  résuhr 


I  '  I  Jimr/i(i/  de  Crc/(c.  I.    iH. 


MÉLANGES.  3o3 

que  ioule  forme  définie  a  pour  équivalente  au  moins  une  forme 
réduite.  M.  Hermite  a  énoncé  la  proposition  suivante  : 

Si  f  est  réduite,  le  coefficient  de  Vun  des  carrés  dans  g  est 

moindre  que  (|  1  y/D"~* ,  et  en  multipliant  les  autres  coef- 

ficients des  carrés  dans  g  rangés  dans  un  certain  ordre  res- 
pectivement par  la  première,  la  deuxième,  . . . ,  la  {n  —  i)'*''"^ 
puissance  de  ce  coefficient,  on  obtient  des  quantités  respectif 

vement  moindres  que  [ji,(/1>^«^^,  [Xa^^Dâ^"^,  ...,  !Jl„,lî/D'»«"-•^ 
où  l^ indice  [jl,-  ne  dépend  que  de  n  et  de  i. 

Nous  démontrerons  ce  théorème  en  prenant  pour  le  coefficient, 

qui   doit  être  moindre  que  (:r]  y/D"""*   et  qui  est  emplojé 

comme  multiplicateur,  le  plus  petit  des  coefficients  des  carrés 
dans  «'(o,  j^2?  J^3>  •  •  '^  yn)  ^^  pour  le  coefficient  qui,  multiplié  par 
la  puissance  (/i — i)**"»*   Jq  précédent  doit   donner   un  produit 

moindre  que  [i-w^i  y/D"^""'^,  le  coefficient  dej>'^.  Nous  prouverons 
que,  si  le  théorème  ainsi  précisé  est  vrai  pour  les  formes  d'un 
nombre  d'indéterminées  moindre  que  /2,  il  est  vrai  pour  les 
formes  d'ordre  n. 

Soient  D' le  déterminant  de  g{o^y2y  yzy  •  •  •  j^m)  et  622  le  plus 
petit  coefficient  des  carrés  dans  cette  forme, 


''(   *^2«     C;j,      ...,     Zfi) ^^ 


^ij  ^i  ^J  y 


i=:t 


la  forme  adjointe  de  g{o^y2yy^,  ••m^/i)?  ^"  '^  déterminant 
de  A(o,  5j,  54,  . .  •,  Zn)  et  C33  le  plus  petit  coefficient  des  carrés 
dans  cette  forme,  enfin 


i  —  n 


k{uzy  it',f  . . .,  u,t)  =  z^djjUiUjf 


i  -3 

/  -a 


la  forme  adjointe  de  /i(o,  :;3,  . .  .,  z,,)  et  e/,,  le  plus  petit  coef'fi- 
cieDl  des  carrés  dans  A(o,  u^,  ...,  //„).  /<(o,  ^3,  z^,  ...,  z„) 


3o4 


IMtliMIËllE   PAIITIE. 


élant  une  forme  réduite  et  le  théorème  étant  supposé  vrai  pou 
les  formes  de  moins  de  n  variables,  on  aura 


/ 


(») 


/ 


rfu<  (I)         -*/6^», 

dU^  d,,  <  Vn»,""  VD'U-  «H/I-Jf; 

on  suppose  que  l'on  a  désigné  dans  un  ordre  convenable  les 
variables  de  la  forme  k  autres  que  u^  et  u^  par  ^£5,  «/c,  .  • .,  M/|. 
ffi^y  y^y  y^i  •  •*•  7  JK«)  étant  une  forme  réduite,  on  a 


rt— j) 


(3)  ^«<(5y    "-^Tr, 


1^1/ 1<  -àtt        (t  =  3,  4,  ...,  n). 


Or,  si  Ton  envisage  le  déterminant  qui  a  pour  éléments  bijy 
(iyj  =  I,  2,  3,  . .  .,  /i),  D'  est  le  mineur  de  ce  déterminant  relatif 
à  l'élément  b^  et,  d'après  les  propriétés  des  déterminants  réci- 
proques, 

(4)  D'=rï,,  !>'--, 


d'où 


f^ii< 


iïï 


1  /i  —  2  > 


w—  î 


an-il)n-t^ 


et.  en  remplacanl  0^  par  sa  limite  supérieure  (1),  on  a,  par  un 
calcul  facile, 


(5) 


^,* 


4 


/i-i 


fi  / 


jî  ^ 


c'est  la  première  des  inégalités  à  démontrer. 

Les  (|uanlilés  diji^i^  j  =1  .\^  .j»  «''i  ^)  sont  les  mineurs  du 
déterminant  de  //(<>,  vj,  ...,  Zu^\  dij  s'oblient  en  enlevant  dans 
le  di'lerminant  de  A(^(>,  ^3,  .  .  . ,  z„)  la  ligne  d'indice  i  et  la  colonne 
d'indice  j .  Donc  dij  est  un  mineur  du  second  ordre  du  <léternii- 
nanl    de   /t{z2,  z.\ z„)  cl   s'en   déduit   en  enlevant  dans   ce 


MÉLANGIiS.  3o'> 

délerininant  la  première  ligne  cl  la  ligne  d'indice  /,  la  première 
colonne  et  la  colonne  d^indice  y.  Or  le  déterminanl  de  h  a  pour 
éléments  les  mineurs  du  premier  ordre  de  D';  donc,  d'après  les 
propriétés  des  déterminants  réciproques, 

Vy  étant  a  D'  dans  une  relation  analogue  à  celle  de  D'  à  D,  on  a 
(7)  D'=^,5D'''-3. 

La  première  des  relations  (2)  donne  alors 


rf;;<(|)'  '*-î/6ï, M>' " -^'' 


et,  d'après  (6)  et  après  avoir  supprimé  le  facteur  commun  D'""*, 


.  rln-S) 


A«Au-    *i*<(5)'       "'v/*iVi>', 


-(/f  —  3) 


et,  en  remplaçant  CT)i  cl  b^  par  leurs  limites  stipériciircs  (i)  et  (5), 
(8)        «,,^,<[i(|)"-^(|)''-]'^DlI^=(fj"-'"/n^; 

c'est  encore  une  des  inégalités  à  démontrer. 

Envisageons  maintenant  Tune  des  inégalités  (2) 


lorsque  i  prend  les  valeurs  5,  6,  ^,  ...,/?.  Cela  donne,  en  rem- 
plaçant D^,  ^44,  rf/7  par  les  valeurs  (7)  et  (6)  cl  après  avoir  sup- 
primé le  facteur  commun  iyf'-3H«-»^, 

(bt^b,,^b\,y-^(b,^bu-bi)<ui-,''-V^b'i-,^hy-\ 

Or  bi^  étant  le  plus  petit  coefficient  des  carrés  dans 
est    au    plus    égal    à    b^s-^    \^-i^\    ^^^   moindre   (|uc   ^^jj,   donc 


3oG  PKKMIËUE  PÂUTIE. 

(622)  ^3 «7  l^\\)  csl  une  forme  binaire  réduite  et  Ton  a 

3 
4 

on  peut  diviser  les  deux  membres  de  cette  inégalité  par  bÎT^y  ce 
qui  donue 

et,  en  remplaçant  dans  le  second  membre  a^^  et  62s  P^^  leurs 
limites  supérieures  (i)  et  (5), 


( 


on  obtient  encore  ainsi  n  —  4  des  inégalités  à  démontrer. 
L'inégalité 

se  Irailc  absolument  de  la  même  manière  et  donne  lieu  à  riiiégalilc 

(10)  //i,V>33<    I    ^(^  y  -f-  (!|)  '  V„_3j"v^iV^^'. 

Il  ne  nous  reste  plus  qu'une  seule  inégalité  à   démontrer,  à 
savoir 


mais  celle-ci  exige  une  méthode  toute  spéciale.  On  a  d'abord 
(II)  I />2  2*/'fy|  <î?/yl^''-'         pour         t,y=2,  3,  4,  ...,fl, 

où  les  lettres  T/y  désignent  des  coeiïicients  numériques  ne  dépen 
dant  (jue  de  /?,  i,  j.  Supposons  d'abord  y  =  i.  On  a 


^.>.^i<(^7)"'''\/D^"-^; 


MÉLANGIiS.  3o7 

<l'oLi,  en  mulliplianl  par  b"^'^^ 

il  suffit  de  remplacer  dans  le  second  membre  Ù211  p»r  sîi  limite 
supérieure  (5)  pour  oblcnlr  Tinégalilé  à  démontrer.  De  même, 
pour  I  =  5,  6,  . . .,  /i,  on  a 

el,  en  remplaçant  dans  le  second  membre  b"'*'^'  par  sa  limite 
supérieure  déduite  de  (5)  et  b^^^ba  par  sa  limite  supérieure  (9), 
on  a  encore  les  inégalités  à  démonirer.  On  opère  d'une  manière 
analogue  pour  622*633. 

Pour  démontrer  les  inégalités  (1 1)  lorsque  i  est  différent  de  y, 
remarquons  que  la  forme   binaire   (i//,   ft/y,   bjj)   étant  définie, 

I  bij  I  est  moindre  que  ybïïbjj,  donc 

et  il  suffit,  pour  achever  la  démonstration,  de  remplacer  dans  les 
seconds  membres  les  quantités  soumises  aux  radicaux  par  leurs 
limites  supérieures  déjà  trouvées. 
On  a  ensuite 

(la)  I6î^*^ii|  <  p/D«-»         pour        /  =  u,  3,  ..., /i, 

0/  étant  un  coefficient  numérique  qui  ne  dépend  que  de  n  et  de  i. 
En  effet,  suivant  l'exemple  de  M.  Hermite,  écrivons  Téquation 
connue 

2^bijaij=o        («  =  2,  3,  ...,  /i), 
/=i 

qui  |>eut  encore  s'écrire,  en  multipliant  par  b'!~^^  ses  deux  membres, 


/  =  « 


en  remplaçant  dans  le  second  membre  les  (pianlités  — a^j  par 
irtif  limite  supérieure  de  leurs  valeurs  absolues,  et  les  quan- 
tités  b"'^*  bij  par  les  limites  supérieures  déjà  trouvées,  puis,  divi- 


:{o8  rUlilMIKUli;  i>AKTlE. 

sanl  par  ^h  les  deux  membres  de  rinégalîté  ainsi  oblcnuc,  on 
obtient  l'inégalité  (12).  Enfin  on  a 

/  =  /! 

^aijùtj=  D; 

un  peut  écrire  celte  relation  en  multipliant  par  6^2*  ses  deux 
membres 

(i3)  anb'i^^bn^Dù'i.^^^aijbU'Otj' 

/=« 
Mais  on  a,  d'après  (3), 

en  remplaçant,  dans  le  second  membre  de  (i3),  b'.^~^  par  celle 

limite  snpérieure,  les  quantités  — «ly  par~^n  limite  supérieure 

de  leurs  valeurs  absolues^  et  les  quantités  6^J.J*  h^j  par  les  limites 
supérieures  (12),  puis  en  divisant  par  an,  on  déduit  de  (i3)  l'iné- 
galité à  démontrer. 

On  remarquera  que  /i{z-2,  ^3,  ...,  ^n)  est  précisément,  u  un 
facteur  près,  ce  que  M.  Hermite,  dans  sa  seconde  Lettre  arithmé- 
li(|ue  à  Jacobi,  nom  me  la  forme  dcrii'ce  de  /  par  rapport  à  la 
variable  ^|. 


H  Li  LLI:T1  N    n l H  Ll()(i  K  A  V  II  I (J  ^ K. 


\ Duiï  \  W.).  —  lJ/f'mcnt(irc  Mcctutnik  als  Einlcitun:^  in  das  Studium 
drr  t/icnrc/iic/ic/i  Physik.  ?."  cclitimi.  Gr.  iii-8'\  x-578  p.  avec  66  lig. 
LiM|>/.i^,  W'il  v{  Cs\  \.\  m.;  h'\h\  iO  m. 

IltUK  1.1. -H.  vvNTi.  —  Lectures  nn  thcorvtival  and  physiral  Che- 
rnisfry,  Trailiiil  |»nr  K,-A.  LelifeMl.  Part  3  :  KrIiHions  bclween  Proper- 
lir-i  and  C«»iii|n>«iiii.)ii.  Iii-S".   f44   P-  ï-'»mlon,  ArnuM.  7  ^ll.  6  d. 

r»iii>si:  i<!.'.  —  ('^i'ifrs  de  ::éi>!Ht'trie  iiescripti\'r.  1"  Partie,  'i*"  i-dii. 
Iii-S  ,  \Mi1-177  p.  a\ti'  li^.  Pari-*.  daiiïliior-\  illar<.  .'»  fr. 


BULLETIN  BIBLIOGUAlMIiyUlî.  Soij 

FoRSTTU  (A.-R.).  —  Theory  of  functions  of  a  complex  variable. 
2*  cdil.  roy.  In-8',  808  p.  London,  Glay.  i\  sh. 

Michel  (F.).  —  liecueil  de  problèmes  de  Géométrie  analytique.  So- 
lutions des  problèmes  donnés  à  V École  Polytechnique  de  1860  à  1900. 
In-8**,  vi-240  p.  avec  fig.  Paris,  Gaulhier-Villars.  6  fr. 

Nallino  (G.-A.).  —  Al-Battani  sive  Albatenii  opiis  astronomicum, 
€JidJidem  codicis  escurialensis  arabice  editum  latine  versum,  adnota^ 
tionibus  instructum.  Pars  III.  In-4".  Milano,  Ilœpli.  25  1. 

Rapports  présentés  au  Congrès  de  Physique  réuni  à  Paris  en  1900 
sous  les  auspices  de  la  Société  française  de  Physique,  rassemblés  et 
publiés  par  Gh.-Ed.  Guillaume  et  L.  Poincaré.  3  vol.  gr.  in-8*',  avec 
ligures.  Paris,  Gaulhier-Villars.  5o  fr. 

Annales  de  l'Observatoire  de  Nice,  publiées  par  M.  Perrotin.  T.  VII. 
In-4*,  45o  p.  et  89  pi.  Paris,  Gaulhier-Villars.  3o  fr. 

Annales  de  l'Observatoire  de  Paris,  publiées  sous  la  direction  de 
M.  F.  Tisserand.  Mémoires,  t.  XXI.  In-4**,  47^  P-  a^cc  fig.  Paris,  Gau- 
thier-Vil la  rs.  27  fr. 

Grosshann  (L.).  —  Die  Mathematik  im  Dienste  der  Nationalôkonomie 
unter  BûcAsichtnahme  auf  die praktische  Uandhabung  der  Disciplinen 
€/.  Finanzwissenschaft  u.  Versicherungstechnik,  12.  (Schiuss-)  Liefg. 
Gr.  in-8*.  (  Suppl.  T.  VIII,  80  p.  avec  i  planche.)  Vienne,  D"^  Ludw. 
Orossmann.  5  m. 

Hentsciiel  (0.).  —  Ausfiihrung  einiger  conformen  Abbildungen  der 
f^arabel  auf  den  Kreis  u.  unendlich  lange  Parallelstreifen.  Gr.  in-4**, 
8  et  4  P*  avec  9  planches  de  figures.  Leipzig,  G.  Fock.  i  m.  20  pf. 

Jaiirblcii  iiber  die  Fortschritte  der  Mathematik,  begriindet  von 
C.  Ohrtmann,  Ilerausgeg.  von  K.  Lampe  u.  G.  Wallenberg.  T.  XXIX. 
Année  1898.  3*  fasc.  Gr.  in-8".  Berlin,  G.  Ucimer.  12  m. 

Klein  (H.-J.).  —  Handbuch  der  allgenieinen  Ilinimelsbeschreibung 
nach  den  Standpunkte  der  astronom.  Wissenschaft  arn  Ende  des 
19.  Jahrh,  3*  édition  de  Anleitung  zur  Durchmusterung  des  Uimmels, 
Gr.  in-8*,  xiv-610  p.  avec  nombreuses  figures  et  planches.  Braunschweig, 
Vicweg.  10  ni. 

LoEwr  (.M.).  —  Ephémérides  des  étoiles  de  culmination  lunaire  et  de 
longitude  pour  1901.  In-.p,  44  P-  Paris,  Gauthicr-Viilars.  4  f»'. 

MoNGB  (G.).  —  Darstellendc  Géométrie  (1798).  Traduit  et  publié  par 
R.  llaussner.  In-8'>,  217  p.  avec  nombreuses  fig.  Leipzig,  Kngelmann. 
Gart.  4  ^' 

(OslWtild's  KlassikiT  ^\vv  rxaktcn  Wissciiscliaftcn.  N"  117.) 


3io  PREMIÈIIE  PAUTIB. 

RuNGE  ( C).  —  Praxis  der  Gleichungen,  In-8**,  111-196  p.  avec  8 

Leipzig,  Goschcn.  Relié,  5  m.  •.>,()  pf. 

(Sammlung  Schubert.  i4*  Volume.) 

SciiLESiNGKR  (  L.).  —  Einfilhriing  in  d.  Théorie  d.  Differeniialgi^^ 
chungen  mit  einer  unabhângigen  Variabeln.  fn-8*,  viii-3o9p.  Leipsî^^ 
Goschcn.  Relié,  8  m. 

(Satttmlung  Schubert.  i3*  Volume.) 

Teubner's  Sammlung  von  Lehrbûchern  auf  dem  Gèbiete  der  mathe- 
niatischen  Wissenschaften  mit  Einschluss  ihrer  Antvendungen.  IV  Bd. 
I  Abth.  Or.  in-S".  Leipzig,  Teubner.  2  m.  4o  pf.;  relié,  3  m. 

Contenu  :  O.  Stolz  u.  J.  A.  Gemeincr,  Theoretischc  Arithmelik.  1  Ablh. 
rt  Aud.  der  Abschnillc  i  —  4  ^^^  >  Theiles  der  Vorlesgn.  ûberallgcmcinc  Arith- 
melik von  O.  Slolz.  iv-98  p.  avec  6  (ig. 

Valentixer  (S.)-  —  Untersuchungen  iïber  die  Beziehung  zwischen 
dem  Potential  einer  homogenen  Kugel  m.  dem  des  Mittelpunktes, 
(Dissert.)  Gr.  in-S".  65  p.  Karlsruhe,  Rraun'sche  Hofbuchdr.   1  m.  60  pf. 

Wrndlek  (A.)'  —  Ueber  die  Flâchen,  welche  dem  partikulâren   In- 

tegrale  der  Differentialgleichung  -7 — j-   =0  entsprechen,  (Disscrl.) 

Gr.  in-8",  4^  P-  avec  i  planche.  MUnchen,  Reinhardt.  i  m.  5o  pf. 

Gross  (Th.).  —  Kritische  Beitràge  ziir  Energetik,  1,  Die  Verwand- 
lungen  der  Kraft  nach  Robert  Mayer,  Gr.  in-S",  xviîi-58  p.  Berlin, 
Krayn.  i  m.  73  pf. 

KoMGsnERGER  (J.)-  —  Ueber  die  Absorption  des  Lichtes  in  f est  en 
Kur/fcrn.  (  Ilabilitationsschrift.)  Gr.  in-8",  48  p.  avec  fijj:.  Leipzig,  Teubner. 
I  m.  20  pf. 

Jankt  (P.).  —  Premiers  principes  d^êlectricité  industrielle  {Piles, 
Accumulateurs,  Dynamos,  IVans/ormateurs).  4*  édit.  In-8*,  v-'j».8o  p. 
avec  fig.  Paris,  Gauthier-Villars. 

Abii.vndm'Ngex  zur  Gesclùchte  der  mathematischen  Wissenscha/ten 
mit  Einschluss  ihrer  An^vcndungen.  Bcgriindct  von  M.  Canlor.  1 1.  Hofl. 

pr.  iii-8".  Leipzig,  Toubiicr.  5  lu. 

Contenu  :  M.  Simon,   Kurlid   u.  die   scrhs  plunimctrisclicn  BUrhcr.  Mil  Be- 

nulzu'.  tlir 'l'c\tyusgal)0  von  Hcibori;,  viM 'n  p.  avec  iî)2  lig. 

Ahiianom  NGKN  mathcmatisc/ic ,  aus  drm  l'erlage  mathemat,  Modelle 
vnii  Martin  .S<.hilliiig  in  llallc  a.  S.  None  Folgc.  N*»  'x  gr.  in-S'*.  ILille, 
Schilling.  I  m.  Oo  pf. 

Contenu  :  II.  \\  irri«.*r,  dit^  I]intlnMlunu  d<*r  chcncn  Kurv«^n  n.  Kogcl  3.  Ordg. 
in    i.'{  G.ilt  nni;on.   \\'\\  p.  ,\\ci     »  \\<z. 


BULLETIN  BlBLlOGllAPlllQUi:.  in 

KiEPERT  (L.).  —  Grundriss  der  Differential-  i/.  Inteffral-Rechnung. 
^  Tu.  DiiïerentiaUHechnung.  9*  édition.  Gr.  in-S**,  xvii-jSo  p.  avec  171  fig. 
•*annover,  Hciwing.  12  m;  relié,  i3  m.  5o  pf. 

Mensbri'GGUE  (G.  VAN  der).  — Sur  les  phénomènes  capillaires,  ln-8", 
^  p.  avec  fîg.  Paris,  Gaulhier-Villars. 

I^oiNCARÉ  (H.).  — Électricité  et  Optique,  La  Lumière  et  les  théories 
^^fctrodynamiques,  2*  édit.  In-B",  x-647  p.  avec  fig.  Paris,  Carré  et 
•^'aud. 

Thompson  (S. -P.).  —  Michael  Faraday  :  his  life  and  work.  ln-8", 
^20  p.  London,  CasselL  1  sh.  6  d. 

Albrecut  (M. -F.)  u.  G.  S.  Vierow.  —  Lehrbuch  der  Navigation  m. 
iàrer  mathemat.  Hilfswissenschaften,  8*  édit.  Neii  bearb.  von  G.  Holz. 
'"-S**,    ^xii-SaS  p.  avec  280  fig.  et  1  planches.  Berlin,  v.  Decker.  14   m.; 
«/ié,    1 6  m. 

Car^oy(J.).  —  Cours  d* algèbre  supérieure.  Principes  de  la  théorie 
flff  €i^  terminants  ;  théorie  des  équations  ;  introduction  à  la  théorie  des 
fori^i.^^  algébriques,  2«  édit.  In-8**,  xi-555  p.  Louvain,  Uyslpruyst.  9  fr. 


^OUHNERIE  (J.  DB  L.\).   —   Traité  de   géométrie  descriptive.  3«  édit. 
^'partie.  In-4®.  xx-Sao  p.  et  atlas  de  40  pi.  Paris,  Gauthier- Villars.  10  fr. 

'■  •^>f  lïwoRTERBLCH  der  Astronomie,  herausgeg  von  W.  Valentincr.  24*  liv. 
gr.  îci_9«^  avec  fig.  Breslau,  Trewendt.  3  m.  Go  pf. 

■^^RSTENS  (H.).  —  Ueber  gewisse  a.fymptotische  Lôsungen  der  Diffe^ 
xt^ti€tl.  gleichungen  der  analytischen  Me c ha n ik  (Dhfierl,),  Gr.  in-8**, 
^i  P-   Berlin,  Maycr  et  Muller.  i  m.  20  pf. 

^It-LIXG  (W.).  —  Lehrbuch  der  analytischen  Géométrie  in  homoge- 
n«i  Koordinaten,  2*.  ThI.  :  Die  Géométrie  des  Rauines.  Gr.  in-8",  viii- 
561  p.Paderborn,  Schuuingh.  5  m.  20  pf. 

Loewt(M.).  —  Ephémérides  des  étoiles  de  culmination  lunaire  et 
de  longitude  pour  1902.  In-4*,  44  P-  Paris,  Gauthier-Villars.  4  fr- 

Oettixgex  (A.-V.).  —  Elemente  des  geometrisch-perspektivischcn 
Zeichnens,  Gr.  in-S",  vu- 177  p.  avec  209  fig.  Leipzig,  Engelmann.  8  m.; 
relié,  9  m. 

Rl'SSEL  (B.-A.-\V.).  —  Essai  sur  les  fondements  de  la  géométrie,  Tra- 
Juctîon  par  A.  Cadcnat.  In-8",  x-274  p>  l^aris,  Gauthier-Villars.  9  fr. 

DiFET(n.).  —  Recueil  de  données  numériques,  publié  par  la  Société 
française  de  Physique,  Optique.  3"  fjiso.  In-8'*,  xii  p.  cl  p.  787  à  i3i3. 
piirî*,  Gallrhi«»r-^'illars.  i:)fr. 


Ji'  l'IM:.MI(:Hli   l'.MtilE. 

lUu.  (  \V.  W.  U.i.  —  Slioil  iiPC'iunl  of  Ihe.  kUtory  of  Mathemalm^r-M. 

r.HII[.in-S%    VJ^)..  l.imilmi.  Mariiiilluii.'iu»li. 

IUiiM^>«  I  K.  W.l.  —  T/iriiry  <>f  flic  ilmible  Gamma  functioM.  {Fr*»  » 
l'/iitoi.  Tmns.  A.  vul.  vMu  Lr>iiU.>ii.  l)<ih>u.  6  sli. 

ItnKiTiior  (\.)  i'\  F.  ItiiKiTiicii^'.  —  Tritilè.  i/c  fféométrie  deieript^ *^*- 
i"  l'urlii'.  i'  l'ilil,  ln-W->,  ii)3  p.  iiVLC  nilit»  in-4"  ilc  a4  |)lancli<!S.  Uiuvc».  i  "i 
i:v.t|.nijM..jfr. 

lUMini.  (O.).  —  h:i.-iinntui-!ivnHiflisclir  Kef.'e/fr/imtltlr/irf..'W^i 
znhhcirhi-i,  lk-huni:i:.n,/!.'iil>,-n.  V.um  «ubriiurh  nn  liôlii-rcn  l.<-hrin<<  K.  -aI 
u-ii.  ■'.'■  i-<lii.  «r.  iii-K-,  vi-H'.  |..  av.c  i;  «j;.  Berlin,  \Vci<lm«nn.  C^  ■»• 
.  >i..  (■«.  ],r. 

LiiKWV  Ml.)  .a  l',  l'iisBiN.  —  Aihis  pho/iiffraphlque  de  la  Lu  -x-.^' 
)>iil>ltô  [.iir   r()l.-i;rviili.iri'  .lu  l'iiri*.    i"  ta*r.    \n-\-.   lia  p.  av.îc   planrt»   ^«=' 

iMviii:iiVMi  (  J.i.  -  J'nrfii^'e  i/rs  Irirniiis.  .tr/tentage.  levé  det  plc^r-  ' 
et  nh:-llii,ifiii.  hi-K"  awv  W-f.  I.xuvaiii.  l  yyt|>ru)>l.  \  U: 

■■  ■  l.rlirhucli  dcr  tlitrsletlfnden  Oromer  ^    ^ 
iii-K',  w-irH  i'.  iivoc  tî;;,  l.eipxi):,  Veii  i!t    ^     " 


Sc:[ii.ni:>  i  C..).    -  .l„„h-i,\r/„-  \l,.-il.u>iil.-  x<in  h-i  pl,,iie  vlitk.  (ff^ 
Vhnr.l.-iii  I.  i.  anrk.  -v.  Ïii-K  ',  L.lli  p.  iiv,-  11-,  h.-lfl,  Waiimnn  jr.  a  (1.  »*■ 

[îi:i  IKir.  -A-  IniK-nij-  '>/r.-r/.<  ,..,,■  /rs  uiitrin-s  ù  U.-A.  I.nr,-i,li.  /»-,./'>=' 
•rui-  </-■  physi,,,,,-  .;  /•C.i.-rrsilr  .!•.■  l.,-y<l.-  <>  rni-rasion  du  jlV annw.^r~=^ 
■..lirr  </.•    ^../i   ,l,.rl.,r..l.    h-    li    dr,:-mhr,-    (;,.«..  «r.    îti   H».  X-(i78  |..    a-*-'     ' 

;  1.1.  L,.  ll.>v.'.  Milii.ir.  it.'lir.  -  II. 


ISki 


-   l'iip.rs  '111   iiirrliiininil   tiiiil  phy^ifal  ndijer 
i Tr.Mi-<a<-li'iiis   ii]>.l   J.>iu-iial:<.  Vi.1.  (  :    i8.,t-i.j 


lii-> 


p1.li 


\l  1KMiriMl:H  1  V.:  —  l:l.in,i,l„rh„rli  .Irr  Ihjrcr.-lilnd.  ,t.  fntr^-ralrt^  "^ 
.Innii,:;.  „. .   :>ilili;i.l„„  .t,„v.;„if.-„.  „„s  d.  .In.ilysh,  i;<«i,;l,U-,  Me"^ 

.l,.u,ih  I,.   rinsil..   -,.  A11II,,   Uiiiil..   -..,»   A.   huiiiiili.  C.r.   i»-H",    x-Iki.  i""  * 
..M.'    i-C.  lii.  I.iin/i.:.  !!..{■■.  \..|-l.  ■)  1,..:  ivlir.   |.i  m. 


I.r 


,.-U,-.  ,u  rr  n,kl..ir,-  des  ..pvra-  -"  "*' 
,.ly   .1    !.-  I.il;!.-r<„i,i„r.   [li-K'.    -'' 


(-AVfitBTum,  ^\,  *  PABia  (il'). 


itM  •)•  IV»1*ii  par  Btnmtt  élSirrwt, 

ikuKJio;  mil iS  Ir. 


Su 


Wrn(l«iiAri;tinMmult>it''viiii^  fi-t'i*"fi,f|()*ww>>tfl 


AAriitveii- 
GDn!'4r<C.)-  —Sot 
STollrl'(Xnvl^l^^  —  ^ 

iiai'utii..... 

RotleUii  liibOograptiiq' 


KclABgK. 
Sur  «n  |«f"W^nm  rif  M^Mn!fi*id 


R«vne  des  poMloatlQui  «9tlt*naUi 


JoDruo]  de  M 


BSQOÉiiÉL'Érni  r  ' 


BULLETIN 


:ENCES  MATHÉMATIQUES,  îîîlî 

bftliib'k  PAU  «M.  G.  luttnmrx.  P..  fir.ARii  iît  j.  tannf.hv,  ^'- 


I,  ««vv*»*. 


ici] 


I-  ?  C  î  = 

■■  la  direction  do  la  Commivilon  doi  Bautei  £ttid9>>  "i  J  =.  i 

Il|ï 


<i,  G.RUHUl  ETI'DMXL, 


fil! 


TOME    XXVt.-    HOVCHBRE  1902 


ô^ 


ïiLARS,   IIIPKIMEUn-UTtUAIIIE 


(i-dtftiui:-;  ^«t-i'.  a-nu'.  tiMi 


COMPTES  RENDUS   KT   A.NALYSKS 


COMPTKS   IIKNDLS    V.T    VN  Al.Vîil-lS. 


ZEITIIKN  (U.-lî.i,  —  DlSTOIRK  IIKS  MATIIIlUkTIUlKS  UANS  l.lNTIyllTK  ET  IX 

MOVRN  AUB.  êililioii    rniiiriiisc    rrvao   cl    ct>rri};<''i.-    [mr   l'uDli'ur.    trailuilc 
]taT  Jean    Ifiîscnrl.  i  vol.  iii-8',  svi-.(i|ti  |i3j;c8.  Paris,  (jftiilliiiT-Villtirs; 


Lorscfiu'.  dciis  ans  ii|>iis  rr-dilinii  (lanui.ti'  île  I'Oinia;;c  de 
M.  i^etitlicn,  |iariit  l'iMiliuit  alloiiiando.  j'en  m  dil  ici-inème 
(mai  i8y(i,  (i,  io5-io8^  au  iDoiiis  iinc  partit.-  du  bien  i(nc  j'en 
pensaU;  je  ne  pniâ  duiu:  (jiic  coiisidt'rcr  comme  très  liciin-iix  (pic 
nous  |iui«siotiE  ciilin  dUixiser,  «'n  l'raiieo,  d'une  Histoire  des 
\lallièinatii]iifs  avant  la  Henaissancc,  (pii  soit  ucecssilde  aux 
élèves  coinuie  anx  mailn-s;  <|ni,  sans  s'arrêter  aux  dvlaiis  d"«*rii- 
ditiun  nécessaires  seiileiiieiit  à  eeiix  <iiii  veidciil  poursuivre  eux- 
niénit'â  Avs  iTclicrolics  liislorifjues.  roinjiroiinc  lonl  ce  (jii'il  t  a 
il'nidispcnsaldc  et  d'iiii]i«rtaiit  à  savoir,  avec  tons  les  dêvelcp- 
pemeiits  utiles  pour  une  exacte  inlelli^'cnre  des  faits;  [ino  Mis- 
loire  enfin  eu  laiinelU;  la  liaule  tonipélen.o  dr-  l'jioleur  et  le  sens 
hislori(|ue  exquis  dnut  il  a  donné  tant  de  jireiivos  |iiiisseiil  inspirer 
une  ronliaricc  aussi  entière  ijuVIIc  est  mérilée. 

Je  ne  snis  pas  moins  lieureux  île  pouvoir,  à  lelle  orra-ion. 
annoncer  i|iie  M.  /.eiitlien  \ienl  de  li'rniiocr  eu  danois,  jumo'  liiin- 
siiilc  à  cet  Ouwaui-,  nue  IIis/i.iW  ifi-  ht  Mullirm-'li.fiif  prinlattl 
les  \\\"  ri  xvii"  sin-/i'\.  l'aot-il  espérer  en  iiiétue  leiiips  (pie  eelle 
Histoire  n'attendra  jias  un  tr.Klncleiir  l'ranrais  au>si  lou^leiripMiue 
la  première? 

U  revision  à  huptello  M.  '/.eiillien  a  soumi.  e.-ll.-.i.  p.. or  la 
nouvelle  édition,   a   au  reste  •■i<-  faite  a\r-c   le   plus  -ratnl  >i>in.  et 

et >e  les   Iravan-.  le^  pins  rérenls  onl    élé   .ililisés.    .-lie  pré-enle 

un  taldeau  evacl  el  Iden  au  p..iul  de  nos  eonn;ii.sanee-  actuelles 
Mir  la  matière,  eonnai->ance>  à  re\ten.i..n  des.piellr.  M.  /.rutllen 
a   lui-même  si  lar^eiuenl  eo..lrii>Mê. 

|iuur  ce  ipii  eonceriie  l'histoire  de   l,i  tiéiuuélrie  dans  rantiipiili' : 
Bail,  dn  Srieam  mtit/i-ui..    -  -.  i  i-.  t.  \\\I.  i  \.n,  iiilii.-  i  ,..■.  ■. 


■'-'  PREMIÈRE  PARTIE. 


i  I  /| 

au  moins  nous  pouvons  bien  suivre  le  développement  eirévolat^^^ 
des  théories  qui  nous  ont  été  léguées  dans  ce  domaine  de  la  Ma  tl^^ 
malique.  Pour  celles  qui  ont  été  perdues  dès  avant  les  invasi^''^^ 
arabes,  la  Collection  mathématique  de  Pappus  ofirira  longten^P* 
encore  des  sujets  d'études,  de  conjectures  et  de  divinations;  f>^^ 
exemple,  le  célèbre  Ouvrage  de  Chasles  sur  les  Porismes  d'E^' 
clide  ne  peut  nullement  être  regardé  comme  déGnitif.  Maispré^^^' 
sèment  parce  que  ces  travaux  anciens  se  sont  perdus  de  bon  ^^^ 
heure,  ils  n'ont  pas  joué  un  rôle  important  dans  l'évolution  sci^  ^^ 
tidque;  l'intérêt  historique  qu'ils  peuvent  éveiller  est  donc  d'or<9^  *^ 
secondaire  et  n'égale  pas  l'intérêt  mathématique  qu'offrent  cdcoc     ^  '' 
même  aujourd'hui,  nombre  de  questions  traitées  ou  indiquées [^    ^" 
Pappus. 

Des  autres  branches  de  la  Mathématique  ancienne,  l'AstroDOm^^  ^ 
seule    est  comparable,   pour  l'avancement  de  son  histoire,  à  ^ 

Géométrie.  En   particulier,  la  Géométrie  de  la  sphère,  que  1         ^ 
anciens  traitaient  en  Astronomie,  a  été  récemment  l'objet  de  ti 
vaux    approfondis   de    M.   V.    Braunmùhl    (  Vorlesungen   ùi 
Geschiclite  der  Trigonométrie),  travaux  que  M.  Zeulhen  a 
à  contribution  pour  sa  nouvelle  édition,  tout  en  y  apportant  li 
même  sa  quote-part  personnelle. 

Pour  la  Mécanique  rationelle,  à  moins  de  vouloir  se  borner  ai 
immortels  travaux  d'Archimèdc  en  Statique,  son  Histoire  dans  Ti 
liqiiilr  ne  saurait  être  dégagée  de  celle  de  la  Mécanique  pratiqi 
et  là  beaucoup  de  points  restent  obscurs.  Cependant  un  effort  c< 
si(léral)le  se  produit  actuellement  pour  la  réunion   de  nouveae-     «.i 
matériaux  (éditions  crilicjues  des  anciens  mécaniciens,  rechcrck    -ai  o: 
(les  traductions  ou   imitations  arabes).    Notamment   notre  cc^  111- 
patriole  M.  le  baron  Carra  de  Vaux,  après  avoir  donné  la  premi.  ^mt 
édition  des  Mccanifjues  de  Héron,  va  publier,  également d'a|^"fcré> 
tl(*s  textes  arabes,  un  Traité  inédit  de  Philon  de  Byzance. 

Mais  le  domaine  dont  l'histoire  laisse  le  plus  à  désirer,  sansq  x.zi'on 
piii>se,  seml)le-t-il,  espérer  de  nouveaux  documents,  à  moins ck^'iinf 
irouvaille  inattendue  dans  les  paj)vrus  (|ui  sont  encore  enfoi»  iseii 
I^^y|)te.  c'est  sans  contredit  le  domaine  de  rArilhmétiquc:  là,  cl 
eu  |)articulier  pour  le  Calcul,  les  points  les  plus  essentiels  denic^  xircni 
dans  une  profonde  obscurité;  si  les  patientes  et  sagacesrech*:=>  rche> 
de  Fr.  Hultsch  ont  récemment  abouti  à  certains  résultats  qv^cVo 


■  COMPTES  KENDUS  ET  ANALYSES.  3ij 

■  peut  «lésormais  regarder  comme  définilivcmcnl  acquis,  ils  font 
fl  dauiiinl  mieux  apprécier  l'élendue  de  la  (erre  inconnue,  sur 
W  laquelle  on  ne  peut  que  former  des  conjectures  plus  ou  moins 
■  plaiisililes. 

r  -M.  /.('uthcn  accuse  une  propension  assez  marquée  à  revenir  à  la 

l/irsr  de  Hankel  :  les  Grecs,  merveilleusement  doués  pour  la  (iéo- 

îii#.'trie,  ne  Tétaient  nullement  pour  rAritliméli(|ue;  la  rédaction 

tl'tiii   Ouvrage   comme    celui    de   Diophante  ne  peut  s'expliquer 

qii't.'n  supposant  rintluence,  dans  l'Egypte  liellénisée,  d'une  race 

pa  nioulièremenl  apte  aux   calculs  numériques,  comme  celle  des 

M  ■  i^  (lous. 

^I.  Zeutlien  se  borne  cependant  à  émettre  ii  ce  sujet  des  livpo- 

tli«>*çes  sous  forme  dubitative^  comme  je  suis  le  premier  à  recon- 

■'*^  î  I  re  (|ue  la  question  ne  peut  se  trancher  d'une  façon  décisive,  je 

'**^    x^enouvellerai  pas  ici  les  objections  ([ue  j'ai,  à  plusieurs  reprises, 

^^^^^^  X  ée«^  contre  la  thèse  de  Hankel.  .le  bornerai  donc  mes  obser- 

^  ^  l  î  ons  à  deux   points   sur    lesquels   rallontion  a  été  récemment 

**^  I  >|»elée. 

i-^Hgef),  M.  Zeuthen,  comme  preuve  de  rinhabilelé  des  Grecs  en 

'^^■c^ul.  lait  ressortir,  d'après  Heiberg,   qu'Hérodote  semble  inca- 

1^**  L»le  de  faire  exactement  la  division  par  jS  d'un  nombre  un  peu 

S*'t*rîd.  En  fait,  le  texte  d'Hérodote  (VH,  IH7).  après  avoir  évalué 

^        consommalioD  journalière   de   blé   dans  l'armée  de  Xerxès  à 

^^  ^  ^.îav-O  chénices,  transforme  ce  nombre  en  médimnes  (division 

I^^  K"    {S),  et  donne  comme  quotient  iio34o  médimnes. 

J  avoue  que  le  plus  singulier  me  paraît  être,  dans  celle  alfairt», 

^*>"siucun  des  nombreux   éditeurs  anliciues  d'Hérodote  ne  paraît 

*  *^  l  re  avise  de  vérifier  le  calcul  et  de  corri^rer  l'erreur  malérielle. 
1  .  .  . 

**^s»  manuscrits  que  nous  avons  n'offrent  en  effet  aucune  variante; 

***^  is  cela  ne  suffit  pas  pour  établir  que  la  faute  existait  dans  Tori- 

Ç*»^al  d'Hérodote,  et,  s'il  la  renfermait  de  fait,  on  peut  aisément  en 

*^>^<irc  compte  sans  supposer  une  erreur  de  calcul.  Très  certai- 

^^ nient  Hérodote  n'a  pas  calculé,  comme  nous,  la  plume  \\  la  main  ; 

**  s\stèmedenumération  écrite  des  Grecs,  jus(|u'au  temps  d'Eudide 

^^^  moins,  n'a  jamais  été,  pas  plus  que  celui  des  Romains,  auquel 

Il  t'tail  analogue,  employé  pour  des  calculs  un  peu  complexes. 

nërodole  a  calculé  ou  a  fait  calculer  par  un  esclave,  sur  Tabaque, 

svec  des  jetons  ;  il  a  trouvé  le  résultat  exact  1 10060  médimnes, 


i 


3iG 


PREMIÈRE  PARTIE. 


340  chénices.  Des  la  première  transcriplîon  ou  la  première  copie, 
une  corruption  a  pu  s'inlroduire.  Il  me  semble  bien  difficile,  »u 
reste,  d'expliquer  autrement  la  prétendue  faute  de  calcul. 

A  la  différence  des  Grecs,  les  Égyptiens  étaient  alors  depuis  plus 
de  mille  ans  en  possession  d'un  s^'stème  de  numération  écrite  p^*"* 
mettant  le  calcul  avec  la  plume  (ainsi  que  le  prouve  le  papjr^^^ 
d'Ahmcs).  Avec  leur  système  classique  de  la  numération  écri^^? 
qui  se  développa  sous  les  premiers  Lagides,  les  Grecs  obliorent  *^ 
même  avantage,  d'une  façon  d'ailleurs  plus  satisfaisante  enco^* 
Si  jusqu'à  Archimède  ils  se  bornèrent  aux  myriades  de  mjria^^* 
(nombres  de  huit  figures),  c'est  sans  doute  que  cela  suffisait  t  ^^^ 
amplement  aux  besoins  de  la  pratique.  A  la  vérité,  cela  mon  •-^ 
bien  qu'alors  ils  ne  se  souciaient  guère  d'effectuer  de  longs  calc^^  ^ 
pour  des  recherches   purement  numériques.  Mais  où  en  élai^^ 
alors  les  Hindous?  (3uai\d  ont-ils  créé  leur  système  de  numératio 
Quand  leurs  facultés  arithmétiques  indéniables  ont-elies  été  assi*^ 
développées  pour  déterminer  ce  progrès  décisif?  La  vérité  est  q« 
nous  n'en  savons  rien,  et  qu'il  serait  bien  difficile  de  prouver  qu'î 
temps  de  Diophante  ils  avaient  déjà,   sous  ce  rapport,  quelqi 
supériorité  sur  les  Grecs. 

Par  hypothèse,  page  4y,  M-  /enlhcn  admet  qu'avant  Archiinè( 
il  n'existait  point  de  mélhode  généralement  connue  pour  exlrai 
les  racines  carrées  quelconques,  et  il  donne  comme  preuve  qu'A 
chiniède  a  pu  seul  arriver  à  la  détermination  des  limites  qu'il 
données  pour  7:.  Je  nie  demande  si  ce  raisonnement  est  bi« 
concluant,  si  la  détermination  en  (juestion  était  irréalisable  ava 
lui. 

Le  seul  lait  que  nous  pouvons  constater,  c'est  qu'Aristarquc 
Samos   se  contente   irassigiier  à  7:   des   limites   numériques  ti 
grossières,  beaucoup  plus   écartées  que  celles  que  pouvait  d< 
donner  prati(|uement  le  tracé  d'une  (luadralricc.  Mais  ne  peul-( 
dire  (|ue  la  déLerininalion  numéricjne  de  limites  de  7:  n'oflrait  d  i 
lérét   pratique    (|ue    pour   le    développement  de  l'Astronomie 
qu'elle  s'est,  sous  ce  ra|)port,  |)rodiiite  à  son  heure?  f^our  le  I) 
que  se  proposait  Arislanpie,  les  limites  qu'il  a  prises  étaient  p; 
faileinetJt  suflisanles;  j'imagine  que   pour  la  Géométrie  praliq 
les  Grecs  pouvaient  aisément  s'en  contenter  également.  Du  mom< 
où  t:  n'élail  pas  détermiiiable  géométriquement  pour  eux,  il  val 


COMPTES  RENDUS  ET  ANALYSES.         317 

^omme  irralionel,  et,  quant  ù  prendre  une  ap|)ro\imation,  ils 
prenaient  la  |)his  simple.  La  gloire  d^Arcliimèdc  est  d^avoir  su 
prouver  qu'avec  des  nombres  réellement  simples  on  pouvait  avoir 
mine  approximation  pratiquement  très  supérieure;  mais  il  a  pu, 
f)our  cela,  n'employer  que  des  moyens  connus  bien  avant  lui,  sans 
^ne  personne  eût  pris  la  peine  de  les  combiner  pour  résoudre  le 
^Tiême  problème. 

M.    Zeuthen    ne   conteste   point  (|ue  le    principe   essentiel    de 
t   eitraclion  de  la  racine  carrée  des  nombres  enliers  était  connu 
déjà  depuis  longtemps  à  l'époque  d'Arcbimède.  H  s*agil  donc  des 
évaluations    fractionnaires.    Or   nous    connaissons   sûrement  au- 
jourd'hui la  méthode  suivie  par  Héron.  Avec  la  racine  entière  par 
dë/aut,  soil  rt,  il  prend  le  nombre  rt|,  dont  le  produit  avec  a  donne 
'<î      nombre   À   dont    la    racine   est  à   extraire.    Entre   ces   deux 
*^Ofifibres  a  et  a^^  qui  comprennent  nécessairrnienl  la  racine,  il  en 
■*ïtercale  deux  autres,  6  et  t,,  qui  sont  la  movenne  arithmétique  et 
■^    irmioyenne  harmonique  des  deux  premiers.  D'ailleurs, 

hùi  =z  aux  =  A, 

^*     ^,  b\  sont  des  limites  plus  approchées^  l'opération  peut  se  ré- 
F^^*  t.^r  indéGoiment  et  le  procédé  est  tout  à  fait  général. 

^Hr,  ce  procédé  remonte  au  moins  à  Archylas,  qui  l'a  appliqué  à 

**      division  des  intervalles  musicaux  et  a  généralisé  la  notion  de  la 
"^^  *^^enne  harmonique,  seulement  ébauchée  par  les  premiers  pj- 

*^^  soriciens. 


|uanl  à  la  détermination  des  limites  de  \f  6  choisies,  sansexpli- 

^^îon,  par  Archiméde  pour  son  calcul  des   limites  de  t:,  je  dirai 

« '^  ^^  les  ingénieuses  conjectures  de  Hultsch  ne  m'ont  point  con- 

^**icu,  et   que  je   me  demande  si   les  séries  auxquelles   appar- 

*^Hnent  ces   nombres  n'étaient   pas   connues  dès   avant    Archi- 


^I.  Zeuthen  a  mentionné  la  série  donnée  par  Théon  de  Smyrne  : 
I       3       7       17  p      />-^'iy 

—  >        — >        -r  *        y        •••9        — »        >        ••• 

1        '2       5        la  q        P  -^  H 

^  <)ui  donne  la  suite  complète  des  solutions  de  l'équation 


\i<  PREMIÈRE  PARTIE. 

IL  r^couQdit  d^aîltours  que  le  iroisîème  terme  de  celle  série  4-  élaîl 

■  :> 

connu  de  TU  ton. 

Or  U  ût^on  Ij  plus  simple  de  Toblenir  me  paraîl  êlre  la  consi- 
d^rJLtlvui  de  deu\  litniles  comprenant  la  racine  comme  ci-dessus,  à 

>jk\v^ir  '^  et  —  •  Au  lieu  de  former  la  movenne  arithmétique,  comme 

vijiKS  le  prvvtNio  Itêronien,  on  prendra  comme  termes  intermédiaires 

-^  "^  '  *  et  3  y  ^^~ .  S'il  se  trouve  que/>* —  27*  =  ^:  i,  le  premier 

des  deu\  rapports  înlormêdîaires  jouira  de  la  même  propriété  avec 
le  sicn^  în\erse:  dès  lors  la  considération  des  deux  au  lies  limites 

'i  ot  »  "^  ^  "  »  qui  sont  moins  approchées,  devient  inutile. 
y  /»  —  1  y     ■  '  ^ 

Voilù  un  priH^êdê  qu'il  n\  a  aucun  motif  de  ne  pas  faire  remon- 
ter au  moins  à  Archvtas  ou  à  Eudoxe,  sinon  plus  haut,   à  savoir 

dès  IVpvHfue  011  Ton  reconnut  rincommensurabilité  de  ^:i^  à  la 
suite  iW  rechen^hes  numériques  avant  peut-être  beaucoup  moins 
pour  objet  de  satisfaire  aux  besoins  de  la  pratique  géométrique 
qu';iu\  exigences  théoriques  de  la  doctrine  de^  intervalles  musicaux. 

i^r  le  même  procédé,  appliqué  à  l'approximation  de  y  3  à  la 
simple  condition  de  supprimer  le  facteur  a  lorsqu'il  est  commun 
aux  deux  termes  des  rapports,  conduit  immédiatement  à  la  série 


l 

1 

» 

i 

19 

>r> 

p 

/>H-37 

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•  »    —  » 

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l 

1 

i 

1 1 

iD 

7 

p^(] 

dv»nl    les    ternies  salisfonl   allornalivonienl  aux    deux    formes  de 
Inéquation 

/>i-  $.7»=  ""'. 

ViunÏ,  pcul-èirrdès  le  \'  siècle  avant  noire  ère,  on  a  pu  presque 
iii.icliiiMltMucnL  pour  ainsi  dire,  établir  la  série  dans  laquelle  Arclii- 
inèvK'  n\iura  ou  quW  choisir  les  Icrnies  donnant  Tapproxinialion 
vlvMii  il  a>,ul  bcM>in. 

\\  v'nI  à  rcnK«n]uor  que,  pour  les  nombres  //  supérieurs  à  3.  \v 
mk:»u'  pivurdè  nt*  s'appli(]ue  plus,  on  tanl  du  moins  qu'il  no  (  on- 
J:ni  p!un  à  nno  sorio  >ahsfaisanl  à  la  condition  do  donner  los  \w- 
A';»'.  ^  MiuMMia  Ak"  /)-  -  //y-,  et  colles-là  soulemonl.  C'est  co  (]ui  peut 
^ M'I'viiior  que  lo>  rocliorohos  dans  cotte  voie  n'aient  pas  ét(*  pour- 


COMPTES  RENDUS  ET  ANALYSES.    *     Sig 

suivies.  Le  célèbre  problème  des  bœufs,  posé  par  Archinièdc,  per- 
met cependant  de  croire  qu'il  avait  repris  la  question  aulremenl  et 
<]u'il  possédait  une  solution  générale  de  Péquation  de  Pcll,  que, 
pour  un  motif  ou  un  autre,  il  n'aura  pas  fait  connaître. 

Dans  les  remarques  que  je  viens  de  faire,  je  le  répèle,  il  y  a  un 
clément  conjectural  dont  je  ne  veux  pas  dissimuler  Timportance. 
Mais  la  thèse  de  Hankel  repose  également  sur  des  conjectures  qui 
me  semblent  encore  moins  d'accord  avec  Tensemble  des  faits  cer- 
tains, et  le  plus  sûr  est  de  reconnaître  l'insuffisance  des  documents 
vecueillis  jusqu'à  présent.  Paul  Tanner  y. 

P.'S.  —  Dans  une  noie  (p.  208)  que  j'ai  ajoutée  à  la  traduction 
^e  M.  Mascart  et  dont  je  suis  responsable,  on  a  imprimé  par 
erreur  cappa  au  lieu  de  coppa.  C'est  de  cette  dernière  lettre 
grecque,  qui  ne  fait  pas  partie  de  l'alphabet  vulgaire,  que  dérive 
l'une  des  formes  de  l'abréviation  du  mot  arithmos  dans  les  ma- 
nuscrits. 


LARMOR  (J.),  M  A.,  F.  R.  S.,  Fellow  of  S»-John*s  Collage,  Cambridge.  — 
Aetbbe  and  Matter.  a  development  of  the  dynamical  relations  of  the 
aether  to  material  svstems  on  tho  basis  of  tho  atomic  constitution  of 

m 

matter,  ineloding  a  discussion  of  the  inQuence  of  the  Earth's  motion  on 
optical  phenomena.  In-S**,  xxviii-365  pages.  Cambridge.  University  Press, 

1900- 

Il  ne  paraît  plus  permis,  à  l'heure  actuelle,  de  nier  la  fécondité 
des  théories  telles  que  celle  dont  traite  M.  Larmor,  je  veux  dire 
des  théories  qui  reposent  sur  la  conception  moléculaire  non 
seulement  de  la  matière,  mais  encore  de  l'électricité;  trop  de 
phénomènes  relevant  des  branches  les  plus  difTérenles  des  sciences 
phjsico-chimiques  ont  conduit,  dans  ces  dernières  années,  à  cette 
notion  de  l'atome  électrique. 

Mais  si  le  principe  commun  de  ces  théories  moléculaires  de 
Télectricité  est  généralement  accepté,  il  est,  par  contre,  singu- 
lièrement difficile  de  constituer  ces  théories  en  fait,  d'assigner  à 
ces  atomes,  à  ces  électrons  dont  on  admet  ainsi  l'existence,  les 


I 


3>o  PREMIÈRE  PARTIE. 

propriétés  qii^'ls  doivent  posséder  pour  former  par  leur  assem- 
blage une  matière  et  une  électricité  analogues  à  celles  que  nous 
connaissons.  Ce  n'est  pas  que  de  telles  propriétés  ne  puissent 
exister,  ou  du  moins  on  ne  saurait,  quant  à  présent,  affirmer 
d'une  façon  absolue  une  telle  impossibilité.  La  difficulté  réside 
dans  l'ampleur  dun  pareil  problème,  qui  embrasse,  au  fond, 
presque  toute  la  Science.  Si,  en  effet,  M.  Larmor  prend  soin  de 
nous  avertir  que  les  théories  atomiques  de  l'Ëleclricilé  n'assument 
pas  l'impossible  lâche  de  régler,  une  fois  pour  loules,  Tensemble 
des    phénomènes   physiques,  il    ajoute   immédiatement   qu'elles  ^ss 

prétendent  coordonner  entre  elles  les  explications  qui  ont  été  -^^< 

données  de  ces  phénomènes^  et  il  est  clair,  en  fait,  que  leur  '^^   ' 

raison  d'être  est  d'aller  beaucoup  plus  loin  dans  celte  voie  que  ^^  ' 

les  théories  purement  mécaniques  (*). 

Les  faits  mêmes  qui  ont  conduit  aux  hypothèses  électro-ato- 
miques fournissent,  par   leur  étude  quantitative,  une  série  de 
conditions   auxquelles   doivent    satisfaire   les    lois    élémentaires 
cherchées.  Mais  ces  conditions  ne  sont  ni  les  plus  importantes  ni 
les  plus  difficiles  à  réaliser;  comme  il  est  naturel  pour  des  théories- 
si  profondément  différenlcs  des   idées   antérieures,   ce  sont  les 
phénomènes  les  plus  vulgaires  et  le  plus  anciennement  connus- 
(égalité  de  l'action  et  de  la  réaction,  conductibilité,  difTérence  de^ 
potentiel   au   contact,  etc.)  qui   serviront  surtout  de  pierre  de- 
touche  aux  nouvelles  doctrines. 

Cependant,  au  nombre  de  ces  données  que  nous  fournit  l'exp 
riencc  courante,   il  est  un   fait  général  qui  reste  pour  le  moin 
aussi  difiicile  à  cx|)li(|ucr  sons  le  point  de   vue  mécanique  que? 
sous  le  point  de  vue  moléculaire. 

Les  corps  dont  nous  étudions  les  propriétés  sont  tous  animéiiv^ 
(l'un  mouvement  commun,  le  mouvement  de  translation  de  1». 
Terre.  Comment  cette  translation  reste-t-elle  sans  influence  sur^ 
les  phénomènes  ohservés?  Kn  ce  qui  concerne  les  propriétés^ 
où  la  matière  intervient,  les  propriétés  mécaniques  (au  sen:^ 
ordinaire  du  mol),  la  Dynamique  classique  n'est  point  embar — 
rassée,  puisque  ses  lois  fondamentales  ont  été  constituées  exprès 


(')  M.  Larmor  aireri*^  celle  dénoniination  à  toutes  les  consiMôrations  relative^ 
aux  propriOlé-i  de  la  nialière  en  l>loc,  à  tout  ce  qui  n'est  pas  moléculaire. 


^S 


COMPTES  RENDUS  ET  ANALYSES.         32i 

<laDS  ce  but.  Mais  la  difficullé  apparaît  partout  où  intervient 
l'éther,  corame  en  Électricité  ou  en  Optique.  Là,  en  cfTet,  existe, 
«n  toute  hypothèse,  un  mouvement  relatif,  celui  des  corps 
terrestres  par  rapport  à  Péther  interplanétaire,  mouvement  dont 
la  vitesse  v  est  grande  et  n^est  pas  absolument  négligeable  par 
Tapport  à  la  vitesse  V  de  la  lumière.  Non  seulement  on  ne  voit,  a 
priori,  aucune  raison  pour  qu^un  tel  mouvement  relatif  soit 
indifférent,  mais,  en  fait,  on  sait  qu^il  ne  Test  pas.  Dans  le  cas  de 
Taberration,  en  effet,  on  a  bien  deux  corps  matériels  en  mouve- 
ment l'un  par  rapport  à  Tautre;  mais,  comme  ces  corps  n^influent 
1*un  sur  Taulre  que  par  Tintcrmédiaire  de  Péther,  il  faut  bien  que 
leurs  mouvements  par  rapport  à  ce  dernier  interviennent  en 
<|uelque  manière. 

Seulement,  cette  condition,  qu'il  y  ait  mouvement  de  la  matière 
jpondérable  par  rapport  à  la  matière  pondérable,  semble  d'une 
nécessité  absolue.  Chaque  fois  qu'elle  n*a  pas  été  réalisée,  les 
expérimenlateurs  ont  toujours  trouvé  un  effet  nul,  depuis  Arago 
interposant  un  prisme  de  verre  dans  la  lunette  astronomique  et 
comptant  ainsi  modifier  Taberration  grâce  à  la  propagation  plus 
rapide  de  la  lumière  dans  le  solide,  jusqu'à  M.  Mascart  recher- 
chant l'effet  du  mouvement  terrestre  sur  la  polarisation  rolaloire 
du  quartz.  La  réponse  a  encore  été  la  même  dans  les  expériences 
de  MM.  Michelson  et  Morlej,  dont  la  précision  était  suffisante 

pour  mettre  en  évidence  les  effets  de  Tordre  de  (  ^  j  >  s'il  en  avait 

existé.  Un  seul  cas  a  pu  paraître  un  instant  faire  exception,  celui 
de  Fizeau  et  Aogstrom  (déplacement  du  plan  de  polarisation  par 
passage  à  travers  une  pile  de  glace  ou  par  dilIVaclion)  ;  mais 
Fizeau  lui-même  considérait  son  observation  comme  extrêmement 
douteuse,  tant  les  difficultés  expérimentales  et  les  causes  d^erreur 
étaient  nombreuses. 

Comment  concilier  ces  résultats  négatifs  avec  le  fait  positif 
donné  par  le  phénomène  de  l'aberration?  Que  Ton  suppose 
Téther  fixe,  même  au  passage  des  [)lanèles,  ou  (|u*on  le  croie 
entraîné  avec  elles;  que  l'on  considère  ce  passage  comme  provo- 
quant la  formation  de  tourbillons  ou  comme  ne  la  provoquant 
point,  il  semble  que  Ton  arrive  toujours  à  une  contradiction 
d'un  coté  ou  d'un  autre.  On  comprend  donc  que,  dans  ces  der- 


i 


322  PREMIÈRE  PARTIE. 

nières  années,  M.  Lorentz  ait  attribué  une  importance  capitale  a 
ces  contradictions  et  cherché  à  les  lever  par  rintervention  des 
électrons.  Cest  à  elles,  également,  que  s'attache  celte  fois 
M.  Larmor,  et  c'est  ainsi  que  FOuvrage  consacré,  dans  la  pensée 
primitive  de  l'auteur,  à  Fhypothèse  électro-atomique  est  devenu 
principalement,  mais  non  exclusivement,  un  traité  sur  les  effets  du 
mouvement  terrestre,  traité  qui  débute  par  Texposition  des  difG- 
cultés  dont  nous  venons  de  parler,  Thistoire  des  idées  qui  ont  été 
émises  à  leur  sujet  et  des  eicpériences  instituées  pour  les  vérifier. 
'  Il  s'agit  ensuite  (sect.  Il)  de  constituer  une  théorie  du  mouve- 
ment des  électrons,  d'où  l'on  déduira  une  électrodynamique  à 
l'abri  des  objections  précédentes.  La  méthode  suivie  par  M.  Lar- 
mor offre  le  grand  avantage  de  ne  point  prendre  pour  point  de 
départ  les  actions  à  distance.  Le  phénomène  primordial  sera  la 
tension  élastique  de  Télher  déformé.  S'il  n'y  a  ni  molécules  ni 
électrons,  celte  tension  sera  exclusivement  de  nature  élastique  et 
dépendra  de  la  rotation  moléculaire. 

L'électron  sera  un  point  singulier  de  l'éther,  point  où  les  ten- 
sions deviendront  infînies  à  la  façon  des  dérivées  de  -•  Ici,   la 

théorie  de  M.  Larmor  cesse  d'être,  à  proprement  parler,  électro- 
atomique.  En  effet,  la  présence  de  points  singuliers  de  Tespèce 
indiquée  ne  permet  plus  de  conserver  sans  modification  les 
expressions  pour  les  composantes  de  tension,  de  sorte  qu'aux 
termes  élastiques  précédemment  écrits  il  faut  en  ajouter  d'autres 
dépondant  du  mouvement  des  électrons;  les  termes  complémen- 
laires  ne  sont  pas  calculés  en  chaque  point  :  Tauteur  n'écrit  que 
leurs  valeurs  movennes  en  fonction  non  du  mouvement  individuel 
<los  électrons,  mais  de  leur  mouvement  moyen,  autrement  dit 
dos  com[)osantes  de  courant  telles  qu'on  les  considère  ordinai- 
romont. 

Après  le  passade  de  réiectrioité,  les  dérivées  des  composantes 
(lo  lonsion  retrouvent  leurs  expressions  primitives,  mais  non  les 
ooinposanlos  ollos-mémes,  les(|uclles  conservent  indéfmimeHt  un 
lormo  oornplémenlairo. 

(lonuno  hoanooiip  de  physiciens  contemporains,  M.  Larmor, 
|)()ur  (léduiro  do  ses  hypothèses  fondamentales  les  écpiations  diffé- 
reulielh's   des    mouvements    étudiés,    emploie    exclusivement    le 


COMPTES  RENDUS  ET  ANALYSES.  3^:; 

^principe  de  la  moindre  action,  qui  offre  Tavantage  de  mener  au 
vésuUat  en  parlant  des  seules  expressions  de  Ténergie  cinétique 
^t  de  Fénergie  potentielle,  sans  entrer  dans  le  délail  des  actions 
.mutuelles.  On  peut  toutefois  se  demander  si  cet  avantage  ne 
devient  pas  quelquefois  un  inconvénient.  On  voudrait,  quoi  qu^en 
^ise  Tauteur,  suivre  d'un  peu  plus  près  le  mouvement  des  élec- 
trons, on  voudrait  s'expliquer  comment  le  déplacement  de  ces 
points  singuliers  à  travers  Téther  élastique  est  possible,  ce  qui  se 
<;onçoil  véritablement  assez  mal. 

Quoi  qu'il  en  soit,  on  arrive  par  cette  voie  à  des  équations 
^lectrodjnamiques  qui,  pour  le  cas  des  corps  en  repos,  coïncident 
•avec  les  équations  de  Maxwell,  tout  en  en  différant  dans  le  cas  du 
jnouvement.  Le  rôle  de  la  force  d'Induction  magnétique  est  joué 
par  la  vitesse  de  Téther.  Le  magnétisme  est  ailleurs  considéré 
•«comme  une  apparence  et  remplacé  par  les  courants  particulaires 
J' Ampère. 

Il  est  bon  de  noter  que,  dans  certaines  différentiations,  on 
supprime  les  termes  qui  correspondent  au  mouvement  de  Téther, 
<t  qui  seraient  du  second  ordre  (puisqu'ils  contiendraient,  d'une 
pari  les  dérivées  partielles  des  quantités  différentiées,  d'autre 
part  les  composantes  du  mouvement  de  réther)-,  autrement  dit, 
considérant  ce  mouvement  comme  suffisamment  lent,  on  réduit 
les  équations  à  leur  partie  linéaire. 

Quant  aux  molécules  matérielles,  elles  n'existent  pas,  à  propre- 
ment parler,  pour  M.  Larmor.  Une  molécule  n'est,  en  réalité, 
qu'un  système  d'électrons  tournant  les  uns  autour  des  autres. 
C'est  cette  rotation  qui  constitue  le  courant  particulaire  et,  par 
conséquent,  l'élément  magnétique.  L'existence  d'un  champ  magné- 
tique a  pour  effet  :  d'une  part,  d'orienter  les  orbites- des  électrons 
et,  par  conséquent,  les  courants  particulaires,  ce  qui  produit  le 
magnétisme  proprement  dit;  d'autre  part,  de  contracter  ces 
mêmes  orbites  dans  une  certaine  proportion.  Ce  second  effet, 
lorsqu'il  prédomine,  donnerait  le  diamagnétisme. 

Ces  notions  fondamentales  sont  suivies  d'un  Chapitre,  sans 
relation  bien  évidente  avec  elles,  où  sont  exposées  et  discutées 
les  vues  récentes  sur  les  propriétés  des  radiations  :  ce  Chapitre 
termine  la  Section  IL 

Quel  sera  maintenant  (Section  III)  l'effet  d'un  mouvement  de 


324  PllIÎMIÈKM  PAIITIE. 

translation  sur  les  phénomènes  tels  qu'ils  se  déduisent  des  hypo- 
thèses précédentes?  *• 

Tout  d'abord,  des  considérations  de  symétrie  conduisent  Pau- 
teur  à  affirmer  a  priori  que  les  effets  doivent  être  du  second 

ordre  par  rapport  à  ^«  sauf  peut-être  dans  les  phénomènes  (tels 

que  la  polarisation  rolatoire)  qui  dépendent  de  Torientation  de 
Tespace,  qui  chan<^cnt  lorsqu'on  remplace  les  diflfércnts  corps  que 
Ton  considère  par  leurs  images  dans  un  miroir. 

Entrant  un  peu  plus  dans  le  détail,  Tauteur  adopte  Thypothèse 
imaginée  par  M.  Lorentz  dans  le  but  d'expliquer  le  résultai  négatif 
des  expériences  de  MM.  Michelson  et  Morley,  et  d'après  laquelle 
les  solides  animés  d'un  mouvement  de  translation  de  vitesse  r 
subissent,   dans   le  sens   de  ce   mouvement,   une  contraction   de 

l'ordre  de  (  v?  )  •  Quelques  pages  sont  employées  à  justifier  cette 

hypothèse,  si  bizarre  au  premier  abord. 

D'autre  part,  on  constate  que,  sur  un  corps  en  mouvement,  les 
lois  de  la  distribution  électri'que  sont  modifiées  :  la  nouvelle 
distribution  sera  celle  qui  se  présenterait  sur  un  corps  en  repos  et 
dont  la  forme  se  déduirait  de  celle  du  premier  par  un   certain 

allongement,  également  de  l'ordre  de  (y)  •  Cet  allongement 
fictif  vient  prècisèmenl  compenser  (aux  termes  près  du  quatrième 

ordre  eu  r;  )  '^  contraction  réelle  subie  par  le  solide  :  de  sorte 

que,  en  fin  de  compte,  la  distribution  électrique  reste  sensiblement 
inaltérée. 

Après  avoir  passé  en  revue  les  autres  elfcts  électriques  impor- 
tants, railleur  arrive  aux  eilcts  |)urement  matériels,  mécanicpies 
de  la  conveclion.  iW^V  à  eux  i|iril  rattache  la  notion  de  masse  : 
l'énergie  dos  électrons  est  (lécom|)Osée  en  deux  parties  dont  Tune 
dépcuil  d(^  leurs  cliîini;(Mnenls  de  position  relatifsy  tandis  que 
l'autre  contient  en  facteur  le  carré  de  leur  vitesse  commune  :  c'est 
le  coeNicient  de*  ce  seul  ternie  (|ni  constitue  la  masse.  L'inertie  de 
la  malièrt*  serait  donc  exclusivenienl  de  nature  électri(jue. 

Seideuieul,  dans  ce  svsième,  la  j;ravitali(>n  et,  parliculièremonl, 
le  fait  (|ne  celle-ci  est  |)r()|)orll()nnell<'  aux  niasses  ne  semblent  pas 
devoir  lrou\er  leur  ex|)licalion.  L'auteur,  de  parti  pris,  ne  sarréte 


COMFTIiS  IIKNDUS  ET  ANALYSES.  325 

pas  à  cette  difficulté.  Ëlant  donné  qu^on  ne  saurait  attendre  des 
théories  moléculaires  Texplication  (olale  des  phénomènes  et  que, 
par  Texemple,  la  cohésion   des  solides  paraît  leur  échapper,  il 
J  uge  naturel  que  la  gravitation  soit  dans  le  même  cas. 

Il  faut  maintenant  examiner  les  cas,  réservés  jusqu'à  présent, 
où  il  y  a  asymélrie,  c'est-à-dire  le  phénomène  de  la  polarisation 
^"Olaloire,  que  celle-ci  soit  d'ailleurs  naturelle  ou  électromagné- 
t.ique. 

M.  Larmor  regarde  la  polarisation  rolatoire  comme  un  phéno- 

'"raènc  «  dynamiquement  secondaire  et  subordonné  ».  Mais  il  n'en 

*^«?connaît  pas  moins  sa  valeur  comme  mo^en  de  vérification  des 

*  hceries  électro-optiques,  en    raison   de  son  extrême  sensibilité 

cjcii   lui  permet  de  mettre  en  évidence  des  retards  de  propagation 

^^  «aivalant  à  de  petites  fractions  de  période. 

CDr  on  admet  actuellement,  d  après  Lorentz,  (]ue  ce  phénomène 
^orine  précisément  lieu  à  un  désaccord  entre  l'expérience  et  la 
'-■^«orie,  celle-ci  conduisant  à  conclure  que  le  mouvement  ter- 
^  ^re  devrait  avoir  une  inlluence,  tandis  (|ue  les  expériences  de 
«>  Mascarl  démontrent  le  contraire.  C'est  cette  question  qui  est 
rise  ici  (Section  IV). 

.'auteur   commence    par   écrire   en   général  les  équations  du 

■^  *"^  ^nomène,  sans  d'ailleurs  faire  intervenir  tout  d'abord  les  élec- 

^^^  »is  et  en  prenant  simplement  pour  base  ce  fait  que  la  polarisa- 

^^  ^^  »i  rota  toi  re  est  assurément  liée  à  la   présence,  dans  l'énergie 

*  ^^trodvnamique,  de  termes  contenant  les  dérivées  de  la  force 

^^ citrique  :  dérivées  qui  seront  prises  par  rapport  au  temps  s'il 

^^itdc  la  polarisation  magnétique;  par  rapport  aux  coordonnées 

^1    s'agit  de  la  polarisation  naturelle. 

Il  indique  rapidement  ensuite  comment,   dans  sa   théorie,   la 

■^^^  i  arisatiou   rotative   magnéti(|ue    s'explicjue    naturellomenl   par 

^^«•îentation  des  orbites  <les  électrons  et   traite,   d'une   manière 

*^ dépendante,  la  |>()larisalion  rotaloire  naturelle  (en  disant  éga- 

^*iienl  un  mot  de  la  polarisation  par  réllexion  mai;néli(|ue). 

Une   analyse    unique    s'appli(|uc,    par   contre,    aux    (I<mi\    cas 

lorsqu'il  s'agit  de  rechercher  l'iiillucuce  de  la   translation.  Elle 

^Uoutil  à  un  résultat  opposé  à  celui  dt;  Loronlz  et  conforuie  aux 

expériences  de  M.  Mascarl  :  concordance  attribuée  précisément 

*  rhvpothèsc    précédemment  faite  (|uc   Téncr^ie  des    molécules 


39.G  PKEMIËUI^    PAKTIE. 

malérielles  esl  cxclusivemenl  due  à  celle  des  électrons  qui  les 
composenl. 

La  seclion  V  esl  consacrée  aux  rayons  de  Ronlgen  et  aux 
radiations  en  général.  On  y  trouve  une  nouvelle  confirmation  de 
rhypolhèse  donl  il  vient  d'être  question,  dans  ce  fait  que  les 
capacités  d'absorption  des  différents  corps  pour  les  rayons  de 
Kontgcn  varient  comme  leurs  densités;  et,  d'autre  part,  des 
relations  importantes  entre  les  propriétés  des  électrons  qui  com- 
posent une  mémo  molécule.  On  constate,  en  effet,  par  un  calcul 
analogue  à  ceux  de  la  théorie  des  oscillateurs  électriques,  qu'un 
électron  qui  se  meut  est  l'origine  d'un  certain  ébranlement  de 
l'cther  et  que,  dans  une  molécule  quelconque,  il  y  aurait,  par 
cette  voie,  dissipation  continue  d'énergie  si  les  ébranlements  dus 
aux  différents  électrons  ne  se  compensaient  pas.  En  particulier,  le 
nombre  de  ces  électrons  doit  être  supérieur  à  deux  dans  une 
même  molécule. 

Une  série  d'appendices  (jui  termine  le  volume  mérite  une 
mention  spéciale.  L'un  d'eux  (appendice  D)  a  un  but  purement 
historique.  Les  trois  suivants  complètent  sur  plusieurs  points  les 
vues  physiques  exposées  dans  le  corps  de  l'Ouvrage.  Deux  d'entre 
eux  (C  et  F)  sont,  l'un  une  théorie  des  ions  et  de  l'électrolvse, 
l'autre  une  théorie  du  phénomène  de  Zeemann.  Dans  Tappen- 
dicc  E,  raulenr  cherche,  à  l'aide  de  comparaisons  gyrostatiques 
si  populaires  chez  les  ])hysiciens  anglais  depuis  les  traxaux  de 
Lord  Ivelvin,  à  nous  donner  une  idée,  idée  bien  lointaine  et  bien 
apj)roximativc,  mais  en  lin  à  nous  donner  une  idée  de  ce  que  peut 
être  un  électron. 

Je  n'entreprendrai  pas  ici  d'examiner  cette  conception,  non 
plus  que  d'énoncer  un  jugement  sur  les  théories  physiques  résu- 
mées dans  ce  qui  précède.  On  sait  que  plusieurs  des  diniculiés 
(|n'cllcs  soulèvent  ont  été  mises  en  évidence  par  M.  l'oincaré  ^•). 
.le  préfère  dire  un  mol  des  vues  plus  mathématiques  contenues 
dans  les  appendices  A  et  H.  Non  (pie  ces  vues  soient  très  déve- 
loppres;  l'auleur  a,  d'une  manière  générale,  délibérément  «'carlé 
h*s  eonsidénilions  pro|)reinenl  aualytitpies  de  son  Ouxrage. 
Celui-ci   n  en  est  pas  moins  intéressant  pour  les  mathématiciens. 


(')  LUctricitc  cl  Optique,  ticuxicmc  Parlic. 


COMPTES  RENDUS  ET  ANALYSES.  827 

au  contraire.  Les  ihéories  qu'il  con lient  sont  liées  à  toute 
ie  questions  qu'il  serait  hautement  intéressant  de  reprendre 
inl  de  vue  analytique.  On  rencontrerait  loul  d'abord,  bien 
lu,  les  problèmes  de  calcul  des  probabilités  auxquels  donne 
î  qu'on  peut  désigner,  avec  Maxwell  et  M.  W.  Gibbs,  sous 
1   de  Mécanique  statistique. 

Larmor  insiste  plus  particulièrement  sur  le  caractère  des 
x.imations  qui  s'introduisent  dans  ces  sortes  de  raisonne- 
-  L'examen  de  ceux-ci  vient  évidemment  à  Tappui  des  idées 
y  par  M.  Klein,  dans  une  de  ses  conférences  de  Chicago  (  *  ), 
nécessité  de  ce  qu'on  pourrait  appeler  ra/ia/>^5e  approchée, 
-dire  d'une  branche  des  Mathématiques  dans  laquelle  toutes 
nnées  comporteraient  un  certain  degré  d'erreur, 
s  que  pourra  être  celte  analyse  approchée?  Des  quelques 
consacrées  par  la  Géométrie  de  Gôttingue  à  cette  question, 
urrait  être  tenté  de  tirer,  quoique  l'auteur  ne  l'ait  pas 
Jscment  formulée,  la  conclusion  qu'on  pourrait,  dans  cette 
,  renoncer  aux  difficultés  de  rigueur  et  aux  excès  de  gêné- 
qui  ont  été  introduits  dans  l'analyse  moderne. 
si  que  j'ai  eu  l'occasion  de  le  remarquer  à  propos  d'une 
on  particulière  (-),  le  contraire  peut  être  vrai  :  il  est  fort 
>le,  sinon  probable,  que  Vana/yse  approchée  se  voie  forcée 
er  les  parties  les  plus  délicates,  les  plus  subtilement  minu- 
s  de  l'analyse  rigoureuse.  Pour  prendre  un  exemple  simple, 
geons  cette  double  proposition  : 

^squ'on  sait  qu^  une  fonction  est  finie  et  continue  y  on  peut 
nclure  qu'elle  a  une  intégrale,  mais  on  ne  peut  rien 
^\er  sur  V existence  de  sa  dérivée. 

énoncé  fournit  bien  un  type  classique  de  ces  scrupules,  de 
^inoiseries  de  rigueur  qu'on  introduit  bien  à  regret  dans  les 
»  de  calcul  infinitésimal.  Est-il  possible,  cependant,  de 
renaître  sa  liaison  avec  le  suivant  : 

'^squ'on  connaît  l'ordre  de  grandeur  d' une  fonction  dans 


-onférence  VI,  p.  4^-4^  de  la  traduction  Laugel.  Paris,  Hermann;  1898. 
^  théorie  des  plaques  élastiques  planes  (  Transactions  0/  the  American 
'natical  Society,  1902). 


328  PUUIMIËKK  PAHTIE. 

un  intervalle,  on  est  renseigné  sur  r ordre  de  grandeur ^ 
son  intégrale,  mais  on  ne  sait  rien  sur  celui  de  sa  dérivée, 

énonc(i  dont  Tiniportance  fondamentale,  dans  toutes  les  branc^  Èi^^ 
du  calcul,  ri  parliculirrement  dans  les  questions  d'approxic^»''^' 
lion  c|ui  nous  occupent  en  ce  moment,  n'a  pas  besoin  d'^  t**^ 
démontrée. 

(le  sont  précisémenl  des  remarques  analogues  qui  se  présent  ^^^^ 
à  M.  Larmor  lorsqu'il  a|)profondil  l'étude  de  la  polarité  mag 
tique  ou  électrique  (appendice  A).  Là  interviennent  des  foncli 
pratiffuenient    non    dérivahles,    c'est-à-dire   dont   les    deriv 
exislent,  mais  ont  des  valeurs  1res  grandes  et  de  signes  variabl  ^^-s; 
des  intégrales  Aéiin'xQ'^  pratiquement  divergentes,  aie. 

L'appendice  B  Iraile  des  principes  de  la  Mécanique.  L^aule  ■-■  **} 
comme  nous  l'avons  dit,  donne  le  rôle  principal  au  principe  de?  1* 
moindre  action.  11  ne  s'arrête  même  pas  à  l'objection  de  Hei  •- ^^ 
fondée  sur  l'existence  de  systèmes  non  holonomes  (roulemeuL  «l 
phéiiomriies  analogues).  Il  écarte  cette  «objection  en  réponde  «^  t> 
encore  une  fois,  que  les  pbénomones  tels  que  le  roulement  sd^  «Jl 
étrangers  à   la   Dynamique   moléculaire.    Il   resterait  à   savoir  si 

Texplicalion  moléculaire  qui  rendrait  compte  de  ces  phénomè  wcit^i 
pourrait  satisfaire  en  même  temps  au  principe  de  la  nioia  ^l\  re 
action.  .1.  Hadamaro. 


C.ZUIŒK  (  K.  ).  —  Pkoh\iumtks  i:t  .mou:.\m:s  (iKOMKTiuyi  ks.  Traduit  de  P«  »I'«- 
inaïul  p;ir  //.  Schucnnans.  I^rôfaco  (!(»  (li.  iM-^rangc.  i  vol.  in-S**;  7.\\  |>«.»  i^*^ 
ii3  (i,:;iiros.  Paris,  Ilcrniami,  190». 

.le  rejH'odnis  ci-dessous,  en  partie,  Tinléressante  Préface  <|*'^ 
M.  Cil.  Lai;ran{^o,  membre  de  rAcadémie  rovale  des  Science^  *'^' 
Beljj;i(iiie,  a  mise  en  tête  du  Li\re  de  M.  Czuber;  elle  eu  ^^^'^ 
conuaîlrc  r('>()rit,  mieux  (|ue  je  ne  saurais  faire. 

u  l/Ouvra^e  du  Professeur  K.  Czuber,  dont  M.  le  capiL  i^"  •  "'' 
Scbuermans  donne  aujourd'hui  la  traduction,  a  pour  objet  |  »  **'"' 
cipal  de  groii|)cr,  dans  uu  cadre  syulbélicjue,  la  classe  nonibi*^-^**^^ 


COMPTES  KEN  DUS  ET  ANALYSES.  3».) 

problèmes  de  probabilités  où  iplcrvient  la  notion  de  Tinfini, 
-à-dîre  ceux  dans  lesquels,  sans  pouvoir  dclerminer  sépare- 
nt les  nombres  de  chances  possibles  et  favorables,  on  peut  en 
léral,  par  un  passage  à  la  limite,  trouver  le  rapport  de  ces 
bres  ou  la  probabilité  cherchée. 

•  Ces  questions  ont  pour  t>pe  le  célèbre  et  classique  probli* me 
d'aiguille,  proposé  et  résolu  déjà  par  Buflbn,  il  v  a  plus  d'un 

de,  dans  son  Essai  d\4  rit  h  me  tique  morale.  Pour  la  plupart 

Titre  elles,  ou  bien  les  données  sont  d'ordre  géométrique,  ou 

énoncés  sont  susceptibles  de  représentation  géométrique.  Ce 

aclère  géométrique  a  attiré  la  pensée  de  l'auteur  et  dicté  pour 

"  •^^  î      la  définition  du  sujet  et  le  titre  du  Livre.  Fidèle  à  son  argu- 

^  ^  Kit,  il  examine  successivement  les  problèmes  qui  se  rapportent 

^*      point,  à  la  droite  et  au  plan.  La  portée  de  ces  questions  n'est 

^fe  mlleurs  pas  uniquement  spéculative;  comme  presque  partout 

^  *  •  1  ^urs    en    probabilités,    l'exploration    métaphysique    abstraite 

^   *^^  i^sine  avec  la  préoccupation  d'une  application  concrète  et  utili- 

"^  ■  we.  Si  Ton  voulait  de  cela  un  exemple,  il  suffirait  de  mentionner 

^^  ■'^►plicalîon  des  probabilités  par  intégrales  définies  aux  questions 

tiques  du  tir. 

L'exposé  didactique  de  la  matière  précédente  ne  constitue 

*  une  première  Partie  de  l'Ouvrage.  La  seconde  Partie  n'expose 
&  des  questions  de  probabilités  proprement  dites,  mais  elle 
mte  d'une  notion  capitale  en  connexion  intime  avec  leurs  appll- 

ioos.  Il  s'agit  de  la  moyenne,  base  des  problèmes  statisti(|ues'. 

se    propose   ici    la  détermination  d'une  grandeur  ])ropre    à 

résenler  par  un  terme  unique  une  collection  donnée  de  gran- 


**  w^irs  de  même  espèce.  Ce  n'est  pas  dans  la  statistique  proprc- 


fc?  ni  dite  seulement  que  cette  question  se  présente  avec  un  but 

*  le;  on  la  rencontrerait  dans  toutes  les  branches  des  sciences 

(^  ^liquées.  Telles    seraient,    par  exemple,  en    Pliysi(|ne   ou    en 

^  ^o-Phj'sique,    la   détermination    de   rintensiié  mo\enne   d'un 

^■"onnemenl    (lumineux   ou    autre)   sur  une  surface,    clans   des 

^^^*ïditions  données;  en  Géodésie,  la  question  de  Téloignement 

**^  ^>jcn  de  deux  triangles,  des  points  d'un  triangle  à  un  sommet,  etc. 

^ vivant  l'ordre  spécial  de  son  sujet,  c'est  encore  dans  le  domaine 

S^ométrique  que  l'auteur  cherche  et  multiplie  les  exemples.  En 

t  ^^>t)iliarisanl   l'esprit  avec  ^importante   notion   de  la  moyenne, 

^uli,  des  Sciences  mathém,^  3*  série,  t.  XWI.  (NoTcmbrc  1902.)  11 


33o  PREMIÈRE  PARTIE. 

celle  seconde  Partie  conslilue  une  utile  préparation  à  k  ihé^^*"*^ 
des  erreurs  (');  à  celle  théorie  toucliait  d^ailleurs  déjà  ai^  ^^*t 
incidemment  et  par  quelques  problèmes,  la  première  Partie. 

»  Nous  observerons,  en  manière  de  parenthèse,  que  d'au*^*"^ 
points,  côtoyés  ou  même  compris  par  le  sujet,  seraient  dig'*'^* 
d^un  développement  plus  étendu  ou  plus  approfondi.  Telle  se*"*^'^ 
la  question,  ici  fondamentale,  de  la  représentation  d'une  coll 
tion  de  points  par  une  surface.  L^éhicidation  du  paradoxe  p 
sente  par   certains  problèmes,  qui    semblent  admettre  pour-      '* 
probabilité  renseignée  plusieurs  solutions,  gagnerait  par  rus^g"^ 
sjstémati4]ue   et  l'énoncé   explicite  du  principe  fondamenlal      <1^ 
régale  possibilité  des  chances,  principe  qu'il  suffit  de  respec  t.er 
dans  chaque  cas  pour  que  ce  prétendu  paradoxe  disparaisse      ^^ 
lui-même.  De  même  on  pourrait  désirer  pour  quelques  solutio^^^ 
l'emploi  explicite  du   théorème  de  la  probabilité  totale,   cL        1* 
décomposition  de  celle-ci  au  moyen  des  probabilités  des  di 4 1^- 
renles   manières   et  des  probabilités  de  l'événement  consi(l«:i'ré 
dans  ces  manières, 

»  Pris  en  lui-même,  l'Ouvrage  actuel  est  essentiellement  iIm  bo- 
rique. Pour  défendre  sa  valeur  pratique,  redisons,  comme  d  «'jJ* 
plus  liaul,  qu'un  point  de  vue  inexact  et  1res  superficiel  pourm^î^"^ 
seul  condiiire  à  envisager  le  calcul  des  probabililés,  même  J  ^*  *^^ 
sa  ])aiiic  la  plus  abstraite,  comme  une  sorte  de  hors-d'œuvre  d'  »  ■  "^ 
])ortce  et  d'un  inlcrêt  purement  spcculatifs  :  il  est  au  conlri»  m  rc 
^expression  précise  et  nécessaire  d  une  science  pratique,  a*"»  *  ^' 
ricnr(î  aux  Traités  didactiques  el,  comme  d'autres  sciences, im|)<.:>  ^*'^ 
par  la  nature  des  choses.  De  tout  temps  les  hommes  ont  fait  ^^es 
j)robabiiilés,  tout  comme  ils  ont  fuit  de  la  Géométrie  et  d  «^"  '•* 
Mécanicfuo  vivant  qu'il  existât  des  livres  de  Géométrie  et  * '^'^ 
traités  de  Mécanique  rationnelle.  Cest  même,  on  peut  le  dirczr  -.  ^^ 
caractère  humain  dos  probabilités  qui,  indépendamment.  "*^ 
leurs  ap[)lications  pratiques  el  efl'eclives,  explique  et  juss-l"''^' 
l'inlérét  pédagogique  de  leur  enseignement.  ...» 


f 


COMPTES  RENDUS  ET  ANALYSES.         33i 

Je  ne  veux  ajouter   que   quelques  mots  :    c'est   loul  d'abord 
j  cj  s  ticc  que  de  louer  Tinléri^l  du  Livre  de  M.  Czuber;  les  nom- 
L>a:*^ux  exemples  qu'il  développe  sont  vraiment  inslructifs  ot  amu- 
rmts;  outre  leur  inlérét  propre,  ils  constituent,  pour  la  plupart, 
*  Acellents  exercices  d'intégration.  Quelques-uns  de  ces  exemples 
t  accompagnés  de  renseigncmonts  historiques  fort  curieux.  En 
-liculier,  les  expériences  dont  le  fameux  problème  de  Taiguillc 
Eé  l'objet  sont  relatées  avec  détail. 
i  Fauteur  n'a  pas  insisté  sur  les  définitions  et  les  principes 
■-:Béraux,  il  convient  toutefois  de  signaler  les  observations  essen- 
I  les  qu'il  fait  sur  le  choix  des  variables  indépendantes,  qui  doit, 
- — il,   concorder  avec  rinleiprétation  du  mot  arbitrairement. 
^st  sans  doute  dans  ce  choix  des  variables  indépendantes  et 
^^    coordonnées   qui    permeUrnl  de    les  représenter,   qu'il   faut 
»  |)ecter  ce  «   principe   fondamental  de  l'égale   possibilité    des 
«^nces  »  dont  M.  Ch.  Lagran(;e  regrette  de  ne  pas  trouver  dans 
*  ^^^       Livre  de  M.  Czuber  l'énoncé  explicite;  quelque  lecteur  regret- 
*-  *=>  'K^sa  sans  doute,  à  son  tour,  <|ue  le  savant  géomètre  belge  n'ait 
^*^  ^=*  lui-même  formulé  l'énoncé  do  ce  principe,  à  la  lumière  du(|uel 
^^  ^^'anouissent  les  paradoxes,  a  Où  le  sens  ne  découle  pas  incon- 
^  =s.  Eablement  des  termes   du    problème,    dit  M.   (Czuber,   il  peut 
'  •J  «jours  se  discuter  quelle  interprétation  correspond  le  mieux  à 
■nature  de  la  chose.  )>  Sans  doute,  ce  qui  n'est  pas  incontestable 
^it  être  contesté,  et  peul-èire    dans  ces  matières,  faut-il  parfois 
'*'*=^     <2ontenler  d'une //ico/j/t'.s7<'//>  V'  vraisemblance.  M.  C/.uber,  par 
^^  "^^    nombreux  exemples  ([u'il  halte,  semble  s'être  surtout  proposé 


^     »*  ffiner   l'intelligence    de    sf>   lecteurs    et  de   leur   donner,   par 
'^siLitude^  celle  acuité  d'e>pril  (pii  permet  de  reconnaître  que 
te  sens  découle  inconteshibbinont  des  termes  du  problème   ». 
^— <^    résultat,  s'il  est  atteint,  ej>l  Tessenticl  pour  ceux  qui  estiment 
M^^cî  le  sen»  du  vrai  importe  t-ncore  plus  que  le  sens  de  la  rigueur. 
^I.  Czuber,  au  début  de  nom   Livre,  insiste  sur  Timpossibilité 
^  appliquer  aux  problèmes  qui!  Iraite  la  définition  ordinaire  de 
*^    probabilité,  qui  suppose  que  Ton  ait  alfaire  à  des  u  totalités 
4*scrètcs  de  cas  favorables  <i  k\v  cas  possibles  »;  dans  ces  pro- 
blèmes, c'est  par  des  rapports  (Tintégrales  (de  longueurs,  d*aires, 
<^c  volumes,  etc.)  que  la  pr«<'  ahilité  est  évaluée  ou  délinie.  Si, 
|>ar  exemple,  on  donne  dan>  nu  plan  deux  aires  A,  B,  (pii  n\>m- 


33a  PBEMIËIIE   PARTIH. 

piëtent  p&s  l'une  sur  l'autre,  si  l'un  sait  qu'un  point  e»l  dan*  Tui 
ou  l'autre  de  ces  aires  et  §i  l'on  regarde  comme  égnlpini'rnl  pro- 
bables les  positions  de  ce  puinl,  n'importe  où,  dans  l'une  ou  l'autre 

aire,  on  oe  s'étonnera  pas  de  voir  prendre  le  rapport  j =  comme 

définition  de  la  probabiliu^  pour  que  le  point  soit  situé  dans 
l'aire  A,  el  l'on  conçoit  qiio  d'autres  quesiloos  plu&  coniplcu» 
puissent  âtre  ramenées  au  cas  pn^ci^dent,  ou  à  li'uulres  anali>|;uvs, 
par  une  assimilation  plausiML-.  Il  est  cluir  que,  dans  cette  assimi- 
lation, c'est  sur  le  choix  de«  variables  indépendantes,  ou  du 
système  de  coordonnées,  que  ,.jit  porter  la  critique.  Si,  par 
exemple,  on  veut  avoir  quelque  idée  dc\a  probabiliti^  pourqu'une 
équation  du  second  degré,  t;ii  u, 

(IU*H- Alt +C>eO, 

dont  les  coerGcienls  sont  arbitraires  mais  ne  doivent  pas,  en 
valeur  absolue,  dépasser  un  nombre  positif  A,  ail  ses  racines 
imaginaires,  il  paraîtra  naturel  de  regarder  les  coelïïcients  a,  c,  b 
comme  les  coordonnées  rectanguluircs  x,  y^  z  d'un  point  M, 
situé  i  l'intérieur  d'un  cube  limité  par  1rs  plans  dont  les  équa- 
tions sont 

*  =  ±A,       y=±A,       4  =  ±A; 

l'équation  aura  ses  racines  imaginaires  si  le  point  M  est  à  Pint^- 
rieur  du  cane  dont  l'équation  est  s'^^xy;  on  prendra  alors 
pour  mesure  de  la  probabilité  cherchée  le  rapport  au  volume  du 
cube  du  volume  intérieur  i  la  fois  au  cAne  et  au  cube  :  on  trouve 
ainsi,  sans  aucune  peine,  le  nombre 

il    _  logt. 

c'rst  à  cola  que  revient  au  fond  la  solution  donnée  par  M.  H. 
M'ColI.  que  reproduit  M.  Ciuber.  Le  nombre  trouvé,  comme  on 
devait  ï^'v  atlendre  en  raison  de  Tbomo^néilé,  est  indépendant 
ttcA:  le  résultat  subsiste  donc,  comme  le  fait  observer  l'auteur, 
pour  des  valeurs  inlîniment  grandes  de  \.  Toutefois,  il  ne  nie 
.  seinblorail  pas  légitime  d'e»  conclure  qu'où  a  la  probabilité  pour 
que  IVqualion  ««--}- 6«  +  r  ^  o.  dout  les  coefficients  sont 
cutii-rcuiont  arbitraires,  ail  ses  raciucs  imaginaires.  L'image  qui 


MÉLANGItlS.  333 

s^rvi  à  définir  celle  probabilité,  lorsqu'on  supposait  les  coeff^- 
*^^n.t,s  limités,  perd  toute  précision,  et  Ton  n'a  aucune  idée  du 
f^P|>ort  à  l'espace  infini  du  volume  d'un  cône. 

3e  demande  la  permission  de  faire,  à  propos  de  la  traduction, 

^Ue  observation  qui  n'a  rien  de  spécial  au  travail  de  M.  le  capi- 

^^ine  Schuermans.  On  sent  assez  que  celui-ci  s'est  efforcé  d'élre 

^îi  traducteur  fidèle,  et  l'on  s'accorde  d'ordinaire  à  regarder  la 

udélité  comme  le  premier  devoir  d'un  traducteur.  Quand  il  s'agit 

de  mathématiques,  il  me  semble  qu'on  pourrait  laisser  de  côté 

bien  des  scrupules  et  écrire  librement  dans  la  langue  où  l'on 

traduit,  dès  qu'on  a  bien  compris  Tau  leur.  On  s'astreindrait,  bien 

entendu,  à  une  fidélité  rigoureuse  pour  tout  ce  qui  concerne  les 

principes  et  les  idées  générales;  mais,  vraiment,  lorsqu'il  s'agit 

de  développer  des  calculs  ou  des  raisonnements  géométriques, 

c^est,  à  ce  qu'il  me  semble,   se  donner  trop  de  peine  que  de 

vouloir  suivre  jusqu'au  mouvement  de  la  phrase   d*un  auteur, 

et  je  ne  vois  pas  bien  ce  que  le  lecteur  y  gagne.  J.  T. 


MELANGES. 


SUR  LES  FONCTIONS  DE  GENRE  INFINI 
[Extrait  d'une  Lettre  de  M.  Levi-Civila  (à  Padouc)  à  M.  Borel  (à  Paris)]. 

J'avais  lu,  il  y  a  déjà  quelques  semaines,  votre  Note  Sur  les 
fonctions  de  genre  injini  {*).  Ayant  eu  occasion  d'y  réfléchir  un 
peu,  je  me  suis  aperçu  que  vos  remarques,  très  simples  d'ailleurs, 
peuvent  être  présentées  d'une  façon  plus  élémentaire  encore. 

Si  vous  le  permettez,  je  vous  enlretiendrai  quelques  minutes 
à  ce  sujet. 

Soient  /'i,  Tj,  .  • .,  /',/,  /'w+i,  •  •  •  les  modules  (rangés  par  ordre 
croissant)  des  zéros  d'une  transcendante  entière /(:;)  (se  réduisant 

(')  Comptes  rendus/ juin  njo2. 


334  PREMIÈRE  PARTIE. 

à  Tunilé  pour  z  =  o)]  r  =  |  s  |,  et  3(r)  le  Dombre  des  zéros  de 
J{z)j  dont  le  module  est  plus  petit  que  r. 
On  a  par  définition 

2r(5)  =  i  pour        ri     <«S'*f> 

S(5)=2  pour        rj     <«irt, 


••••••••  •••••••••••• 

2j(5)  =  /i  — 1        pour        r„_,<*<r«, 
&(5)  =  n  pour        r,,     <*Sr«-Hi. 

D'après  cela,  en  supposant  r„<;  r^r„^ij  il  vient  de  suile 

/i  — 1 


'•  1 


ri  Tj . . . r„ 


Or,  d'après  le  théorème  de  M.  Jensen,  le  second  membre  ne 
peut  dépasser  logM(r);  par  conséquent, 

Au  point  de  vue  asjmptolique,  on  peut  naturellement  rem- 
placer  Sr  par  toute  autre  fonclion  '/^(s)  lelle  que  lim— —  $i. 

Si  je  ne  me  Irompe  pas,  il  n\  a,  a  priori,  aucune  raison  pour 

préférer  voire  fonclion  ~  z=l  -   j    2!(s)ds   à    /     — —  ds^   el  l'on 

peut  se  conlenlcr  de  Tinégalilé  (i),  qui  est  valable  en  toul  cas. 
Au  resle,  en  remarquant  Tidcnlité 


et  en  posanl 


il  vient 


l 

-;.i 

^           r  —  s 
1 

\ 

:> 

5 

) 

u  r)  - 

.(' 

(  r  — 

5 

s) 

Ing 

M .  r  ) 

I    ^ 

£^. 

OÙ,  par  la  i« -le  de  rilo>|>ilal. 


lim  ;r-  ~   lini  — '—^ 


BULLETIN  BIBLIOGRAPHIQUE.  335 

Il  suffit  donc  que   /  ds  croisse  moins  vite  que  Sr(/*)  (ce 

qui  arrive  notamment  lorsque  la  croissance  de  Sr(r)  rentre  dans 
le  type  exponentiel)  pour  que  l'on  ait  votre  inégalité  asymplo- 
iique 

logM(r)>^;'-. 

Veuillez,  etc.  T.  Levi-Ci\  ita. 

23  juillet  1903. 


BULLETIN  BIBLIOGRAPHIQUE. 


BoRKL  (E.).  —  Leçons  sur  les  séries  divergentes.  I11-8*',  11-2  p.  avec  fi^. 
Paris,  Gauthier-Vîllars.  4  fr.  5o  c. 

Briosciii  (Fb.).  —  Opère  mate  mat  ichc,  pubblicate  per  cura  del 
Comitato  per  le  onorazione  a  Francesco  firioxchi,  T.  i,  con  riiratio  di 
F.  Br.  In-4",  xi-4i6  p.  Milano,  Hocpli.  o/p  fr. 

Cantor  (M.).  —  Vorlesungen  ûber  Geschichte  der  Mathematik. 
fJL  B(l.  'X.  Abthig.  Abschn.  xvn  (1700-1726).  '?..  Aull.  Gr.  in-iS",  avec 
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xv-484  p.  Pari.s,  Gauthier-Villars.  16  fr. 

Studt  (E.).  —  Géométrie  der  Dynamen.  Die  Zusammcnsetzung  von 
Krâflen  u,  verwandte  Gegenstànde  der  Géométrie.  (In  2  I^icfgn.) 
!'•  liv.  gr.  in-S"*,  240  p.  avec  fig.  Leipzig,  Teubner.  7  m.  Go  [)f. 

VoGT  (II.)'  —   Eléments  de  mathématiques  supérieures,  à   l'usage 


">H\  IMiHMIKKK   PAUÏIIî. 

t/rs  p/tystricns.  vhimistcs  cl  in^cnicurs.  In-S**,  vii-619  p.  avec  fig.  "ni, 
\onv  ri  C'". 

Macii  (V..).  —  Dû'  Mcrhanik  in  ihrcr  Enlwickelung  hitior'i^^' 
Irifisch  fiffr^'^rste/if.  4.  Aull.  xiv-jjo  p.  avec  rjj  pi.  Leipzig,  Brockbw*' 
8  m.;  n-Iii',  t)  m. 

lîAHBvni.N  (P.). —  /'.'fmit's  de  ^ênmr  trie  analytique  non  euclidi^^^ 
ïii-8'\  i(iS  p.  avrc  lig.  Bruxelles,  Ilaycz.  2  fr. 

BivNciii  (L.).  —  Lezioni  siti/a  fcoria  délie  fan zio ni  divariabile  ^^' 
/dc.ssft  e  detle  funzioni  el/ittir/ic.  I11-8".  Pisa.  Spocrri.  '?.o  1. 

OEs\nc)  (  F.).  —    l'nr/rsunsrcn   iiher  nfttîirliche  Géométrie.  Dew 
Ausjialu^  voii  0.  K«nviilf\vbki.  Gr.  iii-S",  \iii-!iî  1  p.  avec  fij*.  Leipzig;, 
ner.  K»*lié,  12  m. 

I-^N«;vci.()PAi)ii-:    der  mafhrmatisc/ien    Wissenschaften    m.  Einsc 
ilirer  Anivendun^en.    I    IJ«I,    C.    llefl.    Gr.    in-S**.    Leipzig,    Tcu! 

7  m.  7.0  pf. 

—  na  IV  (  »j,  j.  [!efl.  Gr.  in-8".  Jbid.  3  m.  80  pf. 

Fhii.kk  \  H.).  1111(1  F.  Klkin.  —  \'orlesiin,i;en  iiher  die  Théorie  der 
morplien  Functionen,  Il  iJd.  1.  Lfjr.  Gr.  in-8",  282  p.  avec  34  fig«  Le 
Teulmer.  10  ni. 

Kno.NKrKKii  (  L.  I.  —  }  or/rsHNiren  iifffr  Mathcmatik,    lierausgeg. 
Milwiilvu.  ciri  v.  «I«;r  UiMiiul.  priMi>>.  Akmlrinio  d.  \Vis<!Ciiscli.   oingJ 
ifii  l\Mimiii'»>ioii.  lu  2Tliiii.  1.  Tlil.  i.  Ah-^rhii.   l'nrlrsiin^'en   i'ther 
hulhrnrit:.    l    Ijd.    hi'arb.     11.     lnMaii-^^rir.    von    K.    Ilc-nM.*!.     Gr.    i— 
\vi-ôo(|  p.  av«N!  7  li^.  Leip/.iiT,  Tciilnurr.  18  m. 

Li;.M  VN  I  <  i.).  Sur  rt'nsti::rn('nunt  di'  ratntlyse  injinitt'simnlc.  ^ 
7  >.  p.  G.iikI,  iriipr.  Mr\cr-\  iiii  L(»n.   i   IV. 

Ni.HNsr  (  \\  .  t   iirnl    A.    >r!iiiM"i.ii:s.    —    lù'n  fiihrufi ^   in  dit:  mntf^^^ 

m 

fisrih-  rnltninllunu'  d>  1  \  n  i  nrw  isst  nsi  im  ftrtt .  Aurz:.'t't'asst*:!i  l.vh^'^^ 
dt  I-  hiji'  l'iitiiil-  II.  hitt  i:  rtil  fi'  hniiiii*^  m.  fnaniid.  lieri'trhsiclitîî;^''  •  ^ 
('lu  mi'',  j.  \iill.  (ir.  iii-S'.  xii-ijo  p.  jini-c  {\\>  jii,'.  Miiiirln'ii,  WollV.  i"  ^'^ 
ii-li«-,   I  I   ni.    K»  jif. 

l*\>oi  ii.H  <  IJ.'i.  -  (''lUis  dr  Mt'f  trri if/tu*  ti/uth  fif/uc.  T.  I  :  VnctcurS/ 
('  iih  in<it(t/iii-  :  Stiititjiir  et  h)  iiKinif/m:  du  l'oint.  In-S'%  \xvii-r»Sp. 
L«i!i\,iiii.   l  N  ^ipi  ii\  -I .   n>  Ir. 


Mavw^l 


IRI  K    (lAUTHlIîll-  VIl.L  UIS 


II.,  n-*un  tt  aunoMiilfn  lia  IVotva  (iti 


I   cUD«t*tiUal   « 


E   (■-•r   ;.  —  TtalU    tlÀunUtn    i1b    (teKnl    do   t>nilMliniU* - 


^   RilcBl   d>Dir«a 


li<(  ilH  fMiuvl  Cbaua>4Ba.   ~  »iyiit 
-i  Li<4c««lt  liM>U  Mot  «Alwr  «r-  '~ 


3  J«  la  (Mcm««ii«  piiM.  1  Fanla  as  »  *•!.  rn-l 


■S,  **Matn«ai  ttir,  .     ilr. 
rat.«htlli«    n>  <UlllM>.    Ii»-8i 


KkrTiiBit  ([l    ' 
lo  tnof  CD  .'i . 

Cirara  (K,f  —  l'riibabilll<'')^i>i  n 

Hataoy», 
I  jeviCivitA.  —  Sur  lc(  fooeiiooe  'tp  (ifinrf  jiïlUu'. . 
UuIIottD  liibUo):ni|iliique i..     ..... 

Rime  dw  pnbUbBtiMu  authtawUqa w , 
Zotlwlirin  rUr  Ualtiumalik  unit  Phyiiii..    ... 
HROibcoDll  iii!l  1t.  litilQlo  UnaLirda  dl  Scihdu!  BtLelliTV- 


BLLLETliN 

ENrrS  MATllÉMATmiJKS.kiii 


tiu\.  11.  I'ii;aiiI)  et  J.  TA^^hl^\, 


iHSlon  dss  Bantee  Btndc* 


TOHC    XXVI- -    DECEMBRE    )902 


1.1  iiii  A(  tt  1 1:  <;  A  t  m  1 1:  ii   v  i  i.r  \  ii  >. 


ptRd'^i^Y     n.i=io-i 


COMPTES  KENDUS  ET  ANALYSES.  ;> 


COMPTKS   lii:M)l  S   KT  ANVLYSKS. 


ZABEMBA.   --  SiR  i/i':or\TiON  A// -i- ç// --- (►,  i/ourno/  ffe  xMathvmat'ujiw^ 

pures  et  fipplif/arrs,  I9<»'».  i 

Dan<  un  j^rand  iiomhrtMic  (|iicslions  de  Plivsiijuc  iiiathrinalirpu*. 
au  premier  aI»ord  1res  dilIV'iviiles.  on  rsl  eoiiduil  à  dos  |>r(d)lrMi('^ 
tels  «pu*  eelui-ci  :  déleriiiiner  une  ionelifMi  tf  t.|ui  à  riiiléricnr  d  un 
ilomaiiie  D  satisfasse  à  r«H| nation 

A//     -  J  //     -  -i 

t  ^  e->t  une  eon^tanlc  clonnée,  '^  une  fonelion  donnée)  et  (|ui  mit  I<i 
surface  S  (|ui  limite  vr  doni.iiue  .satisfasse  à  des  conditions  aux 
limite>  telles  «|ue  celles-ci 


ou 


uU 


//  - 

-i, 

-  -^ 

7 

''  7tï, 

ih  l'tanl  une  constante  donnt'e.  ou  'l  une  fonction  dunnrr  . 

r«ius  ce««  pr(d)lcnn's  sont  élroileincnl  .«|»p.■lrcnl^'^  li"*  iin>  im  « 
le^  autres.  Duu'»  !«•  t  j*»  où  •:,  ri  c  soni  nnl*»  «i  on  i.i  rondilion  .msx 
limites  est 

■ 

on  retombe  sur  le  c<''lrhn'  pnd)lênii*  de  Dirirlilel. 

La  [duparl  des  in»'*lln»d4*s  prnpo-.i'cs  pour  l^'lmlc  de  ce  prcddèm» 
^ont  moins  des  sointi(Ui*»  ipn*  des  dénionslr.ilioiis  (.le  ia  ji(»<>^il)iliie 
d  une  sulutiiui.  Il  n  \  a  d  exception  cpie  ponr  l.i  niêlliode  de  Nen- 
Uiuun.  ipii  eiuiiluil  a  un  dcxeioppenieni  reliiti\<-ni(!nl  ^ifiiple.  Mai^». 
siiu^  sa  (orme  primitive,  elle  ne  paraissait  applicalde  (pr.nix  siii- 
faec"*  con\e.\es,  cl  l'on  pouxail  croire  cpn*  celle*  rcshiciion  lenail  à 
la  nature  même  des  clio>eN. 

Il  >  a  ipn.lipies  .uinces,  j'ai  abordé  le  problènu.'  i\\:>  \ibrali«»n- 
If uH.  des  Sciences  mut/icm.,  j' »iiri»*,  i.  \\\I.  (  IK-ci-mlin-  i»,'.-. 


338  PREMIÈRE  PAITIS. 

d'nne  membrane,  problème  caractérisé  par  les  éqnaticms 

ÂM  +  £ii  =  cp        (dans  le  domaioe  D), 
u  =  o        (sar  la  surface  S). 

En  me  servant  d'une  ingénieuse  idée  doe  à  M.  Scbwarif  el  en  j 
usant  de  difFérenis  autres  artifices  analytiques  je  sois  arrivé  à  une  ^ 
solution  complète  du  problème.  Le  fait  saillant  était  le  suivant  : 
si  f  est  une  fonction  donnée,  et  si  l'on  fait  varier  le  paramètre  i,  . 
la  fonction  u  est  une  fonction  méromorphe  de  \  dans  toatle  plaoi 
et  les  pôles  de  cette  fonction  correspondent  aux  diverses  vibra-  - 
tions  propres  de  la  membrane. 

La  même  méthode  était  évidemment  applicable,  avec  quelques 
modifications,  à  tous  les  problèmes  analogues;  j*ai  donc  cherché  k 
l'appliquer  à  Fétude  de  la  méthode  de  Neumann.  J*ai  généralisé  le 
problème  posé,  de  façon  à  introduire  dans  l'énoncé  un  paramètre 
arbitraire  X.  La  solution  était  encore  une  fonction  méromorphe 
de  X,  et  l'étude  de  cette  fonction  méromorphe  m'avait  conduit  à 
cette  conclusion  que  la  méthode  de  Neumann  devenait  légitime, 
alors  même  que  la  surface  envisagée  n^était  pas  convexe. 

Ma  démonstration  avait  encore  néanmoins  deux  défauts  : 

i^  Elle  ne  s'appliquait  qu'aux  surfaces  simplement  connexes. 

2^  Elle  exigeait  qu'on  eût  démontré  préalablement  le  ce  principe 
de  Dirichlet  »,  c'est-à-dire  la  possibilité  du  problème  (pour  cela, 
il  est  vrai,  les  méthodes  ne  manquaient  pas). 

On  pouvait  prévoir  cependant  que  ces  restrictions  n'étaient 
qu'artificielles  et  que  d'autres  chercheurs  arriveraient  à  s'en 
afiranchir. 

Le  problême  de  Dirichlet 

Af/  =  0         (dans  D), 
M  =  6        (sur  S) 

est  intimement  lié  au  suivant 

Am  =  o         (  dans  D), 

du        .  c , 

—-  =  O         (  sur  S  ). 
an        ' 

11  est  aisé  de   passer  de  la  solution  de  Tun  à  celle  de  l'autre, 


COMPTES  RENDUS  ET  ANALYSES.  33c, 

9€9^vu  que  cette  solution  ait  été  obtenue  par  la  méthode  de 
2\^^i£mann.  C'est  ce  que  Neumann  avail  fort  bien  vu. 

11  est  d'ailleurs  possible  de  traiter  le  second  de  ces  problèmes 
directement  par  une  méthode  analogue  à  celle  de  Neumann  ;  c'est 
ce  <{ti'a  fait  le  regretté  Robin,  qui  s'est  servi  d'un  processus  qui 
l'appelle  tout  à  fait  celui  de  Neumann,  mais  où  il  t'ait  jouer  aux 
po  le  otiels  de  simple  couche  le  même  rôle  que  le  géomètre  allemand 
attri  l)uait  aux  potentiels  de  double  couche. 

J^  reviendrai  d'ailleurs  avec  plus  de  détails  sur  ces  deux  mé- 
ihocles  et  sur  leurs  rapports  mutuels,  en  analysant  le  Mémoire  de 
tremba. 

la  solution  du  problème  de  Dirichletil  est  plus  facile  encore 
^^    cJcduîre  celle  d'autres  problèmes  tels  que  celui-ci  : 

Al/  =  o         (dans  F)), 
M  =  ^J;         (sur  S  ). 

^*^  ^^^  u'ici  nous  avons  supposé  ;  =  o.  Mais  le  problème  plus  général 

Aw  -+-  Ç  M  =  ç         (dans  D  ), 
"(ou  -^\  ^^         (sur  S) 

P^'^^t.  aussi  être  résolu  quand  on  sait   résoudre  ceux  dont  nous 

^^'•^Cins  de  parler.  Il  suffit  de  /aire  une  nouvelle  application  de  la 

^*^^»ine  méthode  générale  et  de  considérer  u  comme  une  fonction 

^  Ç,  On  voit  ainsi  que  cette  fonction  est  encore  méromorphe.  On 

^  î^lors  à  envisager  le  développement  de  cette  fonction  suivant  les 

V^^ssances  croissantes  de  Ç.  Pour  calculer  chacun  des  termes  de  ce 

^^veloppement  il  faut  résoudre  un  problème  de  Dirichlet,  ou  un 

Problème  analogue,  ce  qui  peut  se  faire,  comme  nous  venons  de  le 

>oir,  par  la  méthode  de  Neumann  et  celle  de  Robin. 

La  solution  du  problème  (A)  se  présente  ainsi  sous  une  forme 
fort  compliquée,  sous  la  forme  d'une  série  double  procédant  d'une 
part  suivant  les  puissances  de  Ç,  de  Tautre  suivant  celles  du  para- 
mètre auxiliaire  de  la  méthode  de  Neumann. 

Ces  considérations  historiques  étaient  nécessaires  pour  faire 
comprendre  quel  était  l'état  de  la  question  il  j  a  quelques  années 
et  les  progrès  que  devaient  accomplir  les  chercheurs  qui  l'ont 


34o  PREMIÈRE    PARTIE. 

abordée  de  nouveau  dans  ces  derniers  temps.  Les  principaux  d^ 
ces  chercheurs  sont  MM.  Le  Roy,  Stekloflf,  Rorn  et  Zaremba. 

Arrivons  maintenanl  à  l^analyse  du  Mémoire  de  M.  Zaremba. 
Un  premier  poinl  caraclérislique  est  le  suivant.  L'auteur  abordes 
directement  le  problème 

/      du\       , 

11  a  remarqué,  en  elTel,  que  les  méthodes  de  Neumann  et  de  ^ 
Robin,  convenablement  généralisées,  peuvent  nous  fournir  une 
solution  immédiate  de  ce  problème  (A).  Il  suffit  de  substituer 
aux  potentiels  newtoniens,  employés  par  Neumann  et  Robin,  des 
potentiels  généralisés  pour  lesquels  Tattraclion,  au  lieu  de  suivre 
la  loi  de  Newton,  varie  comme  la  dérivée  de  la  fonction 

___  (où  {  =— [^',  \t->0). 

Le    potentiel    d'une    masse    i    n'est   plus  alors   -»    mais  — ;— , 

où  r  désigne  la  dislance  du  point  attiré  au  point  attirant. 
Il  est  clair  qu'un  potentiel  généralisé  satisfera  à  Téquation 

AW  [JL-  //  =  o 

qui  remplacera  l'équation  de  Laplacc. 

Heinarquons,  en  passant,  que  ces  polenliels  généralisés  ont  été 
introtluils  pour  la  première  foiî>  par  Kirchliofl,  sous  une  forme  un 
peu  didérenle,  dans  sa  théorie  de  la  diUVaclion.  M.  G.  Nournann 
en  a  fait  iisa«;e,  en  1896,  pour  étendre  sa  ihéorie  au  problème 
qui  nous  occupe,  mais  toujours  en  se  bornant  aux  surfaces 
convexes. 

En  s'en  .servant  à  son  tour,  M.  Zaremba  réalisait  un  notable 
pro«;rrs,  la  solnlion  du  problème  (A)  ne  se  présenlait  plus  sous 
la  forme  d  une  série  double,  mais  sous  celle  d'une  série  simple, 
ce  (jiil  <'lail  mie  sensible  simplification.  De  plus,  non  seulement 
le  |»robI«''me  (  A)  n'élail  pas  plus  diflicile  (|ue  celui  de  l>iiiclil(U, 
mais,  comme  nous  le  verrons,  on  pouvait  profiler  de  la  possibilité 
de  donner  dillérenles  valeurs  au  nombre  ç  -^  —  «j.-,  pour  >ini- 
plilier  cerlains  points  de  la  démonstration. 


COMPTES  RENDUS  ET  ANALYSES.  34i 

D^un  autre  côté,  M.  Zaremba,  au  lieu  de  commencer  par  traiter 
le  problème  (w  =  A)  par  l'emploi  de  la  méthode  de  Newmann  et 
des  potentiels  de  double  couche,  et  d'en  déduire  celle  du  pro- 
blème / -T-  =  i),  préfère  suivre  la  marche  inverse.  C'est  donc  le 

prol^lcme  (-r-  =  ^f  qu'il  résout  d'abord  par  la  méthode  de  Robin 

et    le?s  potentiels  de  simple  couche. 

Soient  donc  une  surface  fermée  S,  D  le  domaine  intérieur,  et 
'-^^  1^  domaine  extérieur  à  cette  surface.  Voici  les  hypothèses  que 
''^"  t-    ^I.  Zaremba  sur  S  : 

»  **  Elle  a  un  plan  tangent  en  chaque  point; 

^-i**  L'angle  de  deux  normales  est  plus  petit  que  le  produit  d'une 
^^^■^  étante  par  la  distance  des  pieds  de  ces  normales; 

3**    Si  O  est  un  point  de  la  surface  et  S' l'ensemble  des  points 

"^      ^i  dont  la  distance  à  O  est  inférieure  à  une  certaine  limite, 

"■^^^     parallèle  à  la  normale  en  O  rencontrera  S'  en  un  point  au 
pl  «^^ 


problème  à  résoudre  est  le  suivant  :  trouver  une  fonction  u 
*^  ^  •  s  faisant  aux  conditions 

(«.   {(S),-(S),-'[(S).-(,1S),]-'^  «— >. 

(  Am  —  [x^u  —  o  (dans  D  et  D'), 

^ui,  en   outre,   bien   entendu,  se  comporte   régulièrement  à 
*"^^fîni. 

n  désigne  par  l-j^i)  et  par  (^)  les  dérivées  de  u  prises, 

^^v-ant  la  normale  à  la  surface  S,  la  première  du  côté  externe,  la 
^Onde  du  côté  interne. 

n  voit  que,  pour  X  =  -4-  i ,  Téquation  se  réduit  à 


\<is)i 


?. 


*  Sorte  qu'on  est  ramené  au  problème  (-3-  ^='i)  pour  le  domaine 
*'*érieur  D,  tandis  que,  pour  X  =  —  1,  l'équalion  se  réduit  à 


'^)=?. 


34^  PREMIÈRE  PARTIE. 

de  sorte  qu*on  est  ramené  au  problème  f -j-  =  ^}/j  pourledom   — ir^  inf 

extérieur  D'. 

M.  Zaremba  développe  la  solution,  suivant  les  puissances  ciizS.  <^, 
sous  la  forme 

(1)  m^^maX*, 

et  il  envisage,  en  outre,  d'autres  séries  auxiliaires;  posant 

(duk-\\    ^    [duk-x\ 

il  forme  la  série 

(2)  'jiT:7=    7  <iaX^. 

On  voit  immédiatement  que  Uk  est  un  potentiel  générali  JH^  <  de 
simple  couche  ayant  pour  densité  Qky  de  sorte  que  chacun  ^  des 
termes  de  la  série  (i)  s'obtiendra  à  Taide  d'un  potentiel  gén^  jMfalisé 
dont  la  densité  ne  dépendra  que  des  termes  précédents  -^c^e  la 
série. 

11  forme  ensuite  les  intégrales 


12A 


w/.A = ^  (  2  ë  S  -^  f^'  "'  "')  ''^  '^^  ''- 

^^■-^'  ="  X  (21  ê  ï*  ^  f^'"'"*)  ''■^  ''■^  ''^^ 

La  première  intégrale  est  étendue  à  tous  les  éléments  ds  ^^  '^ 
surface  S,  la  seconde  au  domaine  intérieur  D,  la  troisièL^^^  â" 

domaine  extérieur  D'.  Ce  qui  me  permet  d'écrire  W/^a  et  ^'/V>i 

avec  un  seul  indice  l  -\-  /r,  c'est  que  ces  intégrales,  comme  ^^  '^ 

démontre   aisément,  ne   dépendent  que  de  la  somme  des  deux 
indices  i  et  A*. 

On  a  encore  à  envisager  les  deux  séries 

(3)  2^^^' 


COMPTES  RENDUS  ET  ANALYSES.  343 


La  marche  de  la  démonstration  consiste  ù  établir  que  les 
^-^  miatre  séries  (i),  (2),  (3),  (4)  ont  même  rayon  de  convergence 
<^  A  a  convergence  des  deux  premières  étant  d^ailleurs  uniforme),  e^ 
«le  ce  rayon  de  convergence  est  au  moins  égal  à  i  et  même  supé- 
leur  à  1,  si  certaines  conditions  sont  remplies. 
En  ce  qui  concerne  d'abord  ce  dernier  point,  on  voit  presque 
lédiatement  que  ia  suite 


w;ji-^,  +  vvu-^, 


st  constamment  décroissante  et  au  moins  égale  à  i .  Elle  tend  donc 
ers  une  limite  R'  qui  ne  peut  être  inférieure  à  Tunité  et  qui 
''est  autre  chose,  comme  le  montre  un  raisonnement  simple,  que 
*^^^^  carré  du  rayon  de  convergence  de  la  série  (4). 

Supposons  qu'on  ait  trouvé  un  nombre  O^  tel  que 


JQ  montre  aisément  que 

Ainsi  R'  sera  plus  grand  que  1 ,  pourvu  qu'il  existe  un  nombre  641 
^^^tisfaisant  aux  inégalités  précédentes. 

Pour  démontrer  l'existence  de  ce  nombre  je  m'étais  servi,  dans 
^^on   Mémoire  cité,  d'une  certaine  transformation  extrêmement 
générale,  mais  qui,  cependant,  ne  s'appliquait  qu'aux  surfaces 
simplement  connexes.  C'était  pour  cette  raison  que  ma  démons- 
tration n'était  valable  que  pour  ces  surfaces. 

M.  Zaremba  suit  une  tout  autre  voie.  Il  cherche  à  démontrer 
que  u  est  une  fonction  méromorphe  de  X.  Pour  cela,  il  suit  la 
marche  ordinaire,  c'est-à-dire  qu'il  suppose  que  la  fonction 
donnée  cp  contient  n  paramètres  dont  elle  dépend  linéairement, 
et  il  montre  que  l'on  peut  disposer  de  ces  paramètres  de  façon 
que  les  inégalités  (S)  aient  lieu,  le  nombre  O^  étani  d'autant 
plus  voisin  de  i  que  n  est  plus  grand. 


m  PREMIÈRE  PARTIE. 

Pour  parvenir  à  ce  résultat,  voici  l'artifice  qu'il  emploie  :  il 

remarque  que  la  convergence  des  séries  est  assurée  pourvu  <iue 

le  nombre  [jl  soit  assez  grand  ;  il  compare  ensuite  la  fonction  .^i  et 

les  intégrales  W  à  une  autre  fonction  analogue  qui  ne  diffère  ««z3e  u 
que  par  la  substitution  à  [x  d'un  nombre  caractéristique  m  vdIus 

grand  que  [jl,  et  aux  intégrales  K  formées  avec  cette  fon^n^  ilon 
comme  les  intégrales  W  le  sont  avec  u. 

Si  ce  nombre  m  est  convenablement  choisi,  la  comparaisosn:^^  des 
intégrales  K  et  W  permet  d'établir  les  inégalités  (5). 

On  voit  que,  en  généralisant  le  problème  et  en  substitu^a^^^t  à 
l'équation  de  Laplace  l'équation  plus  générale 

M.  Zaremba,  loin  d'augmenter  les  difficultés,  a  rendu  la  soK.  «_stioD 
plus  facile. 

Nous  n'avons  pas  établi,  il  est  vrai,  que  R  est  toujour^^  plus 
grand  que  i,  mais  seulement  que  R  peut  dépasser  toute  \  ïmite 
si,  la  fonction  cp  dépendant  de  n  paramètres,  on  dispose  ^^  ^:^mî- 
nablement  de  ces  paramètres. 

Mais  nous  verrons  bientôt  que  cette  restriction  ne  peu^  nous 
gêner. 

La  convergence  de  la  série  (4)  entraîne  celle  de  la  série  (.1?^  J).  On 
peut,  en  effet,  établir  une  inégalilc  de  la  forme 

•ù  L  est  une  constante  ne  dépendant  que  de  la  surface  S. 

Pour  établir  celle  inégalité  je  m'étais  toujours  servi  ^^  '^ 
même  transformation,  ce  (jui  m'obligeait  encore  à  me  reslroi^^"^*' 
aux  surfaces  simplement  connexes. 

M.  Slekjoff  a  trouvé  une  démonstration  applicable  à  toul^^  '^^ 
surfaces,  sauf  quelques  restrictions;  M.  Zaremba  a  apporté  en '"'^''^ 
un  nouveau  perfectionnement  à  la  démonstration  de  M.  Stek'^"' 
de  sorte  qu'elle  ne  laisse  plus  rien  à  désirer  sous  le  rapporte!*^  *** 
ffénéralité. 

On  a  ensuite  à  faire  voir  que  la  convergence  des  séries    C 
et  (4)  entraîne  la  convergence  uniforme  des  séries  (i)  et  (2). 
remarque  d'abord  que  ces  séries  (1)  cl  (2)  convergent  et  diver^;;  *^ 
en  même  temps.  Si  (2)  converge,  il  en  est  de  même  de  (1),  ^^^ 


COMPTES   RENDUS  ET   ANALYSES.  345 

•si  évident^  mais,   pour  établir  rigoureusement   la   réciproque, 

[.  Zaremba  est  obligé  d^employer  un  artifice  ingénieux  analogue 

^m  celui  dont  nous  avons  parlé  plus  haut  et  qui  consiste  à  comparer 

■nos  potentiels  généralisés,  où  le  nombre  caractéristique  est  égal 

•ai  KLj  à  d'autres  potentiels  généralisés  auxiliaires  où  ce  nombre  est 

«^gal  à  /w  >>  ;jL. 

Cette  difficulté  ne  se  serait  pas  présentée  dans  la  méthode  de 
I^eumann. 

Il  est  clair  que  le  rayon  de  convergence  de  (i)  et  (.>.)  ne  peut 
^tre  supérieur  ni  à  celui  de  (3),  ni  à  celui  de  (4).  Mais  ce  qu'il 
■  mporte  d'établir  c'est  qu'il  ne  peut  être  inférieur.  Pour  démontrer 
^z^e  résultat  j'avais  été  obligé  de  supposer  que  le  principe  de 
S.^irichlet  avait  été  préalablement  démontré  par  une  autre  méthode. 
Mjl  démonstration  de  M.  Zaremba  est  exempte  de  cet  inconvénient, 
^.let  auteur  établit  d'abord  l'inégalité  suivante  : 

^3Ù  0^  représente  le  maximum  de  u^y  où  B|    et  B3    sont   deux 
^^onstantes  dépendant  uniquement  de  la  surface  S;  l'inégalité  a 
Bieu  pour  toutes  les   valeurs  de  p  comprises  entre  o  et   1.  Elle 
suffit  évidemment  pour  démontrer  le  théorème  énoncé. 

Voici  comment  on  parvient  à  l'inégalité  (7).  On  trouve  une 
relation  entre  les  valeurs  de  iih  et  de  //a_ï  sur  la  surface  S.  Soit  M 
un  point  de  S;  considérons  une  couche  attirante  répandue  sur 

cette  surface  et  dont  la  densité  soit— ^-  On  voit  que  la  valeur 

deu^  au  point  M  est  égale  à  la  composante  normale  en  ce  point  de 
l'attraction  due  à  cette  couche.  Laloi  d'attraction  est,  bien  entendu, 
la  loi  généralisée. 

Décomposons  maintenant  la  couche  attirante  en  deux  parties  S' 
tiS'y  où  S' sera  une  petite  calotte  entourant  le  point  M  et  dont  les 
dimensions  linéaires  sont  de  Tordre  de  0.  L'attraction  de  S'  nous 
donnera  le  premier  terme  du  second  membre  de  (e)  et  l'attraction 
de  S*  nous  donnera  le  second  terme.  Pour  évaluer  une  limite  supé- 
rieure de  cette  attraction  de  S''  il  faut  se  servir  de  l'inégalité  de 
Schwarz;  mais  cette  inégalité  conduirait  à  une  limite  supérieure 
infinie  si  le  point  A  se  trouvait  sur  S"^  de  telle  façon  que  la  dis- 


346  PHEMIÈKE  PARTIE. 

tance  /*  pût  s'annuler.  C'est  pour  cette  raison  qu'il  a  été  nécessaire 
de  décomposer  la  couche  attirante  en  deux  parties. 

Cette  manière  de  se  tirer  de  cette  difficulté  et  la  façon  dont 
M.  Zaremba  se  sert  de  l'inégalité  (7)  méritent  de  fixer  Tatteiitioii; 
car  cet  exemple  pourrait  être  avantageusement  imité  dans  des  cas 
analogues. 

Il  résulte  aisément  de  tout  cela  : 

1^  Que  II  est  une  fonction  mcromorphe  de  Xdans  tout  le  plan. 
(Il  suffit,  en  effet,  de  se  rappeler  que,  si  f  dépend  linéairement  de 
n  paramètres,  on  peut  disposer  de  ces  paramètres  de  façon  que 
R  soit  plus  grand  qu'une  certaine  limite,  qui  croît  indéfiniment 
avec  /i,  et  d'appliquer  ensuite  à  ce  problème  la  méthode  que  j'ai 
employée  dans  mon  Mémoire  des  Rendiconti.) 

2^  Que  u  est  un  potentiel  généralisé  de  simple  couche,  la  den- 
sité de  la  matière  attirante  étant  égale  à 

Si  nous  considérons  le  résidu  de  cette  fonction  méromorphe  relatif 
à  un  pôle  quelconque,  ce  résidu  sera  évidemment  un  potentiel 
généralisé  de  simple  couche  dont  la  densité  sera  égale  au  résidu 
correspondant  de  la  fonction  7.  De  plus,  ce  résidu  devra  satisfaire 
à  des  équations  de  même  forme  que  (B),  mais  où  la  fonction  g 
devra  être  nulle. 

Or  il  est  aisé  d'établir  : 

1"  Qu'il  n'existe  pas  de  fonction  satisfaisant  à  ces  équations 
(où  ç=o)  si  X  est  imaginaire;  ni  si  |). |<;i;  ni  si  ).  =  —  i;  ni 

si  X  =r  I   et  jJL  ]^  0. 

Nous  n'aurons  donc  ni  pôle  imaginaire,  ni  pôle  à  Tintérieur  du 
cercle  de  rayon  1,  ni  pôle  sur  la  circonférence  de  ce  cercle 
pour  [jL>>o.  Donc,  si  [jl>>  o,  le  rayon  de  convergence  R  de  nos 
séries  sera  plus  grand  que  1;  nous  pourrons  donc  faire  dans  nos 
séries  X  1=  lii  i ,  ce  qui  nous  donnera  la  solution  du  problème 


(£ = *) 


œMPTES  RENDUS  ET  ANALYSES.  347 

Si  p.  r=  o,  le  pôle  X  =  1  peut  exister  et,  pour  que  la  méthode 
oit  applicable,  il  faut  que  le  résidu  correspondant  soit  nul,  ce 


ui  s'écrit 


<  ^)  I  oris  =  0; 

<:r  ^esl  là  une  condition  à  laquelle  toutes  les  méthodes  conduisent  : 
«-»n  sait,  en  effet,  que  le  problème  ( -r-  =  i  j  n'est  possible  pour  le 
omaîne  intérieur  D  que  si 


/ 


du  , 


<c^e  qui  n'est  autre  chose  que  la  condition  (8). 

Voyons  cependant  comment  on  pourrait  résoudre  le  problème 

^  —  =  ^  j  pour  le  domaine  extérieur  D'  quand  la  condition  (8) 

^  ^'est  pas  remplie. 

Nous  trouverons  alors 


U  =   ; r-  W, 

A  —  I 


'^i^à  w  est  une  fonction  méromorphe  ayant  tous  ses  pôles  extérieurs 

^u  cercle  de  rajon  i  ;  le  résidu  P  est  alors  le  potentiel  d'une  couche 

électrique  en  équilibre  sur  la  surface  S  supposée  conductrice.  (La 

loi  d'attraction    est    d'ailleurs    redevenue    la    loi    newtonienne 

puisque  u.  =  o.) 

Pour  \  =  —  I  on  trouve  alors 


P 

Il  —   iV 

9. 


La  série  w  convei^e  pour  À  =  —  1  ;  quant  à  P,  on  peut  le  calculer 
par  la  méthode  de  Robin,  que  les  considérations  précédentes  jus- 
tifient complètement.  On  voit  comment,  par  une  application  ingé- 
nieuse de  la  méthode  des  Bendiconli,  M.  Zaremba  échappe  aux 
difficultés  qu'il  aurait  rencontrées  s'il  avait  voulu  démontrer 
directement  que  R  est  généralement  plus  grand  que  1 . 

Il  faut  enfin  passer  du  problème  f  ^  =  'M  au  problème  (c<  =  9) 

de  façon  à  justifier  la  méthode  de  Neumann  et  le  principe  de 


348  PKËMIÈRC  PARTIE. 

Dirichicl.  M.  Zaremba  montre  qu'on  passe  facilemenl  de  'W  â 
Tautre.  Dans  le  problème  de  Neumann,  il  s'agit  en  cOetde  trouver 
un  potentiel  généralisé  de  double  couche  satisfaisant  à  la  condition 

Dans  le  problème  que  nous  venons  de  résoudre  il  fallait  trou^w 
un  potentiel  généralisé  de  simple  couche  satisfaisant  à  la  cou dii^on 


\dS 


■;i  -  iM)  .-Am  ~  cm-^- 


11  suffit,  pour  passer  de  l'un  à  l'autre,  de  prendre 

i'  =  -        ^—         (^dans  D), 
I  —  A 

V  =  ^.—         (dans  D  ) 

I  -i-  A  ^  ' 


et 


? 

i'o  étant  le  potentiel  d'une  double  couche  dont  la  densité  e^  ^  "" 


ar 


Cela  suppose,   il  est  vrai,   que  la  dérivée  -j^- existe.  Je      J^ '"* 

diquerai  pas  ici  i'arlificc  grâce  auquel  M.  Zaremba  ramène   1^   ^'*- 
général  à  celui  où  celle  dérivée  existe. 

Dans  tous  les  cas,  la  méthode  de  Neumann  et  le  princip*^  "^ 
Dirichiet  se  trouvent  cnlitremcnl  justifiés. 

On  voit  (jucllc  est  la  généralité  du  résultat  obtenu  par  M.  ^^" 
remba.  Les  surfaces  auxcjuelles  le  principe  s'applique  n'ont  f^*'*- 
besoin  d  être  simplement  connexes.  Les  conditions  imposées  i*  *** 
surface  S  sont  extrêmement  larges.  Elles  sont  remplies  par  loi' *^^ 
les  surfaces  analytiques,  et  même  par  les  surfaces  composée*  ^^ 
plusieurs  morceaux  analytiques,  pourvu  qu'en  un  point commi* 
deux  ou  plusieurs  morceaux  le  plan  tangent  à  tous  ces  morces^  ^^ 
soit  le  même. 

La  généralisation  qui  résulte  de  Tintroduction  du  terme 


a 


y..  -2 


a  contribué  à  simplifier  la  démonstration,  de  sorte  que  cette 


\è' 


COMPTES  RENDUS  ET  ANALYSES.         34î) 

monstralion  semble  avoir  atteint  sa  forme  définitive  et  qu'il  n\ 
sera  sans  doute  plus  apporté  que  des  modifications  de  détail. 

Il  importe  toutefois  de  faire  la  part  de  chacun;  car  le  résultat 
Mi'a  été  obtenu  que  par  étapes  successives  et  avec  le  concours  de 
|>lusieurs  travailleurs.  Un  court  aperçu  historique  est  donc  néces- 
saire. J'ai  expliqué  plus  haut  ce  qu^il  restait  à  faire  quand  j^ai 
abandonné  la  question.  J^avais  fait  usage  d^une  certaine  transfor- 
■naiion  T  qui  m^obligeait  à  me  restreindre  à  des  surfaces  sim- 
plement connexes,  il  fallait  rendre  inutile  celte  transformation  T 
<le  façon  à  pouvoir  envisager  une  surface  quelconque.  J'avais  sup- 
posé le  principe  de  Dirichict  préalablement  démontré,   il  fallait 
s'affranchir  de   cette    nécessité;    enfin,  j'avais,    sans   tenter  une 
démonstration  et  en  me  contentant  d*un  de  ces  aperçus  qui  suf- 
fisent au  physicien  sans  contenter  Tanalyste,  montré  l'existence 
€t  rimportance  probables  de   certaines  fonctions  que  j'appelais 
fondamentales  et  qui  comprenaient  les  fonctions  sphériques  et 
les  fonctions  de  Lamé  comme  cas  particuliers. 

On  chercha  d'abord  à  se  servir  de  ces  fonctions  fondamentales 
pour  arriver  à  combler  les  lacunes  qui  subsistaient  encore,  mais 
on  n'obtint  ainsi  que  des  résultats  très  incomplets. 

M.  Le  Roy  [Annales  de  l'Ecole  iVormale,  1 898)  introduisit  des 
fonctions  analogues  et  en  établit  rigoureusement Texistence,  mais 
elles  ne  contenaient  pas  les  fonctions  fondamentales  comme  cas 
particuliers,  de  sorte  que  les  intéressants  résiilials  qu'il  avait 
obtenus  et  qui  étaient  si  utiles  dans  divers  problèmes  de  Physique 
mathématique  n'étaient  pas  directement  applicables  au  |)rol)lème 
de  Dîrichlet. 

Dans  la  suite  MM.  Liapounofl',  Tauber  et  StekloflT  approfon- 
dirent la  nature  des  liens  qui  rattachent  la  méthode  de  Hobin  à 
celle  de  Neumann. 

En  i8()9,  M.  Korn  publie  son  Ouvrage  Lelirbiicli  der  Polen- 
tiatlheorie,  où  il  démontre  la  léj;i limité  de  la  méthode  de  Robin 
et  de  celle  de  Neumann  sans  supposer  le  principe  de  Dirichlet 
préalablement  démontré.  C'était  là  un  progr«'s  très  considérable 
qui  était  d'ailleurs  réalisé  presc|ue  en  même  temps  et  indépen- 
damment par  M.  StekloflT  (y</î/i a /r5  de  la  Faculté  de  Toulouse, 
1900).  Ce  savant,  qui  avait  d'abord  fait  des  tentatives  dans  le 
même  sens  que  M.  Le  Koy,  n'a  pas  besoin  non  plus  de  s'appuyer 


35o  PREIIIÈRB  PARTIB. 

sur  une  démonstration  préalable  du  principe  de  Dirichlet.  De 
pins,  il  imagine  un  théorème  qui  affranchit  une  des  parties  de  la 
démonstration  de  la  considération  de  la  transformatioii  T. 

Ces  deux  auteurs  supposent  que  la  fonction  4,  qoi  définit  les 
valeurs  du  potentiel  snrla  surface  limitera  des  dérivées  premières 
continues.  Mais,  en  igoi,  M.  Kom  {Abhandlungen  sur  Poî^H" 
tialtlieorie)  fait  un  pas  de  plus,  et  il  suppose  seulement  que  cette 
fonction  <t>  elle-même  est  continue,  sauf  le  long  de  certaines  lignes. 

C^est  M.  Zaremba  le  premier  qui  s'est  affranchi  de  la  transfor- 
mation T,  ce  qui  lui  a  permis  d^envisager  une  surface  de  con- 
nexion quelconque  et  qui  a  établi  rigoureusement  Pexistence  des 
fonctions  fondamentales.  Il  a  ensuite  étendu  les  résultats  à  l'équa- 
tion Au-hÇ{£=:o  (^Bulletin  de  V Académie  de  Cracovie  et 
Comptes  rendus,  1901).  Il  avait  donc  réussi  à  combler  défini- 
tivement les  trois  lacunes  que  nous  avions  signalées  plus  haut. 

Peu  après,  M.  Kom  {Abhandlungen  zur  Poteniialtheorie,  5) 
retrouve  et  développe  quelques-uns  des  résultats  précédents  de 
M.  Zaremba  et  étudie,  par  une  méthode  dont  le  principe  se 
trouve  déjà  dans  un  travail  antérieur  de  M.  Stekloff,  le  problème 
du  développement  d'une  fonction  arbitraire  en  série  procédant 
suivant  les  fonctions  fondamentales. 

Nous  arrivons  ainsi  au  Mémoire  que  nous  analysons  ici.  Ce 
n'est  en  un  sens  que  le  développement  des  deux  Notes  succinctes 
que  nous  avons  citées  plus  haut  et  qui  avaient  paru  en  1901. 
Cependant  de  nombreux  perfectionnements  de  détail  ont  été 
introduits  et,  comme  nous  Tavons  vu,  en  envisageant  Téquation 
plus  générale  A//  +  Çt/  =  o,  bien  des  points  de  la  démonstration 
relative  à  IV'quation  de  Laplace  se  sont  trouvés  simplifiés. 

(^es  détails  historiques  étaient  indispensables  pour  faire  com- 
prendre la  place  exacte  qu'occupe  le  Mémoire  de  M.  Zaremba  dans 
rhistoire  du  développement  de  cette  partie  de  la  Science. 

POINCAKÉ. 


COMPTES  RENDUS  ET  ANALYSES.         35i 


^ARDEY  (E.)  —  Algbbraische  Gleiciiungen  nebst  den  Resultatbn  uno 
DBX  Methodbn  zu  iiirer  Auflôsung.  FUnfte  AuQage  bearbeitel  von 
F.Pietzker,  i  vol.  in-8";  xiii-405t  pages.  Leipzig,  Teubner,  190!;.. 

Ce  livre,  dont  la  première  édition  remonte  à  1868,  est  sans  doute 
populaire  dans  les  gymnases  allemands  et  l'on  peut  le  recommander 
^ax  professeurs  et  aux  élèves  de  nos  lycées  qui  sont  en  quête 
'exercices.  Il  en  contient  plus  d'un  millier,  et  dans  ces  mille 
xercices  il  y  en  a  beaucoup  qui  se  subdivisent  en  un  assez  grand 
xiombre  de  questions  spéciales. 

Tous  ces  exercices  se  rapportent  à  des  équations  ou  à  des  sys- 
S^nies  d'équations  qui  se  résolvent  par  radicaux  et,  le  plus  sou- 
'^/ent,    par  des   radicaux  du   second   degré.    Ils   sont  gradués   et 
^[Toupés  avec  soin  ;  ils  sont  suivis  non  seulement  des  résultats, 
vnais  encore  d'indications  très  suffisantes  pour  retrouver  rapide- 
xnenl  la  solution  ;  l'auteur  y  a  même  joint,  à  l'occasion,  des  obser- 
"%ratioDS  générales  qui  peuvent  être  très  utiles.  Je  dois  ajouter  que 
la  plupart  de  ces  exercices  m'ont  paru  fort  bien  choisis,  vraiment 
mnléressants  et  instructifs  par  la  nature  des  calculs  auxquels  ils 
c^onduisent,  par  les  réductions  et  les  simplifications  qui  se  ren- 
contrent dans  ces  calculs,  et  par  Télcgance  des  résultats.  C'est  un 
livre  dont  je  me  suis  servi  il  y  a  longtemps,  et  je  suis  bien  aise 
«|oe   cette   cinquième   édition,    améliorée  sur   divers  points  par 
7)f.  Pietzker,  me  donne  l'occasion  de  dire  ici  tout  le  bien  que  j'en 
pense. 

C'est  à  ceux  qui  veulent  acquérir  l'art  de  manier  le  calcul,  de 
triturer  les  équations,  de  bien  choisir  les  inconnues  auxiliaires, 
de  profiter  des  circonstances  qui  se  présentent,  de  tel  ou  tel  genre 
de  symétrie,  etc.,  que  ce  livre  s'adresse.  Cet  art-là  n'est  pas 
méprisable;  il  est  amusant  à  acquérir,  et  il  me  semble  qu'on  Ta 
par  trop  sacrifié,  chez  nous,  aux  discussions  minutieuses  et  appro- 
fondies. Celles-ci,  d'ailleurs,  ont  aussi  leur  mérite,  et  personne 
ne  conteste  qu'elles  servent  à  développer  les  qualités  d'ordre,  de 
méthode,  de  soin,  je  dirais  presque  de  conscience,  si  ce  mot 
n'était  pas  bien  gros.  Le  talent  du  maître  est  surtout  dans  la 
mesure.  Au  reste,  le  livre  de  Bardey  peut  encore  rendre  de  grands 


35a  PREMIËRE  PARTIE. 

services  par  les  choses  même  qui  j  manquent,  par  Teffort  qne 
devra  faire  le  lecteur  pour  discuter  et  critiquer  iessolations  qn^on 
j  trouve  ;  sur  bien  des  points  le  nouvel  éditeur  a  facilité  cet  effort. 
Les  équations  sont  toutes  posées;  dans  quelques  cas,  on  en 
indique  Torigine.  C*est  donc,  encore  une  fois,  Tart  du  calculateur 
que  le  livre  de  Bardey  peut  servir  à  développer.  Il  n*j  est  point 
question  de  la  mise  en  équation;  peut^tre  l'auteur  a-t-il  pensé 
que  les  conseils  ou  les  exemples  que  Ton  peut  donner  sur  ce  snjet 
sont  plutôt  l'affaire  de  l'enseignement  oral;  peut-éire  a-t-il  désiré 
faire  œuvre  systématique  et  ne  tenir  qu'une  spécialiié;  peut-être 
a-t-il  craint  de  grossir  démesurément  son  volume.  Quoi  qu^il 
en  soit,  il  y  a  là  un  sujet  intéressant,  qui  pourrait  tenter  quelqu'un 
de  ces  professeurs  consciencieux  et  modestes  qui  ont  le  goût  de 
leur  métier  et  de  leur  science,  qui  savent  observer  leurs  élèves, 
reconnaître  les  difficultés  qui  les  arrêtent,  qui  démêlent  la  raison 
de  ces  difficultés  et  trouvent  les  moyens  de  les  aplanir. 


FERRY  (J.)-  —  HoHERB  Analtsis  fus  Ingbnibuse.  Âatorisierte  deutsche 
Bearbeitungvon  R.  Friche  und  F,  S&chting^  mit  i66  îq  den  Text  gedriickten 
Figuren.  i  vol.in-8°;  viii-4a3  pages.  Leipzig  und  Berlin,  Teiibner,  1902. 

Ce  livre  est  fort  intéressant  et  original.  11  ne  manque  pas  de 
traités  de  Malhcmaliques  qui,  d'après  le  titre  et  mémo  d'aprrs  les 
intentions  des  auteurs,  sont  écrits  pour  les  techniciens,  et  parmi 
ces  livres  on  en  trouve  bon  nombre  que  Ton  a  grand'peine  à 
distinguer  de  ceux  (jui  sont  écrits  pour  tout  le  monde  :  ce  n'est 
pas  le  cas  ici  ;  non  seulement  le  livre  de  M.  Perry  est  fait  pour 
les  techniciens,  mais  il  n'est  fait  que  pour  eux,  il  ne  peut  être 
compris  (|uc  par  eux  ;  ce  livre-là  parle  le  langage  do  ses  lecteurs, 
ne  leur  dit  que  ce  qu'il  faut,  et  montre  plus  qu'il  ne  dit.  Non  seu- 
lement tous  les  exemples  sont  pris  dans  les  arts,  et  dans  les  arts 
les  plus  divers,  la  mécanique,  la  physique  a|)pliquéc,  l'architec- 
ture, rélcclrlcité,  etc.,  mais  les  explications  théoriques  ne  sem- 
blent données  qu'en  vue  des  applications.  Inutile  de  dire  qu'eUrs 
sont    réduites    à    ce    qui   est   indispensable,  présentées   sous    la 


COMPTliS   UENDUS  i: T  ANALVSKS.  3)3 

forme  la  plus  concrète.  M.  Perrj  réprie  à  ses  lecteurs  que  «  cela 
n^est  pas  difficile  »,  qu'on  n'a  pas  besoin,  dans  les  applications 
usuelles,  des  parties dilTicîles  des  Mathématiques;  il  le  leur  prouve 
d'une  façon  qui  peut  donnera  penser  aux  professeurs  de  Mathé- 
matiques. Ajoutons  qu'il  est  de  belle  humeur,  qu'il  écrit  d'une 
façon  alerte  et  gaie  qui  n'est  point  la  manière  habituelle  des 
auteurs  de  traités  de  calcul;  voici  quelques  lignes  prises  au  com- 
mencement de  son  livre,  et  qui  suivent  les  explications  relatives 
à  la  représentation  d'une  quantité  variable  au  moyen  d'une  courbe  : 

«  J^ai  lu  jadis  un  article  très  savant  sur  la  façon  dont  la  popu- 
lation,  le  bien-être  et  les  impots  ont  augmenté  en  Angleterre. 
L^exposition  était  difficile  à  suivre.  En  prenant  les  nombres  de 
Fauteur,  en  les  représentant  graphiquement  sur  du  papier  qua- 
drillé, chacun  des  résultats  qu'il  avait  déduits,  non  sans  peine, 
devenait  si  visible  sur  les  courbes,  qu'un  enfant  aurait  pu  le  com- 
prendre. C'est  peut-être  la  raison  pour  laquelle  plusieurs  auteurs 
ne  publient  pas  de  courbes  :  ils  n'auraient  plus  rien  à  dire.  )> 

Les  traits  de  cette  nature  fourmillent. 

Quelle  est  la  place  dun  pareil  livre  dans  renseignement  des 
Mathématiques  et  quels  services  peut-il  rendre? —  Il  serait  bien 
inutile  de  le  recommandera  ceux  qui  ne  veulent  rien  sacrifier  ni 
de  la  rigueur  dans  l'exposition,  ni  de  la  valeur  de  cette  exposition 
dans  la  formation  intellectuelle  des  étudiants.  Quelques-uns,  bien 
qu'ils  prisent  très  haut  l'un  et  l'autre,  estiment  qu'il  est  pourtant 
permis  d'enseigner  les  Mathématiques  en  vue  de  leur  utilité  pra- 
tique, et  seulement  en  vue  de  cette  utilité  ;  il  j  a  des  gens  pressés, 
dans  le  monde,  qui  ont  besoin  d'apprendre  très  vite  un  métier  et 
de  faire  ce  métier;  ces  gens -là  ont  leurs  droits,  d^autant  plus  qu'on 
ne  saurait  se  passer  d'eux,  et  c'est,  en  quelque  sorte,  d'un  ensei- 
gnement primaire  des  Mathématiques  supérieures  qu'ils  ont 
besoin.  C'est  à  ce  besoin  que  répondent  les  explications  théo- 
riques que  l'on  trouve  dans  le  livre  de  M.  Pcrry. 

Maintenant,  on  doit  reconnaître  qu'il  ne  peut  être  entièrement 
compris  que  par  des  étudiants  dont  le  cours  d'études  est  organisé 
d*après  des  principes  qui  ne  prévalent  pas  habituellement.  —  Ils 
prévalent  sans  doute  au  Royal  Collège  of  Sciences  de  Londres, 
où  enseigne  M.  Perry.  — J'ai  déjà  dit  que  toutes  les  applications 
Bull,  des  Sciences  rnathc'm.,  a*  scric.  t.  WVI.  (  I><''coiiil»rc  ly».^  .«4 


354  PREMIËRE  PARTIE. 

sont  tirées  des  sciences  appliquées  et  ne  peuvent  donc  être  saisies 
que  par  ceux  qui  possèdent  les  éléments  de  ces  sciences;  il  parstt 
logique  de  n*enseigner  ces  sciences  appliquées  qu^ft  des  étudiants 
qui  sauraient  déjà,  en  fait  de  Mathématiques»  précisément  ce  que 
ie  livre  de  M.  Perry  est  destiné  à  enseigner.  On  sait  assez  que,  en 
matière  d'enseignement,  la  logique  n'est  pas  tout  et  qn^il  est  bon 
de  mettre  en  contact  avec  les  réalités  pratiques  ceux  qui  doivent 
passer  leur  vie  au  milieu  de  ces  réalités';  il  est  clair  qqe,  sous  ce 
rapport,  les  habitudes  de  notre  pays  et  Tinterminable  initiation 
théorique  que  l'on  y  exige  des  futurs  ingénieurs  sont  déplorables. 
Le  plan  cT études  que  suppose  le  livre  de  M.  Perry  serait  toute- 
fois fort  curieux  à  connaître. 

L'inconvénient  que  je  signale  ne  pouvait  manquer  de  frapper 
les  savants  traducteurs  allemands;  ceux-ci,  en  léte  de  leur  tra- 
duction, ont  mis  une  très  intéressante  préface,  dans  laquelle  ils 
s'expliquent  sur  ce  point  et  sur  beaucoup  d'autres.  Ils  ne  voient 
pas  d'inconvénient  à  ce  que  les  lecteurs  de  celle  Hôhere  Analysis 
filr  Ingenieure  laissent  de  côté  les  applications  qu'ils  ne  sont  pas 
en  mesure  de  comprendre;  ils  y  reviendront  plus  tard,  voilà  tout. 
Il  est  vrai  de  dire  que  ces  explications  sont  assez  nombreuses  et 
variées  pour  que  chacun,  au  point  où  il  en  est,  soit  sûr  d*en  ren* 
contrer  quelqu'une  dont  il  puisse  profiter,  et  qui  suffise  à  illustrer 
la  théorie  qu'il  apprend.  Le  livre  de  M.  Perry  doit  rester  entre  les 
mains  des  étudiants  pendant  tout  le  temps  qu'ils  passeront  à  l'école 
technique;  ils  doivent  le  lire  et  le  relire;  ils  remporteront  et  le 
garderont,  c*cst-à-dire  qu'ils  y  auront  recours  plus  tard,  quand 
ils  seront  ingénieurs,  s^ils  ont  oublié  quelque  règle,  quelque  for- 
mule ou  quelque  démonstration  ;  et  précisément  parce  que  ce  livre 
parle  leur  langage,  qu'il  est  bourré  d'exemples  qui,  maintenant, 
leur  sont  familiers,  il  ne  leur  sera  jamais  un  livre  étranger,  comme 
le  deviendrait,  malgré  tout,  au  milieu  de  leurs  préoccupations,  un 
livre  dépures  Mathématiques.  C'est  là,  après  tout,  une  conception 
fort  raisonnable  et  que  la  qualité  de  TOuvrage  justifie  d'ailleurs. 

Il  va  de  soi  que  cet  Ouvrage  sera  consulté  utilement  autre  part 
(|(ic  dans  les  écoles  techniques  anglaises  ou  allemandes.  C^est  la 
niultiplicité  et  la  variété  des  exemples  qui,  partout,  le  rendra  pré- 
rinix.  l/aulour  parle  (piclquc  |>arl,  avec  cette  humour  qui  lui  est 
faniiliorc^   de  la  i^'aucherie  des  meilleurs  étudiants  en  Malhéma- 


COMPTKS  KKNDUS  |{T  ANALVSIîS.  355 

tiques,  lorsqu'ils  sont  en  face  d^un  problème  concret  :  ils  ne  savent 
plus  que  faire  de  leurs  équations  et  de  leurs  courbes,  si  les  unes 
ou  les  autres  représentent  quelque  chose.  Je  crois  bien  qu'il  n'v 
a  pas  un  professeur  de  Physique  qui  n'ait  fait  cette  observation. 

Les  étudiants  doivent  lutter  contre  cette  incapacité,  et  leurs 
maîtres,  même  lorsqu'ils  donnent  un  enseignement  théorique, 
doivent  les  y  aider  :  aux  uns  et  aux  autres  le  livre  de  M.  Perry 
peut  être  d'un  grand  secours. 


.\SCAL  (B.)  ^  REPERTORiuy  der  iioiieren  M\TnEyATiCK  (Depinitionen, 
FoiMELNf  Théorème,  Literatur).  Aulorisirto  deutsche  Ausgabe  nacheiner 
neuen  Bearbeitung  des  Originels  von  //.  Shcpp.  Analysis  und  GEoyETRiE. 
II.  Theil  :  oie  Géométrie,  i  vol.  gr.  in  i8;  ix-712  pages.  Toubncr,  190-2. 

Nous  avons  déjà  eu  l'occasion  d'annoncer  dans  le  Bulletin 
s  deux  volumes  du  Repertorio  di  Maternât iclie  superiori  de 
I.  K.  Pascal,  et  la  traduction  allemande  du  premier  volume,  con- 
Bcré  à  l'Analyse.  La  traduction  de  la  Géométrie  paraît  à  la  librairie 
.^euboer  :  M.  E.  Pascal,  M.  F.  Engel,  M.  A.  Lœvvy  ont  amélioré 
î  texte  sur  plusieurs  points.  Signalons  en  particulier  les  additions 
t  corrections  réunies  ù  la  lin  du  livre  et  qui  se  rapportent  tant  au 
remier  volume  qu'au  second.  Il  est  inutile  de  revenir  sur  les  ser- 
•^ices  que  peut  rendre  la  publication  de  M.  Pascal,  qui  est  éminem- 
ment commode  et  pratique. 


COMBEBIAC  (Gaston),  Capitaine  du  Gcnio.  —  Calcil  des  Triquatermons 
(Thèse  do  Doctorat.  Faculté  des  Sciences  do  Paris).  1  vol.  in-4**  do 
112  pages.  Paris,  Gauthier- Villars,  190?.. 

M.  Combebiac  s'est  proposé  d'élîiblir  une  analyse  géométrique 
se  passant  de  tout  système  de  référence. 

On  sait  que  les  formules  d'Olinde  Ilodrigues  suffisent  pour 
mettre  en  évidence  les  rapports  existant  entre  les  rotations  autour 
d'un  point  fixe  et  les  qjyilcrnions  d'Iiamillon. 


Jjfi  PlUiMlÈHE    PARTIE. 

En  cherchant  un  système  de  quantités  complexes  qui  s'inter- 
prètent géométriquement  par  le  déplacement  général  d'un  solide 
dans  l'espace,  on  a  été  amené  à  imaginer  les  biquatemions.M»^^ 
la  superposition  des  deux,  ordres  d'idées  n'est  pas  parfaite,  en  ee 
sens  qu'un  déplacement  comporte  six  paramètres  et  un  biquatcr- 
nion,  huit,  ce  qui  fait  qu'une  double  infinité  de  biquaternions  ^ 
trouve  correspondre  à  un  déplacement  donné. 

M.   Gombebiac,   en   vue   d'aboutir  à  un  système  de  quantité* 
omplexcs  qui  mettent  directement  en  jeu  les  éléments  simpi** 
le  la  géomélriede  l'espace,  points,  plans  et  droites,  s'est  propo^^ 
de  rechercher  un  système  de  quantités  complexes  qui  correspom^^ 
^l'ométriquemcnt  au  groupe  des  transformations  par  simililud^- 
I)c  celte  façon,    les   symétries  par  ra[)port  aux  points,  plans   ^^**' 
droites  de  l'espace  seront  comprises  dans  ce  groupe  et  mettrez  '■^^ 
rn  évidence  chacune  un  point,  un  plan  ou  une  droite  suivant  le  c 
La  quantité  complexe  correspondante  représentera  alors  Tun 
ces  trois  éléments.  Pour  arriver  à  ce  système  de  quantités  co 
])Iexes  répondant  à  son  objet,  l'auteur  observe   qu'il  doit  co 
prendre  les  quaternions  comme  cas  particuliers.  En  effet,  le  grou  ^ 

(les  similitudes  comprend   le  sous-groupe  des  rotations;  or 
(pialernions  correspondent  à  ce  dernier. 

Mais  il  se  trouve  alors  que,  d'après  un  théorème  précédent 
M.  Schellers,  tout  svstùmc  qnatcrnionien  est  de  la  forme 

OÙ    Y,    <7,,    r/.,,     ...,    f/,ty    sont    des    quaternions     ordinaires 

II,  (.),,  Wo,  ...,  (0,/),  les  unités  d'un  système   de  quantités  cocr^ 

plexcs. 

("est  ainsi  que  les  hicpiaternions  ollVent  le  premier  échelon 

Ces  sysièuîcs  onl  déjà  été  étudiés  par  d'autres  géomètres.  B- 
iricpialernions  \icnnenl  ensuite 

Le   syslèine  est   complètement   défini,  comme   on    sail,  sur     ^* 
<'\prcssions  de  (.)'-,  ul-,  (O'x,  «jko  en  fonction  de  to  et  m. 

'^«•s    considérations    géoniétricpies    directes,    fondées    sur  u/^'^' 


MÉLANGKS.  35; 

^«marque  faite  par  M.  Studj  sur  les  biqualernions,  amènent  Tan- 
neur à  faire  le  choix  suivant  : 


kS—    A  IfS  — 


c»)*=  o,  jji'=i,         (u;x  =  eu,  |JLio  =  eu. 

Le  système  ainsi  défînî  comporte  douze  paramètres  et  se  prête 
aivec  élégance  aux  représentations  géométriques  que  Tauteur  avait 
^n  vue. 

Apres  une  Introduction  où  M.  Combebiac  rappelle  les  principes 
cJe  la  théorie  des  quaternions,  qui  lui  sert  de  point  de  départ,  il 
aborde  dans  le  premier  Chapitre  les  |)rincîpes  fondamentaux  du 
calcul  des  triquaternions  :  Inverse  d\in  triquaternion,  transfor- 
Buatlons  par  similitude,  éléments  linéaires. 

Le  second  Chapitre  est  consacré  à  Inapplication  des  triquater- 
nions au  mouvement  des  systèmes  indéformables  en  général.  L*au- 
leur  jexamine  en  particulier  Féquilibre  et  le  mouvement  continu 
d^un  corps  solide. 

Les  troisième  et  quatrième  Chapitres  sont  consacrés  à  des 
applications  géométriques  du  calcul  des  triquaternions  aux  com- 
plexes linéaires  et  aux  surfaces  du  second  degré.  L'auteur  montre 
Tefficacité  du  calcul  des  triquaternions,  employé  comme  analyse 
i;éomélrique  pour  rétablissement  des  propriétés  élémentaires  des 
<]uadriques.  E.  E. 


MÉLANGES. 


SUR  CERTAINES  SURFACES  MINIMA; 
Par  m.  HADAMARD. 

Dans  un  travail  précédent  (*),  j'ai  étudié  les  géodésiques  des 
surfaces  à  courbures  opposées,  et  constaté  Tinfluence  prépondé- 


(•)  Les  sur/aces  à  courbures  opposées  et  leurs  lignes  géodésiques  {Journal 
de  M.  Jordan,  5*  série,  l.  1\ ,  1S98,  p.  •J7  cl  suiv.)« 


3>S  IMIEMIÊUK   PARTI K. 

rantc  que  jouait  dans  celle  étude  le  mode  de  connexion  de  la 
suiTace.  Il  y  a,  dès  lors,  un  certain  înlérôt  à  former  des  surfaces 
à  courbure  négative  présentant  une  connexion  plus  ou  moins 
compliquée. 

Je  nie  suis  demandé  si  les  surfaces  minima  ne  fourniraienl  pas 
des  exemples  intéressants  à  cet  égard,  la  condition  de  courbure 
négative  étant  remplie  d'elle-même. 

Considérons,  par  exemple,  une  surface  minima  algébrique 
définie  [dans  le  système  de  notations  de  M.  Darboux  (*)]  par 
une  fonction  /(//)  algi'brique.  Celle-ci  sera  liée  à  une  certaine 
surface  de  Riemnnn  T,  définie  par  une  équation  algébrique 
entière 

(i)  o(a,  i>)  =  0, 

/{u)  étant  égal  à  une  fonction  rationnelle  de  u  et  de  r. 

Il  est  clair  que  le  genre  de  la  surface  minima  ne  sera  autre  que 
celui  de  la  surface  de  Iliemann.  Mais,  pour  obtenir  Tordre  de 
connexion,  il  faudra  tenir  compte,  non  seulement  de  ce  genre, 
mais  des  bords  ou  nappes  infinies  (-).  Celles-ci  correspondent 
aux  valeurs  de  u  pour  lesquelles  les  expressions  des  coordon- 
nées ('')  sont  infinies. 

Les  surfaces  al«;ébriques  donneraient  donc  une  solution  assez, 
générale  du  problème,  si  elles  ne  présentaient  pas  de  points  sin- 
guliers à  distance  finie.  Malheureusement,  c'est  le  contraire  qui  a 
lieu  en  général.  L'ciénienl  linéaire  de  la  surface  est,  en  efifet  (^*i, 

ds'  =  J( «  )  -'^i  <  '/i  )  f^u  dux{\  -\-  uui  ;2  =  (  I  H-  I  M p )2  .  I  J(  u )  du\^j 

oii  rf(n)  =^  /'"((f)  et  on  ?/,  et  r^i  («i  )  sont  respectivement  conju- 
guées de  u  et  de  ^(it).  Dès  lors,  il  est  clair  que  toute  valeur  de  it 
qui  annulera /'''(/^)  donnera  un  point  singulier  de  la  surface. 

Les  points  de  ramification  de  la  surface  T  ne  sont  pas,  en 
général,  des  points  singuliers  de  notre  surface  :  ils  correspondent 


(  '  )  Leçons  sur  la  théorie  générale  des  surfaces,  t.  I,  n**  188-192,  p.  aSS-jcp. 
(-')   Voir  le  Mémoire  cilc  Sur  les  sur/aces  à  courbures  opposées,,  parlicultèrc- 
mcnt  p.  02. 

(')  Dahrol-x,  loc.  cit..  n"  188,  formiiks  (iS),  p.  2^9. 
(■  '  )  r>AUnuL-x.  iOicL,  p.    î^fj. 


MÉLANGES.  339 

H  des  points  de  courbure  nulle  (*).  Seulement,  si  Ton  considère 
un  cycle  (au  sens  d*Halplien)  ajant  pour  origine  un  de  ces  points 
et  que  /  soit  la  variable  de  ce  cycle  (de  sorte  que  u  et  ç  soient 
des  séries  ordonnées  suivant  les  puissances  entières  et  croissantes 

de  1),  il  faudra  queJ(w)-^  soit  dilTérent  de  zéro. 

En  un  moty  les  points  singuliers  de  la  surface  minima  corres- 
pondent à  ceux  de  la  courbe  minima  (-)  (|ui  lui  donne  naissance. 

I^a  recherche  de  la  fonction  y  de  manière  ù  éviter  les  points 
singuliers  rst  un  problème  d'Algèbre  (jui  semble  présenter  cer- 
taines difficultés,  et  il  est  peut-être  tout  aussi  simple  de  construire 
directement  des  courbes  minima  répondant  aux  conditions  cher- 
chées, autrement  dit,  de  former  des  fonctions  algébriques  :t:,^%  z 
vérifiant  l'équation  différentielle 

dx'^  -h  dy^  -h  dz'=  o 
011 

d^  dr^  —  dz^=  (», 

en  posant 

i  =  x-hijry         r,  =-..  (j-— f^). 

Je  suis  arrivé  dans  cette  voie,  après  quelques  tùtonnemenls,  à 
rexcmpic  suivant  : 


1-2  ) 


-  —  r 


ou  ^  est  une  variable  complexe  liée  ù  ^  par  la  relalion 
(3) 


r% 


Les  formules  précédentes  définissent  une  courbe  miniuja.  En 
remplaçant  les  seconds  membres  par  leurs  parties  réelles,  on  a 
iiiie  surface  minima.  Toutes  deux  sont  dépourvues  de  singularités 
à  distance  finie. 

JLe  genre  de  la  surface  [celui  de  l'équation  (3)]  est  G,  le  nombre 


(  »)   Leçons  sur  la  théorie  des  surfaces,  p.  \\j. 
(- j  Jbid,,  p.  3ji. 


liio  IMULMIKHIi  l'AUTlK. 

des  nappes  inlinics  ii;  par  conséquent,  Tordre  de  connexioi 
est  r>.3. 

Dans  les  (lilVérents  exemples  que  j'avais  indiqués  au  cours  da 
travail  précédernnient  cilé,  le  nombre  des  nappes  in  (in  iei  était 
pair  cliacpie  fois  (|ue  le  ;;eMre  était  ditlérent  de  zéro.  On  pouvait 
donc  douter  qu^il  put  en  élre  autrement.  L'exemple  précédeot 
décide  e<»  point. 

J^a  surfiice  |)récédente  est,  comme  on  voit,  assez  compliquée. 
Il  serait  intéressant  d'en  foinier  d*un  peu  plus  simples  et  surtost 
d'en  trouver  qui  présentent  les  syuiétrics  étudiées  par  M.  GoorsH 
dans  un  iMémoirc  connu  (*).  J^a  dKïiculté,  comme  nous  venonsde 
le  voir,  réside  dans  la  présence  des  |)oints  sin^^ulicrs. 

On  pourrait,  il  est  vrai,  au  lieu  de  la  fonction  /{u),  se  doDoer 
la  fonction  -î(//),  et  il  serait  alors  facile  de  choisir  celle-ci  de 
manière  (|u\flle  ne  s'annule  (|u'aux  points  à  Tinlini  de  la  surface. 

jNJais  celle-ci  aurait  alors  des  périodes  correspondant  à  cellesdei 

intégrales  /(i  —  ^/'-)  J( //)<///,  i  i  {^\  -r-  U')  ^  {u)  d  u  ^  jl  j  ii3{u)dUi 

dont  les  parties  réelles  donnent  les  coordonnées.  Si  Ton  vcal 
éviter  les  surfaces  périodiques,  on  se  trouvera  en  présence  duo* 
nouvelle  (liflieullé  consistant  à  ex|)rimer  (|ue  ces  périodes  soot 
purenienl  inia«^inaires. 

('}  An  nu/va  scicnfi/if/ucs  de  Vl'.ntlc  .\ormfi  le  supérieure,  6'  bévic^i.W't^'^r 


h'/in  ATA, 


I'.i;;o    ji).  Cil  unie,  au  lieu  dr  :  loir  vv  iiiriiic  r««inc,  |».  v'>i|7,  Usez  :  voir  iiuh 

Iviill,    l.     11^,     p.      !')!>, 


riN  i»i:  i.v  i»iii..Mii.Hi    PVHrri:  \n    insn-:  wvi. 


III M  m  K  <.  \ 


k  jfnn  applicni 


^^^^^^^^^^^^^^^^^EiNT^^ 

1 

1!l!f!^l 

^^^^^^^^^^'"'■". 

^^^^^^^^H                 ••»"" 

^^1 

^^^^^^H                           PubUcAtlon  taoDoi' 

"Il  da  ^^^1 

^^^^^H 

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^^^^^^^B                        Oidniri 

l'i^^^^^^l 

^^^^^^H 

"^^^^^1 

J^^MééJÎJ^ 

1 

TABLES 


MATIÈRES  ET  NOMS  D'AUTEURS. 

TOME  XXVI;   1902.   -   l'ItlîMIÈRE  PARTIE. 


TABLE  ALPHABETIQUE 

DI-:S   MATIKHRS. 
COHFTES  RENDUS  ET  ANALYSES. 

Aai  (F.)--  L'iilersiicliHiisnri  iil.iT  ;; Lili-.lw  I-iiiiru 

AlBIMS  (ll.j.  -  Sitr  une  rlas-..-ili'  f,.iirli..n^  Iin  [irrf.irlisJr ■« 

,\(in»Ic«  iolrnialiiinalf-  .[■|IM..irr.  C.iiikW->  it.'  l'iiri» 

.4?rilLL  (P.)-   -  C"iir,  .II'   M,T»iiinu<-  à  rii.ai;.r  .its  Ciiii-lî.lalr^  ù  l'K 

Bmdev   (E.).    -  Al^i'liijisrl..'   i;lii.lMiii(;rii   .11  Ii-L   (li;n  lli-iillah'i] 

iea  Mithoileii  ru  iliror  \iit1<>;<iin^ 

BuMT  (A.-n.).  —  .\n  cl ciit^irv  In-iHisf  ..n  .iiliîr:  Hiirl  .|iiiirlM-  dur 

IIm.TUa:in  (I..)-  —  l.i-rotis  sur  l.i  lln'iirir  rii*  k.i/.  I-  l'arlio.  Iiii.liir-i 

pu  A.  Gallulli.  iivei:  un.'  iiili'..,]ri.  1> 1  .1.'.  \..Ui  yar  M.  Iti  iri..i 

BmtL  (F,.).    --   LoroH*  ';■■■'  1.-  >i'ii.--  ;.  ti'iini-  [...-.iLil.,  |.r..f.'^-.,-.-. 

CoIWgc  <le  tVaiirp.  r.'.iii'illii>  ].iii-  M,  il'  \.ili.'iiiai- 

BOCUFT  (T..).  -  (:..ur>  .!.•  Mi.tli.-|..i.li.|.i.-.  à    lu-i.;:.'  .1.-.  .-I.v.'s  :„: 

lïttïs  II  ingi'iiii-urs  pnift.W  i  ri':r"li'  ili  -  lt<'iiii\    Vrl'^ 

BwTtnU  et    tt.lTINKT.    --    NiiU1>'l]i->    t;■lllr'^  ilr    l<>::.il'illiliir-    .1    iill<|    .\ 

Kàitf 

BoCTItn  (l^.j.         I.a  iii.'Ui'iili'  iii^illi.''iii;ill<tii>-  m  Kr- iiin-  ]>..|itL<[uc. 

CUELLI  (A.J.  —  Uliiiiii  Milla  Ir'iria  .li'lli-  f..iiMr  at^.'l.ri-.lji- 

'•uUmtu  (C).  —  Ciiiii'.  .1.-  Mr'.'Jiii.|iii- 

<kut«ch«  Aiitig-dlK'  v.iri  (1.  h..«alp«-l.i 

BuU.dei  Seiencei  mallicm.,  a-  scrii-,  1.  \XVI.  ilit.ciiilnK  iy..j.] 


36i  PUEMIËUE  PARTIE. 

CoiONET  (M.)-  —  Le  Irailé  des  siaus  (publié  par  H.  Bosmans) 3i-33 

CoMBEBiAC  (G.).  —  Calcul  des  trîquatcrnions 355-357 

CzuDEU.   —   Probabilités   et  moyennes   géométriques,   traduit    par    H. 

Schuermans 3a8 

Dasscn  (€.)•  —  Mctafisica  de  los  conceptos  roatematicos  fundamentales 

y  del  analysis  llamado  infinitésimal >7^~i77 

Dickson  (L.-K.).  —  Linear  Croups  with  an  Exposition  of  the  Galois 

Field  Theory. 17-20 

Epsteen(S.).  —  Unlersucliungen  tiber  lincare  Diffcrentialgleichungen 

4.   Ordnung 168-172 

EsTAXAVE  (E.).  —  Revue  décennale  des  Thèses  présentées  à  la  Faculté 

des  Sciences  de  Paris 3o-3i 

Fcstschrifl  zur  Feicr  des  hundertfUnfzigjâhrigen  Bestehens  der  K.  Gcsell- 

schaft  der  Wissenschaften  zu  Gôttingen i i3-ii5 

Freycinet  (C.  de).  —  Sur  les  principes  de  la  Mécanique  rationnelle. . .      129-138 
Gauss    (K.).    —    General    investigations    of  curved   Surfaces   of    1827 

and  1H2S.  Translated. ..,  by  J.-C.  Morchead  and  A.-M.  liiltebeitel . . .     289-290 

GiBBs  (W.)  et  WiLSON  (E.).  —  Vector  Analysis 2i-3o 

GouRSAT  (  E.)-  —  Cours  d'Analyse  mathématique,  t.  1 217-22S 

Hamel  (G.).  —   Ueber  die  Geometrien  in  denen   die  Graden  die  kOr- 

zesten  sind i38-i4'i 

I  -J-  J7 

IIammer  (  K.).  —  Sechstellige  Tafel  der  log 291-292 

Heidke   (P.)'    —    Ueber    Kreisteilungsgleichungen    von    Primzahlgrad 

P=p'rp".'  '"PI^-^i  (|^>0 i6o-i6i 

lliLBEUT.  -  -  («ruiidlagon  der  Gcomctrle 2^9-272 

Klein  (F.)-  —  Anweiidung  der  nifTerential-  und  Intégral  Rechnung  auf 

Goomolric.  Fine  Hcvision  der  Principien iS'î-  19s 

Kommehell  (K.).  —  Die  Kruinmung  der  zwcidimcnsionalen  Gebilde   in 

ehenoii  llaurii  von  vier  Dinicnsioncn i.'Sq-Hjo 

Laumoh.  —  Acthor  aud  Matter 3ii^-3iS 

Lemoim:    (K.).  —  GLM)métrograpliie    ou    art  des  constructions    géoiiié- 

tri(jnes 157-iV) 

Lorentz  (H. -A.).  —  Lciirbuch  der  DifTcrciitial-  und  Intégral  Hechniing 

und    der   Aiifangs^runde    der    analylisciien    Géométrie,    ûbcrsczt    von 

D'  Schmidt 5-io 

Mattku   (K.}.     -  Die  don  Ik'rnoulii'schcn  Zahlen  anaiogen   Zahlen   iiii 

Koipcr  (1er  drittcn  Fiiiheitswurzeln i'}3-i6S 

MiiLLKU  fF.)-  —  Vocabulaire  malhématitiuc  fraurais-allcmand    et  allc- 

maiid-fraiieais.  Zweitc  Hiiifte ii-i? 

Netto  :;I'^.)-  —  Lelirbucli  der  Conibinatorik 98-ioj 

ÔKïTiNtfKN    (A.    VON).   —    Kleiuente    der    gcometrisch-perspectivisclieii 

Zeiolmens i5 

Pascal   (E.).      -    Kepertorinin    der  hoheren    Malheniatik.    Autorisicrte 

deiitsrlie  Aus^alie. . .,  von  \.  Sclicpp.  II  Theil  :  die  Géométrie 355 

Pr.uuY  CJ.).  —  Holiere  Analysis  fiir  Inp:enicure.  Autorisicrte  dcutsche 

Be.irhcituni;  \t>n  H.  Frieke  und  F.  Saclitiiig 35^-35-'» 

IMcAiu)  (K.).    -  Ouclques   réflexions  sur  la    Mécanique,  suivies   d'une 

jnemièrc  iec  ou  de  Dynamique 57-3S 


TABLE  DES  NOMS  D*AUTEURS.  363 

Parcs. 

Ratinet.  —  Voir  Bouvard  et  Ratinet. 

KiCHARD  (  J.)>  —  Sur  la  surface  des  ondes  de  Fresnel 23i-23.i 

Roy   (W.)-  —  Sur  la  curvaiura  intégra  et  la  Topologie  des  surfaces 

fermée? 93-98 

Sciiun  (I.)-  —  Ueber  eir.e  Klasse  ron  Matrizen  die  sich  einer  gegcbcnen 

Matrix  zuordnen  lassen 161- 164 

Sellenthin  (B.)*  —  Mathemalisclicr  Leitfaden  mit  besonderer  Berûck- 

siclitigung  der  Navigation 390-291 

SiCARD  (H.)*—  Traite  de  Cinématique  théorique,  avec  des  Notes  par 

A.  Labrousse 16 

Snkllil'S  (W.).  —  Le  degré  du  méridien  terrestre  (publié  par  H.  Bosmans).         3i 

Stokes  (G.)*  —  Mathematical  and  physical  Papers.  III. 20-21 

Tessari  (D.).  —  La  Costruzione  delii  ingranaggi  ad  uso  délie  Scuole 

degli  ingegneri  e  dei  meccanici 120-124 

ViVAXTi  (  G.).  —  Teoria  délie  Funzioni  analiliche 1 16-1 18 

Weber  (H.).  —  Die  partieilen  DifTerential-glcichungen  der  mathema- 

tischcn  Physik,  nach  Riemann's  Vorlesungen  in  vierter  Auflagc 12- 13 

WiLSON.  —  Voir  GiBBS  et  Wilbon. 

Zaremba.  —  Sur  Téquation  Aa-+-5ii  =  o 337-35o 

Zeuthem   (H.)*   —   Histoire  des  Mathématiques  dans   Tantiquité   et  le 

moyen-âge,  traduite  par  Jean  Mascart 3i3-3i9 

ZoLL  (O.).  —  Ueber  Flachen  mit  Scharen   von    gcschlosscnen    geoda- 

tischen  Linien 102- io5 


MÉLANGES. 


Andoyer.  —  Sur  un  problème  de  Mécanique  rationnelle 293-298 

Darboux  (G.)-  —  Le  Catalogue  international  de  Littérature  scientifique  68-67 

—  Note  relative  à  l'article  précédent  (  voir  Durand  ) i83-i84 

Delaunay    (N.)'    --    Sur  les  calculateurs   cinématiques  des   fonctions 

elliptiques 177-180 

Durand  (  A.).  —  Sur  un  théorème  relatif  à  des  moyennes i8i-i83 

GoURSAT  (E.).  —  Sur  un  théorème  de  M.  Jenscn 298-300 

Hadamard  (J.).  —  Sur  certaines  surfaces  minima 357-360 

Lebesgue   (H.).   —   Sur   les  transformations  de   contact  des    surfaces 

minima 106-112 

Levi-Civita.  —  Sur  les  fonctions  du  genre  infini 333-335 

L<KWY  (A.)*  —  Sur  les  groupes  de  transformations  des  équations  diiïc- 

rcntielles  linéaires 83-87 

OCAONE  (M.  D*).  —  Sur  quelques  travaux  récents  relatifs  à  la  Nonio- 

graphie 67-83 

Picard  (E.).  —  Le  premier  Chapitre  d'un  Rapport  sur  quelques  progrès 

récents  dans  les  Sciences 37-53 

—  Sur  les  intégrales  doubles  de  fonctions  rationnelles  dont  tous  les 
résidas  sont  nuls i43-i52 

RAFrr.  —  Correspondance  :  A  propos  de  lu  Thermodynamique  généra  le 

de  Gustave  Robin 87-9 


0 


%.\  PREMIERE  PARTIE. 

SrouFF.  —  Sur  la  prciiiicrr  l<'ttr<'  arilhiiictiquc  d'Hemiile  à  Jacobi 3oa-3fil 

Tiirsos  (le  Scicnc<'s  malht>iiiiili<iiics  s«jiilcnucs  devant  la  Faculté  des 
Sciences  <lo  Paris  et  (Ic\aiil  les  Kaciilu'rs  des  Sciences  des  départements 
dans  le  courant  du  xi\'  siècle aoi-aSa 


FIN   DE   LA   TABLE   DE   LA   PREMIERE   PARTIE  DU   TOME   XXVI. 


1  *!  l-ii>   -  li;i;rim.-i  10  <:Alirilli:UYILLAKS.  quai  lies  Grdmh-Aa^aâUas.-ji. 


!  HIKH-VIM 


iNOLVIil.LES  ANNAI.RS  lll-  M VTIIKMATIIJIIES 
w.\  (CHUS  .si'UiiLiis,  i  II  iicevct  et  «  i.'isaEUino\ 


otumtMi;  sïinTr 


t^  .5 


BULLETIN 


SCIENCES   MATHÉMATIQUES. 


-i 


AVIS. 

Toutes  les  communications  doivent  être  adressées  à  M.  Darboax,  Membre 
de  l'Institut,  rue  Gay-Lussac,  36,  à  Paris. 


BIULIO'I'IIÈQUE   DE    L'ËCOLË    DES  HAUTES    ÉTUDES. 

PUBLIÉE  SOUS  LES  AUSPICES  DU  HINISTÉRE  DE  L'INSTRUCTION  PUBLIQtIB. 


BULLETIN 

SCIENCES  MATHÉMATIQUES, 

RÉDIGÉ  PAIl   MM.  G.   DARBOUX,  É.   PICARD  ET  J.  TANNERV, 


Sons  la  direction  de  la  Commission  des  Hantas  ttadea. 

niILKino?!  FOVkKB  EX  1870  TU  MU.  G.  lAHOCX  RT  J.  BOÏj'EL 

CONTIMIBE   I>E  1876  A  1886  PAR  UH.   C.   DAHDOUX,  J.   liOÏEL  ET  J.  TA^^ESV 

BT  DE    I88O  A    1901    PAU  HH.  C.   DARBUUX  ET  J.  TANNEHT. 

DEUXIÈME  SÉRIE. 
TOME  XXVI.  —  AHHÊE   1902. 

SECONDE  PAUrilî. 


PARIS. 
GAUTllIlîR-VlUARS,  IMPIIlMEUn-UanAlRE 

DU    DVnEAU    DES  LONGITUDES,   DE  l'ÉCOLE  POLITECIINIQIE, 
Quai  Jet  Gran[l!>-A<ii;.iïlii«^,  S5. 

1902 


BULLETIN 


DRS 


SCIENCES  MATHÉMATIQUES 


SECONDE   PARTIE. 


REVUE  DES  PUBLICATIONS  ACADÉMIQUES 

ET  PÉRIODIQUES. 


JOURNAL    FiJll     DIB    REINB    UNO    ANGEWANDTE    MaTIIEMATIK    (JoURXAL     DE 

Crelle),  édité  par  L.  Kronecker  avec  la  collaboration  de  Weierstrass, 
VON  Uelmiioltz,  SciiROETER,  Fuciis.  Tomo  105  (4  Cahiers  et  i  Planche), 
356  pages.  Berlin;  1889. 

G  unifier  (Paul).  —  Sur  les  équations  différentielles  linéaires, 
dont  les  intégrales  n'ont  qu'un  point  singulier  à  distance  finie, 
et  sont  régulières  à  Tinfini.  (i-34). 

La  forme  générale  des  équations  considérées,  en  supposant  que  leurs  cocHi- 
cients  sont  rationnels,  et  que  le  point  singulier  est  a?  =  o,  est 

avec 

qi{x)=  a,^,x-*  H-  a,^,^,  j:"(*>')  H- ...  4-  a.^.x'-'i. 

Il  s'agit  de  rechercher  si  elles  ont  des  intégrales  normales,  au  sens  donne  à 
ce  mol  par  Thomé  {Journal  fur  Mathematikj  t.  05),  c'est-à-dire  icidcsinlc- 
grales  de  la  forme 

G  et  ^  étant  des  polynômes  entiers;  et  de  donner  une  méthode  régulière  pour 
Jeâ  trouver. 


G 


SECONDE  PAUTIE. 


[«Gf 


Ce  problème  a  élé  posé  et  étudié  par  Hamburger  [Sur  une  clasu  sp^r^idile 
d'équations  différentielles  linéaires  {Journal  fur  Âfathematik,  t.  "1  03)1- 
L'auteur  modifie  sa  méthode  de  manière  qu'elle  s'applique  &  tous  les  cas. 

On  détermine  d'abord,  d'après  Thomé,  les  valeurs  possibles  du  degré  m 
en  cherchant  deux  entiers  positifs  a  et  m  tels  que  les  produits 

soient  tous  des  polynômes  entiers  en  x.  Posant  alors 

/{x,  V)  =  v'*-i-pi{x)v'^^-^...'i-pjx), 
F(x,  v)=/(x,  V)—  -(/w-+-i)ar-p^jt 

on  dclerminc  les  premiers  termes  des  développements 

satisfaisant  à   Téqiialion    F(x,  i;)=o,   en   se   bornant   à   ceux   que  pc 
fournir,  quand  on  y  fait  ^  =  o,  cette  équation  et  celles  qu'on  en  déduit 
diiïc'renlianl  m  fois  de  suite. 
Si  r^  est  racine  simple  de  F(o,  v)  =  o,  on  obtient  v„  <»,,  ...,  v^^  et  To 


\x/  m  ni  —  1 


M/  •      •     •  WV  ] 


mf 


iUl  ) 

de  sorte  qu'en  posant  y  =  e  '^-  T4,  on  est  ramené  à  chercher,  suivant  les 
(hodes  connues,  les  intégrales  de  la  transformée  en  r,  qui  sont,  de  la  fc 
x^  î^{jr).  (Ce  premier  cas  était  le  cas  traité  par  Hamburger.) 

Si  Vf,  est  racine  iniikiplc  de  F(o,  v)  —  o,  et  si  l'on  suppose  qu'aucune  im| 
sibililc  ne  se  présente,  les  équations  considérées  fournissent  un  nioii 
non)l)ro  de  cocHicients,  soient  Vf,^  s\,  ...,  iv_i  (r<.rn).  On  pose  alors 

<-.(  7.  ) 
y    ■  r  T., 


011 


■■(-)  =  -'"■ 


—  jC~  '"*     '"*■' 


k'cnt 

n  U 


cl  l'on  est  ramené  à  chercher  une  intéf;rale  normale  de  la  transformer  c 
mai*»  avec  un  polynôme  <î  <Ic  (lc«;ré  moindre  cjne  m.  Le  problème  r<e  rcso 
donc  par  un  nombre  (Tcssais  liniité. 

L'auteur  applii|uc  ensuite  sa  méthode  aux  ('*(|unlions  du  se<:on<l  ordre.  Il 
mine  par  la  recherche  des  intégrales  normales  logarithmicitie*^,  c*csl-à-dir 
la  forme 


)■  r-.  cf'    '- '  '  x^  V  \\(j;)  logi X. 


Fiohcnius   (^'.).    —    Stir    les    fotjclions    de    Jacobi    pour    l 
variables.  (  .>j-i  ^M)^. 


«>/: 


REVUE  DES  PUBLICATIONS.  7 

L'auUar  donne  d*abord  un  résumé  de  la  théorie  générale  des  fondions  de 
.Jacobi  du  premier  ordre  (ou  fonctions  thêta)  et  des  caractéristiques,  puis 
^  pplique  ces  généralités  au  cas  de  trois  variables  :  il  donne  la  formation  des 
36  X  64  systèmes  fondamentaux  de  huit  caractéristiques,  et  leur  groupement 
^n  familles  de  36  systèmes. 

Mais  Tobjet  essentiel  du  Mémoire  est  Tétude  de  la  fonction  que  l'auteur 
désigne  par  ^{u)f  et  qu*il  considère  comme  formant  le  centre  de  la  théorie, 
d'est  la  fonction  de  Jacobi  du  second  degré,  qui  se  comporte  comme  le  carré 
de  la  fonction  Sr(ii),  et  dont  le  développement  commence  par  des  termes  du 
C|aatrième  degré  :  elle  est  définie  par  là  à  un  facteur  constant  près.  Son  impor- 
tance résulte  de  ce  qu'elle  s'annule  identiquement  quand  on  7  remplace  ses 
«irguments  par  les  trois  intégrales  abéliennes  de  première  espèce,  prises  entre 
«ieux  points  quelconques  de  la  surface  de  Riemann. 

L'étude  de  cette  fonction  7(11)  comprend  essentiellement  :  expression  de 
^(u)  en  fonction  linéaire  et  homogène  des  carrés  de  huit   fonctions  thêta; 

«aïeul  de  ses  valeurs  et  de  celles  de  v^?(w)  pour  les  63  demi- périodes;  repré- 
sentation de  o{u)  au  moyen  des  fonctions  sigma;  passage  d'un  système  fon- 
«lamenlal  de  caractéristiques  à  un  autre. 

M.  Frobenius  introduit  aussi  les  fonctions  thêta  du  second  degré  impaires 
<ct  dont  le  développement  commence  par  des  termes  du  troisième  degré;  il  s'en 
sert  pour  établir  les  fondements  analytiques  de  la  théorie  des  fonctions  racines 
^u  second   et  du  troisième  ordre  (  Wurzelfunctionen  zweiUr  und  dritter 

Ordnung), 
Il  termine  en  montrant  le  lien  entre  la  théorie  de  la  fonction  9((i)  et  celle 

des  courbes  du  quatrième  ordre. 

^iurni  (liudol/).  —  Recherches  purement  géométriques  sur  les 
surfaces  mînîma  algébriques.  (101-126). 

L'auteur  établit  par  des  considérations  purement  géométriques  divers  résul> 
tais  connus  de  la  théorie  des  surfaces  minima.  La  première  Partie  de  l'Article 
est  consacrée  à  la  détermination  de  l'ordre  et  de  la  classe  du  lieu  des  milieux 
des  segments  dont  les  extrémités  s*appuient  sur  deux  courbes  algébriques 
données,  distinctes  ou  confondues;  les  surfaces  minima  algébriques  en  sont, 
comme  Ton  sait,  un  cas  particulier.  Dans  la  seconde  Partie  de  son  Travail, 
l'auteur  démontre  que  toute  droite  d'une  surface  minima  en  est  un  axe  de 
symétrie  (Schwarz),  et  que  la  section  normale  de  tout  cylindre  circonscrit  à 
une  surface  minima  algébrique  est  la  développée  d'une  courbe  algébrique 
(llenneberg),  ainsi  que  divers  résultats  qui  se  rattachent  à  ces  théorèmes. 

Lipscliitz  (/?.).  —  Élude  des  propriétés  d'une  classe  de  séries 
infinies,  (lo.--! 56). 

En  appliquant  un  procédé  de  transformation  employé  pur  Uiemann  pour  la 
série  ^(s)  à  la  série  plus  générale 


v; 


çZr.mt 


m  ^  0 


(o<i><l) 


8  SECONDE  PARTIE. 

{t  quanlilé  complexe  à  partie  réelle  non  négalive;  s  quantité  compleie  à 
partie  réelle  positive),  l'auteur  obtient  la  formule 

m  =  •  «  =  -4-  Jiî 

Cette  formule  peut  se  rattacher  à  une  transformation  générale  des  lérîes 
thêta  simplement  infinies.  L'auteur  l'applique  aux  diverses  séries  introduites 
par  Dirichlet  dans  son  Mémoire  sur  la  progression  arithmétique,  et  découTre, 
comme  conséquence,  une  relation  caractéristique  entre  ces  séries  de  Dirichlet 
et  la  théorie  générale  de  la  division  du  cercle  en  un  nombre  quelconque  de 
parties  égales.  De  là  résulte  un  principe  pour  la  répartition  des  nombres 
entiers  en  classes,  qui  conduit  en  particulier  à  une  répartition  des  nonbres 
premiers  en  classes. 

Kronecker  (A..).  —  Remarques  sur  la  représentation  des  séries  eu 
moyen  d'intégrales,  (i 07-1 69  et  345-354). 

L'auteur  montre  comment  l'emploi  de  l'intégrale  de  Caocliy  conduit  &  de» 
formules  somniatoircs  importantes.  Certaines  de  ces  formules,  ou  d'aulre4 
qui  en  résultent,  rcniunlcnt  à  Cauchy,  Plana,  Abel,  Schlômilch,  Lipschits  : 
elles  découlent  ici  d'une  méthode  uniforme,  et  les  conditions  dans  lesquelle;! 
elles  sont  applicables  sont  bien  précisées. 

Les  deux  plus  générales  s'obtiennent  en  intégrant  le  long  d'un  contour  rec- 
tangulaire parallèle  aux  axes  la  fonction  1:  cotais /(«)  de  la  variable  com- 
plexe ;;  —  x  +  iy.  Dans  le  premier  cas,  /{s)  est  supposée  continue  et  finie 
dans  une  bande  comprenant  l'axe  réel,  et  tendant  vers  zéro  pour  w  iuGni;  00 
fait  alors  croître  indéfiniment  les  côtés  du  rectangle  d'intégration  parallèles  i 
l'axe  réel,  et  l'on  obtient  la  formule 

F(o)-ha   V  F(A')  =  i[sgnï;]  r       F(j7  4-T,i)cot(j:-»- t.i)is  dLr, 


où 


l'(-)-   ;[/(-)+/(--)). 


Dans  le  second  cas,  le  rectangle  d'intégration  est  modifié  au  mo3'en  d*arcs 
de  cercle  convenablement  choisis,  et  l'on  obtient 


; v/(^)+^y/(^')=-^  f  y(-')'cot(x.+.>'i)s/(jr.+t^/)rf^ 

k  k'  a,  e 


ù  condition  <ine/(c)  remplisse,  dans  la  bande  parallèle  à  l'axe  imaginaire  qui 
inlcrvicnt  alors,  des  conditions  analogues  aux  précédentes. 

Tour  les  applications  de  ces  formules,  nous  ne  pouvons  que  renvoyer  i 
r  Vrticio  lui-incnie. 

Tfina  (F.).  —  Sur  (jii(.>l(|iie.s  ihrorrmcs  de  Dirichlet.  (iGo-i(i<)). 


REVUE   DES   PUBLICATIONS.  9 

L*aateur  étudie  les  conditions  de  résolubililéy  en  nombres  entiers,  de  l'équa- 
ion  indéterminée 

étant  on  produit  de  facteurs  premiers  de  la  forme  l^n-hi  en  nombre  quel- 
«nque,  ou  le  double  d'un  tel  produit.  Dirichlet  avait  considéré  le  cas  où  D 
un  produit  de  deux  ou  trois  facteurs  premiers  de  la  forme  4i  +  >>  ou  le 
louble  d'an  tel  facteur  premier. 

^nigsberger  {Léo).  —  Sur  une  relation  entre  certains  détermi- 
nants dans  la  théorie  des  équations  diflerentielles  linéaires. 
(170.179). 

Soient  ^1,^2*  «-M^m  ^^  système  fondamental  d*intcgrales  de  l'équation 
li  Ton  désigne  par  Dj  le  déterminant 

obtient  la  relation 

9Ù  les  P,.(  sont  des  fonctions  entières  des  p^^  et  de  leurs  dérivées. 

L'auteur  montre  qu'elle  peut  fournir  des  relations  algébriques  entre  les  inté- 
^ales  particulières  considérées  et  leurs  dérivées. 

Il  examine  spécialement  le  cas  où  l'équation  proposée  est  binôme 

D,  est  alors  une  intégrale  si  m  est  pair;  et  si  m  est  impair  D,  est  intégrale  de 
l'équation  obtenue  en  changeant  p^  en  —  p^, 

L*aateur  termine  par  diverses  remarques  sur  une  représentation  symbolique 
de  l'équation  linéaire  comme  produit  de  facteurs,  sur  la  recherche  des  solu- 
tions multiples,  et  sur  des  transformations  analogues  i  la  transformation  de 
Tschirnhausen. 

Czuber  {E.),  —  Calcul  de  la  surface  latérale  et  du  volume  de  la 
portion  d'une  sphère  comprise  entre  deux  plans  qui  coupent  la 
sphère  et  se  coupent  Tun  Tautre.  (180). 

Ce  problème  a  été  traité  par  Crelle  {Journal  fur  Mathematik,  t.  52). 
L'auteur  en  donne  une  solution  élémentaire. 

Schlesinger  {Ludwig),  —  Contribution  à  la  théorie  des  fonc- 
lions  fuchsiennes.  (181-232). 


lo  SECONDE  PARTIE. 

C'est  une  nouvelle  Ihcorie  des  fonctions  fuchsien nés,  développée  laivanl une 
marche  analogue  à  celle  que  Gauss  avait  donnée  pour  rintrodaction  des  foac- 
tions  elliptiques  :  la  relation  fonctionnelle  dont  l'inversion  fournit  les  fonctions 
fuchsiennes  est  obtenue  comme  la  limite  d'une  série  de  rclaUoni  algébriqaefl. 
Pour  plus  de  simplicité,  Fauteur  se  limite  ù  un  cas  particalier,  qui  eil  celui 
des  fonctions  fuchsiennes  de  la  deuxième  famille  (  type  symétrique)  de  M.  Poia- 
caré. 

L'auteur  part  de  la  surface  de  Riemann  à  n  +  i  feuillets  plans»  définie  par 
n  points  de  ramification  doubles  donnés  sur  Taxe  réel;  le  mode  de  liaison  des 
feuillets  en  chacun  de  ces  points  est  aussi  défini.  Cette  surface  définit,  à  trois 
constantes  arbitraires  près,  une  fonction  algébrique  y  de  Xf  qu'on  peut  repré- 
senter par 

Gif  an,  ...,  a^  étant  les  affixes  des  points  de  ramification. 

Cela  posé,  on  considérera  la  suite  des  variables  y^,  y^^  ^,,  ...,  liées  entre 
elles  par  la  loi  de  récurrence 

OÙ  les  constantes  réelles  a{^)  sont  les  diverses  valeurs  prises  par  y-^  pour  Ici 

valiMirs 

"1       »    "  i      »     •  •  •  »    "#.-^ 

de  l'x-iî  ^'i  est  un  entier  supérieur  à  deux,  et  a^'^  a7^  •••»  ^1'^  ^<^*  nombres 

réels  distincts  qucicfuxiues. 

On  peut  étudier  y-^  comme  fonction  de  y^\  et  cette  fonction  tend  vers  une 
certaine  fonction  limite  r^  lorsque  X  devient  infini.  L'auteur  montre  ensuite 
que^Vy,  considérée  comme  fonction  de  vj,  est  précisément  une  fonction  fucb- 
sienne  de-  l'espèce  indiquée.  Il  établit  directement  les  propriétés  connues  de 
ces  fonctions,  en  particulier  la  relation  différentielle  que  vérifie  chacune  dVIIes. 
Il  termine  en  signalant  le  lion  qui  unit  sa  méthode  à  la  transformation  des 
fonctions  fuchsiennes  :  il  tient  à  ce  que  les  diverses  variables  y-^  considérées 
sont  toiiies  des  fonrtinns  fdclisicnnes  dcT,,et  que^>'^  est,  quelque  soit  X,  fonc- 
tion rationnelle  de;>'-^,,. 

Srhnltky  (F.).  —  Sur  les  rclalions  eiïire  les  seize  fonctions  tliéla 
(le  doux  variabirs.  (:>..J.*5-2 /(()). 

I/nuteur  donne  une  reprêsentiition  géométrique  nouvelle  de  ces  relations. 
Les  fonctions  tlit'^ta  intpaires  étant  désignées  piir  6,,  O^,  ...,  9^.  et  les  fimc- 
tinns  piiire-*  par  H,,,,  ...  (  H,.^^ -^  H,^^.,  ...),  on  considère  les  vingt  produits 
**./v  ■  *^u^i^'^'jLi-  '"''^  verlii  (les  relations  liant  les  fonctitms  thêta,  ils  ^'expri- 
ment Ions  en  l'iMietion  linéaire  et  homogène  de  quatre  ((uantilés  ;r,  ;>',  2,  w  :  les 
é<|nalii>ns  1^,^...  -  o  repréNentent  ainsi  des  plans,  et  ee  sont  tous  ceux  qui  passent 
par  trois  points  (piclroiifiues  d'un  système  de  six  points  fixes  fondamentaux. 
l'usant  enrori'  II  —  H, H.. ..H,,,  les  é(|nations  IIH^  —  o  représentent  les  six  cône* 

(In    «'iiind    (Icuré    pa<«^ani    par    les    si\    points    fondauirntaux    et    a\:in(    leurs 
-«'HiMni-  <ii  «  liarun  «!"«  ii\  :  ri  les  équations  IIH^j..=  o  représentent  les  riiuple" 


REVUE  DES  PUBLICATIONS.  ii 

de  plans  passant  par  ces  six  points.  Ces  seize  fonctions  nO*,  sont  donc  fonc- 
tions linéaires  et  homogènes  de  quatre  nouvelles  quantités  X,  Y,  Z,  W,  qui 
sont  des  formes  quadratiques  de  Xy  y,  z,  w.  Mais  il  existe  une  relation  iden> 
tique  entre  les  F.^^  qui  exprime  que  le  point  {Xf  yy  s,  w)  doit  se  trouver  sur 
la  surface  lieu  des  sommets  des  cônes  du  second  degré  passant  par  les  six 
points  fondamentaux  {sur/ace  de  Weddie);  si  Ton  considère  X,  Y,  Z,  W 
comme  les  coordonnées  d'un  point  correspondant  au  point  (Xy  yj  z,  (v),  il 
décrit  une  sur/ace  de  Kummer, 

Enfin  la  correspondance  entre  les  arguments  u  et  u'  des  fonctions  ihèta*  et 
le  point  {Xy  y,  Zt  w)  de  la  surface  de  Weddie  est  la  suivante.  Soient 

F,(X,  Y,  Z,  \\;xyyyz,w)y        F,(X.  Y,  Z,  W'yXyyyZyW) 

les  deux  formes  biiinéaires  qui  deviennent  identiquement  nulles  quand  on  y 
remplace  X,  Y,  Z,  W  en  fonction  de  {Xy  y  y  Zy  tv),  on  a  les  formules 

_  F,(X,  Y,  Z,  W;  dx,  dyy  dzy  dw) 

2  V  1* 

,  ,       F,(X,  Y,  Z,  W;  dxy  dy,  dz,  dw) 
du  =  — = J-— 1 

P  désignant  le  produit  des  six  fonctions  de  Xy  y^  Zy  w  représentées  par  116^ 
pour  a  =  I,  a,  3,  4.  5,  6. 

^iern  (M. -A.).  —  Démonstration  d'un  théorème  de  Liouvillc. 
(200-266). 

Il  s'agit  du  théorème  suivant,  énoncé  par  Liouviilc  sans  démonstration  : 
«S«  N  est  le  nombre  total  des  solutions  en  nombres  entiers  de  l'équation 

n  =  x^ -^  y^ -h  Z' -i-  t'y 

***  ri  est  pair,  la  somme  des  quatrièmes  puissances  des  valeurs  de  x  dans 
^uies  ces  solutions  est 

n-S 


IwC^rrr 


8 


h=0 


''onecker  (^L.).  —  Sommation  de  la  série  de  Gaiiss     7.   e   "    . 
(a67-268). 

L'auteur  montre  qu'elle  se  déduit  avec  une  surprenante  simplicité  du  tliéo- 
rtme  de  Cauchy  sur  rinlégralc    1  f{z)dz  prise  le  long  d'un  contour  fermé, 


e    " 
en  prenant /(^)  ~  -    — .^.;»  et  en  choisissant  convcnablcuirnl  le  contour. 


^clioliky  (/*'.).  —  llccherclic  al'^cbriquc  sur  les  fonctions  tlicta 
de  trois  arguments.  (aGD-i^Dj"). 


12  SBGONDB  PARTIS. 

Il  s*agit  d*une  représeDtation  géométrique  des  relaliont  catn  Um  toi 
qaalre  fonctions  8  de  trois  arguments,  aualogiie  à  celle  qui  a  été  espoiée^ 
les  seize  fonctions  8  de  deux  arguments  dam  le  Mémoire  de  l'aatevr  a»fl 
plus  haut.  Mais  il  faut  ici  supposer  les  troit  argamenU  liés  par  «se  rdhié 
qui  sera  celle  qu'on  obtient  en  égalant  à  séio  l'ane  des  soixaBte-qcatre  fà 
lions  thêta. 

Ces  fonctions  étant  désignées,  suivant  une  BOtation  eoBBaey  par  6;  S,*  •••» 
^i,si  •••>  ^<,i!  ^m»  "•»  ^^M?;  on  considérera  les  treBte-eiBq  prodaits..i 

qui  s'expriment  en  fonction  linéaire  et  hoDogéae  de  quatre  quantités ir«  jr>  't* 
de  sorte  que  les  équations  F.^=o  représentent  tous  les  plans  passant 
trois  points  choisis  parmi  sept  points  fondamentaux.  Posant  encore 

Il    î—     V|  v«  •   .    ■  V-, 

chacune  des  équations  n'8^=:o  représente  une  surface  du  quatrième  ordre 

admettant  les  sept  points  fondamentaux  comme  points  doubles.  Les  points 
{x,y,  5«  cv)  ont  pour  lieu  géométrique  une  surface  du  sixième  degré»  ayant 
les  sept  points  fondamentaux  comme  points  triples: elle peutsedéGnir  comme 
le  lieu  géométrique  des  points  doubles  des  surfaces  du  quatrième  degré  ayant 
huit  points  doubles  dont  sept  sont  les  points  fondamentaux.  On  peut  lui  faire 
correspondre  une  surface  du  sixième  degré  A  TÎngt-huit  points  doubles*  par 
une  transformation  analogue  A  celle  qui  faisait  correspondre»  dans  le  précé- 
dent Mémoire,  une  surface  de  Kummer  &  la  surface  de  Weddle* 

Siaude  (Oito).  —  Sur  les  fonctions  conditionnellemenl  pério* 
diques  d'un  argument  complexe  à  variabilité  limitée,  et  leurs 
applications  à  la  Mécanique.  (Avec  une  Planche  de  figures). 

(298-328). 

La  théorie  exposée  par  Taulcur,  et  dont  les  principes  ont  été  exposés  par  lui 
dans  un  précédent  Mémoire  (Mathematiiche  Annalen,  t.  XXIX,  p.  168),  lui 
a  été  inspirée  par  un  Article  de  Wcierstrass  sur  les  fonctions  réelles  pério- 
diques {Monatsberic/ite  der  Berliner  Akademie,  i8(>6,  p.  97).  Dans  la  pre- 
mière Partie  de  rArticle,  il  étudie  le  problème  d*inversion  défini  par  les  équa- 
tions 

.(1,     \(-i-«i)(^|--i)7:i(^i)        Ja,     V(-:— a:)(^— -sr/^ÛT)' 
en  employant  le  changement  de  varinMcs 

/"'  (Iz,  /*-»  dz, 

»v,  —    1 ^         tv.  =    I      ~    -     -  . 


REVUE  DES  PUBLICATIONS.  r; 

conditions  imposées  aux  fonctions  f^  et  ^^s  sont  énoncées  avec  précision, 
^■fe    restant  d'abord  au  point  de  vue  réel. 
L'inversion  fournit  des  fonctions 

<-|ui  jouissent  des  propriétés  exprimées  par 

^-^C»  t.j  est  égal  à  zéro,  pour  a  ^  ^,  et  à  un  pour  a  =  p.  On  en  conclut  qu'une 


nction  de  5,,  «j,  yjzy  —  a^^  \/ài—  -Sp  V^Sj— a,,  >Jà^— z^  est,  sous  certaines 
^~^>nditions  de  continuité,  une  fonction  G(^p  fj)  admettant  les  couples  de  pé- 
**i«>des  (3c,ta>|p  aciw,, ),  (aE,^),,,  ^t^fù^^)^  où  e,  et  e,  ont,  suivant  les  cas,  les 
'^~  «fleurs  un  ou  deux.  De  là  la  représentation  d'une  telle  fonction  en  série  Je 
l^ourier  à  deux  variables. 

C'est  en  faisant,  dans  une  telle  fonction,  G(f,,  ^2)^  ^1=0  et  /]=  ^  que 
^""auteur  obtient  ce  qu'il  appelle  une  fonction  conditionnellemeru  périoclif/ue  : 
c^lle  a  en  effet  la  période  Qtyntyîù^y-i- ^t^m^ta^^,  si  m,  et  m^  sont  des  entiers 
l^our  lesquels  on  ait  2  c,  m, (>>,,+  a  £2^310,2=  o. 

Los  résultats  précédents  s'étendent  au  cas  où  ^,  et  t^  sont  des  variables  coni- 
S^lexes  se  déplaçant  dans  des  bandes  sufGsamment  étroites  parallèles  à  Taxe 
v^el  et  le  comprenant,  sous  certaines  conditions  indiquées  par  l'auteur. 

La  seconde  Partie  du  Mémoire  contient  l'application  de  la  théorie  générale 
cjvi  précède  à  divers  problèmes  classiques  de  Mécanique  :  mouvement  d'un 
V^oint  sous  Faction  d'une  force  centrale,  mouvement  sur  une  surface  de  révo- 
1-ution  sous  l'action  d'une  force  à  potentiel,  mouvements  de  Liouville  et  Jacobi, 
nionvement  d'un  corps  solide  qui  a  un  point  fixe  et  n'est  soumis  à  aucune 
C<»rcc,  mouvement  de  la  toupie,  etc.  Dans  plusieurs  de  ces  cas,  les  séries  de 
S^ourier  introduites  se  réduisent  à  des  séries  de  Fouricr  simples. 

^^ensel  (K.).  —  Sur  les  classes  de  grandeurs  algébriques,  qui 
résultent  de  la  composition  de  deux  classes.  (3a9-344)* 

Ce  Travail  est  une  contribution  à  la  théorie  de  Kronccker  sur  les  classes 
iGaitungen)  de  grandeurs  algébriques. 

L'auteur  donne  d'abord  une  solution  du  problème  suivant  :  Déterminer  la 
puissance  d'un  diviseur  premier  P  {Primdivisor)  du  domaine  naturel  de  ratio- 
nalité contenue  comme  diviseur  essentiel  dans  le  discriminant  d'une  classe 
donnée.  Il  traite  ensuite  le  même  problème  pour  la  classe  qui  résulte  de  la 
composition  de  deux  classes  données,  dans  le  cas  où  Tordre  de  Tune  d'elles  ne 
se  réduit  pas  par  l'adjonction  de  Tautre  au  domaine  de  rationalité.  La  méthode 
employée  est  fondée  sur  la  construction  d'un  système  fondamental  relatif  au 
module  P,  pour  une  classe  donnée.  Les  résultats  obtenus  permettent  de  déter- 
miner le  discriminant  de  la  classe  composée,  connaissant  les  deux  classes  com- 
posantes. 


i4  SECONDIi  PARTIE. 


Tomo  lOG  (4  CnhicrS;  348  pages).  Berlin;  1890. 

Fuchs  (L,).  —  Remarque  sur  le  Travail  publié  dans  le  Tome  73 

(p.  177)  de  ce  Journal,  (i-zj). 

11  s'agil  (le  lii  délenninution  du  plus  grand  cercle  de  centre  cv  =  o,  À  Tinté- 
rieur  duquel  deux  branches  de  la  fonction  w  définie  par 

ivg\iy)z — /{iv)  =  o        ou        5  — F(«»)  — o 

ne  puissent  devenir  égales.  Dans  le  Travail  cité,  M.  Fuchs  avait  donné  comme 
rayon  de  ce  cercle  le  plus  petit  module  des  racines  de  F'(iv)  =  0.  Ce  rayon 
peut  être  plus  petit  lorsque  les  coefficients  «les  polynômes  /(«v)  et  g{^*) 
satisfont  à  certaines  conditions.  C'est  ce  cas  d'exception'  qui  est  ici  précisé  ei 
étudié. 

MinkowsL'i  (IL).  —  Sur  les  conditions  sous  lesquelles  deux 
formes  quadratiques  à  coeilicients  rationnels  peuvent  se  trans- 
former rationnellement  Tune  dans  Tautre.  (Extrait  d'une  lettre 
de  M.  H.  Minkowski,  à  Bonn^  à  M.  Adolf  Ilurwitz).  (5-26). 

Soit  /  une  forme  ({uadraliciue  à  n  variables,  à  coefficients  rationnels  ri  a 
discriminant  non  nul.  On  désigne  par  J  le  nombre  de  carrés  positifs  de  /, 
supposée  réduite  à  une  somme  de  n  carrés  de  formes  linéaires  réelles;  et  par  A 
lo  produit  <!('  tous  les  facteurs  premiers  figurant  dans  le  discriminant  aver  de*» 
«•xpt)saiils  impairs  adVclé  du  signe  de  ( — i)J. 

L'auttMir  montre  (pi'à  loul  nombre  premier  p  on  peut  faire  correspondre, 
par  la  considération  des  restes  de  /  pris  par  rapport  à  des  puissances  de  p  >uf- 
fisainment  élevées,  un  nombre  C  bien  délrrniiné,  ayant  la  valeur  -f- 1  <»u  — i. 
Four  tout  nombre  p  impair  «pii  n'apparlienl  ni  au  discriminant,  ni  au  déno- 
minateur général  <les  cocfdcicnls,  C  a  la  \aleur  -4-1.  On  désignera  par  U  le 
produit  de  tous  les  facteurs  premiers  impairs  figurant  dans  le  discriminant,  nu 
!(*  dénominateur  général  ne  figurant  pas  dans  A,  et  pour  lesquels  C  a  la 
valeur  —  i. 

La  condition  nécessaire  et  suffisante  pour  «pie  deux  formes  /  pui'^M'-nt  <•* 
tran>former  l'une  dans  l'autre  par  une  transformation  linéaire  à  «'orfficientN 
rationnels  est  (pie  les  nombres  n,  J,  A,  Il  aient  rc^pcclivenK-nl  les  njémr> 
xab'iir'i  pour  lc«i  deux  formes.  De  plus,  sous  certaines  conditions  que  «loivent 
remplir  ces  quatre  nombres,  il  exi>;te  toujours  une  famille  de  formes  pour  les- 
quriles  ils  ont  de^  valeurs  donnée^. 

L'auteur  exaiiiiiK!  ensuite  dans  quel  eas  deux  éi|ualions  /*  — :  o  peuvent  «e 
t rail sfur nier  rationueiiemrnl  l'une  «l.iiis  l'autre  :  c'i'si -à-dire  à  quelles  eoiiditioii> 
deux  fornn-s  y  jM'UVent  sr  trausloriinr  l'um-  dans  l'uiitre,  à  un  fa«teur  niiiiu- 
ii<jue  raliormrj  [i!c«..  II  i.iut  ici  «iistinguer  le  (as  de  n  pair  et  île  w  inipaii'.  |)aiis 
les  «irux  <  .is.  1,1  «  oiisi<i(  r;it  ion  des  unités  ('  pernu't  eiieore  de  di-linir  un  iiouNrI 
iiiN. niant   l):  «l   l.i  <<»iiditi«»n  <licrclié«'  «vi  i|ue  les  \aleur^  (U-  n   et    h   «oifut    b^ 


RHVUH   DBS   PUBLICATIONS.  i5 

^me5,  et  que  le  nombre  (/i  —  aJ)  ait  la  même  valeur  absolue  pour  les  deux 
rmes. 

Eotrc  autres  applications,  i*autcur  donne  les  divers  ras  où  IVquation  /—  o 
f><ïrul  se  résoudre  en  nombres  entiers. 

^joschitz{R,).  —  Remarque  sur  rArticle  :  Étude  des  propriétés 
<i^une  classe  de  séries  infinies,  (27-29). 

Dans  l'Article  cité  {Journal  fiir  Mathematik,  t.  105),  l'auteur  a  déduit  de 
I9  théorie  de  la  division  du  cercle  un  mode  de  n'^partition  des  nombres  en 
«"lasses.  Il  donne  ici  quelques  explications  complémentaires  sur  le  principe  de 
cette  classification,  et  montre  qu'elle  conduit  à  une  infinité  de  classes. 

cye  (Th,),  —  Sur  les  mulliplicîtés  linéaires  de  faisceaux  de 
plans  projeclifs  et  de  réseaux  de  plans  ou  d'espaces  tangenliels 
collinéaires.  II.- (3o-47)-  "^*  (3i5-329). 

Suite  du  Mémoire  commencé  au  Tome  104  (p.  an  à  340)  du  même  Journal. 

n.  Chacun  des  éléments  dont  sont  composées  les  multiplicités  linéaires  con- 
sidérées est  Tun  des  oc^  faisceaux  de  plans  qui  sont  en  relation  projective  avec 
1*00  quelconque  d*entre  eux.  L'auteur  étudie  successivement  les  multiplicités 
linéaires  \  u^\,  \  w^j,  |  u^\  formées  respectivement  de  x*,  oc*,  x*dc  ces  éléments. 
(Dans  le  Mémoire  précédent  avaient  été  étudiées  les  multiplicités  linéaires  |  m,  |, 
1  u^\f  1 11,1  formées  de  x%  x',  x^  de  ces  mêmes  éléments.)  Dans  chacun  des  trois 
cas,  on  considère  les  multiplicités  d'ordre  inférieur  contenues  dans  la  multi- 
plicité considérée  :  certaines  d'entre  elles  présentent  des  singularités  et  per- 
mettent de  définir  des  éléments  géométriques  simples  caractéristiques  de  la 
multiplicité   donnée.   C'est   ainsi   qu'à   chaque    \u^\   correspond   une   cubique 
gauche;  à  chaque  \  u^\  un  système  de  droites  d'une  quadrique;  à  chaque  |  u^\ 
une  division  de  points  sur  une  droite  (ce  dernier  résultat  est  dû  à  W.  Stahl). 
Ces  résultats  ne  subsistent  pas  sans  modifications  pour  les  |  f/4!,  1 11  ^\  et  \  u^\ 
singulières.  Us  mettent  en  évidence  (dans  le  cas  général)  une  dualité  remar- 
quable entre  les  |  fi,|  et  |  t/gl»  les  |  u,  |  et  ]  fij,  les  |  u^\cl  1 1/4 1,  respectivement. 

III.  Les  éléments  fondamentaux  sont  maintenant  les  x^*  réseaux  de  plans 
qui  sont  en  relation  collinéaire  avec  l'un  quelconque  d'entre  eux.  Les  multi- 
plicités linéaires  I  SJ,  |  S,],  |  S,|  formées  de  x',  x'  ou  x^  de  ces  éléments  ayant 
été  précédemment  étudiées,  il  s'agit  de  Tétudc  d'une  multiplicité  |  S4I  de  x*  de 
ces  éléments.  La  méthode  de  recherche  est  la  même  que  dans  ce  qui  précède  : 
elle  conduit,  entre  autres  résultats,  à  la  considération  de  dix  points  nodaux. 
de  oc'  faisceaux  cubiques  principaux,  et  d'une  congrucnro  <lu  tnusièmr  (»rdre  et 
de  la  sixième  classe. 

Kneser  (Adol/).  — Nouvelle  dômonslralion  de  Timpossibilité  de 
la  résolution  algébrique  des  équations  générales  de  degré  supé- 
rieur. (48-60' 

Soient  M,,  w^f  ....  ti>„  les  racines  di*  l'équation  considérée,  supposée  s«dublr 


i6  SECONDE  PARTIE. 

par  radicaux,  et  géoérale.  On  considère  la  résolTtnte 

G  ( a?)  =  JJ  (a:  -  Cl, ».  —  ii,!*^— . .  .^  if.i*;^  =  ©, 

a 

où  le  produit  1  1  est  étendu  à  toutes  les  penovUtions  paires  :  elle  est  rattoi^'' 

a 
nelle,  après  adjonction  du  discriminant^  et  irrédocUble  es  Terin  de  lliypotkèM^ 
Elle  doit  devenir  réductible,  après  adjoDCtion  prélimiaaire  de  oeruîoes  qvaa*-^ 
tités,  par  Tadjonction  d'une  racine  déterminée  d'une  éqnaUon  binôme  de 
premier  q,  L*auteur  montre  qu*il  en  résulte  que  q  doit  diviser  tons  les  m 
impairs  compris  entre  /i  et  i  :  ce  qui  est  impossible  pour  ii>>4* 

Busche  {E.),  —  Sur  la  fonction    ^^    I        r  (65-8o). 

jr  =  l 

[a]  est  pris  avec  le  sens  donné  par  Gauss  à  cette  notation.  L'auteur  désigne 
par  'ifipi  q)  la  fonction  indiquée  dans  le  titre,  et  lui  donne  un  sens  précis 
pour  des  valeurs  àc  p  tl  q  de  tous  signes.  Se  servant  alors  d'un  lemme  général 
donné  dans  sa  Thèse  (Gôttingen,  i883),  et  qu'il  démontre  de  nouveau,  il  éta- 
blit la  formule 


<f{py  g)-^'^{qyp)  = 


__  P  —  i  g  —  <      «  — »8 


3  2  3  a 

(i  =  sgn/>,  6  =  sgnç) 

qui   contient  la   loi   de  réciprocité  des  résidus  quadratiques.   Il   donne  aussi 
<Ii verses  propriétés  de  la  fonction  <]<(/>,  q)  —  ^{^y  p)' 

Netto  {Eugen),  —  Sur  le  plus  grand  commun  diviseur  de  deux 
fonctions  entières  d'une  variable.  (81-88). 

Il  s'agil  du  plus  grand  commun  diviseur  pour  un  système  de  modules  pre- 
miers donné,  question  étudiée  par  Kronecker  ( yoM/*«a/  fur  Mathematik,  t.  100) 
au  moyen  de  la  méthode  d'élimination  de  Bézout.  L'auteur  retrouve  les  mêmes 
résultats  en  employant  la  méthode  d'élimination  d'Euler. 

Eberkard  (  K).  —  Une  classification  des  sj'slèmcs  généraux  de 
plans.  (89-120). 

II  s'agit  d'étudier  la  division  de  l'espace  en  corps  primaires  par  n  plans  illi- 
mités quelconques.  Deux  points  appartiennent  à  un  même  corps  primaire  si 
l'on  peut  aller  de  Tim  à  l'autre,  en  passant  ou  non  par  l'infini,  sans  traverser 
Tun  des  plans  donnés,  l/cnsemblc  de  tous  les  corps  primaires  constitue  le 
n-èdre  complet  défini  par  les  n  plans  donnés. 

Incidcninicnt  l'autcnr  examine  la  question  analogue  pour  le  n-latcrc  forme 
p.ir  n  droites  dans  un  plan,  c'cst-à-dirc  sa  décomposition  en  surfaces  primaires. 
Si  n  csi  impair,  il  est  constitué  par  un  seul  système  de  surfaces  primaires  deux 


REVUE  DES  PUBLICATIONS.  i; 

deux  opposées  par  un  angle;  si  n  est  pair,  par  deux  tels  systèmes  sans  partir 
c^ommune.  Dés  que  /i^6,  il  y  a  plusieurs  sortes  de  n-latères,  chacune  étant 
c:aractérisée  par  le  système  des  triangles  primaires  :  il  y  a  toujours  au  moins 
^  de  ces  triangles. 

D'une  manière  analogue,  si  n  est  impair,  le  n-cdre  complet  est  composé  d*un 
^ul  système  de  corps  primaires  deux  à  deux  opposés  par  une  arête;  et  de  deux 
systèmes  complémentaires,  si  n  est  pair.  La  répartition  des  corps  primaires  en 
systèmes  de  corps  deux  à  deux  opposrs  par  un  sommet  est  régie  par  une  loi 
plus  compliquée,  et  donne  lieu  à  une  classification  des  systèmes  de  plans  en 
<ieQx  espèces.  Pour  /i  >  6,  il  y  a  plusieurs  sortes  de  n-édres  :  c'est  ici  le  sys- 
tème des  tétraèdres  primaires  qui  est  caractéristique;  il  y  en  a  toujours  au 
moins  n.  L'auteur  étudie  en  détail  le  cas  où  il  y  en  a  exactement  n  :  le  n-èe/re 
est  alors  dit  normal, 

eck  (A.).  —  Sur  le  problème  fondamental  de  l'Axonométrie. 
(121-124  )• 

Ce  problème  consiste  à  construire  trois  segments  égaux  et  rectangulaires 
ayant  pour  projections  obliques  trois  segments  donnés.  On  sait  que  tout 
revient  à  construire  les  axes  de  l'ellipse  bitangenle  aux  trois  ellipses  qui  ont 
pour  demi-diamètres  conjugués  deux  quelconques  des  trois  segments  donnés. 

L'auteur  ramène  la  question  à  la  construction  des  axes  d'une  quadrique  dont 
on  connaît  trois  diamètres  conjugués,  et  peut  alors  appliquer  une  construction 
doc  è  Chasles. 

'robenius{G>)>  — Théorie  des  formes  biquadra tiques.  (i25-i88). 

U  faut  entendre  ici  par  formes  biquadratiques  celles  qui  sont  du  second 
degré  à  la  fois  par  rapport  à  deux  couples  de  variaBles  x,  x,  et  y^  >*,,  c'est - 
i-dire  da  type 

F(jr,  ^)=        (A  x'^-\-'iBxXy+Cx])y^ 

-H  a(  A'ar'-i-  'k\^'xXy-\-Cx\)yy^-{'{\'' x--^  alTxx.-h  C'jr;).r;. 

L'anteur  lui  associe  la  forme  quadratique 

G  =      (A/?-h  B  ç-h  A'r-4-B  .f)yj-h(n  /?  4- C  ^  H- B' /• -h  €'5)7 
-f-  (  A>  4-  B'^  -i-  AV  H-  \Y8)r  -h  (  B'/?  -h  C'q  -4-  B'r  -h  C"*)*, 

qni  en  est,  en  un  certain  sens,  un  covariant,  ainsi  que  la  forme* 

H  =  p*  —  qr. 

On  considère  donc  le  faisceau  G  h- XI!,  et  son  discriminant 

Rj(X)  =  X'—  6X»*  H-  4X<  H-  1/, 

dont  les  coeflScients  «,  /,  u  sont  les  invariants  fondamentaux  de  F.  Les  trois 
formes  R,  R|  et  R^  (on  désigne  par  R  et  R,  les  discriminants  de  F  par  rapport 
anx  deux  couples  de  variables)  ont  des  invariants  égaux.  M.  Krobenius  donne 
de  ce  théorème  trois  démonstrations  algébriques,  et  une  démonstration  au 

Buii.  des  Sciences  mathém.^  3*  série,  t.  XX VL  (Janvier  1903.)  R.2 


i8  SECONDE  PAUTIE, 

moyen  des  fonctions  elliptiques.  La  première  de  ces  démoostratioos  est  ana- 
logue à  celle  par  laquelle  Cayley  a  prouvé  l'égalité  des  invariants  de  R  et  R,. 
L'auteur  examine  ensuite  si  l'on  peut  transformer  F  en  une  forme  de  même 
nature,  mais  symétrique  par  rapport  aux  deux  couples  de  variables.  La  ques- 
tion revient  à  celle  de  l'équivalence  de  R  et  R|  : 

La  condition  nécessaire  et  suffisante  de  cette  équiveUence  est  que  R,  ai/  itn 
diviseur  élémentaire  linéaire. 

M.  Frobenius  donne  ensuite  la  solution  complète  du  problème  snivant  : 

Déterminer  toutes  les  formes  F  pour  lesquelles  R  et  R,  sont  des  forma 
données. 

Il  trouve,  comme  conséquence,  que,  pour  que  deux  formes  F  soient  équiva- 
lentes, il  faut  et  il  suffit  que  leurs  fonctions  caractéristiques  R,  aient  les  mêmes 
diviseurs  élémentaires. 

Une  étude  spéciale  des  formes  F  symétriques,  et  une  application  des  résultats 
obtenus  à  la  théorie  des  fonctions  elliptiques,  terminent  le  Mémoire. 

Stàckel  (P-)-  —  Contribution  à  la  théorie  des  fonctions  uni- 
formes. (189-192). 

On  se  donne  une  suite  infinie  de  nombres  complexes  a^,  susceptibles  d*ètre 
les  zéros  d'une  fonction  transcendante  entière,  et  une  suite  de  polynômes Y«(')f 
de  degrés  (A^— i),  tels  que  tous  les  h^  soient  inférieurs  à  un  nombre  flic 
L'auteur  montre  qu'il  existe  une  infinité  de  fonctions  transcendantes  eotièrfs 
dont  les  développements  suivant  les  puissances  de  chacune  des  différence* 
{x  —  a^)  coïncident,  dans  leurs  h^  premiers  termes,  avec  celui  de  la  fonction 
{y^x)  correspondante,  et  donne  une  formule  générale  pour  les  représenter. H 
établit  d'abord  que  les  fonctions  dont  l'expression  est  donnée  par  le  théorème 
de  Miilag-Leffler  sont  susceptibles  d'être  représentées  par  un  développemenl  de 
la  forme 

v  =  i 

où  lcs/^(:r)  sont  les  fonctions  rationnelles  données,  chacune  d'elles  ayant  pour 
seul  pôle  le  point  a^,  d'ordre  h^  de  multiplicité,  et  où  les  m^  sont  des  constante* 
positives  convenablement  choisies. 

Selling  {Eduard).  —  Sur  une  formule  pour  les  suites  numé- 
riques empiriques,  et  particulièrement  pour  l'établissement  des 
Tables  de  mortalité  et  d'invalidité.  (193-198). 

Il  s'agit  de  représenter  une  fonction  y  de  a:,  connue  par  ses  valeurs  pour  if' 
valeurs  o,  1,  2,  3,  ...  de  x,  par  une  formule  de  la  forme 

y  =  au'  -h  6i^'  ■+■  cW  -h 

L'auteur  donne  des  formules  simples  pour  le  calcul  des  constantes  a,  b.  c,  ••  • 


REVUE  DES  PUBLICATIONS.  19 

K,  p,  (V,  ....  Il  applique  ses  résultats  à  la  représentation  do  nombre  des  vivants 
d*âge  X, 

SchottAjr  (F,),  —  Sur  les  équations  caraclérisliques  des  surfaces 
planes  symétriques^  et  sur  les  fonctions  abéliennes  correspon- 
dantes. (199-268). 

Étant  donnée  une  aire  plane  G,  à  un  ou  plusieurs  contours,  il  existe,  comme 
Tauteur  Ta  montré  dans  un  précédent  Mémoire  {Journal  fur  Mathematik, 
t.  83,  p.  330),  des  fonctions  K{x)  qui  se  comportent  comme  des  fonctions 
rationnelles  dans  l'intérieur  de  G  et  aussi,  en  un  certain  sens,  sur  les  contours 
de  G,  et  qui  sont  réelles  en  tout  point  de  ces  contours.  Elles  s*expriment  ration- 
DfUement  en  fonction  de  deux  d'entre  elles  :  p  et  q,  qui  sont  liées  par  une 
relation  algébrique  G{p,  g)  =  o  :  si  (p  +  1)  est  le  nombre  des  contours  de  G, 
cette  relation  est  de  genre  p. 

L'auteur  étudie  ici  les  particularités  qui  se  présentent,  lorsque  Taire  G  est 
symétrique  par  rapport  à  un  axe.  Si  chacun  des  contours  de  G  est  symétrique 
par  rapport  à  l'axe,  on  obtient  seulement  des  fonctions  hyperelliptiques.  Ecar- 
tant ce  cas,  on  a  T  couples  de  contours  deux  à  deux  symétriques  l'un  de  Pautre, 
et  (p-^i  —  3t)  contours  dont  chacun  admet  l'axe  pour  axe  de  symétrie.  Les 
fonctions  abélieilnes  de  p  variables,  auxquelles  la  relation  G  =  o  donne  nais- 
sance, peuvent  alors  s'exprimer  au  moyen  de  fonctions  abéliennes  dépendant 
respectivement  de  t  variables,  et  de  a  =  p  —  x  variables  seulement.  Aux  x  argu- 
ments des  premières  correspondent  des  intégrales  abéliennes  de  première  espèce 
qui  se  réduisent  à  des  intégrales  de  genre  t.  Il  n'en  est  pas  de  même  pour  les 
autres,  qui  sont  par  suite  particulièrement  intéressantes. 

M.  Schottky  donne  l'expression  effective  des  fonctions  considérées,  et  des 
diverses  fonctions  qu'on  leur  associe  dans  la  théorie  des  fonctions  abéliennes, 
dans  le  cas  t  =  1.  Les  premiers  termes  des  développements  des  fonctions  thèla 
qui  interviennent  présentent  des  particularités  caractéristiques;  pour  a  =  4t 
deux  des  fonctions  thêta  paires,  et  deux  seulement,  s'annulent  en  même  temps 
que  les  variables. 

L'auteur  traite  ensuite  le  problème  suivant  :  Étudier  les  fonctions  que  Ton 
obtient  en  remplaçant,  dans  les  quotients  de  fonctions  thêta,  les  arguments 
par  des  intégrales  prises  entre  deux  points  quelconques  de  la  surface  G. 

Ileffter  (L.).  —  Sur  certaines  formules  de  récurrence  pour  les 
intégrales  des  équations  difTérentielles  linéaires  homogènes. 
(aôg-aSa). 

Les  équations  différentielles  linéaires  considérées  sont  à  coefficients  rationnels 
et  à  intégrales  régulières.  L'auteur  établit  une  formule  générale,  d'où  se  déduit 
la  formule  de  récurrence  pour  les  coefficients  de  toute  série  qui  satisfait  à 
l'équation.  Il  en  conclut  l'existence,  sous  certaines  hypothèses,  d'intégrales  uni- 
formes dans  le  domaine  d'un  point  singulier  de  l'équation.  Il  donne  ensuite  les 
conditions  nécessaires  et  suffisantes  pour  que  l'une  des  intégrales  soit  un  poly- 
nôme entier  de  degré  donné.  Enfin  il  fait  l'application  des  résultats  obtenus  à 
diverv^  classes  d'équations  linéaires. 


20  SECONDE   FÂKTIB. 

Fuchs  {L.).  —  Remarque  sur  le  précédent  Mémoire  de  M.  He ^^^^^ 
sur  la  théorie  des  équations  différentielles  linéaires.  (sSS-i^^^V 

En  se  servant  de  Féquation  linéaire  aux  dérivées  d'ordre  r  d'une  équ^»  ^  ^^^ 
linéaire  donnée,  de  la  classe  considérée  par  M.  Heffter,  M.  Fuchs  établit  incr^»- *^^^' 
diatement  Tun  des  théorèmes  obtenus  par  M.  Heffter,  à  savoir  : 

Si  l'équation  fondamentale  déterminante  relative  à  x  =  co  a  de*  rat 
négatives  entières,  et  si  —  r  est  celle  de  ces  racines  qui  a  la  plus 
valeur  absolue,  V équation  considérée  a  pour  intégrale  un  polynôme  et 
de  degré  r. 

ScliafheUlin  {Paul)»  —  Contribution  à  Ja  théorie  des  équati 
diflerentielles  linéaires  à  coefficients  rationnels.  (285-3 1 4)* 

Le  but  de  l'auteur  est  de  retrouver,  par  des  moyens  algébriques,  les  résa 
fondamentaux  obtenus  par  M.  Fuchs  sur  la  forme  analytique  des  intégi^ 
dans  ses  premiers  Mémoires  sur  les  équations  linéaires. 

Les  équations  considérées  peuvent  être  mises  sous  la  forme 

n 

où  qi^{x)  est  un  polynôme  de  degré  k  au  plus,  sauf  g„(^)  qui  est  exacte ^r^r-^cnt 
de  degré  /t.  On  peut  ensuite  les  mettre  sous  une  certaine /orme  nornuil^  «lui 

est  une  généralisation  de  Féquation  hypergéométrique  de  Gauss.  Les  propr*  *-  ^^^^ 
fondamentales  des  intégrales  et  la  forme  de  leurs  développements,  tant  da  »»^  "*  '^ 
voisinage  d'un  point  ordinaire  que  d'un  point  singulier,  sont  ensuite  mis^«:^  "=^^  ^^ 
évidence  sur  celte  forme  normale. 

Giintlier  {Paul),  —  Sur  une  méthode  pour  déterminer  Técf  «-'3' 
tion  fondamentale  relative  à  un  point  singulier  d'une  équa  t.  »  o" 
différentielle  linéaire  homogène.  (33o-33()). 

Les  coefficients  do  réqtialion  en  question  ont  été  donnés  par  M.  Hamb».»  «^^f"" 
{Journal  fur  Aîalheniatik,  t.  83,  p.  198  )  sous  forme  de  séries  dans  les  tcrr~  *'^f- 
desquelles  interviennent  les  valeurs  que  prennent,  pour  un  point  du  doixi  ** '"^ 
du  point  singulier  considéré,  les  dérivées  successives  des  intégrales  d'un  sye-t  «^m» 
fondamental  bien  défini,  prises  par  rapport  au  logarithme  de  la  variable    i^»*^^- 
pendante.  Ce  sont  ces  valeurs  dont  M.  GOnlher  donne  une  expression  expl  i*riU, 
en  fonction  des  coefficients  de  l'équation,  en  se  servant  d'un  développcmoo  •-  ^^ 
séries  des  intégrales  d'une  équation  linéaire  dû  à  M.  Fuchs  { Annal i  di  3^^^^- 
matica,  t.  4,  p.  3G).  Pour  plus  de  netteté,  le  calcul  est  fait  pour  l'équation  au 
second  ordre.  Application  des  résultats  est  faite  à  une  équation  étudi<>c    par 
Cayley  {Journal  fur  Mathematik,  t.  100,  p.  298). 

Stcrn  {M.-A.),  —  Contrihiilion  à  la  théorie  de  la  fonclion  E^. 

(337-34r)). 

Il  s'atiil  de  la  fonrlion  Ex  de  Legendre.  ou  [x]  de  Gauss,  cVst-à-dire  du  p/u< 


RëVUI{  des  publications.  ai 

rand  entier  positif  contenu  dans  x.  L'auteur  obtient,  par  voie  élémentaire,  un 
rand  nombre  de  formules  relatives  à  cette  fonction.  Il  détermine,  par  exemple, 
s  valeurs  des  sommes  suivantes 

-(m-l)  j(m  — I)  |(m  — 1) 

1  1  1 

is  diverses  formes. 

necker^L.).  —  Remarques  sur  la  fonction  arithmétique  d\inc 
Jiantîté  réelle  x^  que  Gauss  désigne  par  \^x\  (346-348). 

LU  moyen  de  la  formule  évidente 

r  =  l 

A  =  i 

9'  est  un  entier  positif  quelconque,  supérieur  à  a?,  l'auteur  vérifie  les  for- 
tes données  par  M.  Stem  dans  rArticlc  précédent,  et  des  formules  données 
M.  Busche  dans  sa  Thèse  (GÔttingen,  i883).  On  trouve  aussi  facilement 

*  h,k 

(A:  =  I,  a,  . . .,  m  —  i  ;  /t  =  i,  a,  . . .,  /i  —  i  )? 

La  résulte  aussitôt  la  formule  connue 

Ar=l 


Tome  107  (4  Cahiers,  35yi  pages  et  2  Planches).  Berlin;  1891. 

in  (Gustav).  —  Sur  les  coniques  de  contact  et  les  tangentes 
oubles  de  la  courbe  générale  du  quatrième  ordre.  (i-5o). 

/auteur  montre  que  la  courbe  générale  C*  du  quatrième  ordre  peut  être 
inrc  de  la  manière  suivante.  On  considère  les  oc^  triangles  T  circonscrits  à  une 
lique  J,  qui  sont  définis  par  une  équation  du  second  degré  entre  les  fonc- 
is  symétriques  élémentaires  des  paramètres  des  points  de  contact  de  leurs 
is  côtés.  C*  est  le  lieu  des  points  qui  sont  sommets  d'un  seul  de  ces  triangles, 
■xiste  deux  systèmes  quadratiques  de  coniques,  £  et  £',  dont  chaque  conique 
circonscrite  à  00'  triangles  T  :  ce  sont  deux  des  63  systèmes  de  coniques  de 
tact  de  G^  Inversement  au  système  £  correspondent  Sa  coniques  J,  dont 
cunr  est   enveloppe   conmiuiic  de  x'  triangles  T  inscrits  dans  l'une  quel- 


ri  SECONDE  PARTIE. 

ci>nque  des  coniques  du  système  £,  et  cela  donne  en  tout  »'  tels  triangles 
correspondant  à  Tune  quelconque  de  ces  coniques  J,  suivant  la  loi  énoncée.  Par 
là  est  définie  la  correspondance,  indiquée  par  Steiner,  entre  un  quelconque  des 
systèmes  de  coniques  de  contact  et  32  autres  systèmes. 

Aux  systèmes  £  et  £'  est  associé  un  troisième  système  £'  de  coniques  de 
contact  :  chacune  des  coniques  de  £'  est  le  lieu  des  sommets  des  triangles  T  qui 
ont  un  côté  fixe.  La  relation  entre  ces  trois  systèmes  est  symétrique. 

En  partant  de  ces  considérations,  Tauteur  établit,  par  une  méthode  uniftvme 
et  purement  géométrique,  les  théorèmes  obtenus  par  Steiner,  Hesse,  Aron- 
hold,  etc.,  sur  les  systèmes  de  coniques  de  contact,  et  les  tangentes  doublet, 
qui  proviennent  des  coniques  de  contact  qui  se  décomposent  en  droites.  Il 
retrouve,  par  exemple,  la  construction  linéaire  d'Aronbold  pour  obtenir  toutes 
les  tangentes  doubles  au  moyen  de  sept  d'entre  elles,  convenablement  choisies. 
Enfin,  M.  Kohn  obtient  aussi  nombre  de  résultats  nouveaux. 

Tliomé  (L.-  WS),  —  Sur  une  application  de  la  théorie  des  équa- 
tions diflerenticlles  linéaires  non  homogènes.  (51-79). 

L'auteur  applique  les  méthodes  développées  par  lui  dans  ses  précédents 
Mémoires  {voir  notamment  Journal  fiir  Mathematik,  t.  96)  aux  équations  de 
la  forme 

OÙ  le  premier  membre  est  une  expression  différentielle  pouvant  s'exprimer  par 
un  système  d'expressions  différentielles  normales  (plus  spécialement  une  expres- 
sion différentielle  régulière,  ou  à  coefficients  constants.  Le  second  membre  q 
est  une  somme  de  produits  H(j:)  F(â;)  Q(j:)  ainsi  définis  :  H{x)  est  une 
fonction  rationnelle;  Q(:z:)  est  une  fonction  satisfaisant  à  une  équation  linéaire 
de  la  même  nature  que  ^(y,  x)  =  o;  enfin  V{x)  est  une  fonction  analytique 
partout  uniforme,  satisfaisant  à  une  équation  linéaire  homogène  connue  à  coef- 
ficients rationnels,  dont  les  intégrales  sont  régulières  en  tous  ses  points  singu- 
liers, sauf  un. 

M.  Thomé  étudie  successivement  la  forme  des  intégrales  dans  le  domaine  des 
points  singuliers,  leur  calcul  avec  une  approximation  donnée,  leur  prolongement 
analytique,  la  détermination  des  substitutions  linéaires  qui  interviennent  dans 
le  prolongement  des  intégrales,  et  l'introduction  des  logarithmes  dans  les  déve- 
loppements des  intégrales  au  voisinage  des  points  singuliers. 

IIermite{Ch.).  — Sur  les  polynômes  de  Legendre.  (Extraitd'une 
lettre  adressée  à  M.  F.  Caspary).  (8o-83). 

De  l'intégrale  définie 

.7: 


I      A~^1J  — (A     '  lO^^ôîTiJ  "'  7/ 


ab' 


raiilt'ur  déduit  diverMs  expressions  des  polynomo  P^,  données  par  Laplace, 
Jarolii,  Mrhler. 

l*uis  il  rattache  à  la  thénriu  des  fractions  continues  algébrique>  des  identité^ 


REVUE  DES  PUBLICATIONS.  iS 

entre  des  polynômes  P^  de  degrés  difltérents,  dues  à  Jacobi  et  Bellrami.  Il  géné- 
ralise en  même  temps  l'identité  de  Beltrami. 

imon  {McLx),  —  Méthode  élémentaire  et  géométrique  pour 
obtenir  Ja  construction  des  parallèles  dans  la  Géométrie  absolue. 
(84-86). 

Il  s*agit  de  la  construction  du  rayon  parallèle  à  un  rayon  donné,  mené  par  un 
point  donné,  obtenue  par  Bolyai  et  Lobatschewsky  au  moyen  de  la  Trigono- 
métrie. L*auteur  en  donne  ane  justification  purement  géométrique  et  élémen- 
taire. 


■7- 


-^rischauf  (/.).  —  Sur  la  théorie  des  fonctions  sphériques.  (8^ 
88). 

Simplification  de  la  démonstration  de  M.  H.  Bruns  {Journal  fiXr  Mathe- 
matik,  t.  90,  p.  3aa  à  3a8)  de  ce  théorème  que  P^(cosy)  s'annule  pour  n  infini, 

si  ny  devient  infini  (y  1  -  |»  ou  si  /i(7c  — y)  devient  infini  (t>  -  )• 

Alaurer  {L.).  —  Sur  la  théorie  des  invariants.  (89-1 16). 

L'auteur  expose  les  principes  généraux  d'une  théorie  générale  des  invariants 
des  formes  tant  générales  que  spéciales. 

Les  formes  seront  réparties  en  classes,  dont  chacune  contient  les  suivantes, 
et  est  caractérisée  par  un  système  d'équations  entre  les  coefficients  de  la  forme 
générale,  du  degré  considéré.  La  forme  générale  d'une  de  ces  classes  est  donc 
fonction  des  variables  x^f  a;,,  . . . ,  x^,  et  des  paramétres  Up  u,,  . . .»  u^  au  moyen 
desquels  s'expriment  tous  les  coefficients  (en  vertu  des  équations  qui  caracté- 
risent la  classe).  Pour  en  définir  les  invariants,  on  devra  introduire  des  groupes 
de  transformations,  rationnelles  par  rapport  aux  a;,  et  u^,  transformant  ces 
variables  séparément,  algébriques  par  rapport  aux  paramètres,  et  laissant  inva- 
riante la  forme  considérée.  Les  invariants  seront  les  fonctions  des  u,^  qui  restent 
inaltérées  par  les  transformations  de  ces  groupes.  On  peut  aussi  considérer  des 
groupes  dans  lesquels  les  variables  u^  seules  seront  transformées  entre  elles. 

L'auteur  montre  comment  la  théorie  des  groupes  de  Lie  conduira  à  introduire 
des  systèmes  d'équations  linéaires  aux  dérivées  partielles,  analogues  au  système 
des  a'  équations  d'Aronhold.  Il  donne,  à  cet  effet,  une  exposition  des  principes 
foadamentaux  de  la  théorie  des  groupes  de  transformations. 

M.  Maurer  termine  par  quelques  indications  générales  sur  la  marche  à  suivre 
pour  résoudre  les  problèmes  généraux  que  les  considérations  précédentes  l'ont 
coodait  à  poser. 

Schottky  {F.),  —  Sur  la  définition  du  système  des  quatrièmes 
foDCtioDS  thêta  paires  et  impaires,  (i  17-184). 

Les  fonctions  thêta,  étant  définies  comme  des  fonctions  transcendantes  entières 
Jouissant  des  propriétés  connues  relativement  aux  périodes,  ne  sont  déterminées 
qa*à  des  facteurs  constants  près.  L'auteur  cherche  à  déterminer  ces  facteurs  par 


24  SECONDE  PÂKTIE. 

la  condition  suivante  :  chaque  fonction 

®rtL  ®rtM  ®rtKi  ^rtLSIfl  •  ^a  ^alM  ^aUt  ^rtlIK» 

doit  se  changer,  par  l'addition  des  demi-périodes  correspondant  à  l'indice  K^  en 
la  fonction  de  même  nature 

^rtlLL  ^aKM  ^aKN  ^/iKLMN  *  %K  ^«KLM  ^oKLII  ^alLM?(- 

(Les  notations  sont  les  mêmes  que  dans  l'Article  de  Fauteur  :  Journai  fàr 
Mathematik,  t.  102,  p.  3i3).  il  en  résulte  que  chaque  fonction 

se  transforme,  dans  les  mêmes  conditions,  en 

à  un  facteur  ±  i,  que  l'auteur  représente  par  le  symbole  (  K,  L.  M  ).  L'étude  de 
ces  facteurs  permet  d'aborder  la  question  posée  pour  laquelle  on  arrive  à  la 
conclusion  suivante  :  après  avoir  choisi  arbitrairement  ce  qu*il  y  a  d'indéter- 
miné dans  le  symbole  (K,  L,  M),  l'une  des  fonctions  (la  fonction  6)  est  déter- 
minée à  un  facteur  constant  prés,  les  fonctions  6,,  à  des  racines  quatrièmes  de 
l'unité  prés,  et  les  fonctions  6,^  aux  signes  prés. 

Kronecker  (L.).   —    Réduction    des   systèmes   de  n*  éléments 
entiers.  (i35-i36). 

il  s'agit  de  réduire  un  déterminant  à  éléments  entiers,  par  des  transforma- 
tions élémentaires  (échange,  addition  ou  soustraction  des  lignes  ou  des  co- 
lonnes). On  peut  d'abord  faire  en  sorte  que  le  premier  élément  à  gauche  et  en 
haut  soit  positif  et  divise  les  n^  éléments;  puis  annuler  tous  les  autres  éléments 
de  la  première  ligue  et  de  la  première  colonne.  On  continue  à  opérer  de  même 
sur  le  mineur  du  premier  élément,  et  ainsi  de  suite....  Dans  le  déterminant 
réduit,  tous  les  éléments,  sauf  ceux  de  la  diagonale  principale,  sont  nuls;  et 
chaque  élément  de  la  dia};onale  principale,  qui  n'est  pas  nul,  est  positif  et  divise 
tous  les  suivants.  Celte  réduction  n'est  possible  que  d'une  seule  manière. 

Caspary  {F.).  —  Sur  quelques  formules  relatives  aux  fonctions 
sphériques.  (Extrait  d'une  lettre  adressée  à  M.  Ch.  Hermile  à 

i^aris).  (137-1  io). 

Plusieurs  dos  fornuiles  relatives  aux  polynômes  P^,  démontrées  par  M.  Her- 
mile dans  rArticlc  analysé  ci-dessus,  sont  établies  en  se  servant  d'une  équation 

_i 

au\  dérivées  parliclios  à  hi(]iu-ll('  >;ai^fail  la  finulion  T  =  (i  —  2ax -i- a-)  '. 
Laiilcur  en  dodiiil  plusieurs  autrt-N  relatives  aux  fonctions  sphériques  de 
stM  ondo  ospèct\  ri  données  déjà,  pour  la  piiiparl,  par  K.  Noumann  (Beitrafe 
zur  7'heorit'  dvr  Kuî;elfunclionen.  Lcipzii;:  1876). 

UuiKvitz  i^./.>.  —  Sur  la  con>lriicl  ion  de  Sclmiler  pour  les  courbes 


REVUE  DES  PUBLICATIONS.  2^ 

planes  du  troisième  ordre.  (Extrait  d'une   lettre   adressée  à 
M.  H.  Schroter).  (i4i-i47)« 

La  courbe  est  définie  par  trois  couples  de  points  correspondants;  on  en  déduit 
d'autres,  de  proche  en  proche,  en  prenant  les  troisièmes  couples  de  sommets 
opposés  de  quadrilatères  complets  dont  deux  couples  de  sommets  opposés  sont 
des  couples  de  points  correspondants  déjà  connus.  Telle  est  la  construction  de 
Schroter.  L'auteur  montre  que  son  application  indéfiniment  répétée,  ou  bien  ne 
donne  qu'un  nombre  limité  de  couples  de  points,  ou  bien  en  donne  une  infinité 
qui  couvrent,  avec  une  densité  uniforme  {ùberall  dicht)^  soit  une  courbe  du 
troisième  ordre  à  une  seule  branche,  soit  la  branche  impaire  seulement,  soit  les 
deux  branches  d'une  cubique  à  deux  branches. 

Un  théorème  analogue  s'applique  à  la  construction,  donnée  également  par 
Schroter,  des  biquadratiques  gauches  de  première  espèce,  au  moyen  de  systèmes 
de  trois  points. 

^ûge.  —  Le  potentiel  d*un  anneau  homogène  à  section  elliptique. 
(148-161). 

L'auteur  rappelle  une  formule  donnée  par  lui  {Journal  fur  Afaihemaiik, 
t.  104)  pour  le  potentiel  des  corps  homogènes  de  révolution.  Elle  conduit,  dans 
le  cas  actuel,  au  calcul  de  deux  intégrales  doubles  ayant  une  ellipse  pour  champ 
d'intégration.  L'auteur  les  ramène  à  des  intégrales  simples,  en  imitant  la  mé- 
thode employée  par  Gauss  dans  un  cas  analogue  (  Werke,  t.  111,  p.  33i).  L'une 
des  formules  obtenues  avait  été  donnée  par  F.  Grube  (  Journal  fiir  JUathematik, 
t.  69,  p.  6).  Le  potentiel  cherché  s'exprime  donc  par  une  intégrale  double,  qui 
ne  se  réduit  que  dans  des  cas  particuliers. 

itej'e  (Th.).  —  Sur  les  multiplicités  linéaires  de  faisceaux  de 
plans  projectifs,  et  de  réseaux  de  plans  ou  d'espaces  tangen- 
ticJs  collinéaires  (IV).  (162-178). 

[Suite  du  Mémoire  commencé  au  Tome  104,  et  continué  au  Tumc  lOC  de  ce 
Journal.] 

Après  avoir  remarqué  que  sa  théorie  donne  une  représentation  efTective  des 
géométries  à  plus  de  trois  dimensions,  l'auteur  étudie  les  multiplicités  li- 
néaires IS5I  de  00^  réseaux  de  plans  en  relation  coUinéaire.  A  chacune  d'elles 
correspond  un  complexe  (d^)  du  troisième  degré,  auquel  appartiennent  les 
génératrices  de  l'un  des  systèmes  de  deux  familles  de  oc'  quadriques  remar- 
quables; les  génératrices  de  l'autre  système  de  toutes  ces  quadriques  appar- 
tiennent à  un  même  complexe. 

L'étude  des  multiplicités  analogues  |S«I,  |  SJ,  |S«|,  |S||,  \S^^\  se  résume  au 
fond  en  ce  résultat  général  que  les  multiplicités  |S.|  et  |S|«_„|  se  correspon- 
dent dualistiquement.  Ce  fait  résulte  de  Tétude  détaillée  que  fait  l'auteur  de 
chacune  d'elles. 

Slahl  {Wilhelm).  —  Sur  les  figures  projectives  en  involution. 
(179-188). 


26  SECOND»  l'ARTIK. 

Une  division  de  points 

Xi=ai-h\bi       («  =  1.  a,  3,  4), 

et  un  faisceau  de  plans 

a.=  a;-hXp.        (1  =  1,  2,  3,  4), 

qui  sont  en  relation  projective,  sont  en  involution,  si  l'on  a  la  relation 

(ap)-(6«)  =  o         r(a?)  =  2]«/?.»<^)  =  2]4i«il. 

Il  y  a  une  multiplicité  linéaire  de  ao^"  faisceaux  de  plans  en  involution  avec 
toutes  les  divisions  d'une  multiplicité  linéaire  de  oo"  divisions  (tous  ces  fais- 
ceaux et  divisions  étant  en  relation  projcctive).  De  là  résulte  la  dualité,  signalée 
par  Reyc,  entre  les  théories  des  multiplicités  linéaires  de  oo*  et  ac«-"  faisceaai 
de  plans  projectifs. 

Si  Ton  considère  des  divisions  et  faisceaux  de  plans  du  second  ordre,  en  rela- 
tion projective 

a:,=  a.-f- 2X6,4- X»c„        1/.=  a^-i- aXp.-t- X»y.        («  =  i,  a,  3,4), 

on  dira  qu'ils  sont  en  involution,  si  l'on  a 

(ar)-2(6p)-^(ca)  =  o. 

Ils  définissent  des  réseaux  coUinéaires 

^i=  {a,-h  \Lb,)  -{-'kib.-h  \ic,),        ".•  =»!-+- |A?. -h  X  0,-1- IX  vj, 

qui  seront  dits  aussi  en  involution.  Et  de  là  résultera  une  correspondance  entre 
les  multiplicités  linéaires  de  00"  et  x"*-"  réseaux  coUinéaires.  D'où,  dans  ce  cas 
encore,  la  dualité  signalée  par  Reye. 

Ces  considérations  se  j;énéraliscnl  pour  les  autres  cas  examinés  par  M.  Rêve, 
et  pour  d'autres  encore  :  par  exemple,  en  introduisant,  à  la  place  des  points  et 
des  plans,  des  sphères,  des  surfaces  quelconques,  des  complexes,  etc. 

Schottky{F.). —  Le  problème  de  l'interpolation  pour  les  fonctions 
elliptiques.  (189-195). 

Les  variables  x  cl  y  étant  liées  par  une  relation  algébrique  de  genre  un,  il 
s'aj;it  de  déterminer  une  fonction  rationnelle  de  x  et  ^  qui  prenne  des  valeurs 
données  en  un  certain  nombre  de  points  {x^  y)  donnés.  L'auteur  cherche  la 
fonction  inconnue  sous  la  forme  d'un  quotient  de  produits  de  fonctions  thêta. 
Les  conditions  du  problème  étant  convenablement  précisées,  la  solution  dépend 
de  la  résolution  d'une  équation  du  second  degré,  de  sorte  qu'il  y  a  deux  fonc- 
tions satisfaisant  à  la  question. 

M.  Schottky  se  sert  du  résultat  pour  donner  une  forme  explicite  du  théorème 
d'Abel  pour  les  intéj;rales  hyperclliptiqucs. 

Schwcring  {K,).  —  Multiplication  de  la  fonclion  sinamM  lem- 
niscatique.  (196-240). 


REVUE  DES  PUBLICATIONS.  27 

Il  s'agit  de  la  fonction  x  =  %\namu  déGnie  par  la  relation 


rdx 


I^auteur  traite,  après  divers  auteurs,  et  en  s'inspirant  principalement  des  tra- 
vaux d*Eisenstein  et  de  Kronecker,  le  problème  de  la  multiplication  complexe. 
La  fonctionnas  sinampa  (p  =:a-H^<,  x  impair,  ^  pair)  est  donnée  par  une 
formule  de  la  forme 

±o(x^) 


Tout  revient  à  calculer  a,,  a,,  ....  a^.  Une  première  méthode  consiste  à  se 
servir  de  l'identité 

dy  dx 

=  P 


dont  on  développe  les  deux  membres  suivant  les  puissances  de  x.  Elle  donne 
divers  résultats  théoriques  intéressants,  mais  conduit,  pour  des  valeurs  de  p  un 
peu  élevées,  à  des  calculs  inextricables.  Il  en  est  de  même  d'une  seconde  mé- 
thode dans  laquelle  on  cherche,  au  lieu  des  coefficients  a,,  a,,  . . .,  les  sommes 
des  puissances  semblables  des  racines  de  9(<s~*  )  =  o. 
Dans  une  troisième  méthode,  l'auteur  pose 

"— >'  =  (»  — J?)  — . 


a:r-«ç(ar-<) 


et  cherche  à  déterminer  les  coefficients  de  F(â;),  qui  est  uu  polynôme  de 
degré  jv.  La  solution  est  fondée  sur  la  formule  remarquable  suivante  : 

[L=:(i-hi)^*i»-^('+0]. 

Les  calculs  sont  possibles  jusqu'à  p  =  53.  De  la  formule  précédente  se  déduit 
incidemment  une  démonstration  de  la  loi  de  réciprocité  pour  les  résidus  biqua- 
dra  tiques. 

Mais  la  vraie  solution  du  problème  consiste  à  chercher  la  valeur  prise  par  le 
premier  membre  fiz)  de  l'équation  de  division  pour  les  diverses  racines  d'une 
autre  équation  de  division  (pour  laquelle  le  nombre  p  est  premier).  Ce  calcul 
s'effectue  par  l'intermédiaire  d'une  résolvante  en  o>,  dont  l'étude  fournit  les 
propriétés  essentielles  de  l'équation  de  division.  Il  en  résulte  une  méthode  pour 
déduire,  par  voie  de  récurrence,  chaque  équation  de  division  d'autres  plus 
simples  :  ce  qui  conduit  à  une  infinité  de  relations  entre  les  divers  poly- 
nômes 7(4). 

De  nombreux  exemples  numériques  terminent  le  Mémoire. 


'28  SECONDE  PARTIE. 

Hensel  (A".).  —  Gontrîbutîon  à  la  théorie  des  formes  linéaires. 

(241-245). 

Solution  générale  du  problème  suivant  : 

Étant  données  m  formes  linéaires  des  indéterminées  i£,,  u,,  ...»  u,,  dont 
les  coefficients  sont  des  nombres  rationnels  d'une  variable  x,  déterminer 
pour  les  Up  ...,  u^  des  valeurs  entières  {nombres  entiers,  ou  polynômes 
entiers  en  x,  respectivement)  de  manière  que  les  formes  données  prennent 
aussi  des  valeurs  entières. 

Le  problème  est  ramené  à  la  résolution,  en  valeurs  entières,  d'un  système 
de  m  congruences  linéaires  en  Up  ...,  a„,  à  coefficients  entiers.  La  solution 
donnée  par  l'auteur  consiste  à  le  ramener  à  un  système  semblable,  relatif  i  uo 
module  plus  petit. 

Pochhammer  {L.),  —  Sur  une  intégrale  multiple,  réductible  aux 
intégrales  eulériennes.  (246-253). 

Par  un  développement  en  série  et  une  intégration  terme  à  terme.  Fauteur 
obtient  la  formule 

J'     s^ds  I    e-'W'ii -ty-'dt=  r(i-a)E(a-f-ô,  c). 
0  *^o 

Il  généralise  ensuite,  de  proche  en  proche,  et  obtient 

I     s'^dsl    S,ds,  f    S^^ds^..,  I    S^.jrf5^_,    /    e— .V  ••mS^c/5, 


•-'  Il 


=  r(i  — a)  K(a  -h6,,  c,)  E(a  4-6j,  Cj)...E(a  -+-  b^^  c^  ) 

[S^=i;;^(i-5^)V-']. 

Il  montre  que  la  formule  obtenue  peut  se  généraliser  en  prenant  pour  l'uDe 
des  intégrations  un  chemin  d'intégration  fermé  à  l'infini,  au  lieu  du  chemin 
réel  de  o  à  x. 

Kroneckcr  (L.),  —  Application  des  systèmes  de   modules  a  des 
questions  de  la  théorie  des  déleruiinanls.  (254-261). 

Les  relations  entre  un  déterminant  et  le  déterminant  adjoint  (ou  réciproque) 
sont  une  conséquence  de  l'équivalence  des  six  systèmes  de  modules  suivants  : 


^  ",.  ^.7.  -  S/.,  , , 


C2]v''.-v^  i 


{g.  h,  *  =  I,   2, /ï). 

^  i^ V  - , .  u^,,  -  V',,  f  ).    (  l:v  - . .  v^, -  u^,  V )  ) 

ï    ri  V  soiu  lc'5  drlcrminants  dont  les   «,4  ri  y.^   sont  rcspcctivcfiirni  le^  .•!<•- 


REVUE  DES  PUBLICATIONS.  29 

ments;  Vg^  et  V^i  désignent  les  éléments  des  systèmes  adjoints;  enfin  8^,^  est 
égal  à  zéro  ou  à  un,  suivant  que  ^  et  A  sont  différents  ou  égaux. 

Cayley  (-^i.).  —  Sur  quelques  problèmes  d^orlhomorphose.  (262- 
^77)- 

L'auteur  compare  diverses  formules  donnant  la  représentation  conforme  d'un 
carré  sur  un  cercle  :  Tune  due  à  Schwarz,  l'autre  provenant  de  la  combinaison 
de  résultats  de  Sch'warz,  une  troisième  déjà  considérée  par  l'auteur  (  Cambr, 
I^hiL  Transact,,  t.  XIV,  p.  48^  à  494). 

L*autear  montre  ensuite  que  la  formule 


«1  = 


où  m  est  un  entier,  9(2)  une  fonction  arbitraire  et  9(2)  la  fonction  conjuguée, 
donne  la  transformation  conforme  d'un  cercle  en  un  cercle.  Mais  elle  n'est  pas, 
général,  biuniforme. 


Hfinkowski  (Hermann),  —  Sur  les  formes  quadratiques  posi- 
tives et  les  algorithmes  analogues  à  celui  des  fractions  conti- 
nues. (A  suivre).  (278-297). 

Soit/  une  forme  définie  positive  des  n  variables  j?,,  j?,,  ...,  x„,  à  discrimi- 
nant non  nul.  Supposons  la  décomposée  en  carrés  de  fonctions  linéaires  à  coef- 
ficients réels 

[        (a  =  i,  a,  ...,  n). 

Et  représentons  par  le  point  P,  qui  a  pour  coordonnées  rectangulaires  Ç,,  Ç,, ...,  \^, 
le  système  des  valeurs  de  ces  n  formes  linéaires,  pour  des  valeurs  quelconques 

attribuées  aux  â?,-  :  la  valeur  correspondante  de/,  étant  le  carré  de  la  distance  OP, 
est  représentée  par  le  même  point.  On  considère  tous  les  points  P  ainsi  obtenus, 
quand  00  donne  aux  â?,-  tous  les  systèmes  de  valeurs  entières  possibles.  On  peut 
les  grouper  de  la  manière  suivante  :  on  imagine  d'abord  les  points  P,,  P,^  . . .,  I\ 
obtenus  en  donnant  à  tous  les  Xi  moins  un  la  valeur  zéro,  et  au  dernier  la  va- 
leur un,  et  Ton  construit  le  parallélépipède  sur  les  segments  DP,,  OP,, . . .,  0P„  ; 
on  imagine  les  parallélépipè<les  égaux  ayant  une  face  commune  avec  le  premier; 
on  opère  de  même  pour  ceux-là,  et  ainsi  de  suite.  Le  système  de  parallélépi- 
pèdes ainsi  obtenu,  dont  les  sommets  sont  les  points  P  précédemment  définis, 
constitue  la  représentation  géométrique  fondamentale  de  la  forme  /.  Si  l'on 
^  change  la  décomposition  en  carrés  employée,  cela  ne  fait  que  changer  l'orien- 
tation dans  l'espace  du  système  des  parallélépipèdes,  mais  non  sa  forme.  Enfin 
le»  formes  équivalentes  A  /  sont  représentées  par  les  diverses  manières  de 
grouper  les  points  P  considérés  en  systèmes  parallélépipédiqucs  tels  que  celui 
qui  vient  d'être  défini. 

Soit  M  la  plus  petite  distance  de  deux  points  P  du  système  considéré,  cVst- 
à-dirc  le  minimum  de  /.  L'auteur  imagine  que  de  chaque  point  du  système 


3o  SECONDE  PARTIE. 

comme  centre  on  décrive  une  sphère  de  rayon  I^R,  et  dèduH  dé  la  emûidéra- 
tion  de  toutes  ces  sphères,  extérieures  les  unes  aux  antres,  cette  oonséqvence 
que  le*volume  de  chacune  est  inférieur  à  celui  du  parallélépipède  fondamental, 

c'est-à-dire  à  v^,  A  étant  le  discriminant  de  la  forme/.  Delà  résalte  l'ioégalité 
importante 


îiî  vZ/tire^ 


M.  Minkowski  en  fait  une  application  importante  à  la  théorie  des  nombres 
algébriques.  Soit  &>„  ci>,,  ...,  ta^  une  base  des  nombres  entiers  d*nn  eor/w  de 
nombres  algébriques  du  /i'*"**  degré  ;  les  valeurs  conjngnénsdes  m^  étant  désignées 

par  ci>^^\  et  le  carré  de  leur  déterminant  par  D,  l'auteur  conaîdère  la  forme  qua- 
dratique 


/=2: 


où  les  \  sont  des  constantes  positives.  De  l'inégalité  obtenue  en  lui  appliquant 
le  résultat  précédent  résulte  que  pour  chaque  idéal  il  existe  au  moins  un  mul- 
tiplicateur (relativement  à  la  formation  d'un  idéal  principal)^  dont  la  norme 

est  inférieure  à  ^D.  On  en  conclut  aussi  que  tout  discriminant  D  contient  en 
facteurs  des  nombres  premiers,  propriété  fondamentale  énoncée  par  Kronecker, 
mais  non  démontrée  encore. 

Giinther  {Paul),  —  Sur  la  délcrminalîon  des  équations  fonda- 
mentales  dans  la  théorie  des  équations  différentielles  linéaires. 

(298-318). 

Comme  il  l'avait  déjà  fait  dans  un  précédent  Mémoire  {Journal  fur  Mathe- 
matik,  t.  106,  p.  33o  et  suivantes),  l'auteur  se  sert  des  développements  en  séries 
partout  convergentes  donnés  par  Fuchs  dans  les  Annali  di  Matematica  (  t.  IV, 
p.  36  à  49)  pour  les  intégrales  des  équations  linéaires,  en  vue  d'obtenir  des 
expressions  pour  les  coefficients  de  l'équation  fondamentale  relative  à  un  point 
singulier.  La  nouvelle  méthode  qu'il  donne  ici  est  exposée  en  détail  pour  Téqua- 
tion  du  second  ordre;  et  l'auteur  montre  qu'on  peut  l'appliquer  au  cas  général, 
en  prenant  pour  inconnues  auxiliaires  les  sommes  des  puissances  semblables 
des  racines  de  l'équation  fondamentale. 

M.  GUnther  en  conclut  ce  théorème  de  Poincaré  : 

Pour  V équation 

n 

A-  0  h,  i 

les  coefficients  des  équations  fondamentales  sont  des  fonctions  transcen- 
dantes entières  des  quantités  A,,^^..  //  le  complète  par  diverses  remarques  sur 
les  coefficients  des  séries  représentant  ces  fonctions  entières. 


REVUE  DES  PUBLICATIONS.  3i 

Une  autre  application  de  la  méthode  exposée  concerne  la  généralisation  d'un 
théorème  donné  par  Bruns  pour  une  équation  de  la  théorie  des  perturbations. 

Siâckel.  —  Sur  les  équations  diffërentielles  de  la  Dynamique,  et 
la  noJ.ion  de  Téquivalence  analytique  des  problèmes  dyna- 
miques. (319-348). 

Sous  le  nom  de  problèmes  dynamiques,  Tauteur  considère  ceux  qui  se  rap- 
portent à  des  systèmes  matériels  dont  l'état  au  temps  test  défini  par  un  nombre 
fini  de  paramétres  :  les  liaisons  et  les  forces  agissantes  ne  dépendent  que  de  la 
conûguration  du  système,  et  non  des  vitesses,  et  il  y  a  une  fonction  des  forces. 

Soient  /?,,  p^^  ...,/?„  les  paramètres,  et  soient 


la  force  vive  et  le  travail  virtuel  du  système.  Le  mouvement  est  défini  par  les 
équations  de  Lagrangc  :  Fauteur  les  résout  par  rapport  aux  dérivées  secondes, 
ce  qui  lui  donne  le  système 

k,  I  ; 

Les  quantités  a'.^  sont  les  éléments  du  déterminant  réciproque  de  celui  desa^-; 
et  les  ]      .    I  sont  les  expressions  introduites  par  ChristofTcl,  Lipschitz,  Wcin- 


garten 


j    i   <^-  Zé'^'^lVôp,  '^  dp,      dpj' 


Deux  systèmes  dynamiques  sont  dits  analytiquement  équivalents,  s'ils  dépen- 
dent du  même  nombre  de  paramètres,  et  si  l'on  peut  choisir  ces  paramètres  de 
manière  que  les  systèmes  différentiels  (S)  correspondants  soient  les  mêmes. 
De  là  le  problème  suivant  : 

Connaissant  T  et  \}',  déterminer  de  la  manière  la  plus  générale 

kj  k 

de  manière  que  Von  ait  les  relations 

Ae«  équations  du  deuxième  groupe  déterminent  les  \ .^  quand  on  a  calcule 
ie»  «'41.  Tout  revient  à  déterminer  ceux-ci  au  moyen  du  premier  groupe 
(inéquations. 


39.  SECONDE  PARTIE. 

L'auteur  montre  que,  tant  que  T  ne  satisfait  pas  à  certaines  équations  aut 
dérivées  partielles,  il  n'y  a  que  la  seule  solution 

Ç  =  cT       (c  =  constante  arbitraire) 
qui  entraîne 

Vy  =  €{]'. 

£lle  correspond  à  la  similitude  mécanique  (Newton,  J.  Bertrand).  On  peut 
faire  disparaître  la  constanlc  arbitraire,  par  un  choix  convenable  des  unités  de 
longueur,  masse,  force  et  temps.  On  est  donc  en  droit  d'affirmer  que,  dans  le 
cas  général,  la  condition  nécessaire  et  suffisante  de  l'équivalence  analytique  de 
deux  problèmes  dynamiques  est  que  les  expressions  correspondantes  de  la  force 
vive  et  du  travail  virtuel  se  transforment  l'une  dans  l'autre  (respectivement) 
par  une  même  transformation  elTectuée  sur  les  paramètres.  Les  problèmes  dyna- 
miques sont  ainsi  répartis  en  classes,  et  dans  chacune  d'elles  on  peut  consi- 
dérer comme  problème  normal  celui  qui  concerne  le  mouvement  d'un  point 
matériel  de  masse  un  dans  un  espace  à  n  dimensions  d'élément  linéaire  déter- 
miné. 

Les  résultats  généraux  obtenus  sont  appliqués  au  cas  n  =  a,  et  au  mouve- 
ment d'une  droite  rigide,  en  particulier  dans  une  congrucnce  et  sur  une  sur- 
face réglée. 

Kronecker  (L.),  —  Sur  un  passage  de  l'article  de  Jacobi  :  Obser- 
vatiunculœ  ad  theoriam  œquationiim  pertinentes.  (Extrait 
d'une  Lettre  à  M.  Weierstrass).  (349-352). 

Dans  ce  passage,  Jacobi  caractérise  une  fonction  rationnelle  de  cinq  lcllrr> 
comme  étant  invariable  par  deux  substitutions  «lont  l'une  résulte  de  l'autre  par 
permutation  circulaire  des  lettres,  et  par  suite  semble  inutile.  El,  en  fait,  elle 
a  été  supprimée  dans  le  Tome  III  des  Œuvres  complètes  de  Jaoobi.  Ca>b') 
remarque  que  rcpendant  Jacobi  parait  avoir  pensé  à  une  fr>nrtion  semi-méia- 
cycliquc,  et  non  à  une  fonction  cyclique  :  il  propose  en  conséqucnrc  <lc  chaiiçcr 
la  seconde  siibslitulion.  L'auteur  préférerait  l'addition  de  deux  mots  dans  le 
texte  primitif,  ce  qui  rétablirait  aussi  la  pensée  de  Jacobi. 

M.  Kronecker  j;énéralise  de  plus  le  raisonnement  de  Jacobi  pour  le  cas  d'un 
nombre  impair  quelconque  de  lettres. 


ATTI  DELLA  R.  AccADEMiA  DELLE  SciENZE  1)1  ToRiNO.  In-8*.  Torlno,  C.  Clausen. 

Tome  XXXIV;  i898-i9<)9. 

Picard  (Em.).  —  [HS^].  Sur  la  rcsolulion  de  certains  pro- 
blèmes de  Mi'canic|ue  par  des  approximations  successives. 
(Extrait  d'une  Icllrc  à  M.  Vollerra).  (6-10). 

A  propos  des  Articles  de  M.  Vollerra  sur  une  classe  d  équations  de  \d  Dyiia- 


UKVUE   DIÎS  PUBLICATIONS.  33 

inique,  M.  Picard  rappelle  une  Note  publiée  par  lui-même  dans  les  Comptes 
rendus  (février  1897),  Q"i  ^  quelques  analogies  avec  le  sujet  traité  par  M.  Vol- 
terra. 

Soit  le  système  d'équations  différentielles 


^_     —  fm  (  *^'  ^P  y  7 y  m  )» 


les  fonctions  réelles  /  des  variables  réelles  x^  y^^  étant  finies  et  déterminées 
pour  X  compris  dans  un  certain  intervalle  I,  et  les  -^-^  étant  toujours  infé- 
rieures à  un  nombre  fixe  N,  pendant  que  ces  y  varient  entre  —  00  et  -h  00  et 
que  X  reste  comprise  dans  I.  Alors  tout  système  d'intégrales  qui  pour  x=.x^ 
prend  des  valeurs  finies  y\^ yl-,  ...,  y^^  est  fini  et  bien  déterminé,  et  peut  être 

obtenu  par  séries,  par  des  approximations  successives  (Picard,  Traité  d* Ana- 
lyse, t.  III).  M.  Picard  applique  cette  remarque  au  problème  du  mouvement 
d^un  corps  pesant  autour  d'un  point  fixe,  en  montrant  qu'on  peut  obtenir  les  y?, 
q^  r.  Y,  y',  y*  par  des  séries  convergentes  pour  toute  valeur  du  temps. 
Observations  analogues  pour  les  équations 

(P_x,  _  çHJ 
dO    "^  ôx.' 

et  pour  les  équations  canoniques 

(o  •  )  ''~     '^^^ 

\    dt        ôpi 

Pour  ces  dernières,  par  exemple,  l'auteur  complète  les  équations  suivantes, 
où  le  variable  t  remplace  le  /, 


d-z  ~ 

H    ' 

m 

<lli  ... 
dt    ~ 

H    ' 

qui,  en  supposant  tl  continue  et  positive,  et  les  dérivées  des  seconds  membres 
inférieures  à  un  nombre  fixe,  permettent  d'exprimer  les  p  et  les  7  par  séries 
pour  toute  valeur  de  t.  Entre  t  et  ^,  il  y  a  une  relation  linéaire 

il  cause  de  l'intégrale  H  =  const.  qui  appartient  aux  (i)  aussi  bien  qu'aux  (3). 

Lfauricella  {Jos.).  —  [T2a].  Sur  les  développements  en  série  de 
soliilions  exceptionnelles  de  rélaslicité.  (i  1-24)* 
Bail*  des  Sciences  mathcni..,  j*  série,  t.  WVl.  (Février  1902.)  R..*? 


34  SECONDE   PARTIR. 

Développemcnls  des  déplacements  inittftax  et  dct  viteiiet  initiales  tm  lérie 
de  solutions  exceptionnelles  des  équationt  des  TilmlioBS  élMlîqvcty  ptr  aBe 
méthode  analogue  à  celle  suivie  par  le  même  aalenr  dans  n  Note  aor  la  pro- 
pagation de  la  chaleur  (ces  Aiti,  1897-1898,  p.  969). 

Peand  (Jos.).  —  [li]-  I^a  numération  binaire  appliqué^  A  la  até* 
nographie.  (47-55). 

En  faisant  correspondre  les  rayons  d^uae  étoile  octogone  (la  dIrectioB  de  cet 
rayons  étant  fixée)  aux  huit  premières  unités  du  syilènie  binaire^  c^eat-è*4îre 
aux  nombres  a*(i  =  o,  i,  ...,  8),  on  a  le  moyen  d^écrire  les  956  premiers 
nombres  (représentés  dans  le  système  binaire)  par  des  fignres  qni  ne  soieai 
que  des  combinaisons  de  ces  rayons.  Ert  établissant,  d*après  certaines  règles  H 
avec  un  certain  ordre,  une  correspondance  entre  ces  a56  figures  et  les  !ionsd*une 
langue,  qui  sont  à  peu  près  dans  ce  nombre,  on  a  un  système  de  sténographie 
applicable  aussi  à  des  machines  à  écrire. 

Cliini  (Mineo),  — [H4^].  Sur  certaines  équations  diiTérentielles. 
(56-66). 

Recherche  inverse  de  celle  de  la  Note  :  Sur  ^équation  différeniieile  du 
deuxième  ordre  linéaire  homogène  (ces  Atti,  1897- 1898,  p.  737).  Quels 
doivent  être  les  coefficients  d*une  équation  différentielle  d^ordre  m-f-i,  équi- 
valente à  son  adjointe,  afin  qu>lle  soit  vérifiée  par  toute  forme  de  degré  m  de 
deux  solutions  d'une  équation  du  deuxième  ordre  linéaire  homogène? 

Almansi  {Emile),  —  [HIO^].  Sur  Tintégration  de  l'équation 
difTérenlielle  ^2^2=^  o.  (92-1 10). 

Le  problème  se  réduit  à  la  résolution  d'un  système  d'un  nombre  infini 
d'équations  avec  un  nombre  infini  d'inconnues,  et  l'auteur  établit  ce  système  en 
s'appuyant  sur  un  théorème  qui  subsiste  pour  des  contours  satisfaisant  à  cer- 
taines conditions,  et  qui  esl  le  suivant  : 

Soit  s  le  contour  de  l'aire  a  considérée,  et  s^  une  ligne  fermée  extérieure 
à  ce  contour.  Si  l'équation 


f 


A    ,  -  r/.t  —  (I 


est  satisfaite  pour  une  fonction  quelconque  «'.  harmonique  dans  «,.  et  si  l'on 
a  €tussi 

I    A  </5  =  O, 

on  aura  a  =  0  en  tout  point  où  X  est  continue. 

Porro  (Franc.).  —  [U].  Sur  Téclipsc  lotale  de  lune  du   27  dé- 
cembre  !fi()S.  (!S()-I(J|). 


REVUK    DKS  PUBLICATIONS.  35 

VoUerra  (  V\),  —  [R8e].  Sur  une  classe  de  mouvements  perma- 
nents stables.  (247-255). 

Certaines  propriétés  relatives  à  la  stabilité  des  rotations  de  systèmes  ayant 
des  mouvements  intérieurs  stationnaires  (  même  auteur,  Annali  di  Matematica» 
t.  XXIII)  sont  étendues  ici  à  un  cas  général  de  mouvements  à  caractéristiques 
indépendantes  (ces  Atti,  1897-1898;  Sur  une  classe  d'équations  dynamiques). 
Le  cas  considéré  est  celui  des  mouvements  permanents,  c'est-à-dire  pour  les- 
quels les  caractéristiques  p^  sont  constantes,  et  la  stabilité  d'un  mouvement 
permanent  consiste  en  ceci,  que,  9  étant  un  nombre  arbitraire,  on  peut  trouver 
un  nombre  e  tel  qu'une  perturbation  du  mouvement  produisant  dans  les  carac- 
téristiques une  variation  <  e  ait  pour  conséquence  que  dans  le  mouvement 
perturbé  les  caractéristiques  difTcrent  en  chaque  instant  de  moins  de  9  des 
valeurs  correspondantes  qu'elles  ont  dans  le  mouvement  permanent. 

Les  p  sont  supposées  choisies  de  manière  à  avoir 

T  =  }(/>î-f-y>î-f-... +  />;). 

F  = }( A,/>; 4- \,p\  h.. .4-  \p;)  +  :x,/>,--  :^./^:-t-- •  -+-  v-^Pr 

On  a  alors  la  proposition  sui\ante  : 

Aux  niaxinia  et  mi  ni  ma  effectifs  de  F  {de  T),  la  condition  T=  const. 
(F  =  const.)  étant  satisfaite f  correspondent  des  mouvements  permanents 
stables. 

L'auteur  démontre  qu'il  y  a  toujours  des  mouvements  stables,  et  en  étudie 
les  petites  perturbations  en  démontrant  qu'elles  sont  périodiques. 

IDaniele  {Herménégilde),  —  [K46a].  Quelques  observations 
préliminaires  sur  la  théorie  du  mouvement  des  surfaces.  (256- 
272). 

Expression  des  forces  que  l'on  doit  ajouter  aux  points  d'une  surface  et  à  ceux 
de  son  contour,  pour  la  maintenir  en  équilibre,  dans  l'hypothèse  que  la  surface 
étant  d'abord  flexible  et  inextensible,  et  en  équilibre,  elle  devienne  extensible, 
eiception  faite  le  long  des  lignes  u  et  i^,  en  se  réduisant  ainsi  à  un  tissu. 
L*auteur  ajoute  quelques  considérations  sur  le  cas  où  l'on  ne  modifie  pas  les 
forces  appliquées  à  la  surface,  et  où  par  conséquent  la  surface,  en  perdant  son 
ioextensibilité,  prend  un  mouvement.  Voir  ci-dessous  la  modification  à  cette 
Wotc  (ces  Atti,  même  Tome,  p.  5i5). 

Giudice  {Franc.),  —  [K6a].  Angle  de  deux  droites  et  de  deux 
plans.  Perpefhdicularité  et  parallélisme  en  coordonnées  homo- 
gènes. (277-291). 


erini  {Ch,).  —  [D  I  6e].  Sur  la  représenlation  analytique  des 
fonctions  réelles  discontinues  d*une  variable  réelle.  (325-345). 

Cette  représentation  approchée  au  moyen  d'un  polynôme  rationnel  (ces  Atti, 


36  SRCONDE  PAUTIE. 

1897-1898;  Seveiuni,  iiiéme  litre,  p.  looa),  semblable  à  celle  que  Weierstrass  a 
donnée  pour  les  fonctions  continues,  présente  des  cas  où,  en  faisant  diminuer 
Terreur,  les  coefficients  du  polynôme  tendent  à  Tinfini.  L'auteur,  après  avoir 
donné  des  exemples  de  cet  inconvénient,  expose  une  méthode  qui  peut  servir  à 
réviter. 

Segre  {Corrade),  —  [^^]-  Sophiis  Lie.  Notice.  (363-366). 

Volterra  (Vilo).  —  [Roa].   Sur  le  flux  d'énergie  mécanique. 

(866-375). 


Le  flux  unitaire  a  pour  composantes 


étant 

\'y  Y',  Z'  les  dérivées  des  composantes  de  la  force  newtonniennc  unitaire  au  point 

considéré  ; 
w,  v,  Vv  les  composantes  de  la  vitesse; 
Te»  '^r»  "^t  ^^^^^^  ^'c  la  tension  élastique  unitaire  exercée  sur  réiémcnt  normal  à  la 

direction  de  la  vitesse; 
U  la  fonction  polentiellc  newtonniennc; 
p  la  densité  ; 
V  la  grandeur  de  la  vitesse  de  la  matière. 

Dans  une  région  dépourvue  de  matière  on  a 

V  -  -^  X' 

*^ 
I' 

F    —  -—  Y' 

J        '\t: 

E.  =  ^  r. 

Pour  une  surface  de  niveau  extérieure  aux  masses  du  système  on  a  que  h 
(juanlité  totale  d'éncrf;ie  qui  entre  à  chaque  instant  à  travers  celte  surface  est 
épale  à  celle  (}ui  sort  dans  le  uième  instant. 

Hiurli  (Camille).  —  [T2].  Sur  un  problème  d'élasticité.  (3-6- 

Klani  Tj  le  uiaxinnini  du  déplacement  d'un  point  d'un  système  élastique,  dû 
a  i  action  d  un  poids  P  (jui  tombe  d'une  hauteur  h  (déplacement  dynamique). 


UEVUK  DUS  PUBLICATIONS.  3; 

et  y  étanl  le  déplacement  produit  par  la  charge  P,  appliquée  sans  chule,  on  a 


=  r(i-+-^»-Ha^j. 


JFano  (G.).  —  [H4rf].  Sur  les  équations  différentielles  linéaires 
qui  appartiennent  à  la  même  espèce  que  leurs  adjointes.  (388- 

4«9)- 

On  dit  qu'une  équation  diiïérentirllc  linéaire  homogène 
appartient  à  la  môme  espèce  qu'une  autre  équation  semblable 

lorsqu'on  peut  obtenir  Tune  de  Tautre  par  une  substitution 

-  =  ««r  -+-  «.>'  +  ••  --^  ««-i.v''*"''» 

les  a,- étant  des  fonctions  appartenant  au  champ  de  rationalité  défini  par  les  p^. 
La  condition  nécessaire  et  suffisante  pour  qu'une  équation  (i)  soit  de  même 
espèce  que  son  adjointe 

est  que  son  groupe  de  rationalité  soit  composé  de  substitutions  qui  transfor- 
ment on  elle-même  une  forme  bilinéaire  k  déterminant  >  o.  Une  telle  forme  bili- 
néaire  doit  s'annuler  identiquement  en  substituant  à  ses  deux  séries  de  va- 
riables les  solutions  ^^  et  z^  des  deux  équations,  ou  bien  leurs  dérivées 
d'ordres  />,  7,  étant  p  -h  q'in  —  1.  Cette  condition  se  modifie,  relativement 
aux  ordres  de  ces  dérivées,  lorsqu'on  veut  que  la  substitution,  par  laquelle  on 
passe  d'une  équation  à  son  adjointe,  ne  contienne  les  dérivées  de  la  fonction 
que  JDsqu'à  un  certain  ordre  <  n  —  i.  De  ces  conditions  l'auteur  donne  aussi 
uoe  interprétation  géométrique  dans  l'espace  S„_,.  Les  solutions  y.  peuvent 
être  considérées  comme  coordonnées  d'un  point  de  S„_,,  qui,  pour  les  diverses 
valeurs  de  j:,  décrit  une  courbe  appelée  courbe  intégrale  de  l'équation  (courbe 
attachée,  suivant  Halphen).  Les  considérations  géométriques  mentionnées 
consistent  principalement  dans  l'usage  de  ces  courbes  et  dans  l'interprétation 
des  substitutions 

comme  étant  des  collinéations  dans  l'espace  S„_,. 

Enfin   l'auteur  considère  le  ras  où   une  équation  coïncide  a  ver  sa   propre 
adjointe. 

Fano  (Gino).  —  [II  ig]»  Sur  les  équations  différentielles  linéaires 
du  cinquième  et  du  sixième  ordre,  dont  les  courbes  intégrales 
sont  sur  une  quadrique.  (/\i5'.i4^). 


38  SECONDE    PARTIE. 

Les  courbes  iulégrales  (voir  d-dcssus  Fano,  ces  Alti,  iiiéme  Tome,  p.  38tf) 
sont  sur  une  quadrique  de  S^  (pour  le  sixième  ordre),  lorsque,  entre  les  si& 
solutions  z-j  il  y  a  une  relation  quadratique  à  déterminaot  ^o,  que  Ton  pent 
supposer  de  la  forme 

Z I  vj  " t~    5 j  Z  I  -T~  Z^  Z^  !^    O. 

On  peut  aussi,  à  la  suite  de  cette  relation,  considérer  les  3,.  comme  coordonnées 
d^une  droite  dans  IVspace  S-,;  alors,  au  lieu  d'une  courbe  intégrale,  on  a  une 
surface  réglée  intégrale,  qui  devient  une  développable  lorsqu*oii  a  au»$i 

«i  *••,•  "+■  ^j  *'t  "'"  ■^5  •^e  —  '* 

z]  étant  la  dérivée  de  «,  par  rapport  à  :r.  A  Faide  des  propriétés  géoniétriquct 

de  ces  surfaces,  l'auteur  démontre,  autant  pour  le  sixième  que  pour  le  cin- 
quième ordre,  que  Tintégration  de  Téquation  se  ramène  à  cellt^  d'unt*  équation 
linéaire  du  quatrième  ordre. 

Marre  {Aristide).  —  [V].  Des  noms  de  nombres  en  usage  dan« 
Madagascar,  aux.  Piiiiippines,  dans  la  Malaisic  el  dans  la  Poly- 
nésie. (447"1'>^)- 

Kii  français. 

MilUig-Lejjler  {Giislai'e),  —  L'-^*^]*  *^"'*  '**  reprësenlalion  ana- 
lytique  d\ine   branche    uniforme    d\ine    fonction    inonogcne. 

(48.-.iç).). 

Etanl  donnée  une  fonction  analytique  par  un  de  ses  eicnienis,  trouK'er  une 
expression  arithmétique  qui  représente  cette  fonction,  ou  plutôt  une  branche 
uniforme  de  cette  fonction,  dans  le  champ  le  plus  grand  possible. 

Voilà  le  pro!)lèni('. 

La  continuation  analylicine  peut  !)icn  ser\ir  <i  la  délinitioii  <le  la  fonction, 
mais,  conime  Tobservc  Taulinir,  \\c  serait  qu'un  moyen  très  compliqué  de  repré- 
sentation. Sur  l(^  problème  indiqué,  on  avait  déjà  des  travaux  remarquables  de 
Hun^e  {Acta  mathematica,  t.  VI;  i885),  Painlevé  (Comptes  rendus  des 
séances  de  l'Académie  des  Sciences,  t.  CXXVI;  1898),  Hilbert  { \achrichten 
de  Gottingue:  1H97),  Borel  {Journal  de  Mathem.,  2*  série,  t.  II;  1S96,  et 
Leçons  sur  la  théorie  des  fonctions.  Paris,  1898),  chez  lesquels  toutefois  tantôt 
le  rlianip  irétail  pas  le  plus  grand  possible,  tantôt  la  représentation,  déduite 
de  la  foruHib;  de  Caurhy  en  transformant  l'intégrale  en  une  somme  d'un 
nombre  infini  de  fondions  rationnelles,  exigeait  la  connaissance  des  valeurs 
de  la  fonction  en  un  nombre  infini  de  points. 

La  solution  de  Mittag-Leffler  est  complète  et  ne  dépend  que  de  rélément 
donné 

[1  =  0 

ou,  ce  qui  re>ienl  au  même,  des  valeurs  de  la  fonction  et  de  toutes  ses  dérivée*. 


REVUE  DES  PUBLICATIONS.  Sg 

en  un  point.  Une  notion  capitale  dans  celte  solution  est  celle  d'étoile,  intro- 
duite pour  la  première  fois  par  Tauteur.  En  considérant  sur  un  rayon  quel- 
conque, issu  du  point  donné  a,  les  continuations  analytiques  de  P(:r|a),  il 
peut  arriver  que  tout  point  du  rayon  appartienne  au  cercle  de  convergence  de 
quelqu'une  de  ces  continuations,  ou  bien  que  Ton  rencontre  un  point  qui  n'ap- 
partienne plus  à  aucun  de  ces  cercles;  en  tel  cas  on  exclut  du  plan  toute  la 
partie  du  rayon  qui  est  entre  ce  point  et  Tinfini.  On  fait  de  même  pour  tous  les 
rayons  partant  de  a,  et  Tcnsemblc  de  ces  rayons,  ainsi  coupé  s'il  y  a  lieu,  est  ce 
que  Fauteur  appelle  étoile  A  appartenant  aux  éléments  F(i^^(a).  Cela  posé,  on  a 
le  théorème  suivant  : 

On  peut  toujours  trouver  un  nombre  N  tel  que,  pour  /i  >  N,  on  ait  pour 
la  /onction  donnée  V{x)  dans  tout  ctiamp  fini  intérieur  à  l'étoile 

étant  a  un  nombre  positif  arbitraire  et  g„{x)  un  polynôme  donné  par 

gA^)  =  ^c['')V'^-){a){^x-  a)\ 

où  les  c^"^  sont  données  a  priori  indépendamment  des  données  du  problème. 

On  déduit  de  là  que  la  fonction  ¥{x)  est  aussi  donnée  par  une  série 

•» 

de  polynômes 

G^{x)  =  ^t^^^¥^-){a){x-a)\ 

(V) 

les  t^!*'  ne  dépendant  <}ue  de  [i,  v,  et  étant 

y  G  (X)  =  lim  gAx). 

y^olierra  {V.),  —  [D4ref. K8^].  Sur  quelques  applications  de 
la  représentation  analytique  des  fonctions  de  M.  le  professeur 
MîUag-LefHer.  (492-494)- 

L'auteur  observe  l'application  que  Ton  peut  faire  des  développements  de 
M.  Mittag-Lefflcr  à  certains  problèmes  mécaniques,  en  supposant  que  les  élé- 
ments inconnus  soient  des  fonctions  analytiques  du  temps,  considéré  comme 
nne  variable  complexe.  Lorsqu'on  peut  s'assurer  que  l'axe  réel  des  temps  est 
intérieur  aux  étoiles  {voir  la  Note  précédente  de  Mittag-Leffler)  qui  appar- 
tiennent à  ces  fonctions,  et  dont  le  centre  est  l'origine  des  temps,  on  peut  avoir 
les  inconnues  développées  suivant  la  méthode  de  Mittag-Leffler. 

Comme  questions  qui  se  prêtent  à  cette  application,  l'auteur  cite  :  la  classe 


4o  SECONDE  PARTIE. 

de  questions  dynamiques  conduisant  à  des  équations  du  type 

V  V 

1  ""  1 

le  cas  d'un  point  attiré  par  plusieurs  centres  newtonnîens  en  ligne  droite;  et 
celui  de  n  points  se  repoussant  suivant  la  loi  newtonnienne. 

Cazzaniga  {Titus).  —  [Ble].  Sur  les  réciproques  des  délermi- 
nanls  normaux.  (495-5i4). 

Un  déterminant  d'ordre  infini  D  =  [a,-^]  est  normal  lorsque  la  série  double 
des  éléments  non  principaux  et  le  produit  infini  des  éléments  principaux  sont 
convergents.  Définition  et  quelques  propriétés  des  mineurs.  Le  réciproque  d'un 
normal  est  aussi  normal,  et  il  a  certaines  propriétés  analogues  à  celles  des  réci- 
proques des  déterminants  finis.  Quelques  observations  sur  les  transformations 
linéaires  dans  un  espace  d'un  nombre  infini  de  dimensions. 

Daniele  {Ilerménégilde),  —  [R46a].  A  propos  de  ma  Noie  : 
Quelques  observations  préliminaires  sur  la  théorie  du  mou- 
vement des  surfaces.  (5 1 5-5 17). 

Modification  ù  apporter  dans  certaines  formules  de  cette  note  (voir  ci-dessus), 
dans  laquelle  il  n'avait  pas  considéré  la  densité  de  l'élément  superficiel,  qui 
vient  à  changer  lorsque  la  surface  perd  son  inextensibilité. 

Severini  [Charles).  —  [Dl  b\  Sur  la  représentation  analytique 
des  fonctions  réelles  discontinues  d'une  variable  réelle.  (5 18- 

■  534). 

Ktunl  f{x)  une  fonclion  gcnéralciiienl  continue  et  n'ayant  que  des  discon- 
tinuités de  première  espèce,  on  peut  construire,  d'une  infinité  de  manières,  une 
série  de  fonctions  représentant  f{x)  aux  points  de  continuité,  et  donnant  la 
moyenne  arilliniéticiue  des  deiix  limites,  aux  points  de  discontinuité. 

Bcmporad  [Azeglio).  —  [^'  '  i\  Complexes  du  deuxième  degré 
consliuiés    par  les   normales  à   une    série  de   courbes    planes. 

(535-5/Î6). 

Ces  normales  fornienl  en  général  un  complexe  dont  le  degré  est  égal  à  Tordre 
de  la  podaire  d  un  point  dn  plan  par  rapport  à  la  série.  L'auteur  cherche  donc 
les  séries  dont  la  [)odaire  est  une  conique,  et  trouve  que  ce  sont  en  général  les 
trajectoires  orthogonales  des  trajectoires  d'un  groupe  projectif  engendré  par  une 
transformation  indnilésimale.  Le  complexe  est  toujours  tétraédral. 

Yoiitif:  (Grâce  Ckisholm).   —   [Q2  réf.  K^O /].    Sur   la    vaiiélp 


REVUE  DES  PUBLICATIONS.  4» 

raltonnelle  normale  MJ  de  Sa  représentant  la   trigonométrie 
sphérîque.  (SSj-Sgô). 

Les  MJ  de  Fespace  Sg  peuvent  être  de  deux  espèces  :  Ou  composées  de  simples 
séries  rationnelles  de  plans,  ou  bien  des  cônes  coupés  par  un  S^  suivant  une  sur- 
face da  quatrième  ordre  de  Véronèse. 

L''auteur  démontre  que  TMJ  que  Ton  obtient  en  prenant 


—  i»/-\f 


pjT,  =  col  —  rot  — > 


a     -.î 


rt,    (t. 

0  J7o  —  col   -  col  — i  > 
1  '1 


a.        «5 
pjr,  =  col  —  col  -  » 

*   ^       2      2 
0Xl=  col  —  eut  —  > 

'  '2  'X 

a,    a, 

pj7r.  =  col  —  col  —  « 

3,      2o 

pj:*=  cot  —  col  —  t 

'   *        2       2 

p;r,=  i, 

et  dont  les  points  représentent  les  triangles  sphériques,  appartient  à  la  pre- 
mière espèce;  et  il  en  trouve  aussi  la  série  de  plans,  la  réglée  directrice  minima 
qui  est  une  quadrique,  et  les  courbes  directrices  minima  qui  sont  les  droites 
d'un  système  de  cette  quadriquc.  Les  oo'  triangles  représentés  par  les  points  de 
la  quadrique  sont  infinitésimaux,  c'est-à-dire  qu'ils  ont  tous  leurs  éléments 
5  0  (modar),  et  la  classe  de  ces  triangles  a  des  relations  remarquables  avec 
celle  des  triangles  minima,  dont  les  trois  sommets  coïncident,  et  avec  celle  des 
triangles  maxima  dont  les  trois  côtés  sont  sur  un  même  grand  cercle. 

Young  (  IV.-II.).  —  [Qâréf. K66].  Sur  les  syzigies  qui  lient  les 
relations  quadratiques  enlre  les  coordonnées  d'une  droite  en  S4. 
(596-599). 

Entre  les  dix  coordonnées  il  y  a  cinq  relations  quadratiques,  entre  ces  rela- 
tions il  y  a  cinq  syzigies,  et  une  autre  (syzigie  double)  lie  ces  dernières. 
L*auteur  trouve  ces  relations  et  indique  l'application  qu'on  en  peut